Введение к работе
Актуальность проблемы. Математическое моделирование - это математическое описание разнообразных объективно суиествугщих реальностей: явлений и систем различной природы, процессов и сигналов, многообразных зависимостей и причинно-следственных связей.
Применение математических метолоп - нотного инструмента познания и исследования, п ра ооОраэных отраслп:'. знании и сферах человеческой деятельности становится воз-моэтшм линь при предварительном создании математических моделей изучаемых явлении. Сурков разпктио' гщчислительной техники существенно стимулирует этот процесс.
Математическое моделирование становится, по супест-ву, иатнейпюп часты» современной прикладной математики it tto только прикладной. Классы и тими математических коло-лей, как матемаїичйсгії» оСъекты, сами становятся предметами теоретически* исслєдоиаїзіи в различных разделах па-тематики, разнппач и оСогящая ик нопыми нлелмі и напрач-
ЛЄНИЯМЗІ.
Яркой иллюстрацией этону может слуягить тэория приближения функций или конструктивная теория функций (по терминологии а г: ал. С. И. Сернатпйнп) - раздел математики, изучагалш методы построения (конструирования) и свойства математическим полелей, приолижакгаих а тон или ином смисле. Dee началось с фундаментальних работ видагмзщхся уче-jius: К. !3 ей ерп трасса, доказавшего принципиальную позмоя-нссть сколь' угедло точного приближения всякой непрерывней функции полкненамл (степеинь'мі пли тригонометрическими -п' пєрнзкнчсскі-м случае); П. Л. ЧсОьтзпвз, созданного осмо->!ы теории наилучшего прчОлігееііил функций н акад. С. II. Г:орьт.іт«і"ша, молучіїЕїзегр ряд acHGRononara&jy.x результатом, позволивших говорить о новом разделе математики - кон-, структншюп теории функций. Лольшсч"! пклад о становление ;t развитие это:": теории бил сделан рядом известим;-: заруОєтшик учених: і'залле-Иуссйн, Д. Джексон, 1-авр, Г.- Сегё, А. Зигмунд, Р. Элварс и др. и отечественных математиков: Л.Н. Колмогоров, СИ. Никольский, в.Л. Гончаров, II.Н. Лузин,' И.П. Натансон, И.К. Ахиезер, И.ГГ. Корнейчук, П.М.. Тихонпроп, СП. ртеч-кпн, Ю.Н. СубОотнн, П.Л. Ульянов, Н.Я.Иилоккин и'многий: другими.' К середине XX века' классический г>тлп развития -он-структивной теория функции постепенно сменился, норьм 'эта- ном. Он каракгеризуется как углублением основ обшей теория приближения функций с использованием идей и иегодсе функционального анализа, вызванном, в частности, потребностями вычислительной математики и многочисленными приложениями, так и разработкой новых направлений в самой теории. Отметим такие направления как: поперечники функциональных классов (А.И. Колмогоров, S.M. Тихомиров); теория кубатурнмх формул (С.Л. Соболев); экстремальные проблемы теории приближения (В.Н. Тихомиров, Н.П. Корнейчук); теория рядов по системам функций Хаара и Уоляа (и, вообще, »р мультипликативным системам) (П.Л. Ульянов, Н.я. Вилен-кил и др.) Наконец, важным и весьма перспективным направлением современной конструктивной теории функций является теория сплайновых моделей аппроксимации функциональных классов (впервые системно разрабатывались .группой американских математиков во главе с И, Шёнбергом). Значительный вклад в теорию спЛайн-приближений и их многочисленных приложений снесли отечественные математики Н.П. Корнейчук, СБ. Стечкин, Ю.Н. Субботин; группа сибирских математиков, возглавляемая академиками Г.И. Марчук, С.Л. Соболевым, Н.Н, Яневко. Появление теории обобщенных функций, существенно обогатившей классическую теорию и играшую важнейшую роль в математической (и теоретической) фивике и многочисленных физико-технических приложениях, не могло остаться "незамеченной" и в. теории приближения функций. Уникальные свойство обобщенных функций, существенно рования математических моделей, приближающих в том или ином смысле классц функций, а также построения соответствующей теории таких моделей. Вся проблематика такого род* не только назрела, но и становится весьма актуальной для широких исследований. Диссертационная работа, повидиыоыу, является первой работой, в которой сделана попытка системного использования обобщенных функций для конструирования моделей непрерывных (и более гладких) функций и теоретического исследования свойств этих моделей. Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ моделирования гладких функций одного переменного, системно ислользуаавго особые последователь- пости фулкиий {б-послояователыюсти) , сходящиеся в m-г>г!стиоп смігслй к сингулярной оОоСцрпмоі'і функмтш {h-.іУс:-'і:н<) . Цель достигается рсчмошт-г ряда комплексних тсогпїіі-Ч^СКИХ ЗЗДЗЧ и проблем. I. С поз/.'шні тосрші овоСидаїннч фул.чиш": рдзрпОота.'»1/ оснегк операторе».і с Г>-ял;\-::-'Л иксски/. порядком, учнтиизс":!:'. :і;!^ферспшіальі«4с cno.'icis!.* прпОлитг»:.<ыу. функций. Каї: 4<)CT(iui.' случаи изучоїш і-;о::ел>і a ^cf.no тригонометрических и ч?Г.і»'ієвскях л-сумм naiLiyj^cro приОліМ'їння, по-Р'-тядєіліє сверточньа.сі оператсргк.ві с пиротяешпоя! 5-ядроеи иысоьих порядков. і. РачраС-отяни основы теории интерпо;;;,::;іонних моді eft, иЬсальэуюаих б-элеменгы н poj;i! лнтсрлсчяцнонных элементов їм смежных сетках, узли которых осп, нулі! соОс:і;он-iu-іх функций сьерточнііх операторов с Г.-иер'одлческиг.ы 5- ядрами из класса аппроксимативных единиц сворточной ал-георы. Иссладоьани свойства таких моделей как в Форме кьопратуркик Q-cyi-u-i, так и в форме квадратурних Х-сумм. Последние, как si осичные Я-су*ам, являются экстремалями квадратичных функционалов, ію приобретают характер сглаетвасцпх сплайнов, если, интерполяционные панки.» о-приближаемой функции заданы с псгрзглізсті.в. 'і. 'Разработаны начала теории разнообразных лнтерпелчцион-них сплайловых моделей на основ.-; 6-эл(.>ментон (В-сплзйков) из класса финитных рекуррентных дифферении-.алию-разностных (РД1>) б-последователыюстей различных сообщенных степеней. Рсас-н ряд опали п;чссг-нх ': методологических задач по представленій) сплайнаги;: моделей и их .производных в различных формах. Научная новизна работы. Разработаны уеорйтпческне положения, совокупность которых мо;»но киалійиинроиать как новое научное достижение и теории моделирования иепрерьш-ных фулкапокалышх связей (и конструктивной теории функций) . Это достижение снизано с ocotiuu подхода..! а конструировании пр'.ійівіжавщіх моделей, пслслазукдш различные сьойства, представления и теории й-г.сследспателаиостей, образующих класс эквивалентности а смысле сходимости к одной и той -яій сингулярной обоСтадией функции - 5-фуикции. Удалось построить основи сОїцсй, конструктивной и оригинальной теории, охватывающей; с единой 'точки зрения, как некоторые классические частіша результаты, развивая и углубляй их, так и приближающие надели новых видоь и типов. В частности, - это конструкційная теория особо точных приближающих моделей, учитывающих -характеристики гладкости приближаемых функций к построенных на основе введенных автором Б-последовательностей высоких порядков. Возникают модели в форме приближающих сверточных операторов с 6-ядрами высоких порядков и связанные сними полиномиальные модели е форме тригонометрических и чебишевских Х-сумм. высокой точности (наилучшего приближения). Этот класс приближающих моделей в теории приближения ранее не рассматривался. Предлагается перспективный подход (и осноны соответствующей теории) в построении приближающих модольй как иктреыалей, доставляюыие минимум некоторым сгяа.г:ивающиы (параметрическим) квадратичным функционалам. Возникают эффективные и аналитические модели класса Х- полиномиальных, содержащим множество и квадратурних >.-сумм. Так, Htj6op сглаживагвдего функционала с ларл'"*?іг,ич;>-ским члрном п №д«? иптргрирурмсто кііалрпта ііторс'; проп?-иоиігсл'і на мно'клсгпе кпадрлтурних А-сумм природи? it i.io;;t»-лчм с порллкон приближения лишь в "In п" ряя хутго порчпк* лрибяішеїшч куОи^скимл сплідйновііул молодими. Однако та гие побели обладают огромной аналитичностью - г<«?ж!".і качеством is различных приложениях. І' раш,г>к ііреплпго'.-:того полхода и разработанной теории находятся и иитсрполппіїоііиие модели сготлйнопого т;г'тл, определенные на скехных. равномерно распределенных сст?;ах. Сплойногл'е молили и их производи!'" при таком лолхо.'Г' имеют "нсклассичоскни", но оцинаковиЯ імід. В частности, получено и.ч Ooiie-j .политическое прелстаилениз и ^opv:-тригонометрически;; суки с модулировании-*)! коэффициента"'*. 1 ч f' :11ї 'Л? Ч.ЧІІЇ Гї.ії ' t *HiJo _ т l> і'ьліс л і'сші он pa Соті? опрі; л <'"!' ^т- c-i пр.гонением р.радлага'лтх пололо!! і;о hear, т:;: г.іч'.гст".--пи.н.ч, н котерих исг.ользуе/ся технология nrntu:::'.v4ii':u:'. прндстанпеннГ; Фун...ниспал і-.!!'!:-: сичзсіі. Цс;л"СОг;'рдзпо і:;< ''р:*гсч'е»;:'.' і> задача:; теории сигнале!": . C't! Л;'.-.'І.ЧЛГііЄ;-ИЛ"! ПОПУ.ОД, его идеГшо-тооретичоски-.- ;''.. :.'<<". -,j.'; .ч ч->':'г?:.!-іvi»''-_ :;!:о:': і|'>!'Ч!:Л! п Гл-х!іі!'-!''Сі*;і.ч прпл:>-!>>,.'., ґчі'ч-.,!'І' как метод конечних улемгмтсГ). ' :.-.1.--. ;! :">і (: '.-;!> Ю J1 — *." -; t': г-*--ї«і - о гл сї'іноії.чтг.-- мї'ні.іі' "й;::'!:о^" п -,'! ->; ;кч-.скк:-. сснон.к.; «-тода. Оулістоун ?'.)'.-? .-г.ч.чі :'Лк:.сп'.-;!< ррадллгл'-мой тсорхн с осіклаг-И І! (.темаїлч р'-алпаацки і.;--; ечкого !;рпС';;іі;і':е!іно-<)П.",л:ітнч'оскоГс; кетодл роїлен.чч лішоі'лс.!,-: лп^ерклшналыи'х ураднеїл.'Гг и иеследо.чл--цп.'і лїіпі!'лиі.'х (іюсі'а'.'исилрі'.і'х) упроил/то^'х динамических систеп. Н«тод рачрооогон аиторои ;t ппзпан метопом изоСра-)глпг!!нх пскгсро!.', [По раигаїчньпі аспектам применения птого мотели к нас'гоявюыу времени затоплено Ь кандидатски?; лпе-ссрташіі'іі . Нанйолое четко эта связь проявлчетея на эаключи-тельном мтчпо схемы рцалнзчции метода и состоит п восста- поьлошш нскомия функций по их ИзоСражжої'іім векторам. Предлагаете иоцгли эффективна решают оту (обратную) калачу. Сказывается, r.pocipaiiciua различных (б зависимости от ьпірпніюго оазиса) нзобра.*г.:с»их векторов одной и той же функции изоморфны пространствам соответствующих и раз-лпчни.ч приближавший моделей, поэтому восстановление- функции наиболее точно ишюлняетсч v> .>opii-j таких, из оти;< моделей, KOTOpUe І1І.1ЄКТ НаИбОЛЬиУ'дЭ ІІОЗПОТлуіо точность приближения. 'Гак, реализация метода в тригонометрическом базисе ripiiLOWU К НСПОЛЬЭОВаИИа ІіиДИіСЙ триГОИОЫйТр'ПЧйСКИУ. ?.- сумм высокой точности; базис в ьп,-і.- пслпнсиол Ч,-'.синева -і; чеоыаевским Х-суіа-іам ьысоксН точности. Реализация в -ор^е точечных иэе*раж«нш:х векторов па равномерно распределенных ситнах, ассоциируется с рігаяпч-iiuisi сплзйноБими моделями или квадратурными л.-суммами. Структура и объем диссертации
расширяющий возможности классического математического
анализа, создавали предпосылки для неизбежного возникно
вения нового плодотворного научного направления а кон
структивной теории функций, основанного на системном ис
пользовании свойств обобщенных функций не только при до-
« кааательстве теоретических приложений, но и для конструи-
сс:::.н-!' -.он.-р -'::>,::>т и«іі о прі:Г-;г,:>ясі;Н!ЛСі ."тода!'!: пі': пі* —
'>. и ніі'іііс".- "'і\.''.і-'.і'-'."і математики. Зти ci'M:-,;: іл.::>і)т рачнооС-
iv'ii.e с" ('' ' и '' '!'а;:т"р. Уна*ч<Т1М'!.ну>-, часі", и и ни«: ,чр^д-
сто.г:' с""; нгсін* — лытй и опнедть, что ^солісі' і-омл: ;.'Ч-
; i:i!(.i»' Рї;:іУ''.і,-'",-Г>;. Отч-гзті!!'/ !ігі:-л<: ь:л:го, ;іОП'.:г:ріг:-
г'іг..-.!-:.-'. і t. l' г5 - - ь > <-укі\' і'чиїїіті-! -"* '*! f-?::''''.K!!W.! (kovc.-v:';, к.ц;
;vj-,.)'.'h;, до;-: '.> сО">С:;ій*угс'ї' іі-і Рслы'-о;; число i;cp^:i-jiiu.::-cl н
;.!і і;-, '--і,': і-г.-'^л 1.-:4. 'ЧПТ.Г.! Г!.';!'."'<'НГЛ>'іГ, їм ОСИОПО '-.ОТ'"'Р'.:;
с'і'і' і". :';-; і;к'.-ік'-1: Г; ^рнсніг-;." ;мі.\і (прйекіші:ш>:'-'0 '"уголПохожие диссертации на Теоретические основы конструктивного моделирования непрерывных функций на базе дельта-последовательностей
