Введение к работе
Актуальность работы. Тонкостенные оболочечные конструкции находят широкое применение в кораблестроении, самолетостроении, приборостроении, строительстве и других областях. Нелинейная теория оболочек, когда прогиб конструкции соизмерим с толщиной, стала интенсивно развиваться с начала XX века в связи с потребностями кораблестроения. Выдающийся вклад в эту теорию внесли ученые-кораблестроители И.Г.Бубнов и П.Ф.Папкович. Толчком к дальнейшему развитию нелинейной теории оболочек послужил возросший в начале 30-х годов ХХ в. интерес инженеров, прежде всего самолетостроителей, к вопросам устойчивости оболочек под действием разного рода нагрузок. Большой вклад в развитие нелинейной теории пластин и оболочек внесли Н.А. Алумяэ, С.А.Амбарцумян, В.В.Болотин, В.З.Власов, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, К.З.Галимов, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, Т.Карман, Б.Я.Кильчевский, М.А.Колтунов, М.С.Корнишин, А.И.Лурье, Х.М.Муштари, В.В. Новожилов, П.М.Огибалов, Д.Ю.Панов, И.В.Свирский, В.И.Феодосьев, Чен Вей-Цанг и др.
Для придания большей жесткости и более оптимального распределения напряжений пластины и оболочки могут иметь переменную толщину. Конструкции подвергаются не только механическим, но и тепловым воздействиям. Поведение тонкостенных конструкций постоянной и переменной толщины, находящихся в температурном поле и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследованы недостаточно и требуют дальнейших исследований. При расчете пластин и оболочек вариационными методами необходимо задавать вид базисных функций для искомых переменных, удовлетворяющих граничным условиям на кромках конструкции. В случаях закреплений сторон контура, отличных от шарнирного, полные системы функций, достаточно хорошо реализуемые в расчетах, отсутствуют. Разработка теории и методики решения задач и проведение исследований напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости пластин и оболочек постоянной и переменной толщины, в том числе находящихся в температурном поле, является актуальной задачей. Актуальным является создание расчетных алгоритмов, расширяющих круг решаемых задач и уточняющих решение ранее решенных задач. Изложенное определило актуальность темы данной работы и ее цели.
Целью диссертационной работы является создание математической модели НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины при воздействии внешней нагрузки и температурного поля, построение систем функций, аппроксимирующих искомые составляющие перемещения, подбор и реализация на ЭВМ алгоритма, позволяющего апробировать построенные системы функций и решить на их основе новые задачи.
Научная новизна:
– На основе функционала потенциальной энергии для кинематической модели Кирхгофа-Лява построена математическая модель НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины, находящихся под воздействием нагрузки и температурного поля.
– Предложена модификация статического метода В.З.Власова подбора аппроксимирующих функций, позволяющая строить полные системы аппроксимирующих функций для искомых составляющих перемещения, удовлетворяющих различным закреплениям сторон контура пластин и оболочек прямоугольного плана. С помощью этой методики осуществлено построение трех систем функций для составляющих перемещения: систем, базирующихся на синусах, базирующихся на косинусах и систем полиномиального вида.
– Разработаны алгоритм и комплекс программ для решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, с последующим приведением систем линейных дифференциальных уравнений к системам алгебраических уравнений с использованием высоких приближений метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании составляющих перемещения построенными системами функций.
– Путем численного исследования построенные в работе системы функций апробируются на решении тестовых задач, ранее решенных другими авторами и иными методами, и на решении одних и тех же задач с использованием разных систем аппроксимирующих функций. Из сравнения показываются возможность и эффективность использования всех построенных в работе систем функций.
– С использованием предложенной математической модели показано, что при рассмотрении НДС и устойчивости весьма пологих оболочек, различным образом закрепленных по сторонам прямоугольного контура, следует вести расчет с учетом всех возможных вариантов закрепления сторон контура оболочки и выбирать наименее выгодный вариант с меньшим уровнем критической нагрузки, поскольку реальные контурные закрепления могут отличаться от идеальных закреплений расчетной схемы.
– Показано, что для оболочек постоянной толщины в случае большой кривизны на графике «нагрузка – прогиб в центре» наблюдаются петлеобразования. В случае оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, эти эффекты наблюдались другими авторами; в случае оболочек, жестко заделанных по контуру такие эффекты более рельефны и они наблюдались автором впервые.
– Показано, что для оболочек с утолщением в центре петлеобразования прекращаются. При этом уровень критической нагрузки значительно возрастает, а критические внутренние усилия понижаются.
– При рассмотрении задач комбинированного нагружения (нагрузка плюс температура), ярко показывается, что для нелинейных задач принцип независимости действия сил не работает.
Достоверность и обоснованность полученных результатов определяются корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в численных экспериментах, результатам других авторов, полученным иными методами; общефизическим представлениям о характере процессов НДС и устойчивости пластин и оболочек.
Практическая значимость работы заключается в том, что построенная математическая модель и программное обеспечение могут быть использованы в других областях науки и техники, в учебном процессе.
На защиту выносятся:
1. Математическая модель НДС и устойчивости пологих оболочек переменной толщины от действия механических нагрузок и температуры.
2. Модификация статического метода В.З.Власова подбора систем аппроксимирующих функций; системы аппроксимирующих функций, построенные с помощью этой методики.
3. Расчетный алгоритм и программное обеспечение решения нелинейных задач теории пластин и оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений с последующим сведением получающихся линейных дифференциальных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений с помощью метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании искомых величин системами построенных функций.
4. Результаты численных экспериментов, их сравнительный анализ с известными в литературе решениями и с решениями, выполненными с разными системами аппроксимирующих функций, который показал возможность и эффективность использования всех построенных в работе функций.
5. Результаты решения новых задач, полученные с использованием по-строенных в работе систем функций, в частности: петлеобразований на графике «нагрузка – прогиб в центре» для подъемистых оболочек постоянной толщины; исчезновение петель для оболочек с утолщением в центре и возрастание при этом уровня критической внешней нагрузки и др.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета (Саратов, 2004-2008 гг.); на семинаре кафедры вычислительной математики и информатики СПб ГАСУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Вагера Б.Г. (февраль 2005 г.); на XII, XIII и XV Международных симпозиумах «Динамич. и технологич. пробл. механики конструкций и сплошных сред», Москва, МАИ, 2006-2007, 2009 гг.
Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Математика и моделирование» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора Крысько В.А. (октябрь 2008 г.); на научном семинаре кафедры «Механика деформированного твердого тела» СГТУ под руководством академика Российской академии архитектуры и строительных наук, профессора Петрова В.В. (ноябрь 2008 г.).
По результатам исследования опубликовано 9 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 125 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 162 наименований, и содержит 58 рисунков и 6 таблиц.
