Содержание к диссертации
Введение
1 Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение ТЕ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных неоднородной нелинейной средой 14
1.1 Постановка задачи 15
1.2 ТЕ-волны 18
1.3 Дифференциальные уравнения задачи 20
1.4 Условия сопряжения и задача сопряжения 21
1.5 Нелинейное интегральное уравнение 22
1.6 Исследование интегрального уравнения 24
1.7 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра 27
1.8 Итерационный метод 30
1.9 Дисперсионное уравнение 31
1.10 Существование решений дисперсионного уравнения 33
2 Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описы вающая распространение ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных неоднородной нелиней ной средой 37
2.1 Постановка задачи 38
2.2 ТМ-волны 41
2.3 Дифференциальные уравнения задачи 43
2.4 Условия сопряжения и задача сопряжения 45
2.5 Система нелинейных интегральных уравнений 46
2.6 Исследование операторного уравнения
2.7 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра 60
2.8 Итерационный метод 63
2.9 Дисперсионное уравнение 67
2.10 О разрешимости линейной задачи сопряжения на собственные значения 71
2.11 Существование решений дисперсионного уравнения 76
3 Численный метод определения приближенных постоянных распро странения 79
3.1 Метод задачи Копій для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн 79
3.1.1 Существование постоянных распространения 79
3.1.2 Метод вычисления собственных значении 82
3.2 Метод задачи Копій для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн 85
3.2.1 Существование постоянных распространения 85
3.2.2 Метод вычисления собственных значений 88
4 Комплекс программ и численные результаты . 91
4.1 Комплекс программ для численного решения задачи РЕ 91
4.2 Численные результаты для задачи РЕ 93
4.3 Комплекс программ для численного решения задачи Рм 101
4.4 Численные результаты для задачи Рм 103
Литература
- Условия сопряжения и задача сопряжения
- Дифференциальные уравнения задачи
- Существование постоянных распространения
- Численные результаты для задачи РЕ
Условия сопряжения и задача сопряжения
Принимая во внимание решения (1.10), (1.12) уравнения (1.7), в которых учтены условие ограниченности поля во всякой конечной области и условие излучения на бесконечности сформулируем задачу РЕ .
Задача РЕ- требуется доказать существование вещественных значений 7 таких, что при заданном значении С\ 0 {или С2 0) существует ненулевая функция и (р), которая при р R\ и р R2 определяется формулами (1.10); (1.12) соответственно, а при R\ р R2 является решением уравнения (1.13); причем, определенная таким образом при р Є [0, +оо) функция и (р) удовлетворяет условиям сопряжения (1.14).
Значения 7, являющиеся решениями задачи РЕ называются собственными значениями, а соответствующие им функции и (р) - собственными функциями. Такое определение собственного значения было дано в [10] и неоднократно использовалось в дальнейшем (см., например, [6, 8]).
В рассматриваемой задаче собственное значение 7 зависит от значения собственной функции на одной из границ волновода. Пусть Ап,г п(р) - полная система ортонормированных (в L,2[Ri, R2]) вещественных собственных чисел и собственных функций этой краевой задачи. Эта система существует, так как ре Cl[RuR2\, Щ(р)- р-1 Є Cl[RuR2\ [35, 45]. Тогда при Л ф Хп краевая задача LEU = 0, и \P=R1 = и \P=R2 = 0 имеет только тривиальное решение. Это значит, что при Л ф \п существует и единственна функция Грина GE (р, S) А) краевой задачи LEGE = — 5 (р — s), 8PGE \P=R1 = 9PGE \P=R2 = 0 {R\ s R2). (1.16) Функция Грина GE (p, s; Л) в окрестности собственного значения Aj может быть представлена в виде (см., например, [25]) С,Е (р, «; A) = _MgM + Gl (Л в. Л), (L17) где G\ (р, s; А) регулярна в окрестности точки Aj, a Xn}vn (р) уже упомянутые системы собственных чисел и собственных функций.
Действуя также как в [30] докажем существование и единственность решения уравнения (1.20) и непрерывную зависимость решения уравнения (1.20) от параметра. Утверждение 1.3. Если а А2, где
В дальнейшем нам понадобится теорема о зависимости решений интегрального уравнения (1.20) от параметра. Теорема 1.1. Пусть ядро N и правая часть / интегрального уравнения (1.20) непрерывно зависят от параметра А Є Ло, N(p,s;\) С C([RUR2] х [RhR2] хЛ0), /(s,A) С С([Ді,Д2] хЛ0), на некотором отрезке Ло вещественной числовой оси. Пусть также Тогда решения и(р;Х) уравнения (1.20) при Л Є Ло существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра X, и (р; Л) С С ([Дь R2] хЛо) . Доказательство. Рассмотрим уравнение Д2 u(s; X) = N (р, s; Л) и3 (р; X) dp + f (s; Л). Ді Существование и единственность решений и (А) при условиях теоремы 1.1 следует из утверждения 1.3.
Последовательность ип равномерно сходится к решению и уравнения (1.19) вследствие того, что F (и) - сжимающий оператор. Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (1.25). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения [48].
Утверждение 1.4. Последовательность приближенных решений ип уравнения (1.19); определяемых посредством итерационного алгоритма (1.25), существует и сходится в норме пространства C[RI,RQ\ К {единственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:
Заметим, что для приближенного определения собственных значений и собственных функций проще и эффективнее использовать метод задачи Коши (метод пристрелки), взяв начальные данные, например, в точке p = R\. Разумеется, постоянной C\ при проведении вычислений необходимо придать определенное значение, фактически это означает задание значения собственной функции в точке р = R\. Как уже говорилось выше, в рассматриваемой нелинейной задаче собственные значения зависят от начальных условий.
Описанный здесь итерационный алгоритм позволяет получить приближенное решение, но он слишком громоздок в реализации. Основное значение используемого здесь теоретического аппарата - это строгое доказательство существования собственных значений. Численные результаты, представленные в главе 4, получены с помощью метода задачи Коши.
Нули функции Ф(Л) = С\д (А) — аР (А) - это значения Л, для которых существует нетривиальное решение задачи РЕ- ТО есть, если Л = Л таково, что Ф(А) = 0, то собственные значения рассматриваемой задачи определяются из уравнения А = 72 Для исследования разрешимости задачи РЕ необходимо исследовать линейную задачу (т.е. задачу РЕ при а = 0). Вопрос о существовании решений дисперсионного уравнения для линейной задачи подробно рассмотрен в работе Ю.Г. Смирнова [31], приведем без доказательства утверждение, которое следует из теоремы доказанной в этой работе.
Дифференциальные уравнения задачи
Отметим, что в системе (2.33) все функции определены только на отрезке [Ri, .] и могут быть найдены независимо от условий сопряжения и дисперсионного соотношения. Ниже будет показано, что при определенных условиях система (2.33) имеет единственное решение и будет указан способ его нахождения. Преобразуем систему (2.33) к более удобному виду, не содержащему производных под интегралом от неизвестных функций. Для этого сна чала преобразуем слагаемые в правых частях уравнений системы (2.33), используя формулу интегрирования по частям и учитывая, что h
Для изучения интегрального оператора (2.39) рассмотрим ядра соответствующих интегральных операторов. Пусть П = (i?i, .) х (ЛІ5 R2). Из общих свойств функции Грина, следует, что функции Kij являются кусочно-непрерывными в (замкнутом) квадрате П = [Ri, R2] х [Ri, R2] Указанные свойства ядер позволяют утверждать ограниченность оператора К : С [721,.] — С [7 ,]. Очевидно что оператор J : С [Ri, R2] — С [i?i, R2] также ограничен. Оценим нормы интегральных операторов в пространстве С [7 ,], которые потребуются в дальнейшем. Рассмотрим сначала скалярный случай. Пусть интегральный оператор задан формулой
ЗуЭД то уравнение (2.44) имеет два неотрицательных решения г иг . Решения г и г могут быть вычислены по формулам в утверждении 1.1, с.24. Докажем, что если выполняется условие (2.46), то уравнение (2.44) имеет единственное решение в шаре Гф = {и : и г }. то уравнение (2.44) имеет единственное решение в шаре BTt = {u : и г } ; являющееся непрерывной функцией: и є C[Rh Я2],и п . Доказательство. Рассмотрим уравнение u = А (и) в пространстве С [Ri, RQ\, С нелинейным оператором
Таким образом, А отображает Гф в себя и является сжимающим опе ратором на Гф. Поэтому уравнение (2.39) имеет единственное решение в Br,t. U Заметим, что здесь оператор N не совпадает с одноименным оператором N первой главы. По этой причине утверждение 2.3 не является простым повторением аналогичного утверждения из главы 1.
Отметим, что А 0 и не зависит от а. 2.7 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений операторного уравнения (2.40) от параметра. Перепишем уравнение (2.40) в форме определен формулами (2.35)-(2.41). Теорема 2.1. Пусть ядра матричного оператора N и правая часть h уравнения (2.40) непрерывно зависят от параметра 7 Є Го, N(7) С С(Го),Ь(7) С С (Го) , на некотором отрезке Го вещественной числовой оси. Пусть также
Тогда решения и (р; 7) уравнения (2.40) при 7 Го существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра 7,и(р;7)сС([Ді,Д2]хГо).
Доказательство. Рассмотрим уравнение (2.40). Существование и единственность решений и (р; 7) при условиях теоремы следует из утверждения 2.3. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра 7 Нетрудно видеть из формулы (см. глава 1, с.25) П = т = cos [\ arccos (Щ- llhll \/N) что г (7) непрерывно зависит от 7 на отрезке Го. Пусть т о (7) = max г (7) и максимум достигается в точке 7о5 т0 есть 7Г0 г (То) = Пь Выберем 7 + А7 Є Г0, тогда г (7) г0 и г (7 + А7) Пь Далее, пусть Qo = max (Зг2 (7) N(7)) и максимум достигается в точке 7 Є Го, то есть Qo = Зг2 (7) N (7) II- Тогда Qo 1 в силу условия (2.47) теоремы. остаются в силе, если заменить аргументы 7 на 7 + А7, а 7 + А7 на 7- Таким образом, оценка (2.49) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. 2.8 Итерационный метод Приближенные решения un (г) = (ui (г) , и% (г)) , г Є [Ri, RQ\ системы интегральных уравнений (2.35) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений: un+1 = аК (\ип\2 иЛ + aJ (\ип\2 иЛ + h (2.50) Докажем, что последовательность un (г) равномерно сходится к решению системы уравнений (2.40) вследствие того, что правая часть уравнения (2.40) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно о каком - векторном или скалярном - пространстве идет речь.
Утверждение 2.4. Пусть ВГо = {и : и го} - шар радиуса TQ С центром в нуле и выполнены два условия:
Тогда существует и единственно решение и Є ВГо уравнения (2.40) (или системы (2.35),), и последовательность приближенных решений ип Є ВГо уравнения (2.40) (или системы (2.35)), определяемых посредством итерационного алгоритма (или (2.50),), сходится в норме пространства С [721,.] к (единственному) точному решению и Є ВГо уравнения (2.40) (или системы (2.35),) при любом начальном приближении и0 Є ВГо со скоростью геометрической прогрессии с показателем q.
Существование постоянных распространения
Используя условия сопряжения на границе /) = (2.20) и решения при р В,2 (2.18) получаем, что F ( 7) = Л (7) Из формулы (3.6) ясно, что значение F(R2]ry) выражается только через значения решения задачи Коши.
Величины щ ( — 0; 7) и щ ( — 0; 7) определяются из решения задачи Коши. Пусть 7 = 7 таково, что F(R2]ry) = 0, тогда ясно, что 7 является решением (постоянной распространения) задачи Рм Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.
Утверждение 3.4. Пусть выполняются условия утверждения 3.4 и отрезок [7,7] [7 7 ] такой, что F ( 7) ( ) 0- Тогда, существует, по крайней мере, одна постоянная распространения (одно собственное значение) 7 Є (7? 7) задачи Рм Доказательство. Функция F которой говорится в теореме, является функцией ОТ Щ () И 1 ( ГДЄ Mi (.) И 142(-) РЄШЄ ния рассматриваемой задачи Коши. В силу выполнения условий утвер ждения 3.4 это решение задачи Коши является непрерывной функци ей параметра 7- В то же время функции / = /72 — &оз, - л () и iCo () входящие в определение функции F, также является непре рывными функциями параметра 7- Отсюда следует, что функция F яв ляется непрерывной функцией параметра 7- Поскольку отрезок [7 ,7 ] таков, что F ( ) F ( 7) 0; т0? п0 теореме Вейерштрасса, суще ствует по крайней мере одно значение 7 (7? 7") такое, что F (Я27) = 0. Это значение 7, по определению функции F, является собственным зна чением задачи Рм- Замечание. Условие F{R2)r))F (і Т") О является только достаточным условием существования постоянной распространения 7 Є (т?т) задачи Рм 3.2.2 Метод вычисления собственных значений
Рассматриваемый метод позволяет построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) 7 от толщины AR = R2 — R\ (тоже нормированной). Дисперсионными кривыми в таких задачах называют кривые 7 = 7 {ш)- гДе ш круговая частота. Если же кривая 7 ( ) зависит от амплитуды поля (что имеет место в рассматриваемой нами задаче), то такие кривые называют энергетическими дисперсионными кривыми [3]. Поскольку используем нормированные переменные, то будем называть нормированной дисперсионной кривой (или энергетической дисперсионной кривой) график зависимости 7 = 7 (Добудем рассматривать задачу Коши для системы (3.4) с начальными условиями (3.5).
Пусть 0 AR AR оо и у/тах(єі,є3) 7 7 некоторые числа. Будем считать, что АЛ Є [ДД„ДіГ],7Є [7 7 Ь Разбиваем отрезки [AR ,AR ] и [7 ,7 ] на п и m частей соответственно. Тогда имеем {Ді ,7«} , г = 0,n, j = 0,m; причем ARo = AR , ARn = AR , 70 = 7 , 7m = 7 - Тогда для каждой пары индексов (hj) будем иметь пару начальных значений (щ (Ri) }Щ (Ri)), где ui,ij (Ri) = ui (Ri + 0;7j) и U2,ij (Ri) = u2 (R\ + 0; 7 -), которые определяются при помощи условий сопряжения (2.20) следующим образом єті (Ri - 0) = (є2 (Ri + 0) +a {u{ {Rx +0)+ {Rx + 0))) щ {Rx + 0), u2 (Rl - 0) = щ (Ri + 0), (несмотря на то, что начальные значения не зависят от ДД;, нам удобно оставить двойную индексацию). Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (3.4) с начальным условием щ (Ri) , 2, (-) Решив указанную задачу Коши, получаем значения Щ (R2 — 0) := U\(ARi] j) и U2,ij № - 0) := и2 (ДД; T?) Построим функцию F(ARi] fj) := Щ (R2 — 0) — щ (R2 + 0). Пусть для заданного ARi существуют такие т? и 7?+ъ ПРИ которых F (ARi] 7j) F (ДД; 7.7+1) 0. Отсюда следует, что существует значение 7j Є (ljilj+i)i являющееся собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн; этому собственному значению соответствует толщина слоя ARi. Значение т? может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.
Определим середину отрезка 71 = 0-5(71+71) и вычислим F (ARi/ i). Проверяем следующие условия. 1. Если \F (ARi]ryi)\ S, то 71 искомое приближенное собственное значение. 2. Если F(ARi]/y )F (ARi/ i) 0, то 7 wr 1) Тогда полагаем 72 := т_: и 72 := 7ь следовательно, 72 Є (т ъУ 3. Если F (Ді ; 7і) (Аі?«;7і) 0, то 7 Є (7ь7і)- Тогда полагаем 72 := 7і и Ъ := 7ь следовательно, 72 Є (т ъУ Продолжая процесс половинного деления п раз получаем, что искомое приближенное значение 7п Є (7 7п)- -Ясно, что \їп ln\ = 2 n 7і — 7і- Выберем число п таким образом, чтобы выполнялось неравенство 2 п 7і — 7i - Тогда за приближенное значение 7п постоянной распространения 7 можно принять, например,
В главе представлены краткие описания комплексов программ для расчета приближенных собственных значений и собственных функций в задачах распространения ТЕ- и ТМ-волн в в двухслойном цилиндрическом волноводе с нелинейной неоднородной диэлектрической проницаемостью; представлены результаты расчетов.
Численные результаты для задачи РЕ
Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения. Утверждение 3.4. Пусть выполняются условия утверждения 3.4 и отрезок [7,7] [7 7 ] такой, что F ( 7) ( ) 0- Тогда, существует, по крайней мере, одна постоянная распространения (одно собственное значение) 7 Є (7? 7) задачи Рм Доказательство. Функция F которой говорится в теореме, является функцией ОТ Щ () И 1 ( ГДЄ Mi (.) И 142(-) РЄШЄ ния рассматриваемой задачи Коши. В силу выполнения условий утвер ждения 3.4 это решение задачи Коши является непрерывной функци ей параметра 7- В то же время функции / = /72 — &оз, - л () и iCo () входящие в определение функции F, также является непре рывными функциями параметра 7- Отсюда следует, что функция F яв ляется непрерывной функцией параметра 7- Поскольку отрезок [7 ,7 ] таков, что F ( ) F ( 7) 0; т0? п0 теореме Вейерштрасса, суще ствует по крайней мере одно значение 7 (7? 7") такое, что F (Я27) = 0.
Это значение 7, по определению функции F, является собственным зна чением задачи Рм- Замечание. Условие F{R2)r))F (і Т") О является только достаточным условием существования постоянной распространения 7 Є (т?т) задачи Рм 3.2.2 Метод вычисления собственных значений
Рассматриваемый метод позволяет построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) 7 от толщины AR = R2 — R\ (тоже нормированной). Дисперсионными кривыми в таких задачах называют кривые 7 = 7 {ш)- гДе ш круговая частота. Если же кривая 7 ( ) зависит от амплитуды поля (что имеет место в рассматриваемой нами задаче), то такие кривые называют энергетическими дисперсионными кривыми [3]. Поскольку используем нормированные переменные, то будем называть нормированной дисперсионной кривой (или энергетической дисперсионной кривой) график зависимости 7 = 7 (Добудем рассматривать задачу Коши для системы (3.4) с начальными условиями (3.5).
Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (3.4) с начальным условием щ (Ri) , 2, (-) Решив указанную задачу Коши, получаем значения Щ (R2 — 0) := U\(ARi] j) и U2,ij № - 0) := и2 (ДД; T?) Построим функцию F(ARi] fj) := Щ (R2 — 0) — щ (R2 + 0). Пусть для заданного ARi существуют такие т? и 7?+ъ ПРИ которых F (ARi] 7j) F (ДД; 7.7+1) 0. Отсюда следует, что существует значение 7j Є (ljilj+i)i являющееся собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн; этому собственному значению соответствует толщина слоя ARi. Значение т? может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихотомии.
На основе метода дихотомии построим метод нахождения приближенного значения постоянной распространения.
Зададим 6 0 - погрешность нахождения значения постоянной распространения 7- Пусть интервал (7i?7i) такой, что F(ARi}/y )F (A.R;,7i) 0- Искомое собственное значение 7 Є (71571) и приближенное собственное значение 7і (7і 71) Определим середину отрезка 71 = 0-5(71+71) и вычислим F (ARi/ i). Проверяем следующие условия.
Если F (Ді ; 7і) (Аі?«;7і) 0, то 7 Є (7ь7і)- Тогда полагаем 72 := 7і и Ъ := 7ь следовательно, 72 Є (т ъУ Продолжая процесс половинного деления п раз получаем, что искомое приближенное значение 7п Є (7 7п)- -Ясно, что \їп ln\ = 2 n 7і — 7і- Выберем число п таким образом, чтобы выполнялось неравенство 2 п 7і — 7i - Тогда за приближенное значение 7п постоянной распространения 7 можно принять, например,
Пусть выполняются условия утверждения 3.5 и пусть {ln\ последовательность приближенных значений постоянной распространения 7, полученная методом дихотомии, тогда lim 7«, = 7 П—7 00 Последовательность {7«}«=i является фундаментальной на отрез ке 7,, 7і Действительно, пусть р & 0 - целые числа, тогда І7/г —7р 2 fc 7і — 7і- Но при к п выполняется 2 к 7і — 7і -Тогда пусть 7 = Нш %. Но для любого номера п вы П—7 00 полняются соотношения 7п Є (7 іїп) и 7 17 7«,) Из вышесказанного следует, что 7 = 7- Этим завершается доказа тельство. Глава 4 Комплекс программ и численные результаты.
В главе представлены краткие описания комплексов программ для расчета приближенных собственных значений и собственных функций в задачах распространения ТЕ- и ТМ-волн в в двухслойном цилиндрическом волноводе с нелинейной неоднородной диэлектрической проницаемостью; представлены результаты расчетов.
Результаты главы опубликованы в [13, 14, 15, 33, 49, 54]. Блок-схемы алгоритмов вычисления собственных значений и собственных функций для ТЕ-волн представлены на рис. 4.1-4.2. Входными данными являются: є\, 2, 3, ск, ко, С\, R\, і?2,7 7 (тип:геа1). Выходными данными в случае собственных значений является массив [р; 72]; в случае собственных функций - массив [р;и(р)}. С begin j
Зависимость квадрата постоянной распространения 72 (вертикальная ось) от толщины слоя А = Д2 — R\ (горизонтальная ось); красная линия соответствует Є2 (р) = Єг синяя линия соответствует Є2 (р) = є 2 Н—
Поскольку неоднородность в слое мала - дисперсионные кривые (неоднородный и однородный случаи) близко расположены друг к другу 2 3 4 5 6
Рис. 4.4: Зависимость квадрата постоянной распространения 72 (вертикальная ось) от толщины слоя А = Д2 — R\ (горизонтальная ось); красная линия соответствует Є2 (р) = Єг синяя линия соответствует 62 (р) = є 2 + Р Поскольку неоднородность в слое велика 2 р 8 дисперсионные кривые (неоднородный и однородный случаи) значительно отличаются друг от друга.
