Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О некоторых моделях двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей 16
1.1 Модель Маскета-Леверетта 16
1.2 Неизотермическая модель Маскета-Леверетта в физических и автомодельных переменных 21
1.3 Модель фильтрации с функциями фазовых подвижностей 25
Глава II. Разностные методы решения задач изотермической двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей 27
2.1 Сравнительный анализ разностных схем для моделей фильтрации 27
2.2 Многопараметрическое тестирование разностных схем 40
2.3 Описание алгоритма построения точных решений для уравнения Баклея-Леверетта, примеры точных решений 43
2.4 Тестирование разностных схем на точных решениях для уравнения Баклея-Леверетта 49
2.5 Сравнение численных решений модели Маскета-Леверетта с решениями по модели с функциями фазовых подвижностей 51
Глава III. Численное исследование одномерных задач неизотермической двухфазной фильтрации 59
3.1 Анализ решений задачи вытеснения 59
3.2 Исследование неизотермических течений с учетом гравитации 64
3.3 Моделирование гравитационной ловушки 69
3.4 Моделирование противоточной термопропитки 73
Глава IV. Численное исследование сопряжения различных моделей фильтрации несмешивающихся жидкостей 82
4.1 Постановка задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта, в физических переменных 82
4.2 Решение одномерной задачи сопряжения с заменой искомой переменной 84
4.3 Решение задачи сопряжения без замены искомой функции 95
4.4 Исследование задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в неизотермическом случае 102
4.5 Сопряжение различных моделей фильтрации в автомодельных переменных 106
4.6 Пример численного решения двумерной задачи сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта 112
Заключение 118
Список литературы 119
- Неизотермическая модель Маскета-Леверетта в физических и автомодельных переменных
- Описание алгоритма построения точных решений для уравнения Баклея-Леверетта, примеры точных решений
- Исследование неизотермических течений с учетом гравитации
- Сопряжение различных моделей фильтрации в автомодельных переменных
Введение к работе
Целью математического моделирования является определение оптимальных условий протекания процесса, управление на основе математической модели и выработка управляющих решений. В связи с этим построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса. В подземной гидродинамике математическое моделирование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано с дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством параметров, которые влияют на их результаты. Совместная фильтрация несмешивающихся жидкостей является важным разделом подземной гидродинамики. В настоящее время в связи с широким применением ЭВМ сложилась вполне определенная "технологическая цепочка" расчета конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления - к его математической модели, далее, - к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ и, наконец, к анализу полученных результатов.
Данная диссертационная работа посвящена численному исследованию и сравнению решений различных моделей двухфазной фильтрации, а также приводится сравнение с экспериментами.
Первоначальная постановка задачи вытеснения нефти водой в работе Л.С.Лейбензона предполагала полное вытеснение нефти [57]. Эта "поршневая" модель применяется и в настоящее время. Однако многочисленные позднейшие исследования показали, что вода не вытесняет нефть полностью и происходит образование большой зоны, где движутся совместно обе фазы.
В диссертации рассматриваются модели фильтрации, в которых в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси, кроме того они включают законы сохранения массы уравнения состояния. Одной из самых распространенных моделей этого типа является модель Баклея-Леверетта (далее БЛ-модель), предполагающая равенство фазовых давлений. Эта модель, предложенная Бакли и Леве-реттом в [112], подробно изучалась в работах А.Н.Коновалова, Б.И.Леви, З.Узакова, И.А.Чарного, М.И.Швидлера и многих других [44, 74, 86, 97, 101, 109]. Уравнение для насыщенности порового пространства какой-либо фазой в БЛ модели является нелинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Для этого уравнения характерно наличие
разрывов в решении. Так как почти единственным способом получения прогнозной информации являются численные методы, в частности использующие различные разностные схемы. Возникает проблема отбора схем, хорошо передающих качества решения. Разностные схемы для БЛ модели анализировались, например, в работах А.Б.Королева, Ю.П.Крупнова, Б.И.Леви, А.Н.Сычева, В.Б.Таранчука, Б.В.Шалимова, М.И.Швидлера и других [34, 46, 49, 48, 54, 55, 98].
Однако к настоящему времени появились новые принципы построения разностных схем и методов их анализа [33, 52, 71, 72, 73, 76, 78, 115, 116, 118]. Развиваются эти подходы, как правило для уравнений газовой динамики, "мелкой воды" и их модельных одномерных аналогов вида: %+ilte = О» где f(u) = 0.5tt2 - вогнута. Развитие численных методов подземной гидродинамики традиционно шло вслед за вышеуказанными разделами вычислительной механики, с учетом той особенности, что в задачах двухфазной фильтрации f(u) не является ни выпуклой, ни вогнутой.
В данной работе проводится сравнение результатов применения некоторых классических разностных схем и их модификаций к решению задач фильтрации с учетом современного уровня численного анализа. Кроме метода Рунге для сравнения разностных схем строится ряд нетрадиционных точных решений.
Другой распространенной моделью фильтрации является модель Маскета-Леверетта (МЛ модель) в этой модели, в отличии от модели Баклея-Леверетта учитываются капиллярные силы, и в систему уравнений добавляется закон Лапласа. МЛ-модель интенсивно исследовалась такими учеными как С.Н.Антонцев [8], Г.И.Баренблатт [11], О.Б.Бочаров [16], В.М.Ентов [35], Н.В.Зубов [40, 41], А.Н.Коновалов [44, 45], С.Н.Кружков [47], В.Н.Монахов [4, 38, 39], А.А.Папин [7], З.Узаков [86, 96, 97], Н.В.Хуснутдинова [9, 65, 99, 100], М.И.Швидлер [56, 109] и многими другими [1, 43, 50, 51, 56, 59, 60, 66, 82, 87, 103, 109, 110, 111, 113, 114, 117].
В МЛ модели возможен богатый набор комбинаций искомых функций [44]. Наиболее удачные искомые функции для исследования качественных свойств модели вероятно предложили С.Н.Антонцев и В.Н.Монахов [5] (s - водонасыщенность, р - эффективное давление).
Уравнение для насыщенности в МЛ-модели является квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемостей в нуль, как показывают исследования приведенные в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова В.Н.Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке гранич-
ных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А.Н.Коноваловым в [44].
Эти сложности затрудняют создание эффективных тестов для численных алгоритмов и точных решений. В данной работе предлагается оригинальная методика создания тестов для МЛ-модели. Отметим, что эта методика может быть использована и для других моделей фильтрации, например для БЛ-модели или же для уравнения пропитки (МЛ модель без конвективного переноса).
Оставаясь в рамках линейной связи скорости фильтрации с градиентом давления, в работе С.Н.Антонцева и В.Н.Монахова [6] была предложена весьма общая форма обобщенного закона Дарси, учитывающая присутствие другой фазы еще и дополнительным слагаемым, названным относительной фазовой подвижностью далее просто фазовой подвижностью. Этот подход был реализован в работе З.Узакова [96] путем введения в законы Дарси для каждой фазы специальных функций фазовой подвижности, призванных отражать потерю скорости фазы за счет запирания части порового пространства другой фазой. В результате такой постановки получается невырождающееся параболическое уравнение для насыщенности. Для удобства изложения эта модель называется ниже моделью с фазовыми подвижностями (ФП-модель).
В данной диссертационной работе проводится подробное сравнение решений для ФП и МЛ моделей. Приводятся графики сравнения численных решений по этим моделям, а также проводится сравнение с экспериментами.
Наиболее применяемыми и подготовленными в технологическом отношении методами разработки месторождений высоковязких и парафини-стых нефтей, а также истощенных участков месторождений легких (маловязких) нефтей, являются тепловые методы. Термическое воздействие на пласт основано на резком снижении вязкости нефти при нагреве и, тем самым, на увеличении ее подвижности, а для парафинистых нефтей дополнительно и на предотвращении процесса кристаллизации парафина в порах.
Имеются две основные термические технологии: паротепловое вытеснение (ПТВ) нефти путем закачки теплоносителя (пара или горячей воды) через нагнетательные скважины и паротепловая обработка добывающих скважин (ПТОС). Разновидностями этих технологий являются циклические закачки теплоносителя и холодного агента (воды) в нагнетательные или добывающие скважины с возможными остановками некоторых из них (паузами), а также комбинации этих методов, в частности, смена назначе-
ния скважин с режима добывающих на нагнетательные и наоборот.
При реализации термических технологий возникают различные гидродинамические схемы вытеснения нефти из пласта: однонаправленное вытеснение в системе нагнетательная - добывающая скважины с чередованием прогрева и охлаждения участков пласта; термокапиллярная пропитка при остановках скважин; обтекание застойных зон (целиков) нефти и др. Поэтому реальный прогноз результатов применения сложных термических технологий нефтедобычи с помощью только инженерных расчетов (например, на основе балансовых соотношений или статистики) является практически невозможным и требует применения современных методов математического моделирования. Этому посвящены работы М.Г.Алишаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка [3], В.Я.Булыгина [32], Э.Б.Чекалюка [102], Л.И.Рубинштейна [77], и других [104, 105, 106, 107, 108]. Естественно при этом в систему уравнений добавляется уравнение энергии и изменяется уравнение для насыщенности. Зачастую эти модели требуют экспериментального определения параметров смесей, что крайне сложно. Они сложны для качественных исследований и, как следствие, это вызывает сложности при конструировании численных методов для них.
Для преодоления этих недостатков О.Б.Бочаровым и В.Н.Монаховым в работе [17] была построена более простая модель неизотермической двухфазной фильтрации, для которой удалось доказать разрешимость основной краевой задачи. Данная модель получила название температурная модель Маскета-Леверетта (МЛТ-модель). Главной гипотезой используемой при этом является положение о равенстве температуры нефти, воды и пористой среды. Это позволило создать модель, не требующую параметров кроме справочных, которая к тому же эффективно реализуется численно. Модель изучалась б автомодельных переменных как численно, так и аналитически [19, 21, 22, 61, 63, 68, 69, 70]. В данной диссертационной работе численно анализируется задачи вытеснения для одномерного случая в физических переменных. Кроме того, исследуется влияние учета гравитационных эффектов.
В случае когда капиллярные силы незначительны, а температура оказывает воздействие, через вязкости фаз, имеет смысл говорить о температурной модели Баклея-Леверетта (БЛТ-модель). В работе исследуется как же температурное воздействие на капиллярные силы влияет на процесс вытеснения.
Применение математических моделей, таких как МЛТ-модель МЛ-модель, требует достаточно сложного математического аппарата. Особую ценность представляют подходы, использующие более простые и доступные для прак-
тического применения методы. Одним из таких подходов, до настоящего времени успешно применяемым на практике, является описание процесса вытеснения нефти в пласте с помощью приближенных формул, получаемых на основе точных решений уравнений исходной модели. К ним относятся стационарные решения, зависящие только от переменной х, автомодельные решения параболического типа, зависящие от = x(t + I)1/2, типа бегущей волны, зависящие от z = x+ct (с = const), и некоторые другие решения. Простые формулы М.Маскета (законы вытеснения), И.А.Чарного (зоны влияния скважин) и другие [101], построенные на основе параболической автомодельности, до сих пор служат надежным инструментом инженерного анализа разработки нефтяных месторождений изотермическими методами.
Автомодельные решения используются для:
исследования свойств решений в исходных переменных;
в некоторых случаях, как рабочий инструмент для прогнозных оценок;
предварительного численного или аналитического изучения особенностей исходных уравнений;
ассимптотического представления решений весьма широких классов задач;
как тесты при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений;
сами по себе автомодельные решения представляют самостоятельный интерес, как специальные решения исходных уравнений.
Модель Маскета-Леверетта рассматривалась в автомодельных переменными такими учеными как Г.И.Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик [11, 79, 80], А.В.Кажихов [42], Н.В.Хуснутдинова [99] и другими [35, 75, 83]. МЛТ-модель в автомодельных переменных изучалась численно и аналитически О.Б.Бочаровым, В.Н.Монаховым и А.Е.Осокиным [17, 20, 22, 39, 58, 61, 63, 67, 68, 69, 70].
При определенных условиях капиллярные силы в МЛ-модели играют значительную роль, а в некоторых случаях роль капиллярных эффектов является определяющей. В первую очередь это процесс капиллярного впитывания смачивающей жидкости в пористые среды, насыщенные несмачи-вающей жидкостью или газом. Явление это, называемое обычно капиллярной пропиткой, помимо своей важности для технологии добычи нефти и
газа, имеет определенное значение и для почвоведения, некоторых процессов химической технологии и т.д. Процессы капиллярной пропитки изучались в работах А.А.Боксермана, В.М.Ентова, В.М.Рыжика, И.А.Чарного и других [10, 13, 36, 37, 79, 80, 83,109]. В работе О.Б.Бочарова и А.Е.Осокина [20] исследован режим термокапиллярной пропитки в автомодельных переменных в случае закачки горячей воды. В данной диссертационной работе численно исследуется ряд задач пропитки для одномерного случая.
Одной из особенностей МЛ-модели является то, что естественные граничные условия для нее являются плохо обусловленными за счет обращения в ноль функций относительных фазовых проницаемостей (градиенты решения в окрестности границы становятся бесконечно большими), это исследовано А.Н.Коноваловым в [44]. В работе О.Б.Бочарова [14] в качестве граничного условия на эксплутационной скважине рассмотрено уравнение модели Баклея-Леверетта. В.Н.Монаховым в работах [39, 62] предложено применять Б Л модель в окрестности эксплутационной скважины. В итоге возникает задача сопряжения МЛ и БЛ моделей, разрешимость которой в одномерном случае доказана в [62]. Другим примером возникновения задачи сопряжения МЛ и БЛ моделей является появление сильно обводненной части нефтяного пласта. В этом случае считается, что капиллярные силы оказывают слабое влияние на процесс фильтрации. Это позволяет в этой области использовать БЛ-модель. Отметим также, что расчет задачи сопряжения несколько экономит процессорное время (так как БЛ-модель считается существенно быстрее). В работе численно исследуются примеры сопряжения этих моделей фильтрации, в физических переменных, автомодельных, в неизотермическом и изотермическом случаях. Отметим, что впервые подобная задача о сопряжении ортогональных потоков величины s(x,t) применительно к уравнениям пограничного слоя изучена в [65].
Цель работы. Численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, изотермической модели с относительными фазовыми подвижностями, задач сопряжения моделей фильтрации разного порядка сложности. Построение тестовых решений и тестирование на них модифицированных разностных схем.
Автором представляются к защите результаты исследований влияния температурного поля на гидродинамические показатели процесса вытеснения, результаты исследований задач сопряжения различных моделей, результаты исследования разностных схем.
Научная новизна.Численными методами исследованы задачи изотермической и неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в физических переменных и задачи сопряжения различных моделей фильтрации
в автомодельных и физических переменных с учетом и без учета температурного влияния.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в возможности использования полученных результатов для повышения продуктивности разработки пластов с высоковязкими нефтями, а также для улучшения методов прогнозирования различных показателей нефтедобычи. Использование модифицированных разностных схем позволяет улучшить качество получаемых численных решений.
Достоверность научных положений изложенных в диссертации, обосновывается соответствием рассматриваемых моделей фундаментальным законам сохранения, а также соответствием полученных численных решений результатам расчетов и экспериментов уже исследованных ранее задач, которые представляли из себя частные случаи рассматриваемых моделей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
37, 38, 40 и 41 Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999, 2000, 2002, 2003);
I Международной студенческой научно-практической конференции "Молодежь и наука на пороге 21 века" (Красноярск, 2000);
Научно-практических конференциях преподавателей и студентов Горно-Алтайского государственного университета (Горно-Алтайск, 2000 - 2005);
Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002);
Второй Всероссийской конференции молодых ученых "Материаловедение, технологии, и экология в третьем тысячелетии" (Томск, 2003);
Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004);
Конференции-конкурсе молодых ученых Института Водных и экологических проблем СО РАН (Барнаул, 2004);
на семинаре лаборатории моделирования гидрофизических и экологических процессов ИВЭП СО РАН (Новосибирск, 2005);
на семинаре кафедры прикладной информатики ГАГУ (Горно-Алтайск, 2005);
на объединенном семинаре ИВТ СО РАН и НГУ "Информационно-вычислительные технологии" (Новосибирск, 2005);
на семинаре лаборатории фильтрации Института Гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2005);
На защиту выносятся следующие результаты:
Результаты численного моделирования задач неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды.
Результаты исследований в изотермическом случае разностных схем, точных и тестовых решений.
Результаты решения задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных при разных температурных условиях.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 111 рисунков, 7 таблиц, библиографии - 118 наименований. Общий объем диссертации - 127 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, общий объем 29 п.л., в том числе личный вклад 15.5 п.л.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Неизотермическая модель Маскета-Леверетта в физических и автомодельных переменных
Целью математического моделирования является определение оптимальных условий протекания процесса, управление на основе математической модели и выработка управляющих решений. В связи с этим построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса. В подземной гидродинамике математическое моделирование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано с дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством параметров, которые влияют на их результаты. Совместная фильтрация несмешивающихся жидкостей является важным разделом подземной гидродинамики. В настоящее время в связи с широким применением ЭВМ сложилась вполне определенная "технологическая цепочка" расчета конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления - к его математической модели, далее, - к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ и, наконец, к анализу полученных результатов.
Данная диссертационная работа посвящена численному исследованию и сравнению решений различных моделей двухфазной фильтрации, а также приводится сравнение с экспериментами.
Первоначальная постановка задачи вытеснения нефти водой в работе Л.С.Лейбензона предполагала полное вытеснение нефти [57]. Эта "поршневая" модель применяется и в настоящее время. Однако многочисленные позднейшие исследования показали, что вода не вытесняет нефть полностью и происходит образование большой зоны, где движутся совместно обе фазы.
В диссертации рассматриваются модели фильтрации, в которых в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси, кроме того они включают законы сохранения массы уравнения состояния. Одной из самых распространенных моделей этого типа является модель Баклея-Леверетта (далее БЛ-модель), предполагающая равенство фазовых давлений. Эта модель, предложенная Бакли и Леве-реттом в [112], подробно изучалась в работах А.Н.Коновалова, Б.И.Леви, З.Узакова, И.А.Чарного, М.И.Швидлера и многих других [44, 74, 86, 97, 101, 109]. Уравнение для насыщенности порового пространства какой-либо фазой в БЛ модели является нелинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Для этого уравнения характерно наличие разрывов в решении. Так как почти единственным способом получения прогнозной информации являются численные методы, в частности использующие различные разностные схемы. Возникает проблема отбора схем, хорошо передающих качества решения. Разностные схемы для БЛ модели анализировались, например, в работах А.Б.Королева, Ю.П.Крупнова, Б.И.Леви, А.Н.Сычева, В.Б.Таранчука, Б.В.Шалимова, М.И.Швидлера и других [34, 46, 49, 48, 54, 55, 98].
Однако к настоящему времени появились новые принципы построения разностных схем и методов их анализа [33, 52, 71, 72, 73, 76, 78, 115, 116, 118]. Развиваются эти подходы, как правило для уравнений газовой динамики, "мелкой воды" и их модельных одномерных аналогов вида: %+ilte = О» где f(u) = 0.5tt2 - вогнута. Развитие численных методов подземной гидродинамики традиционно шло вслед за вышеуказанными разделами вычислительной механики, с учетом той особенности, что в задачах двухфазной фильтрации f(u) не является ни выпуклой, ни вогнутой.
В данной работе проводится сравнение результатов применения некоторых классических разностных схем и их модификаций к решению задач фильтрации с учетом современного уровня численного анализа. Кроме метода Рунге для сравнения разностных схем строится ряд нетрадиционных точных решений.
Другой распространенной моделью фильтрации является модель Маскета-Леверетта (МЛ модель) в этой модели, в отличии от модели Баклея-Леверетта учитываются капиллярные силы, и в систему уравнений добавляется закон Лапласа. МЛ-модель интенсивно исследовалась такими учеными как С.Н.Антонцев [8], Г.И.Баренблатт [11], О.Б.Бочаров [16], В.М.Ентов [35], Н.В.Зубов [40, 41], А.Н.Коновалов [44, 45], С.Н.Кружков [47], В.Н.Монахов [4, 38, 39], А.А.Папин [7], З.Узаков [86, 96, 97], Н.В.Хуснутдинова [9, 65, 99, 100], М.И.Швидлер [56, 109] и многими другими [1, 43, 50, 51, 56, 59, 60, 66, 82, 87, 103, 109, 110, 111, 113, 114, 117].
В МЛ модели возможен богатый набор комбинаций искомых функций [44]. Наиболее удачные искомые функции для исследования качественных свойств модели вероятно предложили С.Н.Антонцев и В.Н.Монахов [5] (s - водонасыщенность, р - эффективное давление).
Уравнение для насыщенности в МЛ-модели является квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемостей в нуль, как показывают исследования приведенные в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова В.Н.Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке гранич ных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А.Н.Коноваловым в [44].
Эти сложности затрудняют создание эффективных тестов для численных алгоритмов и точных решений. В данной работе предлагается оригинальная методика создания тестов для МЛ-модели. Отметим, что эта методика может быть использована и для других моделей фильтрации, например для БЛ-модели или же для уравнения пропитки (МЛ модель без конвективного переноса).
Оставаясь в рамках линейной связи скорости фильтрации с градиентом давления, в работе С.Н.Антонцева и В.Н.Монахова [6] была предложена весьма общая форма обобщенного закона Дарси, учитывающая присутствие другой фазы еще и дополнительным слагаемым, названным относительной фазовой подвижностью далее просто фазовой подвижностью. Этот подход был реализован в работе З.Узакова [96] путем введения в законы Дарси для каждой фазы специальных функций фазовой подвижности, призванных отражать потерю скорости фазы за счет запирания части порового пространства другой фазой. В результате такой постановки получается невырождающееся параболическое уравнение для насыщенности. Для удобства изложения эта модель называется ниже моделью с фазовыми подвижностями (ФП-модель).
В данной диссертационной работе проводится подробное сравнение решений для ФП и МЛ моделей. Приводятся графики сравнения численных решений по этим моделям, а также проводится сравнение с экспериментами.
Описание алгоритма построения точных решений для уравнения Баклея-Леверетта, примеры точных решений
Автомодельные решения используются для: исследования свойств решений в исходных переменных; в некоторых случаях, как рабочий инструмент для прогнозных оценок; предварительного численного или аналитического изучения особенностей исходных уравнений; ассимптотического представления решений весьма широких классов задач; как тесты при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений; сами по себе автомодельные решения представляют самостоятельный интерес, как специальные решения исходных уравнений. Модель Маскета-Леверетта рассматривалась в автомодельных переменными такими учеными как Г.И.Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик [11, 79, 80], А.В.Кажихов [42], Н.В.Хуснутдинова [99] и другими [35, 75, 83]. МЛТ-модель в автомодельных переменных изучалась численно и аналитически О.Б.Бочаровым, В.Н.Монаховым и А.Е.Осокиным [17, 20, 22, 39, 58, 61, 63, 67, 68, 69, 70].
При определенных условиях капиллярные силы в МЛ-модели играют значительную роль, а в некоторых случаях роль капиллярных эффектов является определяющей. В первую очередь это процесс капиллярного впитывания смачивающей жидкости в пористые среды, насыщенные несмачи-вающей жидкостью или газом. Явление это, называемое обычно капиллярной пропиткой, помимо своей важности для технологии добычи нефти и газа, имеет определенное значение и для почвоведения, некоторых процессов химической технологии и т.д. Процессы капиллярной пропитки изучались в работах А.А.Боксермана, В.М.Ентова, В.М.Рыжика, И.А.Чарного и других [10, 13, 36, 37, 79, 80, 83,109]. В работе О.Б.Бочарова и А.Е.Осокина [20] исследован режим термокапиллярной пропитки в автомодельных переменных в случае закачки горячей воды. В данной диссертационной работе численно исследуется ряд задач пропитки для одномерного случая.
Одной из особенностей МЛ-модели является то, что естественные граничные условия для нее являются плохо обусловленными за счет обращения в ноль функций относительных фазовых проницаемостей (градиенты решения в окрестности границы становятся бесконечно большими), это исследовано А.Н.Коноваловым в [44]. В работе О.Б.Бочарова [14] в качестве граничного условия на эксплутационной скважине рассмотрено уравнение модели Баклея-Леверетта. В.Н.Монаховым в работах [39, 62] предложено применять Б Л модель в окрестности эксплутационной скважины. В итоге возникает задача сопряжения МЛ и БЛ моделей, разрешимость которой в одномерном случае доказана в [62]. Другим примером возникновения задачи сопряжения МЛ и БЛ моделей является появление сильно обводненной части нефтяного пласта. В этом случае считается, что капиллярные силы оказывают слабое влияние на процесс фильтрации. Это позволяет в этой области использовать БЛ-модель. Отметим также, что расчет задачи сопряжения несколько экономит процессорное время (так как БЛ-модель считается существенно быстрее). В работе численно исследуются примеры сопряжения этих моделей фильтрации, в физических переменных, автомодельных, в неизотермическом и изотермическом случаях. Отметим, что впервые подобная задача о сопряжении ортогональных потоков величины s(x,t) применительно к уравнениям пограничного слоя изучена в [65].
Цель работы. Численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, изотермической модели с относительными фазовыми подвижностями, задач сопряжения моделей фильтрации разного порядка сложности. Построение тестовых решений и тестирование на них модифицированных разностных схем.
Автором представляются к защите результаты исследований влияния температурного поля на гидродинамические показатели процесса вытеснения, результаты исследований задач сопряжения различных моделей, результаты исследования разностных схем.
Научная новизна.Численными методами исследованы задачи изотермической и неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в физических переменных и задачи сопряжения различных моделей фильтрации в автомодельных и физических переменных с учетом и без учета температурного влияния. Практическая ценность диссертационной работы заключается в возможности использования полученных результатов для повышения продуктивности разработки пластов с высоковязкими нефтями, а также для улучшения методов прогнозирования различных показателей нефтедобычи. Использование модифицированных разностных схем позволяет улучшить качество получаемых численных решений.
Достоверность научных положений изложенных в диссертации, обосновывается соответствием рассматриваемых моделей фундаментальным законам сохранения, а также соответствием полученных численных решений результатам расчетов и экспериментов уже исследованных ранее задач, которые представляли из себя частные случаи рассматриваемых моделей. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.
Исследование неизотермических течений с учетом гравитации
Ниже на рисунках ТОЛСТЫМИ линиями обозначены решения или характеристики относящиеся к задаче сопряжения, тонкими результаты контрольного счета по МЛТ модели во всей области fioi, тонкими линиями с кружками - профили температуры, пунктиром - линия сопряжения моделей.
Анализ численных решений задач сопряжения моделей неизотермической двухфазной фильтрации. В численных расчетах шаг рался равным 0.005 (N = 200), а г = 0.00025. В изотермическом случае разница между решениями по модели сопряжения и МЛ во всей области Qoi в норме С[0,1] при t = 4 была порядка 0.013, а максимальная разница зарегистрированная за все время счета была равна 0.16. Дисбаланс обводненности между моделями при t = 4 был равен 0.47%, а максимальный дисбаланс составил 1.20%.
Особенности решений задачи сопряжения (4-16)-(4-18) при вытеснении горячей водой. Закачка горячей воды моделировалась с помощью задания 6\ = 1 и #о — 0. Так в случае зависимости от температуры капиллярного давления через коэффициент поверхностного натяжения и краевой угол смачивания перед точкой перегиба профиля температуры образуется локальный максимум насыщенности, а за ней локальный минимум. Таким образом профиль водонасыщенности теряет монотонность, присущую изотермическому случаю, рисунок 4.21 при t = 0.25 (/ = 0.7, 7mm = 0.5, M2mm = 1)- В этом случае наличие области Q/i, то есть зоны действия БЛТ модели изменяет структуру решения для водонасыщенности в присква-жинной зоне при прохождении температурным фронтом линии сопряжения. Немонотонность профиля водонасыщенности в области 1 формирует немонотонный начальный профиль для БЛТ модели (гиперболическое уравнение). Локальные минимум и максимум сближаются в области f2ft m, формируется скачкообразное уменьшение водонасыщенности, рисунок 4.21 при t = 2.8. Переход от плавного уменьшения s(x,t) в Г2л к скачкообразному прослеживается и на рисунке 4.22, где приведены графики значений
В случае когда капиллярные силы не зависят от температуры, а имеет место зависимость от температуры только вязкостей фаз / немонотонность исчезает. В окрестности линии сопряжения возникает зона повышенной водонасыщенности, рисунок 4.23. Из рисунка видно, что БЛТ модель в окрестности эксплутационной скважины пытается сформировать скачок водонасыщенности. В данном случае при сопряжении МЛТ и БЛТ моделей имеют место те же особенности, что и в случае сопряжения МЛ и Б Л моделей, только несколько увеличивается обводненность в модели сопряжения. Так при jmin = 1, Д2тт = 0.2, I = 0.9 разница между решениями по модели сопряжения и МЛТ во всей области f oi в норме С[0,1] при t = 4 была порядка 0.021, а максимальная разница зарегистрированная за все время счета 0.16. Дисбаланс обводненности между моделями при t = 4 составил 1.02%, а максимальный дисбаланс был равен 2.22%.
Неизотермичность, слабо влияет на движения фронтов. При наличии перед температурным фронтом локального максимума происходит некоторое ускорение продвижения Xc(t) И Xf(t). Влияние размеров прискважинной зоны. Проводились расчеты с различными I и фиксированными 7mm — 0.5, А 2тт = 0.2. При I = 0.99 дисбаланс по обводненности между моделями в случае закачки горячей воды при времени t = 4 составил 0.07%, а максимальный дисбаланс был равен 0.37%. При закачке холодной воды соответственно 0.002% и 0.25%. При таком I различия в гидродинамических характеристиках незначительны и проявляются только в модуле градиента водонасыщенности на эксплуатационной скважине. при I = 0.95 дисбаланс по обводненности между моделями при t = 4 составил 0.35%, а максимальный дисбаланс был равен 1.80%. В случае закачки холодной воды соответственно 0.015% и 1.12%. при I = 0.8 дисбаланс по обводненности между моделями при t — 4 составил 1.37%, а максимальный дисбаланс был равен 6.27%, рисунок 4.24. В случае закачки холодной воды соответственно 0.05% и 3.36%. Максимальная разница между решениями в норме С[0,1] при малых Al = 1 — I (Al 0.05) была меньше 0.13, а при t = 4 порядка 0.01 (соответственно при закачке холодной воды 0.26 и 0.005). При больших Al максимальная разница между решениями имела порядок 0.19, а при t = 4 не превышала 0.03 (при закачке холодной воды 0.36 и 0.02). Проведенные расчеты показали, что при е( 0.01), Al 0.05 можно для получения численных решений использовать модель сопряжения (4.16) -(4.18), в противном случае лучше применять МЛТ модель.
Сопряжение различных моделей фильтрации в автомодельных переменных
Последнее возможно лишь при s(l) = 0. В противном случае будет иметь место скачок функции v и решение не будет обобщенным. Следовательно должно выполняться неравенство I ус и сопряжения фактически не делается. Решается только задача для Б Л модели.
B)ay=j = 0. Это возможно в том случае если оператор L2S не будет регуляризованным при s = 0 или s = 1. В первом случае приходим к уже рассмотренному пункту А). Во втором, приходим к решению первой краевой задачи для МЛ модели в автомодельных переменных, причем на левом конце s\y=i = 1, это возможно лишь при конечной скорости фронта s = 1. Данный вариант опять приводит к отсутствию сопряжения моделей. Фактически решается задача для МЛ модели. Отметим, что сопряжение МЛ и БЛ моделей приводит к подобному варианту (это связано с условием єару\у=і-о - 0). Этот случай интересен тем, что выполняются условия (4.21) и удается склеить одновременно s и v. Левое краевое условие в (4.22) переходит в s\y=i = 5/, Si определяется из решения для БЛ модели. В этом варианте точка склейки переходит в зону склейки и в решении s(y) появляется нефизичный скачок размазанный на ширину переходной зоны А/. На рисунке 4.25 изображено решение задачи сопряжения при є = 2.4, Al = 0.05, а = 1. Сравнение производилось с расчетом по БЛ модели на всем отрезке [0,1].
При несоблюдении условия [v] = 0 в (4.21) можно склеить s и левое условие можно задать в виде s(l) = 5/, но это приведет к разрыву v(y) и решение задачи сопряжения не будет обобщенным. Если же отказаться от условия [s] = 0, то краевое условие на левом конце для модели Маскета-Леверетта будет v\y=i = vi, где vi определяется из решения для БЛ. Решение (4.22) будет обобщенным, так как удается склеить v, но будет присутствовать нефизичный разрыв функции s(y) в точке сопряжения. Такое решение приведено на рисунке 4.26, сравнение производилось с расчетом по МЛ модели на всем отрезке [0,1]. Из вышерассмотренного можно сделать вывод, что в изотермическом случае нельзя, соблюдая физические условия, склеить одновременно s(y) и v[y) . Сопряжение неизотермических БЛ и МЛ моделей фильтрации в автомодельных переменных. Будем искать такие решения задачи сопряжения, для которых выполняется условие условие (4.21). Для определения местонахождения точки у = І хорошие результаты дал анализ графика капиллярного потока vc(y) = —єару. Точку склейки моделей можно располагать либо где vc = 0 либо в локальных минимумах этой функции. Для нахождения водонасыщенности, в случаях когда от температуры зависели вязкости фаз, использовался метод сквозного счета с разрывной функцией є (у), задаваемой формулой (4.23) с Al = 0. Вытеснение горячей водой. Когда закачивается горячая вода т.е. полагается 01 = 1, 0о = 0 и ui зависит от температуры, а у = 1. В этом случае перед температурным фронтом имеется отрезок выполаживания решения s(y) и помещая І в этот отрезок, можно получить решение задачи сопряжения (рис. 4.27). Это решение будет обобщенным за счет выполнения условия ру = —(jsysy 4- JleQy) = 0 (в районе выполаживания sy = 9У = 0). Так на рисунке 4.27 жирной линией указано решение задачи сопряжения тонкой линией решение по МЛТ модели на всем отрезке у Є [0,1] при є = 0.6, I — 0.13. Особенностью решений по модели сопряжения в этом случае является значительное усиление эффекта выполаживания и эффекта дополнительного фронта вытеснения (то есть на отрезке [0, /] нет капиллярных сил, сглаживающих эти эффекты). При увеличении є выполаживание исчезает и сопряжение моделей становится невозможным. Когда от температуры зависит только 7 приемлемого решения задачи сопряжения не было найдено. Капиллярный поток в этом случае нигде не равен нулю. Закачка холодной воды. Вытеснение холодной водой моделируется заданием 0о = 0, 01 = 1. В варианте когда от температуры не зависят вязкости фаз и 7 = 7(0)» имеется область локального минимума капиллярного потока. Помещая точку сопряжения на этот отрезок получим решение с незначительной величиной разрыва потока V, такое решение приведено на рисунке 4.28. В этом случае отсутствие капиллярных сил после температурного фронта объясняет отсутствие дополнительного фронта вытеснения. В случае когда от температуры зависят вязкости фаз, а 7 не зависит, после температурного фронта образуется зона выполаживания и помещая в эту зону точку у = I получим решение задачи сопряжения. В зоне выполаживания выполняется sy = ву = ру = 0 и следовательно єару = 0. На рисунке 4.29 изображен пример такого решения. Из рисунка видно, что решения по модели сопряжения и по МЛТ модели незначительно различаются вблизи нагнетательной скважины. Таким образом можно сделать вывод, что за счет температурного фронта, варьируя І, в некоторых случаях можно построить решения задачи сопряжения с непрерывными v(y) и s(y).
Похожие диссертации на Численное исследование задач фильтрации несмешивающихся жидкостей
