Содержание к диссертации
Введение , 3
Глава 1 Построение асимптотического решения краевых задач
А2т и Ве2т 20
1.1 Введение 20
1.2 Формализм построения асимптотического решения задач
2ю і 2tri I
Ae и Вe ' для случая последовательных краевых условий и
1=0 21
1.2.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и
пограничный ряды 30
1.2.2 Главные члены асимптотики 33
1.2.2.а Нулевое приближение 34
1,2.2.6 Поиск следующих приближений 43
1.2.3 Обоснование асимптотики 51
1.3 Формализм построения асимптотического решения задач
Ag"1'1 и В2м'1 для случая последовательных краевых условий и
Ы> с 56
1.3.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и
пограничный ряды 57
1.3.2 Главные члены асимптотики 59
1.3.2.а Нулевое приближение ', 59
1.3.2.6 Поиск следующих приближений 63
1.4 Формализм построения асимптотического решения задач
А2т'1 vi Ве2т'1 для краевых условий общего вида 70
1.4.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и
пограничный ряды 71
1.4.2 Главные члены асимптотики 72
1.4.2.а Нулевое приближение 72
1.4.2.6 Поиск следующих приближений 74
1.5 Общее обоснование асимптотики 78
1.6 Нормировка асимптотических решений собственных
функций задач А2т'1 и В*"4 89
1.7 Выводы по 1 главе * 91
Глава 2 Поведение собственных функций и собственных значений
2т 1 2ftt I
краевых задач А/ ' и В ' при неограниченном возрастании
порядка уравнения 2т 95
2.1 Введение 95
Сравнение асимптотик собственных функций и собственных значений при 2т и 2т+2 97
Обоснование поведения собственных функций и собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т 100
2.4 Выводы по 2 главе 103
Глава 3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной
сетке для решения краевых задач А/', А/'0 и В^'0, Ве' Ю4
Введение 104
Постановка задач для численного исследования 106
Построение разностной схемы на кусочно-равномерной сетке 107
Оценка погрешности аппроксимации схемы для задач Aj' и В9* (t=4,6) на сетках QJ" и fij 114
Теорема о сходимости решений на сетках fi, и Q2 125
3.6 Поиск решений с помощью метода прогонки 129
Поиск собственных значений матриц W4 и W6.. 134
Метод прогонки для задач Aj'* и Bj*(t—4,6) 141
3.7 Выводы по 3 главе 148
Глава 4 Построение асимптотических приближений и поиск
численных решении краевых задач Ае 'и Ве ' для
различных потенциалов „„ 150
4.1 Введение 150
2т I 2т I
4.2 Краевые задачи А ' и Ве 'в случае потенциала линейного
гармонического осциллятора 151
Построение асимптотического приближения 152
Поиск численных решений 164
4.3 Краевые задачи As2m' и Вє2т' в случае кулоновского
потенциала 166
Построение асимптотических приближений 167
Поиск численных решений 172
4.4 Краевая задача АІт'1 в случае центробежного
потенциала 173
Построение асимптотических приближений 174
Поиск численных решений 177
4.5 Численный поиск энергетического спектра и волновых
функций связных состояний кварка и антикварка в рамках
модели кваркониев с использованием краевых задач
Л/** и В/'0* 178
4.6 Выводы по 4 главе 179
Заключение 181
Литература 183
Приложение I 207
Приложение II 218
Приложение Ш 225
Приложение IV 244
Введение к работе
Актуальность исследования.
В течение последних десятилетий внимание многих авторов привлекали краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной. Трудность построения асимптотических разложений решений таких задач в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если положить значение малого параметра равным нулю, то порядок уравнений понижается и решения упрощенных таким образом уравнений не могут удовлетворить всем дополнительным краевым условиям, поставленным для исходных уравнений более высокого порядка. В связи с этой особенностью возмущения такого рода получили название сингулярных возмущений. А.Н.Тихоновым [138]-[141], А.Б.Васильевой [29]-[32], В.Ф. Буту-зовым [20]-[25], М.И.Вишиком, Л.А.Люстерником [33]-[35], С.А.Ломовым [87], Ю.А.Коняевым [90]-[94] и многими другими были разработаны и успешно применены методы решения для такого рода краевых задач.
При использовании разностных методов для решения сингулярно воз-мущеных краевых задач с целью достижения необходимой точности применяют специальные разностные схемы, учитывающие наличие пограничных слоев (для этих схем характерно использование очень малых шагов в области быстрого изменения решений). Существенный вклад в разработку таких схем внесли Н.С.Бахвалов [14], А.М.Ильин [64] - [75], Г.И.Шишкин [154] - [162], К.В.Емельянов [54]-[57], М.В.Алексеевский [1] и другие.
При этом численные и асимптотические методы дополняют друг друга. Например, асимптотические выражения удобно использовать в качестве нулевого приближения при численных расчетах на ЭВМ. Помимо этого, при использовании разностной схемы для численного решения дифференциальных уравнений асимптотические выражения позволяют судить о ее пригодности.
Одновременно с этим В.П.Масловым [111]-[117], А.О.Гельфондом
Введение
[39], Ю.А.Дубинским [45]- [50], М.А.Шубиным [163] и др. в рамках теории псевдодифференциальиых операторов глубокое развитие получил подход, связанный с обобщением теории линейных дифференциальных операторов на случай бесконечного порядка. В рамках этого подхода выбирался такой способ обобщения, который сохраняет свойства дифференциальных уравнений конечного порядка и возможность задания краевых условий.
Например, при изучении свойств связанных состояний элементарных частиц, в том случае, когда релятивистские эффекты вносят существенный вклад, более последовательным является применение квазипотеи-циальных уравнений, которые были получены при одновременной формулировке проблемы двух тел в квантовой теории поля [199]. Достоинство такого подхода — наряду с учетом релятивистских эффектов — близость к формализму нерелятивистской квантовой механики (в квазипотенциальных моделях сохраняется вероятностная интерпретация волновой функции).
Формализм, который сочетает в себе ковариантный подход, вероятностную интерпретацию волновой функции в духе квантовой механики и трехмерность, был разработан Логуновым А.А. и Тавхелидзе А.Н. [200], [201] при решении задачи взаимодействия двух релятивистских частиц и получил название квазипотенциального. В этом подходе волновая функция выступает как непосредственное обобщение нерелятивистской волновой функции, поскольку она зависит от одного временного аргумента и подчиняется уравнению типа Шредингера.
В этом направлении Кадышевским В.Г., Мир-Касимовым P.M., Матее-вым М.Д. и др. был получен релятивистский аналог уравнения Шредин-гера [190], [191], [192], представляющий собой дифференциальное уравнение бесконечного порядка, при этом уравнение для радиальной волновой функции имеет вид:
[Щай + У(г) - 2с^2 + т2с2]^оо(г) = 0, (0.1)
Щ- = 2тгch (*D) + *JS±« еХр (*D) = 0.2)
\тс J mr(r + ^) \mc J
Введение
, (2p)« U J ^ + mr(r + A) „I UcJ U' U - d /dr '
где m, 7 и I — масса, импульс и момент связанных частиц, a V(r) — потенциал.
В этом уравнении содержатся малые параметры при старших производных, что позволяет отнести его к классу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.
Таким образом, в связи с развитием данного подхода возникла необходимость исследования краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений, так как с их помощью имеется возможность изучения релятивистских эффектов, относящихся к описанию связанных состояний двух релятивистских частиц (определение энергитических уровней, волновых функций и др. при заданном потенциале взаимодействия), в частности, при исследовании кваркониев (тяжелых мезонов, рассматриваемых как связанные состояния кварка и антикварка).
В связи с этим весьма актуальным представляется разработка методов решения краевых задач на отрезке и на полупрямой для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера с потенциалом достаточно общего вида (к сожалению, в большинстве работ, посвященных этой проблеме, исследования проводилось лишь для ограниченного числа потенциалов: ЯФ, т.9, вып.З, с.646, 1969; ЭЧАЯ, т.2, с-637, 1972; ЯФ, т.31, вып.5, с.1332, 1980; ТМФ, т.53, 1, с.32, 1982; ТМФ, т.54, 3, с.406, 1983; ТМФ, т.55, 1, с.26, 1983; ТМФ, т.55, 2, с.236, 1983) для поиска собственных функций и собственных значений с применением асимптотических методов, а также построение разностных схем для получения численных решений этих задач и их реализации в виде удобного в обращении пакета программ.
Объект и предмет исследования. Как уже отмечалось, квазипотенциальный метод обладает рядом преимуществ среди различных подходов к релятивистской проблеме двух тел. Одним из главных досто-
Введение
инств этого формализма является трехмерность квазипотенциальных уравнений, что позволяет использовать привычные представления и методы нерелятивистской квантовой механики.
Релятивистский аналог уравнение Шредингера в этом пространстве является дифференциально-разностным уравнением с шагом, пропорциональным комптоновской длине волны частицы A = h/mc (в системе единиц h = 1,с= 1,т = 1 комптоновская длина А = 1):
[Но - 2Eq + ^(г)]Ф„(г) = 0 (0.3)
Здесь г = гп - релятивистский аналог относительного радиус-вектора. Свободный гамильтониан Hq имеет вид
Н0 = 2chi^ + "shi^ - ==^e% (0.4)
д 2г д ASlfi -я
,— + — shi— ^-'»-
ог г or
1 д ( . лд\ Ід ,п еЛ
sin 6 дв \ дер J sin^vdtp1 угловая часть оператора Лапласа.
Релятивистскую энергию Ея иногда удобно параметризовать следующим образом:
Eq = Jl+q2=chxq. (0.6)
Волновая функция Ф?(г) в силу сферической симметрии потенциала V(r) может быть представлена в виде разложения по парциальным
волнам
Ф*(г) = - (Я + 1) г^осДг, Xq) Pi (—) , (0.7)
грҐ0 \pr J
где фоо,і{г, Xq) — радиальная часть волновой функции Фд(г) , а функции Pi(cos9), при cos в — Ер являются полиномами Лежандра и определяются формулой
Релятивистский аналог уравнения Шредингера для радиальной волновой функции фоо,і{г) имеет вид [190]:
[ЩҐ + V(t) - 2Eq] ф^{т) = 0, (0.9)
*
Введение
где Ща<і - радиальная часть свободного гамильтониана
/d\ /(/ + 1) w . ,„,„.
г— +-7 4егз?. (0.10)
V с/г/ г(г + г) v }
ты *.,ґ..*\ Ф + 1) л4
НЇЇГ = 2ск
Если вернуться к размерным величинам, тогда
Л = /i/mc, (0.11)
Еч = 7^4~jT^ = mcx 1 + -4-ї. (0.12)
откуда
[ЩЦ* + V(r) - 2C^2 + m2c2]^(r) = 0, (0.13)
#rf = 2mc2 сЛ —> + / ' ежр —I? = (0.14)
0,/ Vroc У mr(r +^) y \mc J v ;
_ « (-1JPW / M* ^ fta/(/ + l) « J./jft\'
", ftO« W +mr(r + )hAmc)D> ^
где m,qnl — масса, импульс и момент связанных элементарных частиц. Если в этом уравнении формально устремить величину скорости света к бесконечности (с —> со), то это уравнение переходит в нерелятивистское уравнение Шредингера [58]
Н*+^+v«-&*<>=- с"»)
Пусть далее є = h/mc, тогда уравнение (0.13) можно переписать в виде:
?(^/l + (eV/ft2)- ЦДОооДг.е) = 0. (0.17)
Это дифференциальное уравнение бесконечного порядка с малым параметром (є « 1) при старших производных и поэтому его можно отнести к классу сингулярно возмущенных уравнений.
Введение
Для удобства перейдем к системе единиц, в которой ft ~ 1, т — 1, тогда
e = i ^ = ^ + ^,, «(г) = П>-), (0.18)
Пусть
1 СО ІР Ґ lb г\ 7"Р
Г~Ц У ^ l'—) = S У^(r-1 &,соД (0.20)
тогда для дальнейшего анализа уравнение (0.17) можно переписать в виде
p=i \Щ- Т Р=оР-
+ М0-Ае1оо)№оо,ї = 0) (0-21)
или, вводя линейный самосопряженный оператор бесконечного порядка
J#UW»,i М) = ^уп-^"2^2р^)0оДг))+
уравнение (0.17) можно записать следующим образом:
Щ(ФеМг)) - А,оо Фе,оо,і(г) = 0. (0.23)
Далее будет предполагаться, что потенциал v(г) является функцией вида
v(r) = v-ir"1 + v{r), (0.23а)
где функция v(r) является аналитической на полупрямой v(r) Є С[0, +оо), т.е. для каждой точки г Є [0, +со) функция v(r) пред-ставима в виде сходящегося степенного ряда v(r) = ^oas(r ~ ^У Б некоторой окрестности точки г.
Введение
Для уравнения (0.23) можно сформулировать краевую задачу для поиска собственных функций [^^(г, ег)]^0 и собственных значений
[^-,00,7^0 на 0ТрЄЗКЄ [О, Г0]
[^-^,001^,00,((0 = 0, (0.24)
) = Фе^Ы = 0, (0.25)
jD4wi(0) = 0,3 = 1,2,... (0.26)
Я%]ОО;(га) = 0, s = l,2,... (0.27)
и на полупрямой [0, +оо)
( - \^o] ^.ооДг) = 0, (0.28)
^,ооЛ0) = &,ооЛ+) = 0, (0.31)
^4,^(0)=0,4 = 1,2,... (0.29)
Л'4<ооЛ+) = 0, s = 1,2,... (0.30)
где ilq и ъга — натуральные числа, причем
О < г[ < 4 < 4 < - , 0 < г\ < %\ < ij <
Перейдем в уравнении (0.23) от оператора бесконечного порядка Z^ к оператору конечного порядка L^m (2т » 1), при условии, что старшая производная при е2т~2 не будет превышать порядка 2т. В этом случае получим
[Щ - А,2пг] Фс,2тЛг) = 0, (0.31)
Щ(Ф,2тЛг)) = -^^^(fe^R
=1 (2р)!
1(1 4- її 2т~2 ?'Р
4 J V^P<r"Ve,an,i) + «W^,2m^ (0.32)
2m-2
^(fe^(O)=4(fem,0 + ЄР1р(Фе,2тА (0.33)
(-i)M+1
(P + 2)!
4Wfe,am,o = [i+(-і)т,я!0„ вр+2(^,2тп,о+
Введение
+^^^-^,2^), (0.34)
4(fem,/) = [С1 + у{г)]фє,2т,ь (0.35)
» = _і)2 + Уі+1) (0.36)
где L^ (m = 2,3,...) и І2 — линейные самосопряженные операторы конечного порядка.
Постановка задачи исследования. Для дифференциального уравнения (0.31) для поиска собственных функций fo^m,/,?^)]^ и собственных значений [K,2m,j]^Lo сформулируем краевую задачу Af71,1 на отрезке [0,го]
[Ц!* - Aef2m]^l2m,i(r) = 0, (0.37)
Фє,2тЛУ = ФєїтЛго) = 0, (0.38)
Dtyeflm,i(Qt I) = 0, q = 1,2,..., m - 1 (0.39)
1>%,2т,/(г0,I) = 0, s = 1,2,..., m - 1 (0.40)
0 < ІІ < 4 < 4 < < 4,-1» < *1 < *2 < «3 < < *m-l. (-41)
и краевую задачу Б^т,і на полупрямой [0, +оо)
[Щ - Х,2т]Фе,2т,і(г) = 0, (0.42)
Фе,2шЛ) = fem,K+o) = 0, (0.43)
пЦ^2т^ і) = 0, g = 1,2,..., т - 1 (0.44)
і?і:^е,2тЛ+<») = 0, в = 1,2,..., т - 1 (0.45)
0 < 4 < 4 < 4 < < 4-1» < *ї < *2 < «З < < *т-1- (-46)
Если в уравнении (0.31) положить = 0, то для поиска собственных функций [^оЛтіт^о и собственных значений [Ло,7]^0 получим вырожденную задачу Aqj на отрезке [0, r*o]
[4 - Ao]Uy W - 0, (0.47)
ФоМ = ф0,і{г0) = 0, (0.48)
Введение
и вырожденную задачу Ду на полупрямой [0, +оо)
Й-ШуИ=0. (0-49)
0оДО, I) = ^о,/(Н-оо, I) = О, (0.50)
4 = -^ + iM + ,(r). (0.51)
В связи с этим возникает вопрос о поведении собственных функций [Фе,2т,1,-у]?Lo и собственных значений [\Єі2тл]=о задач Af71'1 и Вет>1: во-первых, при устремлении малого параметра к нулю (є —> 0) при фиксированном порядке 2т оператора Z^m) во-вторых, при возрастании порядка 2т и фиксированном є.
Цель работы. Целью диссертационной работы является:
постановка краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0,4-со), построениие усеченного сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера порядка 2т и формулировка для него краевых задач на отрезке [0, г о] и на полупрямой [0, +оо) для поиска собственных функций и собственных значений, построение асимптотических решений для этих краевых задач;
исследование поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2т усеченного уравнения;
построение разностных схем с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с заданной точностью и создание пакета программ их вычислительной реализации;
для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторно-го, кулоновского и центробежного) построение асимптотических приближений решений краевых задач, а также получение численных решений этих задач с использованием разностной схемы с переменным шагом; сравнение соответствующих асимптотически приближенных решений с
Введение
решениями, полученными численно; численное исследование энергетического спектра и волновых функий связанных состояний кварка и антикварка (gq) в рамках потенциальной модели кваркониев для случая чармония (ее) и боттомия (ЬЬ) с использованием следующих феноменологических потенциалов и потенциалов квантовой хромодинамики: 1) Квигга, Рознера; 2) корнеллского; 3) Бхано, Рудаза; 4) Ричардсона; 5) Фоглемана.
Методы исследования. Для решения поставленных выше задач в данной работе применяется достаточно большой набор математических методов.
Для исследования этих задач наиболее последовательным является применение асимптотических методов теории сингулярных возмущений [29]-[35] , а также численных методов [14], [154]-[162], которые позволяют дополнить асимптотические методы.
Помимо этого для исследования поведения решений задач Af'1 и Qim,i ПрИ возрастании порядка 2т уравнения (0.31) привлекаются методы из спектральной теории линейных операторов [163].
В Приложении I приведен более подробный обзор литературы по существующим методам исследования поставленных в данной работе задач.
Научная новизна работы и значимость ее результатов.
На основе методов теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений построены асимптотические приближения решений краевых задач А^т'1 и В^т'1 с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0,го] и на полупрямой [0,+оо), а также приведена оценка погрешности этих асимптотических приближений. Предложенный алгоритм позволяет построить асимптотическое приближение решений собственных функций [Фе,2т,1/у(г)]у^о и собственных значений [Ае,2т,7]^о Д Л1бого порядка Є.
Предложен метод оценки поведения собственных функций
[Фє$т,іл(г)]=о и собственных значений [Ае,2т,7]^
о при возрастании
порядка 2т уравнения (0.31) для краевых задач Af71'1 и В^т'1.
Введение
Построена разностная схема для поиска численного решения краевых задач Л^'0 , А^' и В^ , Вр на основе метода сгущающихся сеток для достижения равномерной по малому параметру є сходимости. Показано, что эта разностная схема для рассматриваемых задач сходится равномерно относительно малого параметра є на рассматриваемой неравномерной сетке.
Было написано программное обеспечение, которое позволяет при задании конкретного вида потенциала v{r) численно находить собственные функции [Фє,р,о^(г)]т=о и собственные значения [Л,р,7]^о краевых задач А%' и В^ (р = 4,6).
На основе полученных результатов были найдены асимптотические решения краевых задач Af71'1 и В^т'1 и численные решения краевых задач Л' и В^ (р — 4,6) для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. квантомеханических потенциалов v(r). Показана сходимость решений задач А^т'1 и В^'1 к соответствующим решениям задач Ao}i и Вщ для уравнения Шредингера при є — 0 при фиксированном 2т. На основе краевых задач В^* [р = 4,6) численно найден спектр и волновые функии связанных состояний кварка и антикварка в случае чармония и боттомия в рамках модели квар-кониев на основе использования упомянутых выше потенциалов и исследовано поведение решений при є —> 0.
Научная и практическая значимость результатов.
Предложенное методы решения краевых задач А^т'1 и В^т'1 позволяют, используя методы теории сингулярных возмущений или численные методы, построить асимптотические или найти численные решения данных задач и исследовать поведение этих решений при устремлении малого параметра к нулю (є —> 0) при фиксированном порядке 2т сингулярно возмущенного уравнения (0.31), а таклсе при возрастании порядка 2т и фиксированном є.
Исследование погрешности асимптотических приближений решений краевых задач Alm,t и В^'1, а также оценка их погрешности при исполь-
Введение
зовании численных методов дает возможность оценить точность получаемых результатов.
Асимптотические и численные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач Af*1,1 и B^m,t для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. потенциалов позволяют показать сходимость сингулярно возмущенных решений к соответствующим решениям уравнения Шредингера при є —> 0 при фиксированном порядке 2т сингулярно возмущенного уравнения и оценить поведение сингулярно возмущенных решений при возрастании порядка 2т уравнения (0.31) и фиксированном малом параметре є.
Написанное программное обеспечение позволяет численно находить собственные функции [^е^д7(г)]??-0 (как в виде числового массива, так и в виде графика) и собственные значения [АЄ)/,)7]??.0 (в виде числового массива) краевых задач А?'0 и В^ (р = 4, 6) при задании конкретного вида потенциала v(r). Это программное обеспечение может быть использовано при исследовании в рамках релятивистских потенциальных моделей с использованием различных феноменологических потенциалов для поиска спектра масс мезонов и для поиска их волновых функций.
Автор защищает:
алгоритм построения асимптотических решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0,+оо) и способ оценки погрешности асимптотических приближений решений этих задач;
метод оценки поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2т сингулярно возмущенного аналога уравнения Шредингера;
разработку разностной схемы с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач;
метод поиска асимптотических и численных решений краевых задач для различных квантомеханических потенциалов v(г) (осцилляторного, кулонов ского и центробежного);
5. метод численного поиска энергетического спектра и волновых
Введение
функций связанных состояний кварка и антикварка в рамках модели _кваркониев для случая чармония и боттомия с использованием различных феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромо-динамики.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах Лаборатории Информационных Технологий ОИЯИ (г. Дубна) в мае 1999 г., Лаборатории Вычислительной Физики и Математического Моделирования Российского Университета Дружбы Народов в апреле 2000 г. и в марте 2003 г., на семинарах кафедры математики физического факультета Московского Государственного Университета в марте 1998 г. и апреле 2002 г. и кафедры математического моделирования Московского Энергитического Института в октябре 2000 г., а также на следующих конференциях:
"XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 24-28 мая, 1999 г.;
"XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 22-26 мая, 2001 г.;
"XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 14-17 мая, 2002 г.;
и международной конференции "Computational Modelling and Computing in Physics", Dubna, Russia, September, 16-21, 1996.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [2]-[7] в виде статей в журналах "Дифференциальные уравнения", "Математическое моделирование", в материалах международной конференции "Computational Modelling and Computing in Physics", тезисов конференций, препринтах ОИЯИ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 225 наименований, 4 приложений. Работа содержит 254 страниц, 8 таблиц, 34 графиков.
Введение
Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ ОИЯИ г. Дубны, Московской обл., внес определяющий вклад в следующее:
в поиск решений краевых задач Af71'1 и В^т'1, связанных с построением асимптотических приближений собственных функций и собственных значений;
в разработку метода оценки поведения решений краевых задач Af71'1 и В^т'1 при возрастании порядка 2т уравнения (0.31);
в разработку разностной схемы для поиска численного решения краевых задач Af, Af и В*>, G';
