Содержание к диссертации
Введение
1. Обобщенные жордановы цепочки в теории возмущений дискретного спектра линейных операторов 10
1.1. Некоторые определения и факты 10
1.2. О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации 17
1.3. Об одном частном случае теоремы Ф. Реллиха 26
1.4. Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений 30
2. Метод ложных возмущений для уточнения приближенно заданных жордановых цепочек в моделях линейных спек тральных задач 36
2.1. Построение моделей ложного возмущения 36
2.2. Итерационные процессы вычисления собственного значения и обобщенных жордановых цепочек и их регуляризация . 42
2.2.1. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича . 42
2.2.2. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью 45
2.2.3. Итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена . 46
2.2.4. Итерационный процесс М. К. Гавурина 47
2.2.5. О биортогональности вычисленных ОЖЦ 48
2.2.6. О регуляризации итерационных процессов 49
2.3. Применение метода ложных возмущений 50
2.3.1. Одномерная задача со смещением 50
2.3.2. Одномерная задача с двумя смещениями 59
2.3.3. О применении метода ложных возмущений к решению алгебраических уравнений 76
2.3.4. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции 79
2.4. Метод ложных возмущений определения критических точек спектра динамической бифуркации 83
2.5. Метод ложных возмущений и спектр Э. Шмидта 87
2.5.1. Модельная задача А 87
2.5.2. Модельная задача В 88
2.5.3. Реализация метода ложных возмущений 90
2.6. Прикладные задачи на спектр Шмидта 93
2.6.1. Модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь 93
2.6.2. Граничная задача со смещениями для системы ОДУ . 99
2.6.3. Пространственно одномерная динамическая задача со смещением 110
3. Метод ложных возмущений в различных обобщениях задач на собственные значения 117
3.1. Линеаризация по спектральному параметру и метод ложных возмущений 117
3.2. Обобщение спектральных задач Э. Шмидта 121
3.2.1. Модельная задача С и ее применение 121
3.2.2. Модельная задача D и ее применение 122
3.3. Связь метода ложных возмущений с аналитическими возму щениями и с дифференциальными уравнениями с вырожде нием 128
Заключение 130
Библиографический список
- О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации
- Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений
- Итерационный процесс Ньютона-Канторовича
- Обобщение спектральных задач Э. Шмидта
Введение к работе
Методы малого параметра имеют существенное значение в вычислительной и прикладной математике, математическом моделировании. Прежде всего, они возникли в регулярных задачах механики, когда главная часть дифференциального выражения вместе с краевыми и начальными условиями представляет собой обратимый оператор в некотором функциональном пространстве. Затем появились задачи, преимущественно в нелинейных явлениях, когда главная часть нелинейного уравнения — линеаризованный оператор, не имеющий обратного. Задачи такого рода относятся к теории ветвления решений нелинейных уравнений, представителем которых явилась задача о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы (К. Якоби, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Л. Лихтенштейн, Л. Н. Сретенский), а также, задачи по теории волн на поверхности тяжелой жидкости (А. И. Некрасов, Т. Леви-Чивита, Д. Стройк, Н. Е. Кочин). Однако, первая задача такого рода была рассмотрена еще Л.Эйлером — задача о малых изгибах прямолинейного стержня иод действием постоянной нагрузки. С возникновением функционального анализа, такие задачи стимулировали исследования по спектральной теории линейных операторов, зависящих от одного или нескольких малых параметров (Ф. Реллих [92], Т. Като [78], Б.Секефальви-Надь [95]). Наиболее полное исследование дискретного спектра фредгольмовых операторов, аналитически зависящих от малого параметра, методом диаграммы Ньютона, выполнено в работе В.А.Треногина [71]. М.К. Гавуриным [12]—[15] были получены неулучшаемае оценки в теории возмущений. Начиная с 50-ых годов прошлого века, ведутся исследования по теории сингулярных возмущений, когда малый параметр является сомножителем главной части дифференциального выражения (А. Н. Тихонов, Коул, А. Б. Васильева, М. И. Вишик
и Л. А. Люстерник, М.М.Хапаев, В. Ф. Бутузов, В. А. Треногий).
М.К.Гавурин [16], [17] предложил, основанный на теории возмущений, метод вычисления собственных чисел и векторов линейных операторов, названный методом ложных возмущений. Идея этого метода состоит в построении оператора ложного возмущения Dq , такого, что известные приближения к собственным числам и элементам становятся точными для возмущенного оператора. В работе [16] рассматриваются самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Результаты М.К.Гавурин а были развиты Ф.Кунертом для простых собственных чисел несамосопряженных операторов. Обзор его работ содержится в [79].Дальнейшее развитие метода ложных возмущений в спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах содержится в работах Б.В.Логинова и Н.А.Сидорова [45], [46]; Б.В.Логинова и Д. Г. Рахимова [41], [42]. Обзор, полученных здесь результатов, представлен в [89]. В [42], [89] был предложен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнять обобщенные жордановы цепочки (ОЖЦ) для линейной по спектральному параметру оператор-функции Aq — tA\ без учета ОЖЦ сопряженной оператор-функции. Задача уточнения приближенно заданных собственных чисел, собственных элементов и обобщенных жордановых цепочек прямой и сопряженной задач оператор-функции спектрального параметра в общем случае оставалась нерешенной.
Данная работа посвящен изучению этого общего случая и его приложений в различных спектральных задачах теоретического характера, а также, в модельных задачах вычислительной и прикладной математики.
Первая глава (п. 1.1.) содержит необходимые определения и сведения аппарата обобщенных жордановых цепочек, а также, теории ветвления решений нелинейных уравнений. Необходимость последних вызвана используемыми в работе методами исследования уравнения разветвления в задаче о ветвлении собственных значений, собственных элементов и ОЖЦ фред-гольмовых оператор-функций спектрального параметра.
В п. 1.2. рассмотрены возможности линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра, исследованы соотношения между ОЖЦ оператор-функции и ее линеаризации.
Пункт 1.3. посвящен одному частному случаю теоремы Ф. Реллиха. Методом диаграммы Ньютона установлены некоторые условия, гарантирующие разложения в ряды по целым степеням малого параметра собственных чисел А (є) = До + іі(є) и соответствующих собственных элементов задачи на собственные значения А(є)у — \{e)Ry, А(є) = Aq — єА\ — линейная оператор-функция малого параметра.
Пункт 1.4. содержит применение линеаризации по спектральному параметру к задачам устойчивости стационарных разветвляющихся решений
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с фредгольмо-
dx выми операторами А— = В(є)х — R(x,e), R(0,e) — О, Rx(0,0) — О,
В(є) = В + В1е + В2є2 + ... = В + С(є) и As^ + As^^-+ ...+
А^ = Bx + f(x,x^,...,x^l\t), \\f(x,xW,...,x^\t)\\ = о(\\х\\), \\х\\ = max \\х^\\ -» 0. Установленные здесь результаты обобщают критерии, полученные в работах [44], [90].
В п. 2.1. главы второй предложены варианты моделей ложного возмущения, симметрично использующие приближения ОЖЦ кратного собственного значения линейной оператор-функции. Лемма 2.1. позволяет определить системы элементов {Тш&=Г^ ^ -^1' {г1оУ=г~1 ^ -^2) биортогональ-ные к приближенно заданным собственным элементам и ОЖЦ прямой WioY-T^ и сопряженной {ф1о}й~-т^ линейной оператор-функций спек-трального параметра и определить два вида оператора ложного возмущения, такого, что заданные приближения к собственному числу и ОЖЦ прямой и сопряженной оператор-функций становятся точными для их возмущений (теорема 2.1., следствие 2.1.). Далее методами теории ветвления строится "определитель полноты "обобщенного жорданова набора
[7, 30.3], имеющий точное собственное значение К = /^Pi-кратным
*=1 корнем (К — корневое число, равное сумме длин ОЖЦ), к которому в
п. 2.2. применяются различные итерационные процессы вычисления точного собственного значения и отвечающих ему ОЖЦ. Это метод Ньютона-Канторовича (теорема 2.2. (замечание 2.1.)) в его основном (модифицированном) варианте, имеющем квадратичную (линейную) скорость сходимо-
сти; итерационный процесс Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью (теорема 2.3.); итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена с квадратичной скоростью сходимости; итерационный процесс М. К. Гавурина, обладающий сверхлинейной сходимостью (теорема 2.4.). Здесь же устанавливается, что вычисленные ОЖЦ биортогональны с точностью до 0(еи), где є — А — Ло — разности между точным собственным значением и его приближением, v — номер итерации. Далее предлагается итерационный процесс, использующий технику уравнения разветвления в корневом подпространстве. Также показано, что используемый оператор Э. Шмидта является регуляризатором рассмотренных итерационных процессов.
Пункт 2.3. посвящен приложениям ЛВ-метода. Это одномерная задача со смещением (Бицадзе-Самарского [5]) и" + \и = О, и(0) = О, u(xq) = и(1), для которой вычислены точные собственные значения и ОЖЦ и проведены вычислительные эксперименты по их уточнению методом ложных возмущений. Листинг программ вынесен в приложение 1. Далее следуют четыре одномерные задачи с двумя смещениями первого и второго рода по В. А. Ильину и Е. И. Моисееву [25], [26]. Приводится иллюстрация метода ложных возмущений (приложение 2). Рассмотрен пример уточнения ЛВ-методом кратных корней полинома. Хотя и считается, что прием замены алгебраического уравнения характеристическим уравнением матрицы Фробениуса нерационален, пример представляется нам интересным, так как здесь, попутно, установлены рекуррентные формулы суммирования и показано, что кратному корню многочлена отвечает собственное значение матричного оператора с жордановой цепочкой, длина которой равна кратности корня. Проведен вычислительный эксперимент (приложение 3). Изложен вариант дискретизации линейной оператор-функции, использующий абстрактную теорию разностных схем [73], [74], с приложением к задаче Штурма-Лиувилля.
В п. 2.4. ЛВ-медот применен для определения чисто мнимого критического собственного значения при динамической бифуркации.
В цикле работ начала ХХ-го столетия по линейным и нелинейным интегральным уравнениям [93] Э.Шмидт ввел системы собственных чисел Xk оператора В : Н -> Н, учитывая их кратности, и собственных эле-
МЄНТ0В {
В*фк = Хк^Рк и позволяющих обобщить теорию Гильберта-Шмидта на несамосопряженные вполне непрерывные операторы в абстрактном сепа-рабельном гильбертовом пространстве Я [21], [56]. Под названием s -чисел эта система нашла многие применения в вычислительной математике и теории некорректных задач [19]. В статьях [40], [33] было предложено спектральное разложение линейных операторов в гильбертовом пространстве по спектру Шмидта и отмечено, что системы подобного вида встречаются в релятивистской квантовой теории Дирака [57], [32] и при исследовании некоторых проблем электромагнитных процессов [10]. Отметим работу текущего года [6] в которой спектр Э. Шмидта применяется в современных физических теориях.
В п.2.5. определены две модельные задачи на спектр Э.Шмидта. В задаче А для двух линейных операторов В и А в гильбертовом пространстве Я введены Л-собственные значения и элементы Шмидта, определяемые равенствами В<р = \Аф, В*ф = ХА*ср. Модельная задача В рассматривает задачу на собственные значения, возникающую в абстрактных системах типа Дирака [32], [64] при нестационарном ветвлении и приводимую к обобщенной задаче на спектр Шмидта. Для обеих задач дана модификация ЛВ-метода: построены операторы ложного возмущения и описан итерационный процесс Ньютона-Канторовича. Рассмотрены прикладные задачи па спектр Шмидта. Это модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь, для которых доказана фредгольмовость обобщенных собственных значений Э. Шмидта. Граничная задача со смещением для системы ОДУ u"+Xv—0, v"+\u=0; 1/(0)=0, u(xo)=u(l), и(1)=0, v(xq)=v(0) , для которой вычислены точные собственные значения и собственные функции. Доказано, что присоединенные элементы отсутствуют. Вычислительный эксперимент, иллюстрирующий ЛВ-метод, выполнен для случая xq=- (приложение 4). Рассмотрена простран-ственно одномерная динамическая задача со смещением, сводящаяся к системе дифференциальных уравнений и" + и = iav, v" + v = —гаи со смещениями в граничных условиях и(0) = 0, u(xq) = и{1), v(l) = 0, v(xq) = v(0). Проведен вычислительный эксперимент по иллюстрации Л В-
метода (приложение 5).
В главе3, в п. 3.1. рассмотрены различные обобщения задач на собственные значения с последующим применением метода ложных возмущений. В п. 3.1. выполнена линеаризация задачи на собственные значения A(t)X = 0, A(t) Є L{E\ —> Е2} , t Є (a, b) в банаховых пространствах последовательностей 1Р(Е{), і = 1,2. По заданным приближениям к собственному ЧИСЛУ Л И ОЖЦ ^о , Щ$ 5 г — 1) » п ) s = 1, , Рг ПО-
строены их приближения для линеаризованной задачи и по схеме п. 2.1. построены модели ложного возмущения с описанием итерационных процессов М. К. Гавурина и Ньютона-Канторовича.
В п. 3.2. предложены обобщения спектральных задач Э. Шмидта. В модельной задаче С определены А -собственные значения и соответствующие им ОЖЦ для системы s операторов Bi,B2, . , Bs. Модельная задача D является обобщенной задачей на собственные значения Шмидта полиномиальной оператор-функции спектрального параметра.
В п. 3.3. отмечены связи JTB-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной. Предложены общие схемы модификации ЛВ-метода.
В приложениях, все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, выполнены с применением системы компьютерной математики Maple 9.5.
Всюду ниже формулы, теоремы, леммы, следствия и замечания имеют сквозную нумерацию внутри каждой главы: первая цифра соответствует номеру главы, вторая — номеру утверждения.
О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации
Рассмотрим связи между ОЖЦ (ОЖН) полиномиальной оператор-функции спектрального параметра В - А(Х) = В- ХАг - Х2А2 - ... - АМ„ (1.17) S ОЖЦ (ОЖН) сопряженной оператор-функции В -А (Л) = В - Х А к к=1 и ОЖЦ (ОЖН) их линеаризации к линейным оператор-функциям спектрального параметра. В отличие от [3], [20] оператор при старшей степени Л не предполагается единичным.
Пусть Е\, Ei банаховы пространства, операторы В и Ak, & = 1,..., s для простоты изложения предполагаются ограниченными. Всюду ниже используются терминология и обозначения принятые в [7], [77], [34].
Определение 1.3. Нули оператора В, отвечающие собственному значению X = 0 обобщенной задачи на собственные значения (В — А(Х))х = 0 назовем ее тривиальными решениями, остальные решения — нетривиальными.
Замечание 1.1. Нули оператора В (оператора А), отвечающие собственному значению X = 0 (/л = 0), обобшртой задачи на собственные значения (В — ХА)х = 0 ((А — iiB)y = 0) назовем ее тривиальными решениями, остальные решения — нетривиальными.
Лемма 1.3. Если операторы А и В не имеют общих нулей, то нетривиальные решения обобщенной задачи па собственные значения Вх = ХАх принадлежат подпространству Е в {Е А).
В серии из пяти работ [92] Ф. Реллих исследовал теорию возмущений спектрального разложения для самосопряженных и симметрических операторов, действующих в гильбертовом пространстве Я. Теория возмущений изолированных точек спектра замкнутого фредгольмова оператора В в банаховом пространстве Е была развита методом диаграммы Ньютона в работах В. А.Треногина [71]. Если для симметрических операторов в гильбертовом пространстве собственные числа и элементы возмущенного оператора аналитически зависят от параметра возмущения, то в общем случае фредгольмова оператора в банаховом пространстве, и тем более оператор-функции спектрального параметра, они разлагаются по дробным степеням малого параметра. Для приложений и, в частности, для развиваемой здесь теории аналитических возмущений интересны случаи аналитической зависимости. Некоторые результаты в этом направлении были получены в работах [69], [76].
Пусть Е\, Ei банаховы пространства; AQ : Е\ D D(AQ) - 1 плотно заданный замкнутый фредгольмов оператор; операторы А\, R : Е\ —» Еч ограничены или в некотором смысле подчинены оператору AQ . Пусть До изолированное собственное значение оператор-функции В = AQ—XR с собственными элементами { fi}i, т. е. Вщ = (AQ — XQR) = 0, а {фк]\ — собственные элементы сопряженного оператора В = А $ - \R ; {"fk}i Є Е[, {фіі Ik) — &ik) {zi}\ Є -, () Фк) = 5ік — соответствующие биортогональ-ные системы. Предполагается, что элементы ц { занумерованы в порядке убывания длин А\ -жордановых цепочек, т. е. первым q\ элементам отвечают Лі -жордановы цепочки длины р\, ..., последним qi собственным элементам отвечают цепочки длины рг, Pi Р2 Ph п = qi + ...+qi и N = piqi +\-piqi — количество элементов всего набора; R-жордановы цепочки имеют единичную длину. Используется терминология и обозначения [7].
Определим собственные числа Х(є) = До + (і(є) и соответствующие собственные элементы задачи на собственные значения А(Е)У = X{e)Ry, (1.20) где А(є) = AQ — eA\ — линейная оператор-функция малого параметра є, а также выясним характер зависимости собственного числа А от малого параметра є.
Уравнение (1.20) допускает представление в виде {AQ — єА\)у = (До + li)Ry или By = (єАі + ііЯ)у. Применим к нему лемму Шмидта и запишем в виде системы J By = eAiy + fj,Ry + 2 iZi, л ї=і \1- Ч где оператор Г = В"1 ограничен. Из первого уравнения системы (1.21) п находим 1у = еТА\у 4- VRy 4- \] frTzi или г=1 п у = Y,W - &М - ) Vi, (1-22) г=1 в предположении, что ЦєГЛі-f iiTR\\ 1. Подставляя это выражение в последние п уравнений системы (1.21), приходим к системе для определения
Коэффициентов l, . . . , тг п ]б(Мі + y.R){I - єГАг - цЩ ірифк) = 0. (1.23) 2 = 1 В самом деле п Ск = (&(І - єГА1 - pTR)-ltpblk) = п г=1 п = & + Єг(Иі + /хД)(/ - єГАг - цЩ- ифк), і-І откуда непосредственно следуют требуемые соотношения. Для того, чтобы система (1.23) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы L{/i,s)= Y, Ь8Гіл8ег= і[{(єА1 + ixR){I-єТАх-iiYRY i k)} = 0.
Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений
Одним из основных вопросов задачи теории ветвления является вопрос устойчивости, который рассматривается наряду с вопросом построения ма лых решений. В работах [90], [28] исследована задача об устойчивости разветвляющихся стационарных решений в случае постоянного оператора В, dx т. е. для дифференциального уравнения А-— = Вх — R(x, є), Я(0, є) — 0, ІХЬ Rx(0,0) = 0, где R(x,e) — аналитический оператор в окрестности точки х = 0, є = 0; А, В — фрсдгольмовы операторы в банаховых пространствах Е\ и Ei.
Рассмотрим дифференциальное уравнение A- = B{e)x-R{x,e\ (1.27) Д(0,є) = 0, / (0,0) = 0, В(є) = В + Віє + В2є2 + ... = В + С (є) для простоты изложения с ограниченными операторами. Определенное для t 0 решение xo(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого б 0, существует 8 0 такое, что для всякого решения x(t) с \\XQ-ато(0)Н 8 при t 0 выполнено неравенство j() = а;()—#o() б; и асимптотически устойчиво, если a{t) — 0 при і — со. Пусть N(B) — span{v?i,..., Рп} , N (B) = spanj i,..., фп} и ж = (е) -- сіационар-иое решение уравнения (1.27). Полагая у — х — х$(е) сводим уравнение (1.27) к виду А = С(ф + Лі(у,є), где ОД = Я(е) - Д оМ.е), Лі(у,е) = ikfffoM + у,є) - Я(хп(є),є) - i?x(a;o(),). Если оператор А имеет полный В-жорданов набор, тот в силу необходимого и достаточного условия полноты обобщенного жорданова набора [7 операто]) А-С (є) обратим для малых є. Тем самым, оператор А имеет полный С (є) -жорданов набор и справедлив принцип линеаризованной устойчивости (90): ответвляющееся от х — 0 решение хо(є) уравнения B(e)x — R(x,e) = 0 устойчиво, если А-спектр (ТА(С(Є)) производной Фрешс С (є) — В (є) — Rx(xo(e),e) на решении хо(є) лежит в левой полуплоскости, и неустойчиво, если существует хотя бы одна точка ц{є) Є СА{С{Є)) В правой полуплоскости. Поэтому вопрос об устойчивости разветвляющихся решений сводится к исследованию поведения точки 0 Є JA(B) при возмущении С(е) — В, В = В(0), в предположении, что (JA{B) \ {0} С {/iRe/2 0}. Если ответвляющееся от х = 0 решение XQ(S) представляется рядом но некоторой дробной степени є, то обозначаем эту дробную степень через б. Тогда справедлив результат теоремы 3 работы [90}:
Пусть корневые числа К (А; В(е)) = q\ + ... + qm и К (В; А) = Pi -f ... + Рп конечны. Тогда метод диаграммы Ньютона, примененный к задаче о возмущении точки О Є СТА(В) оператором С (є) — В позво п ляет вычислять главные члены асимптотики р = Vjpi А -собственных г=1 значений fi(e) оператора С(є), ответвляющихся от собственного значения /І = 0 и тем самым определить устойчивость стационарного решения хо(є) уравнения.
Результат [90] об устойчивости стационарных решений уравнения (1.27) с В{е) = В распространяется на общий случай уравнения (1.27).
Теорема 1.4. Пусть pi = 1, і = 1,...,п и корневое число К(А, B(e))=qi+... -\-qm конечно. Пусть, далее, элементам { г}? - (- ) отвечает полный канонический ОЖН относительно оператор-функции С(є) с оісордановьши цепочками длин Г\ r i ... rn . Тогда, стационарное решение х{е) уравиеиия(1.27) устойчиво, если для соответствующего решения (е) УР (1.4) /(, є) = & — (х(,),%} = 0 главные члены асимптотики собственных значений VJ(E), j — 1,...,п определяемые главной частью матрицы Якоби J = t = [dtk/ds], det{t (s),e)-1yl} = = (-l)ndet[({C{e)-B)[I(C(e)-B)]-1iPk j) + u6kj] = 0 имеют отрицательные вещественные части, и неустойчиво, если хотя бы одна из них полооїсительпа.
Согласно результатам [43], [G3] ОЖН оператор-функции полиномиально зависящей от параметра не всегда может быть выбран каноническим. Для общего случая аналитической оператор-функции в [43], [63] даны примеры несуществования канонической нары { /?г,7г}ї- Этот факт не противоречит результатам для линейной оператор-функции Ш — А21, т.к. линеаризованная оператор-функция всегда имеет каноническую пару {Фг-, Г;}", а Г( может не иметь вида (7І,0, ... ,0). Элементы полного ОЖН нелинейной оператор-функции спектрального параметра могут не быть линейно независимыми. Тем не менее, изложенный в п. 1.2. метод линеаризации позволяет аналогично [44] исследовать устойчивость разветвляющихся ста ционарных решений для уравнения s-ro порядка (s 1) в банаховых пространствах Е\, Еч (3-І) х Л (1.29) As + Л-І ГТ + + f = Вх + f& х{1) f(x,XM,...,x( -l\t)\\ = o(\\x\\), х= max JI IHO, 0 k s—1 для простоты изложения, с ограниченными операторами А\ и В{е), / — нелинейный оператор, достаточно гладкий по х,х 1\ ... ,ж -1 и t в некоторой окрестности нуля в Е\ при всех t 0. Отметим, что т. к. уравнения (1.27) и (1.29) имеют решения не при любых начальных данных, устойчивость разветвляющихся решений подразумевается относительно класса решений с допустимыми начальными данными.
Итерационный процесс Ньютона-Канторовича
Итерационный процесс Ньютона-Канторовича Для определения точного А можно применить к уравнению f l (t) = О модифицированный или основной метод Ныотона-Капторовича, взяв за на 43 чалыгае приближение t = Ао К = A„_i - [f{K)(\o)]-lfifC-l)(K-i), v = 1,2,... (2.19) A, = A„_i - [/ (А !)]-1/ -1 ,-!), і/ = 1,2,... (2.20) Теорема 2.2. Метод Ньютона-Канторовича, примененный к уравнению f( (t) = 0 при достаточно малой норме \\DQ\\ , определяет единственное решение А и имеет квадратичную скорость сходимости.
Доказ а. т е л і» с т в о. Действительно, согласно формулам [7, 31] и неравенству Адамара для определителя, существует константа С такая, что / (Ао) С\\Д), s = 1,...,/С—1. Из равенства (2.18) следует, что /(/С)М = Pi].pn\dct[Sik + О(ро)] Ф 0, откуда в силу непрерывности f (t) существует константа т(р) такая, что / (А„)-1 пг(р) в некоторой /э-окрестности SP(\Q) точки А(). Непрерывность f +l\t) в Sp(Xo) дает условие Липшица с некоторой постоянной /: / (Ai) — / (Аг) /Ai — A2I при VAi, Аг Є S(Xo,p). Следовательно [74, 34.2], если q = 1 00 -m2lC\\D0\\ и р = mCWDoWj Q2 1 Р, то уравнение f l\t) = О fc=0 имеет в шаре SP (\Q) единственное решение А к которому итерации (2.20) сходятся квадратично. Доказательство закончен о.
Замечание 2.1. Согласно теореме [74, 34.3], если 2m2lC\\D0\\ 1 и г = —(\ - y/l-2m2lC\\DQ\\) р, то ите-рации (2.19) модифицированного метода Ньютона-Канторовича сходятся в шаре Sr (Xo) к едииствепному решению А. Скорость сходимости {Xv} к X определяется из неравенства (А — А„ (і - v/l - 2m%7A,ll)"
Итерации {А;,} модифицированного метода Ньютона (2.19) можно построить решив на каждом шаге К,п линейных уравнений (на первом шаге потребуется решить (/С + 1)п уравнений). Действительно, вычисление f{\v-\) сводится к вычислению /;J(A„_I — Ао), т. е. к решению уравнения хп - Го((А„_і - AO)J4I - A)Ki = !о ) равносильного (А, - А Лі Г" + 4.7 = , = 1,..., п. (2.22) у k=l I Для вычисления последовательных производных hj,s{K l) , i,j = 1, ,п, s = 1,... ,РІ согласно (2.14)-(2.17) следует решить уравнения (Л, - vi м)х%- »+f r", тМ = {Г". fc=i (Л, - А УУ ГЧ + ЕЙз_1), ТІМ = А1Х[ (2.23) (Л0 - Av_iA\)xipi+1 + 2_ \xiPi+i Ъо )zk0 - AixiPi fc=l
Соответственно при пі)именеиии основного м(угода Ньютона (2.20) нужно решить (/С + 1)п линейных уравнений на каждом шаге итерации.
Вычислив точное собственное значение А, элементы ОЖЦ можно найти непосредственно из уравнений (2.24) її n J- — 1, . . . , 71, S — 2, . . . , PJ, fc=i л (Ао - XAi)xis + 2(xis, 7І-о)4о = Aixis-h Jfc=l (1) „ VJD_J1) V n (Ai -ХАІ)уг1 + Y,( )S Vii)fiS = 7й. U=l l г — 1,..., ті, s — z,... ,pi, {A 0 - \A\)yis + (4o .Ю 7 о = AJy,-,.!, jt=i (2.25) (я) / (s) решения которых дают л. = жг-Л., да = у,-я.
В статьях [96], [31] предложена модификация основного метода Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью. Она основана на замене нелинейного уравнения g(t) = 0 уравнением F(t) = g(t)e kt, имеющим те же корни. Эта замена дает модификацию итерационного процесса в следующем виде U+i = in - g{tn){g (tn) - kg{tn)}-\ (2.26) g"(f) где произвольный параметр к выбирается в специальном виде к = —jj- r.
Действительно, полагая еп = f — tn получаем следующие соотношения для итераций (2.2G) еп+\ = еп + g(tn)[g (tn) - kg{tn)] l. Отсюда при использовании разложений в ряд Тейлора функций g(tn) и g (tn) в окрестности точного решения t получаем равенства т-1 g {tn) - kg(tn) п+\ 9{U)-n(kg(t„)-(/(t„)) -\\9\іУп + Ід\ПеІ-У \ПеІ к /, « \ й /{Пєп + yfVK - я\П + т/(Пєп - %д" РК \+о(Ы2) X X /(П-У(іуп + У(і )єп + о(\єп\) - -\g"(i )el + У"(П4 + kg (t )el - l-g"(t )el + o(\ef) X X 9\П- д (Пєп + д (Пеп-і-о(\єп\) i-i д"(Г) - kg (Є) - є» (lg" (t ) - \д"(П) + о(\єп\) У"(Г)-Ід"(Г) + о(\єп\) "д (г)-Ц9"(г)+о(Ы) g (t )-en(g"(t )-kg (t )) + o(\en\) — -З
В предположениях теоремы [74, 34.2] о скорости сходимости основного метода Ньютона в [31] доказан его аналог о кубической сходимости предложенной модификации. Таким образом, доказано следующее утверждение Теорема 2.3. Итерационная схема рассматриваемой задачи имеет вид , , Htn-i)g {tn-i) g«,)=/y- )(o ( . sitnW-Щ. 2/( )( 0/( -0 21/ )( 012-/( )( )/( 1)( 0 и обладает кубической сходимостью при достаточно малой норме Д. В монографиях [61], [24], [60] исследован итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена не требующий вычисления производных, обладающий квадратичной скоростью сходимости
Обобщение спектральных задач Э. Шмидта
Отметим связь ЛВ-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с фредголь-мовом оператором при производной. А. Введем задачу на собственные значения B(t, а) = (А0 - Mi - D0 + sD0)tp = 0. (3.11) При 5 = 0 собственным значением является t = До, при 5 = 1 — искомое собственное значение с соответствующими ОЖЦ. При достаточной точности начальных приближений норма \\DQ\\ мала, что обеспечивает сходимость рядов теории возмущений дискретного спектра при s = 1 [7]. Перепишем уравнение (3.11), полагая t — Д0 + \І B{t, s) ЕЕ B(t, 0)(p+(B(t, s)-B(t, 0))ip = (Ao-iXo+rfA Dofy+sDoip = 0. (3.12) Обозначим BQ = AQ — \QAI — DQ и заменим уравнение (3.12) эквивалентной ему системой п Вм = цАцр - sDQ p + &4и & = (р,7$). (3.13) Первое уравнение системы при Ц ГоЛі - зГоДзЦ q 1 имеет решение п Р = Е № - оАг + STQDQ]-1 . (3.14) i=l Подставляя его в оставшиеся уравнения системы (3.13), получаем линейную однородную систему для опеределения l, ..., п п ]Гб((Мі - sD0)[I - Г0(Мі - o)]-VgWg) = 0. (3.15) i=l
Для нахождения поправок /І = JJ,(S) к собственному значению До получаем уравнение разветвления, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между собственными значениями t(s) оператора B(t, s) и корнями fi(s) уравнения разветвления.
УР (3.15) может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [7, 32], учитывая явный вид оператора -Do В. Полагая в уравнении (3.11) t = t(s) = Ло + n(s) и дифференцируя его по 5 получаем задачу Коши dx dt (A0-\Al-DQ + sDQ)— = (Al—-DQ)x1 x(0) = piQ (3.16) или dx dx du, (A0 - t(s)Ax - Z)0)— = (ц(а)Аі - sD0)— + (Аг- - D0)x, x(0) = cpi0. (3.17) Функции /i(s) считаем определенными в виде рядов по дробным степеням 5 согласно методу диаграммы Ньютона. Тогда (3.17) представляет собой задачу Коши для дифференциального уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной, которое может быть полностью исследовано [22], [23], [75] на основе теории разрешающих систем — аналога уравнения разветвления в корневом подпространстве [77].
1. Следуя идее М. К. Гавурина, для линейной оператор-функции спектрального параметра построены модели ложного возмущения, симметрично использующие приближения к кратному собственному значению и обобщенным жордановым цепочкам, такие, что эти приближения становятся точными для возмущенной оператор-функции.
2. На основе общей теории возмущений дискретного спектра фред-гольмовых операторов предложены итерационные процессы последующего уточнения указанных приближений с оценкой скорости их сходимости.
3. Дано развитие ЛВ-метода в применении к спектральным задачам Э. Шмидта с линейным вхождением спектрального параметра.
4. Рассмотрены модификации ЛВ-метода для спектральных задач нелинейно зависящих от параметра на основе их линеаризации в виде матричных операторов.
5. Даны иллюстрации ЛВ-метода с соответствующими численными экспериментами в применении к одномерным задачам с одним и двумя смещениями; для определения чисто мнимых критических собственных значений в задачах динамической теории ветвления; в спектральных задачах Э. Шмидта с приложениями к модельным задачам теории электромагнитных колебаний, к граничной задаче со смещением для системы ОДУ, к пространственно одномерной динамической задаче со смещением; для уточнения корней алгебраических уравнений.
6. Отмечена связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и дифференциальными уравнениями с необратимым оператором при производной.
В перспективе предполагается детальное выполнение схем последнего пункта, а также исследование спектральных разложений по спектру
Э. Шмидта и некоторых других прикладных задач математической физики, в частности при решении задач теории резонаторов, обладающих определенной групповой симметрией. Результаты линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра предполагается использовать для обобщения методов А. Н. Крылова, Леверрье, Д. К. Фаддеева.
Соискатель выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
