Содержание к диссертации
Введение
1 Плоские задачи математической физики, сводящиеся к решению сингулярных интегральных уравнений и обзор методов их решения 13
1.1 Плоская задача электростатики 13
1.2 Плоская задача теории упругости 16
1.3 Плоская задача дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода 20
1.4 Обзор некоторых аналитических методов решения задач дифракции на открытых системах 22
2 Плоская задача электростатики проводников. Обоснование интегрального подхода и программная реализация 28
2.1 Формулировка задачи. 28
2.2 Дискретизация задачи. Основные уравнения 31
2.3 Метод решения задачи 32
2.4 Реализация численного метода 35
2.5 Визуализация решения 48
3 Дифракция пучка собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах 65
3.1 Введение 65
3.2 Формулировка задачи 65
3.3 Вывод сингулярных интегральных уравнений 66
3.4 Дискретизация модели 70
3.5 Реализация модели 71
Заключение 77
Список литературы 78
Приложения 89
- Плоская задача дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода
- Обзор некоторых аналитических методов решения задач дифракции на открытых системах
- Реализация численного метода
- Вывод сингулярных интегральных уравнений
Введение к работе
На этапе проектирования и создания сверх высоко частотных (СВЧ) приборов возникает необходимость в эффективном алгоритме расчета полей и потенциалов в широком диапазоне параметров системы и возбуждающего поля, решение этой проблемы часто приводит к упрощению физической модели. Интенсивное развитие вычислительной техники дало сильный толчок к разработке новых численных методов, позволяющих решать большой круг задач в точной постановке.
В частности, численный анализ физических полей, созданных непрерывным распределением зарядов, заменяют анализом поля конечного числа, специально выбранных источников. Результаты вычисления проверяют на задачах, точное решение, которых известно. Затем модель распространяют на задачи, аналитическое исследование которых не представляется возможным. На практике применимость такого метода, как правило, проверяется численным экспериментом с использованием физических соображений, либо проводятся физические эксперименты на натуральных объектах или на физических моделях.
Повышение требований к точности расчета аэродинамических параметров в нестационарных задачах аэрогидродинамики, электромагнитных полей при рассеянии на электродинамических системах в задачах дифракции стимулировало дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения этого круга задач. Много работ посвящается исследованию математических моделей электродинамических процессов в различных физических ситуациях. Изложению основ математического моделирования дифракционных явлений посвящена, в частности, работа [31].
Желание иметь простой и вместе с тем надежный, с точки зрения вычислительного процесса, инструмент решения подобных задач способствовало развитию теории сингулярных интегральных уравнений. Отметим здесь монографию [45] и обширную библиографию в ней. Значительная часть работ в последние годы была посвящена математическому обоснованию численных методов, без которого выработанные практические приемы носили частный характер.
К сингулярным интегральным уравнениям могут быть сведены многие краевые задачи математической физики, например, задача обтекания крыла самолета в дозвуковом воздушном потоке, задачи дифракции электромагнитных волн на цилиндрах, брусьях, решетках, объемных плоскопараллельных структурах. Многие прикладные задачи механики сплошной среды, в частности, распределение контактного напряжения в процессе штамповки также естественным образом сводятся к сингулярным интегральным уравнениям.
При построении численных методов решения сингулярных интегральных уравнений мы сталкиваемся, прежде всего, с тем, что сингулярный интеграл является расходящимся и его следует понимать в некотором обобщенном смысле. В связи с этим, не вполне ясно какие приближенные квадратурные или интерполяционные формулы к вычислению таких интегралов можно применить. Тем не менее, для решения практических задач аэродинамики в начале пятидесятых годов из эвристических соображений и численных экспериментов были сформулированы (Белоцерковский СМ.) подходы к вычислению сингулярных интегралов методом дискретных вихрей [3-5]. Впоследствии, для решения целого класса задач аэродинамики, идеи метода были развиты и математически обоснованы (Лифанов И.К.) [40-44]. Дальнейшее развитие и обобщение на краевые задачи электродинамики этот метод получил в работах Ганделя Ю.В. [11-14], Предложенный им аппарат параметрических представлений преобразований Гильберта и метод дискретных особенностей (МДО) открыли новые возможности исследования явлений дифракции на ограниченных многоэлементных непериодических структурах со ступенчатыми неоднородностями.
После того, как соответствующая краевая задача сведена к системе сингулярных интегральных уравнений (СИУ) [35, 52], к решению последней может быть применен один из численных методов.
К настоящему времени одним из наиболее эффективных численных методов решения систем СИУ к которым сводятся многие задачи электростатики и дифракции на конечноэлементных структурах является метод дискретных особенностей (в аэродинамике известен как метод дискретных вихрей). Этот метод получил математическое обоснование для полного СИУ с ядром Коши в работе [15]. Во - первых, высокая эффективность метода связана с тем, что матрица системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимирующая систему СИУ, оказывается хорошо обусловленной ввиду сингулярности ядра, В связи с этим, вычислительный процесс оказывается устойчивым. Во - вторых, гибкая схема аппроксимации сингулярного ядра по методу дискретных особенностей [14], [15], [17] позволяет для каждого конкретного вида параметризации контура интегрирования использовать сгущение или разрежение систем узлов интерполирования на отдельных участках контура, если это диктуется физическими соображениями.
Основанный на строго доказанных результатах из теории сингулярных интегральных уравнений [2, 5] выбор двух систем интерполяционных полиномов, связанных интегральным преобразованием Гильберта на отрезке [-1,1], оказывается наиболее оптимальным для аппроксимации сингулярных интегралов и интегралов с гладкими ядрами. Это обстоятельство обусловливает и выбор приближенных формул для сингулярных интегралов в виде квадратур Гаусса по узлам полиномов Чебышева первого и второго рода.
В тех случаях, когда непосредственное применение МДО невозможно, удается применить модифицированный МДО, алгоритмически не отличающийся от МДО и провести решение системы СИУ в численном эксперименте. Прежде всего это относится к решению систем СИУ с сингулярной частью ухудшенной слагаемым, образованным суммой котангенса и тангенса или слагаемым в форме величины обратной разности косинусов (синусов) [36, 75-76J. В этом случае строгое доказательство сходимости решения СЛАУ к точному решению выведенной системы СИУ отсутствует и мы можем говорить только о численном эксперименте.
Практическое решение ряда задач математической физики, сводящихся к сингулярным интегральным уравнениям, методом дискретных особенностей показало высокую эффективность метода в широком диапазоне параметров падающего поля и рассеивающей системы.
Вычислительную схему одного из методов дискретных особенностей для численного анализа электростатических полей называют методом дискретных зарядов (ДЗ).
Данный подход позволяет находить распределение зарядов в, однородной вдоль некоторого направления, системе проводников со сложной границей.
В основе предлагаемого подхода лежит идеология парных интегральных уравнений [12] и метода дискретных особенностей [14], [45]. Как известно, задача электростатики с заданной системой зарядов может быть сформулирована в интегральной форме, относительно неизвестной функции плотности распределения зарядов.
Наибольшие трудности, с которыми приходится сталкиваться при решении интегральных уравнений (ИУ) I рода, а именно к таким уравнениям сводятся задачи электростатики, состоят в плохой обусловленности матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимирующих исходное ИУ.
Последнее обстоятельство существенным образом усложняет доказательство сходимости решения СЛАУ к точному решению ИУ, что в свою очередь не позволяет оценить адекватность математической модели и достоверность полученных результатов. Плохая сходимость связана, как правило, с неудачным, или в лучшем случае произвольным, выбором узлов интерполяции полинома, аппроксимирующего функцию плотности заряда.
Вместе с тем, как известно (теорема Марцинкевича), для любой непрерывной функции, а именно такой является функция плотности зарядов, существует сходящийся интерполяционный процесс.
Используемый нами метод, лежащий в основе численного решения двумерных задач электростатики, это метод дискретных зарядов, который позволяет провести дискретизацию исходной системы ИУ и решить ее с любой, наперед заданной, точностью для всех кривых класса Гельдера и кривых с угловыми точками. Доказательство существования решения СЛАУ и соответствующих теорем сходимости можно найти, например, в [15]. В настоящей работе метод ДЗ распространен на тела с ребрами: двугранные углы, образованные лентами произвольной, но конечной ширины, клинья с произвольным раствором угла и т.п. При этом, система ИУ одинаково просто дискретизируется для любого сочетания гельдеровских и не гельдеровских кривых, описывающих границы сечений этих тел.
Основной целью диссертационной работы было: разработать информационно технологические средства и программный комплекс для исследования двумерных задач электростатики и дифракции.
В связи с этим были поставлены следующие задачи: разработать алгоритм и реализовать интегральную математическую модель двумерных задач электростатики в виде компьютерной программы. построить интегральную математическую модель одного класса двумерных задач дифракции, разработать алгоритм и реализовать его в виде компьютерной программы. провести численный эксперимент на основе разработанных математических моделей и численных алгоритмов. разработать дружественный пользовательский интерфейс, позволяющий задавать большое количество входных параметров.
Решение поставленных задач предполагает много вариантов и большое количество входных данных для задания геометрии системы и управления программой. Поэтому одной из центральных является проблема предоставления пользователю дружественного интерфейса, обеспечивающего, продиктованное логикой задачи, взаимодействие программных блоков и модулей.
Поставленная цель может быть достигнута с использованием сред визуального программирования.
В настоящей работе в качестве эффективного инструмента для реализации графического интерфейса программного комплекса выбрана среда визуального программирования Delphi [1, 27, 29, 34, 37, 38, 71, 74, 83, 89], представляющая широкие возможности для создания оконно-кнопочной системы управления пакетом, аналогичной графическому интерфейсу операционных систем семейства Windows.
При работе над диссертацией были использованы методы визуального программирования, методы вычислительной математики, теория интегральных уравнений, теория специальных функций.
Научная новизна работы характеризуется тем, что в ней впервые: метод дискретных особенностей распространен на тела с ребрами; проведена параметризация некоторых не гельдеровских кривых, позволяющая распространять на них метод дискретных особенностей; построена новая математическая модель дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах; подробно исследовано ядро интеграла, описывающего построенную модель; создан пакет программ, реализующий двумерную задачу электростатики; создан пакет программ, реализующий двумерную задачу дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах; проведен численный эксперимент.
Практическая и научная значимость работы
На примере двумерных задач электростатики и дифракции предложена и разработана последовательная технология создания пакета компьютерных программ для решения двумерных задач, сводимых к парным интегральным уравнениям, включающая все этапы разработки от постановки проблемы и дискретизации модели до визуализации результатов. Предложены способы визуализации с использованием цвета, что существенно упрощает интерпретацию численных результатов. Построены пакеты программ, позволяющие получать результаты в режиме реального времени.
Основные положения выносимые на защиту:
1) математическая модель двумерных задач дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах; численный эксперимент; пакет, включающий программы реализации математических моделей двумерных задач электростатики и дифракции, собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах.
Апробация и внедрение результатов работы
Результаты, изложенные в диссертации, неоднократно докладывались на всероссийских и региональных конференциях, обсуждались на внутриуниверситетских конференциях и семинарах. Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе и на их основе создан специальный курс с присвоением грифа УМО при МГУ по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов обучающихся по специальности 010400-Физика.
Актуальность темы
Среди многих практически важных задач электродинамики можно выделить класс задач, в которых зависимостью от некоторой координаты трехмерного объекта можно пренебречь. В частности, это могут быть достаточно длинные цилиндрические структуры, являющиеся неотъемлемыми элементами конструкции антенных решеток, волноводов, резонаторов и т.п.
Такие задачи достаточно полно и вполне строго могут быть решены в рамках приближения двумерных моделей.
В связи с этим актуальной является проблема унификации различных программно технологических средств, для решения двумерных задач электродинамики на основе строгой теории и адекватных численных методов.
Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем технической физики. В частности, расчет замедляющих структур линейных резонансных ускорителей, содержащих волноведущие системы, основан на решении двумерных задачи дифракции и рассеяния собственных волн волновода на соосных кольцевых вырезах. При создании СВЧ приборов, с целью предупреждения и подавления электрического пробоя, всегда требуется уметь эффективно вычислять поля вблизи острых кромок и двугранных углов в резонансном диапазоне параметров поля и рассеивающей системы.
В настоящее время к наиболее употребительным аналитическим и численно-аналитическим методам исследования задач стационарной дифракции относятся методы, основанные на сведении исходных краевых задач к системе функциональных или интегральных уравнений типа Винера—Хопфа или сведении к граничной задаче Гильберта для кусочно-аналитической функции. Используемый при этом аппарат теории функции комплексного переменного и функционального анализа позволяет решать задачи, исследуемого класса, точно в рамках рассматриваемой физической модели. Однако сама физическая модель довольно часто содержит существенное упрощение, определяемою геометрией рассеивающей системы.
Так, эти методы эффективны при исследовании дифракционных явлений для структур с одиночной или периодически повторяющейся неоднородностью и малоэффективны при исследовании дифракции на структурах с конечным числом неоднородностей различного типа, а такие задачи нередки в практике СВЧ-приборостроения.
Несмотря на достигнутые успехи численного решения систем СИУ и доказательства сходимости решений, аппроксимирующих их СЛАУ [41-46, 108, 109] к точному решению, математическое обоснование численных методов решения ряда практически важных задач электродинамики, которые сводятся к системам сингулярных интегральных уравнений не всегда можно считать корректным, а часто такое обоснование просто отсутствует. К таковым можно отнести задачи дифракции и рассеяния электромагнитных волн на полуограниченных кусочно-однородных структурах открытого типа, рассеяние собственных волн на системе связанных резонаторов в волноведущих цилиндрических системах и др. Связано это с тем, что сингулярная часть таких уравнений, наряду с характеристической частью, определяемой ядром Коши, содержит слагаемое с ухудшенными свойствами гладкости [76, 77], когда сингулярность имеет место не только во внутренней точке промежутка интегрирования, но и на его концах. Для решения таких уравнений применение хорошо развитой теории полуобращения интегрального оператора не представляется столь же методически очевидным и обоснованным, как в случае решения полного сингулярного интегрального уравнения с гладкой частью и с характеристической частью в форме ядра Коши, поскольку именно и только, для последнего и используются формулы обращения, В связи с этим, регуляризация ядра и сведение сингулярных интегральных уравнений к системе интегральных уравнений Фредгольма, второго рода с хорошо развитой теорией и практикой их решения здесь оказывается невозможным.
К сказанному добавим, что математические модели, построенные на процедуре полуобращения интегрального оператора, оказываются неадекватными исходной физической модели в резонансном диапазоне.
Применение же таких точных методов, как метод Винера-Хопфа-Фока или метод задачи Римана-Гильберта, далеко не всегда оказывается рентабельным с точки зрения полученных результатов и приложенных усилий, так как требует проведения громоздких вычислений.
Таким образом, одной из актуальных проблем, является разработка математических моделей, максимально точно и полно учитывающих структурные особенности физических моделей и для которых численная реализация была бы гибкой к уже апробированным методам. При этом желательно, чтобы модели строились на основе методически простых и, в тоже время, аналитически строгих принципах, адекватно отражающих не только особенности электродинамических систем, но и специфику сингулярных интегральных уравнений.
В настоящей работе предложен принципиально новый подход к исследованию электростатических и дифракционных явлений. Этот подход позволяет применить к решению этих задач единообразный вычислительный алгоритмический аппарат. Развиваемый здесь численно-аналитический метод позволяет провести алгебраизацию и численное решение полученной системы СИУ прямыми методами. Т.е., прямыми в том смысле, что решается непосредственно та система СИУ, которая была выведена. Заметим, что наш подход не предусматривает какой бы то ни было предварительной (перед численной процедурой) обработки характеристических слагаемых систем СИУ, поэтому математическая модель оказывается адекватной всей задаче в целом.
Плоская задача дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода
В теории дифракции и рассеяния электромагнитных (акустических) волн на различных объектах можно выделить обширный класс задач дифракции на препятствиях, геометрические свойства которых меняются скачкообразно. Как правило, в таких задачах кроме расчета полей в дальней зоне, определяющих поток рассеянной энергии, интересуются также напряженностями полей вблизи геометрических особенностей поверхностей рассеяния с целью предупреждения и преодоления электрического пробоя. В прикладных исследованиях, в частности, при проектировании приборов СВЧ, эта проблема особенно актуальна при согласовании узлов связи высокочастотных (ВЧ) трактов генераторов; фидерных линий, выводных устройств ВЧ энергии и др. Для однозначной разрешимости таких задач дифракции, кроме граничных условий и условия излучения, требуется ввести ограничение на поведение поля вблизи ребер и изломов поверхности, А именно, поле вблизи геометрических сингулярностей должно вести себя так, чтобы выполнялось условие Майкснера [113], интегральная формулировка которого имеет вид т.е. в любом конечном объеме вблизи ребра электромагнитная энергия должна быть ограничена. Все эти задачи, в явной или в неявной форме, являются сингулярными. Это обстоятельство существенным образом определяет выбор математического аппарата, который может быть применен для решения этого класса задач. Ниже дана краткая характеристика наиболее употребительных аналитических и численно-аналитических методов решения краевых задач дифракции электромагнитных волн на конечных и полуограниченных электродинамических структурах.
Из точных аналитических методов к наиболее развитым следует, отнести метод сведения исходной задачи дифракции к интегральному уравнению (системе уравнений) Винера-Хопфа [51, 84, 115, 116, 119]. К настоящему времени теория этого метода весьма глубоко исследована, в частности, благодаря работам Фока [87], который адаптировал метод к решению интегральных уравнений первого рода, работам Рапопорта [68], расширившего класс функциональных пространств, на которых интегральный оператор Винера-Хопфа можно однозначно обратить. Большой практический вклад в совершенствование и развитие метода внес Вайнштейн [6, 7], который на его основе решил ряд задач, ранее поддающихся лишь приближенному анализу (открытые волноводы, резонаторы и др.). Вместе с тем остался неисследованным ряд важных вопросов, в частности, теория открытых связанных резонаторов.
Систематическому исследованию задач дифракции на конечных структурах, решаемых методом Винера-Хопфа, в том числе с анизотропией электродинамических свойств рассеивающих поверхностей посвящена монография [61].
В основе метода Винера-Хопфа лежит фундаментальная идея обращения интегрального оператора заданного на полуоси для функций, зависящих от разности двух переменных,
Для некоторых типов задач целесообразным оказывается применение метода Винера-Хопфа в неявной формулировке, данной Джонсом [8, 26], когда интегральное или интегро-дифференциальное уравнение явно не составляется. Часть задач дифракции может быть решена методом Винера-Хопфа в матричной формулировке см., например, [116], Метод задачи Рішана - Гильберта К методу Винера - Хопфа тесно примыкает метод сведения исходной краевой задач; « дифракции к граничному уравнению Римана- Гильберта для кусочно-аналитической функции, заданной на системе контуров. Теория решения задачи Римана - Гильберта также достаточно глубоко исследована [9, 10, 53]. В связи с освоением техники мм. и субмм. диапазона радиоволн возникли новые проблемы в технологии изготовления отдельных элементов, которые по существ стали прецизионными. Требовался новый, более детальный анализ физических процессов, которые протекают в различных устройствах и находят применение в мм. и суб.мм. технике. Все это стимулировало дальнейшее развитие аналитических численно аналитических „ методов анализа электродинамических процессов в коне поэлементных структурах, В связи с новыми проблемами, в частности, благодаря работам Шестопалова В.П. и его учеников, метод задачи Римана-Гильберта нашел свое дальнейшее развитие и продолжает развиваться [92-97], Так, этим методом был решен большой класс задач дифракции на решетках, цилиндрах и брусьях, однако, уже на примере классической задачи дифракции электромагнитных волн на решетках видно, что при численной реализации метода приходится привлекать мощные средства математического анализа. При этом результат не всегда оказывается адекватным приложенным усилиям. Другими словами, несмотря на то, что метод является теоретически точным, результат его численной реализации (решение системы линейных алгебраических уравнений, к которой, в конце концов, сводится задача) существенно определяется частотой падающего поля. Таким образом, метод Винера-Хопфа и задачи Римана-Гильберта наиболее эффективен в длинноволновом (квазистатическом) приближении. Вместе с тем, наиболее интересным и значимым, с точки зрения прикладной и технической электродинамики, является резонансный диапазон длин волн, когда характерный размер задачи сравним с длиной волны падающего поля, т.е. когда X 1а »1. Метод интегральных уравнений Многие краевые задачи для скалярного и векторного уравнений Гельмгольца для неограниченных областей в случае установившихся колебаний могут быть переформулированы в терминах интегральных уравнений Фредгольма относительно функции заданной на границе рассеивающей структуры. Систематическому изложению методов интегральных уравнений в прямых и обратных задачах дифракции посвящен обзор [33]. Многие двумерные задачи дифракции с использованием теории потенциала могут быть сведены к интегральным уравнениям и решены численно в равномерной сетке путем редукции бесконечной СЛАУ. Численному исследованию дифракции на двумерных структурах посвящены работы [30, 54, 65-67, 91].
Особо отметим алгоритм, получивший развитие в последнее время и основанный на решении интегральных уравнений методом моментов с использованием потенциала Герца [110-112]. Этот подход приводит задачи дифракции к фредгольмовским сингулярным интегральным уравнениям 1-го рода. Искомая функция аппроксимируется усеченным рядом по полиномам Чебышева, ядро — усеченным двойным рядом. При этом, само интегральное уравнение может порождать различные алгоритмы в зависимости от базиса, используемого в методе моментов.
Обзор некоторых аналитических методов решения задач дифракции на открытых системах
К методу Винера - Хопфа тесно примыкает метод сведения исходной краевой задач; « дифракции к граничному уравнению Римана- Гильберта для кусочно-аналитической функции, заданной на системе контуров. Теория решения задачи Римана - Гильберта также достаточно глубоко исследована [9, 10, 53]. В связи с освоением техники мм. и субмм. диапазона радиоволн возникли новые проблемы в технологии изготовления отдельных элементов, которые по существ стали прецизионными. Требовался новый, более детальный анализ физических процессов, которые протекают в различных устройствах и находят применение в мм. и суб.мм. технике. Все это стимулировало дальнейшее развитие аналитических численно аналитических „ методов анализа электродинамических процессов в коне поэлементных структурах, В связи с новыми проблемами, в частности, благодаря работам Шестопалова В.П. и его учеников, метод задачи Римана-Гильберта нашел свое дальнейшее развитие и продолжает развиваться [92-97], Так, этим методом был решен большой класс задач дифракции на решетках, цилиндрах и брусьях, однако, уже на примере классической задачи дифракции электромагнитных волн на решетках видно, что при численной реализации метода приходится привлекать мощные средства математического анализа. При этом результат не всегда оказывается адекватным приложенным усилиям. Другими словами, несмотря на то, что метод является теоретически точным, результат его численной реализации (решение системы линейных алгебраических уравнений, к которой, в конце концов, сводится задача) существенно определяется частотой падающего поля. Таким образом, метод Винера-Хопфа и задачи Римана-Гильберта наиболее эффективен в длинноволновом (квазистатическом) приближении. Вместе с тем, наиболее интересным и значимым, с точки зрения прикладной и технической электродинамики, является резонансный диапазон длин волн, когда характерный размер задачи сравним с длиной волны падающего поля, т.е. когда X 1а »1. Метод интегральных уравнений Многие краевые задачи для скалярного и векторного уравнений Гельмгольца для неограниченных областей в случае установившихся колебаний могут быть переформулированы в терминах интегральных уравнений Фредгольма относительно функции заданной на границе рассеивающей структуры. Систематическому изложению методов интегральных уравнений в прямых и обратных задачах дифракции посвящен обзор [33]. Многие двумерные задачи дифракции с использованием теории потенциала могут быть сведены к интегральным уравнениям и решены численно в равномерной сетке путем редукции бесконечной СЛАУ. Численному исследованию дифракции на двумерных структурах посвящены работы [30, 54, 65-67, 91].
Особо отметим алгоритм, получивший развитие в последнее время и основанный на решении интегральных уравнений методом моментов с использованием потенциала Герца [110-112]. Этот подход приводит задачи дифракции к фредгольмовским сингулярным интегральным уравнениям 1-го рода. Искомая функция аппроксимируется усеченным рядом по полиномам Чебышева, ядро — усеченным двойным рядом. При этом, само интегральное уравнение может порождать различные алгоритмы в зависимости от базиса, используемого в методе моментов.
Отметим, наконец, так называемые приближенные аналитические методы анализа дифракции, основанные на тех или иных эвристических предположениях, К таковым, прежде всего, необходимо отнести метод Гюйгенса-Кирхгофа-Френеля [28], который широко распространен в теории антенн, метод краевых волн Уфимцева [85], геометрическую теорию дифракции Келлера [104-107, 120]. Применение таких подходов позволяет записывать для дифракционных полей простые соотношения. Однако к их использованию нужно относиться весьма осторожно, так как установить адекватность выбранной эвристической модели реальному физическому объекту удается далеко не всегда. Нередко, ценой простоты и наглядности формул для дифракционных полей, полученных этими методами, является высокая погрешность результатов в широком диапазоне параметров падающего поля (длина волны X) и рассеивающей системы (характерные геометрические размеры) [99].
При использовании любого из описанных выше методов анализа дифракционных явлений, первостепенной является задача выбора физической модели, адекватной исследуемому явлению. После того как физическая модель определена, второй важнейшей задачей является построение адекватной математической модели из имеющихся в распоряжении математических средств.
В конечном счете, все определяется тем какой из радиоволновых режимов: квазиоптический (Л/а«\), квазистатический (Л/а»1) или резонансный (Д/а«1) мы хотим исследовать в рассматриваемой дифракционной задаче.
Реализация численного метода
При нажатии на первую кнопку, тексту в окнах редактора присваиваются начальные значения, для этого применяется следующий программный код: edit 1.Text:= 1 ; edit2.Text:= 0 ; edit2.Text:= 0 ; ...
При активизации кнопки выхода достаточно запустить процедуру close; При нажатии на кнопку «Задать цилиндры», пользователю демонстрируются пояснения и окна редактора, позволяющие задать параметры каждой из линий. Для этого изменяем текст и расположение подсказок (меток) и окон редакторов, имеющихся в текущем окне. Каждая линия должна быть однозначно определена. Наши кривые задаются так: - окружность определяется координатами центра и радиусом; - клин - координатами вершины, длиной стороны, углом между осью ОХ и одним из лучей и внутренним углом; - дуга - координатами центра, радиусом, начальным и конечным углом; - отрезок — координатами концов; - угол - определяется также как и клин. Пользователь имеет возможность переходить к заданию следующей кривой или возвращаться для исправления введенных параметров. С этой целью добавлены кнопки «Далее» и «Назад». При активизации кнопки «Далее» запоминаются введенные значения и увеличивается номер для задаваемой кривой. При нажатии на кнопку «Назад» уменьшается счетчик номера задаваемой кривой, тем самым разрешая менять уже запомненные значения. Если параметры всех кривых заданы, то кнопу «Далее» блокируется (button4.Enabled: =false;), и становится доступной кнопка начала расчетов - «Начать вычисления» (button6.Enabled:=true;). Также при задании параметров первой кривой, необходимо сделана недоступной кнопка «Назад». Окно для задания геометрии системы представлено на рис. 6. Для задания параметров каждой кривой введены следующие одномерные массивы: ХО и Y0 содержащие: для окружности — координаты центра, для клина - координаты вершины сектора, для дуги - координаты центра окружности, частью которой она является, для отрезка - координаты середины, для угла — координаты вершины. Массив Q содержит значение зарядов для каждой кривой. Массив R содержит радиус окружности, радиус сектора, радиус дуги, половину длины отрезка, длину стороны угла. Массив UG1 содержит значения: угла между ближней (против часовой стрелки) стороной сектора и осью ОХ, начального угла дуги, угла между отрезком и осью ОХ, угла между ближней (против часовой стрелки) стороной угла и осью ОХ. Массив UG2 содержит значения: внутреннего угла сектора, конечного угла дуги, внутреннего угла для угла. Все перечисленные выше параметры кривых вводятся как строки (String), однако наши массивы должны содержать числа. Для перевода данных из строки в число использована процедура Val. Данная процедура имеет три параметра: строку, которая переводится, числовую переменную, куда переводится строка и числовую переменную, которой присваивается код ошибки, произошедшей при переводе. Ошибка может произойти, если строка содержит не число, или если, при переводе в целую переменную (например, количество U SSST 2Si разбиений) в строке содержится вещественное Неправильно задан заряд, значение (не целое число). Если код ошибки равен 0, то перевод осуществлен верно, в противном случае пользователю выдается Рис. 7. Окно сообщения. сообщение об ошибке ввода, рис. 7 и требуется повторение ввода значений. Для сообщения об ошибках удобно использовать процедуру ShowMessage, параметром которой является текст сообщения. Примером может служить следующий код: ShowMessage( Неправильно введен заряд ) end; . В зависимости от значения логической переменной oshibka, мы либо продолжаем работу программы, либо возвращаемся к повторному вводу. Вычисление коэффициентов при неизвестных в СЛАУ При активизации кнопки «Начать вычисления» запускается процедура, реализующуя описанный выше численный метод. Для решения СЛАУ необходимо вычисление коэффициентов при неизвестных ДЗ и решение полученной СЛАУ. Коэффициенты вычисляем исходя из формулы:
Вычисленные коэффициенты записываем в двумерный массив (матрицу). Количество столбцов будет соответствовать количеству неизвестных (дискретных зарядов и регуляризирующих параметров Лифанова). Количество точек, в которые будут помещены дискретные заряды храним в переменной KOLRAS, в переменных KOL, KOL4, KOL1, KOL2, KOL3 - помещаем количество кривых: окружностей, секторов, дуг, отрезков, углов, соответственно. Количество замкнутых кривых равно KOL+ KOL4 = MAS2. Количество разомкнутых кривых равно KOL1+KOL2+KOL3 = MAS1. Соответственно общее количество кривых в нашей системе равно MAS1+MAS2 = MAS. Регуляризирующий параметр Лифанова вводится только для замкнутых кривых. Значит, мы имеем MAS2 неизвестных, регуляризирующих параметров Лифанова, и KOLRAS MAS, - неизвестных дискретных зарядов. Для подсчета коэффициентов перед неизвестными зарядами реализованы функции для вычисления разности векторов, длины вектора, скалярного произведения векторов. Для упрощения работы введен пользовательский тип данных Toska, переменные этого типа содержат два вещественных значения (х, у) - координаты точек, или векторов. Type toska=recordx,y:real end;.
Вывод сингулярных интегральных уравнений
Чтобы не возвращаться в точку, из которой пришла линия, необходимо искать точки не при любом угле, а в полуплоскости, отсекаемой прямой, перпендикулярной к направлению движения на предыдущем шаге.
Реализация функции построения линий одинакового потенциала, опираясь на вторую формулу, приведена в Приложении 10. Таким образом, мы имеем возможность построения линии одинакового потенциала, исходящей из любой точки плоскости. Линии одинакового потенциала должны быть перпендикулярны силовым линиям, и это еще один способ контроля верности построенной модели и ее реализации. Результат работы функции построения линий одинакового потенциала для двух окружностей и клина показан на рис. 23, рис. 24: Отдельное внимание стоит уделить вопросу связанному с видом потенциала, характеризующего поле (1/г или 1п(г)). Программно нам необходимо в процедуру рассчета напряженности и потенциала добавить условные операторы следующего содержания: z/ not(logor) then de:=de sqrt(sqr(Ttec.xs.x)+sqr(Ttec.ys.y)); -если потенциал имеет не логарифмическую зависимость, то при рассчете напряженности каждое слагаемое домножаем на длину радиус-вектора точки с зарядом; iflogor then napr: =napr+resen[(i-l) kolras+jJ/(2 PI eps) ln(dlv) else napr:=napr+resen[(i-l) kolras+j]/dlv;end;, - если потенциал имеет логарифмическую зависимость, то пользуемся формулой (2.10), иначе -формулой (2.12). Оба вида потенциалов представляют известную идеализацию заряженных цилиндрических проводников: первый — достаточно длинных, второй - достаточно коротких. Реальное положение эквипотенциалей находится между линиями одинакового потенциала, созданными полями 1/г и 1п(г). Меняя вид зависимости, мы получаем следующие графики линий одинакового потенциала (рис. 25). Печать полученных результатов « Полученные визуальные решения нужно уметь распечатывать. Для этого достаточно воспользоваться методом print (модуль Printers) для объекта sarjad. (формы с результатами решения). Но при таком подходе будет напечатана вся форма (вместе с кнопками и пояснениями к ним). В данной работе предлагается следующий подход к решению этой проблемы: на форму помещается объект Imagel (TImage) - для хранения графических изображений, который можно сделать невидимым (Imagel. Visible:=False), фотографируется часть формы (прямоугольная область) и помещается в объект Imagel. Это легко выполнить, пользуясь процедурой COPYRECT: imagel. Canvas. CopyRect(Rect(0,О, imagel. Width, imagel.Height), Canvas,Rect(0, 83, sarad. Width, sarad.Height)); - первый параметр указывает прямоугольную # область приемника (координаты углов), второй параметр определяет объект приемник и его область для вставки, копируемого изображения. В момент активизации пункта меню «Файл - Печать» Imagel необходимо сделать видимым, а кнопки - спрятать, (Imagel.Visible :=true; buttonl.Visible: =false; ...; button8. Visible:=false;)t затем воспользоваться методом Print для формы, и опять спрятать Imagel, и показать все кнопки. При этом изображение на форме пострадает. Чтобы его восстановить скопируем его из Imagel: sarad.Repaint; sarad. Canvas. CopyRect(Rect(0,83,sarad. Width,sarad.Height), imagel. Canvas, Rect(0,0, imagel. Width, imagel. Height)); Будем распечатывать изображение целиком на лист формата А4. Для пропорционального изменения размеров изображения до размеров бумаги воспользуемся следующим кодом: sarad.PrintScale:=PoPrintToFif, — печатает изображение размером на одну страницу. Для распечатывания обязательно наличие установленных драйверов " принтера на персональном компьютере. Чтобы не возникало ошибок печати Сохранение полученных результатов Для сохранения полученных результатов пользуемся процедурой SaveToFile для объекта TBitMap, который необходимо предварительно создать и заполнить сохраняемым изображением. Для создания используем следующий код: BitMap:=TBitMap. Create;. Для заполнения объекта Bitmap необходимо связать его с каким-то изображением. Для этого выполним те же действия, что и при печати. Только не будем делать видимым Image 1. А для заполнения объекта Bitmap воспользуемся следующей процедурой: BitMap.Assign(imagel. Picture);. После сохранения объекта Bitmap его необходимо удалить - BitMap.Free;. Для выбора имени сохраняемого файла, его места на диске и типа добавим к форме объект SavePictureDialog. Процедура сохранения составляет Приложение 12. Очистка лишних построений При построении большого количества линий одинакового потенциала и многократного построения силовых линий вдоль различных вертикальных и горизонтальных прямых изображение становится плохо читаемым рис 26.
Поэтому необходимо предусмотреть возможность очистки рабочего поля от лишних построений. Для этого воспользуемся процедурой Repaint, которая обновляет канву, убирая все графические построения. Затем рисуем систему координат и все заданные кривые, рис 27.
