Введение к работе
Актуальность работы. В физике, технике, экономике, биологии и химии динамические процессы описывают нелинейными системами автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений в частных производных, интегральных и интегро - дифференциальных уравнений.
К таким системам предъявляется одно общее требование — система должна обладать динамической и структурной устойчивостью.
Результаты основополагающих работ Н.П. Еругина, В.А. Плиса, Н.Н. Красовского, А.А. Первозванского и М.А. Айзермана по исследованию сложных динамических систем получены на основе введения и анализа функций Ляпунова - качественными методами. Однако общего алгоритма её построения не имеется, эвристические приёмы реализуются в частных случаях. Исследование устойчивости посредством построения фазовых портретов на практике возможно, как правило, лишь для систем первого и второго порядка. В известном методе И.В. Войкова функция Ляпунова в явном виде не используется, но правая часть исследуемой системы представляется в виде самосопряжённой матрицы. Такое допущение, очевидно, справедливо в частном случае.
Таким образом, существует актуальная необходимость в развитии методов формирования необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных автономных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями, сводящимися к системам обыкновенных дифференциальных уравнений вида
x(t) =X(x(t), к), (1)
где x(t) = (xi(t),..., xn(t)) — вектор фазовых координат, к = [к\,..., кт) — вектор параметров системы, п, т — размерности пространства фазовых координат и пространства параметров системы, X{x(t), к) = (Хі(ж(), к), ..., Xn{x(t), к)) — в общем случае нелинейная вектор - функция.
Проблема выявления необходимых и достаточных условий динамической устойчивости нелинейных систем усиливается тем, что при изменении параметров динамическая система может переходить из устойчивых состояний в неустойчивые — нарушается структурная устойчивость.
Свойство структурной устойчивости или неустойчивости системы, по А.А. Андронову, устанавливается отсутствием или наличием бифуркаций соответственно. Результаты работ А.А. Андронова, Л.С. Понтрягина по исследованию структурной устойчивости потенциальных систем получены на основе анализа потенциальной функции.
Таким образом, существует необходимость в развитии методов исследования структурной устойчивости нелинейных автономных многомерных динамических систем независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.
На начальных этапах проектирования сложных динамических систем исходные данные не определены и исследование динамической и структурной устойчивости таких систем необходимо проводить в широком диапазоне исходных данных. Проведение таких исследований вручную не возможно из-за ограничений по времени, накладываемых конструктором. Проблема усложняется большой размерностью нелинейных систем.
Таким образом, возникает актуальная необходимость в разработке группы программ исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных динамических систем.
Цели работы:
Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро -дифференциальными уравнениями, сводимыми к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (1).
Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.
Разработка и программирование алгоритмов формирования необходимых и достаточных условий структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.
Создание группы программ исследования структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.
Выявление необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости конкурирующих систем, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фос-
фатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.
Положения, выносимые на защиту:
Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем без введения функции Ляпунова, линеаризации, построения фазовых портретов и качественных методов.
Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем без дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.
Группа программ исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, реализованных на основе системы символьной математики Maxima и высокоуровневых языков программирования lisp и СН—Ь
Необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.
Теоретическое обоснование и практическая реализация изложенных положений составляют сущность диссертационной работы автора.
Научная новизна:
1. Развитие теории методов исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых многомерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями, сводящимися к нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений (1), без использования функции Ляпунова, линеаризации, построения фазовых портретов и независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.
2. Решение проблемы Айзермана для автономных нелинейных динамических систем.
Практическая значимость:
Созданы алгоритмы и реализованы программы исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем, что составляет вклад в исследовательскую базу нелинейных динамических систем.
Получены аналитически необходимые и достаточные условия устойчивости автономных нелинейных динамических систем, существенно развивающие известные эвристические приемы Н.П. Еругина, В.А. Плиса, Н.Н. Красовского, А.А. Первозванского, М.А. Айзермана и Р. Гилмора.
Исследованы на ПЭВМ системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики распространения вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений. Установлены необходимые и достаточные условия их динамической и структурной устойчивости.
Условия получены в широком диапазоне исходных данных и без допущений, введённых в работах М.В. Мелика - Гайказяна, В.Ф. Тарасенко, Р. Гилмора, Дж. Касти и других авторов.
3. Разработанные программы по существу представляют группу про
грамм исследования устойчивости автономных нелинейных динамических
систем и используется в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных
динамических систем и процессов, имеется соответствующий акт о реали
зации от 15 ноября 2010г. Группа программ используется в учебном про
цессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ, выписка
из протокола заседания кафедры от 28 октября 2010г.
Разработанные теоремы и группа программ могут применяться в научно - исследовательских организациях при проектировании и на других этапах создания сложных динамических систем с нелинейными элементами и в вузах при изучении теории и практики проведения исследований динамических систем и процессов.
Достоверность. Достоверность необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных систем
обусловлена строгим математическим обоснованием в виде теорем. Дополнительно подтверждена сравнением результатов, полученных в фундаментальных работах Н.П. Еругина, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, В.А. Плиса, А.А. Первозванского эвристико - качественными методами, с результатами, полученными в диссертационной работе.
Группа программ откалибрована на типовых математических моделях, в результате подтверждена достоверность сформированных необходимых и достаточных условий устойчивости автономных нелинейных динамических систем.
Апробация результатов исследования. В ходе работы по теме диссертации полученные результаты были доложены на 17-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2009); 18-ой международной научно - технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2010); XVI международном симпозиуме «Динамические системы и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова (МАИ, Ярополец, 2010); второй Российской школы - конференции с международным участием для молодых специалистов «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тв-ГУ, Тверь, 2010); 19-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение и радиоэлектроника» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2011).
Группа программ апробировалась в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных динамических систем и процессов, а также в учебном процессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из них — в изданиях, включённых в перечень ведущих российских рецензируемых научных журналов, утверждённый ВАК Минобрнауки России.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем составляет 145 страниц; диссертация содержит 2 таблицы и 44 иллюстрации.
Похожие диссертации на Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем без функций Ляпунова и потенциальной функции
