Введение к работе
Актуальность работы В последнее время развитие космической и авиационной техники предъявляет повышенные требования к прочности материалов В связи с этим в используемых изделиях специально "усиливаются" направления, подвергающиеся максимальным нагрузкам Наибольший технологический и экономический эффект достигается при использовании материалов с явно выраженными анизотропными свойствами К анизотропным материалам относятся легированные стали, большинство магнитопластов, используемых в промышленности, современные композитные материалы и т д
Традиционно считается, что основные задачи анизотропной теории упругости являются одними из наиболее сложных в теории упругости сплошных сред Более того, классические методы теории упругости в условиях анизотропии пригодны для решения простейших задач упругого равновесия и не дают единого подхода к исследованию основных задач анизотропной теории упругости Поэтому в 30-е годы XX века встал вопрос о широком использовании методов математического моделирования при решении основных задач теории упругости для анизотропного тела
Использование математических моделей позволяет не только решать более широкий класс задач теории упругости анизотропного тела, но и автоматизировать большинство расчетов
Известно, что использование математических моделей в теории упругости изотропного тела оказалось весьма плодотворным В случае анизотропных тел ситуация усложняется
К настоящему времени известны два подхода к составлению математической модели упругого состояния анизотропного тела
Первый развит математической школой, долгое время возглавляемой академиком Н И Мусхелишвили В основе математической модели лежат многоэлементные краевые задачи со сдвигом При подобном подходе, во-
первых, процесс построения математической модели практически повторяет результаты, полученные при исследовании упругого состояния изотропного тела, во-вторых, привлекается хорошо развитый аппарат теории краевых задач со сдвигом Однако данная математическая модель подходит лишь для частного вида анизотропии, к тому же большинство результатов по многоэлементным краевым задачам носит качественный характер и не дает эффективных методов решения
Другой подход был предложен в работах Г С Лехницкого, Г Н Савина, С Г Михлина В этом случае математическая модель строится с использованием векторных краевых задач для аналитических функций Данная математическая модель позволяет рассматривать основные задачи теории упругости для тел с анизотропией самого общего вида, однако используется только для ограниченного вида областей Для областей произвольной формы искомые функции, если их рассматривать в одной точке, не учитывая сдвиг, не являются аналитическими
Если взять за основу вторую математическую модель и ввести в ней понятие функции сдвига, то это не только расширит класс искомых функций, но и позволит решать более широкий класс задач теории упругости анизотропного тела как по виду анизотропии, так и по форме области, ограничивающей упругое тело
Таким образом построение эффективной математической модели основных задач теории упругости на основе краевых задач со сдвигом, исследование ее устойчивости и разрешимости, а также разработка алгоритмов численного решения является актуальной научной задачей
Целью работы является построение эффективной математической модели напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций
Указанная цель предполагает решение следующих основных задач
1 Постановка и решение векторных краевых задач со сдвигом, моделирующих основные задачи теории упругости анизотропного тела
Исследование разрешимости и устойчивости поставленных задач
Выявление случаев, допускающих решение поставленных задач в замкнутой форме
4 Создание алгоритма для построения функции сдвига в виде
полинома
Основная идея заключается в расширении области применения математической модели напряженного состояния упругого тела, построенной на основе векторных краевых задач для аналитических функций, введением в модель функции сдвига, а также использование краевых задач Гильберта и Римана, уравнений Фредгольма и конформных отображений для исследования математической модели
Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функции комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, математического моделирования
Основные научные положения, выносимые на защиту:
Построение математической модели основных краевых задач теории упругости анизотропного тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций
Исследование разрешимости полученной математической модели
Исследование устойчивости математической модели в зависимости от вида нагрузки и от формы тела
4 Исследование функции сдвига и разработка алюритма
аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются
корректным использованием математического аппарата, доказательством всех основных положений,
сопоставимостью полученных результатов с данными экспериментальных исследований,
сопоставимостью с результатами исследований, проведенных
другими учеными
Новизна работы заключается в следующем
впервые было проведено полное исследование математической модели напряженного состояния анизотропного тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций, изучены вопросы устойчивости и разрешимости данной модели в зависимости от вида нагрузки и формы тела,
применен новый подход для исследования функций сдвига, основанный на теории конформных отображений, получен алгоритм для аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа,
в результате получен алгоритм решения краевых задач со сдвигом для анизотропного тела, применимый для анизотропии общего вида и тел сложной конфигурации
Научное и практическое значение работы состоит
в построении математической модели основных задач теории
упругости для анизотропного тела с использованием векторных краевых
задач со сдвигом и ее исследовании,
исследование функции сдвига с использованием конформных отображений,
разработка математического и алгоритмического обеспечения полученной математической модели,
результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные численные методы для решения задач анизотропной теории упругости в области линейных деформаций в самых разнообразных постановках на основе обшей математической модели - векторной краевой задачи со сдвигом для аналитических функций,
результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах прикладной математики и механизации ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА»
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2006, Весенняя сессия - Кисловодск), XVII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г Пенза), I Международной научно-технической конференции «Аналитические численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г Пенза), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия»
Публикации По результатам диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце работы, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК РФ
Структура її объем работы. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, содержит список литературы из 108 наименований, рисунки, таблицы
