Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод функций ляпунова в задачах приемлемости приближенных решений линейных систем 16
1.1. Понятие приемлемости. Постановка основных задач 16
1.2. Приемлемость решений вырожденных уравнений движения механических систем 19
1.3. Преобразование переменных 22
1.4. Свойства решений вырожденной системы уравнений 23
1.5. Исследование приемлемости решения вырожденной системы методом функций Ляпунова 29
1.6. Сохранение приемлемости при возмущениях 40
1.7. Пример исследования приемлемости 43
Глава 2. Механические системы частного вида. приемлемость решений вырожденных уравнений 47
2.1. Понижение порядка уравнений движения диссипативной системы 48
2.2. Понижение порядка уравнений диссипативной системы при наличии гироскопических сил 55
2.3. Понижение порядка уравнений движения гироскопической системы 65
2.4. Понижение порядка дифференциальных уравнений движения механических систем с малым параметром при старших производных 72
2.5. Пример оценки значений параметра приемлемости 78
Глава 3. Оценка погрешности приближенных решений нелинейньгх дифференциальных уравнений методом функций Ляпунова 83
3.1. Четаевская А - X оценка погрешности линеаризованных дифференциалных уравнений системы автоматического регулирования 82
3.2. Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях 93
Глава 4. Алгоритмы построения оценок параметра приемлемости и погрешности приближенных моделей 105
4.1. Алгоритм нахождения значений параметра приемлемости 107
4.2. Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова 108
4.3. Использование экстремальных функций Ляпунова при вычислении значений параметра приемлемости 111
Заключение 114
Список литературы 11 б
- Приемлемость решений вырожденных уравнений движения механических систем
- Понижение порядка уравнений диссипативной системы при наличии гироскопических сил
- Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях
- Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова
Введение к работе
В настоящее время наблюдается высокий уровень развития средств современной вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем особенного внимания требует проблема построения и оценки адекватности приближенных математических моделей сложных систем. Особенно важны такие оценки погрешности приближенной модели, которые справедливы для целых классов зависимостей, а не только для конкретных функций или значений параметров. Для динамических систем важное значение имеют и размеры временной области, в которой сопоставляются результаты, полученные по приближенной и точной моделям.
Упрощенные модели часто являются единственным средством качественного анализа процессов, используемым на этапе предварительных расчетов при проектировании сложных систем. Понижение порядка дифференциальных уравнений модели способно существенно снизить затраты машинного времени, что особенно важно для моделей очень большой размерности.
Одним из методов получения оценок приближенных решений является метод, основанный на использовании функций Ляпунова. Изначально метод функций Ляпунова предназначался для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Н.Г.Четаев первым (1957г.), предложил использовать этот метод для оценки погрешности приближенных решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта идея Н.Г.Четаева получила в работах В.Н.Скимеля. Ему принадлежит строгая математическая формулировка понятия приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений по существенным параметрам. Используя квадратичные функции Ляпунова, В.Н.Скимель получил критерии проверки приемлемости приближенных решений линейных динамических систем. Впервые понятие и термин «приемлемость» применительно к приближенным решениям дифференциальных уравнений динамики гироскопических систем использовал Д.Р.Меркин (1956г.).
Реализация оценок, получаемых методом функций Ляпунова, затрудняется необходимостью решения нелинейных неравенств и матричных уравнений высокого порядка. Эти трудности могут быть преодолены с помощью возможностей современной вычислительной математики и компьютерной техники. При этом появляется возможность оптимизировать качество этих оценок и сделать их более доступными для специалистов прикладных областей.
Таким образом, актуальными являются создание строго обоснованных критериев возможности использования упрощенных дифференциальных моделей механических систем; дальнейшее развитие метода функций Ляпунова как средства оценки точности приближенных решений дифференциальных уравнений; создание доступных алгоритмов и программ для численной реализации оценок погрешности приближенных моделей на основе метода функций Ляпунова.
Связь диссертационной работы с планами НИР, НИОКР и проектами по грантам. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы», а так же в учебном процессе МарГТУ.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является получение аналитических и численных оценок погрешностей приближенных дифференциальных моделей механических систем, содержащих существенные параметры.
В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие основные задачи:
1. Анализ методов исследования упрощенных моделей как средства качественного анализа процесса функционирования системы. 2. Моделирование направлений развития метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей
3. Разработка алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений
4. Реализация алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений в виде программ
Методы исследования. Работа выполнена с применением методов функций Ляпунова, аппарата матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории оптимизации, метода эллипсоидальных оценок областей изменения фазовых переменных динамических систем. При выполнении численных исследований использован пакет программ общематематического назначения Mathcad.
Научная новизна. К результатам работы, отличающимся научной новизной относятся:
расширение понятия «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц порождаемых квадратичной функцией Ляпунова метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей. алгоритмы построения численных оценок параметра «приемлемости», отличающиеся оперативной оценкой качества приближения при численной минимизации погрешности, реализованные в виде программы для ЭВМ.
Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании методики оценки погрешности приближенных решений, получаемых в результате замены исходных дифференциальных уравнений вырожденными. Данная методика позволяет повысить качество оценок погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений получаемых на основе метода функций Ляпунова. В рамках диссертационного исследования разработаны компьютерные алгоритмы и программы для получения количественных данных о погрешностях приближенных решений
Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде компьютерных программ, позволяющих получить оценки погрешности приближенной модели или выбрать значение существенного параметра, обеспечивающего заданную точность приближенной модели. Результаты диссертационной работы используются в учебном процесссе механико-машиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05-07-90313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Г7 Международной научной конференции "Циклы природы и общества" (г.Ставрополь, СГУ, 15.10.98 г.), на научной конференции аспирантов КазГТУ (г.Казань, 9.02.99 г.), на научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов МарГТУ (г. Йошкар-Ола, 1998г.), на третьих Вавиловских чтениях (г.Йошкар-Ола, 1999г.), на 4-х Ахметгалеевских чтениях (Казань, КазГТУ, 2000 г.), на научной конференции преподавателей и аспирантов Московского университета Дружбы народов (Москва, 25.05.1999 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, СарГУ, 2000г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] — доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, в [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, в [8] — аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 72 наименования. Основная часть работы изложена на 121 странице, содержит 9 рисунков.
Использование в современной технике сложных динамических систем различного назначения приводит к построению для них сложных математических моделей, аналитическое исследование которых, как правило, наталкивается на значительные трудности. Между тем для практики, особенно на этапе предварительного проектирования таких систем, обычно необходимы лишь интегральные характеристики, описывающие качественные особенности поведения системы.
В настоящее время наблюдается на высокий уровень развития вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем остается актуальной проблема построения приближенных математических моделей сложных систем и обоснование их приемлемости. Слово "приемлемость" здесь используется пока в обыденном субъективном смысловом значении и выражает удовлетворенность исследователя в отношении тех или иных свойств приближенной модели. (Таким свойством может быть, например, малость отклонений результатов, получаемых при использовании точной и приближенной моделей).
Упрощенные модели являются одним из средств качественного анализа процесса функционирования системы на этапе предварительных расчетов. Упрощенные модели могут использоваться и в том случае, когда информация о входящих в математическую модель членах высокого порядка является недостаточной.
Наиболее известными приемами получения упрощенных математических моделей являются:
- выделение и отбрасывание в уравнениях исходной модели второстепенных членов;
- упрощение функциональных зависимостей, содержащихся в уравнениях исходной модели (линейная, полиномиальная и др. аппроксимации);
- декомпозиция системы уравнений исходной модели на группы не связанных между собой более простых систем уравнений.
Согласно сложившейся позднее терминологии дифференциальные уравнения с большим или малым параметром при членах с низшей производной стали называть регулярно вырожденными, а уравнения с малым параметром при высшей производной - сингулярно вырожденными.
В дальнейшем эта теорема послужила теоретическим основанием для построения приближенных моделей и асимптотического анализа решений краевых задач. В тоже время для задачи Коши на бесконечном интервале изменения времени теорема Тихонова, насколько нам известно, не использовалась.
Возможность аппроксимации решения дифференциальных уравнений движения гироскопической системы (в линейном приближении) решениями вырожденной системы «прецессионных» уравнений была впервые исследована Д.Р. Меркиным в его работе [41]. Им же был введен и термин "приемлемость", используемый впоследствии другими авторами. Его исследования показали, что в уравнениях движения гироскопической системы в линейном приближении можно отбросить члены, содержащие вторые производные. Решения полученных при этом "прецессионных" уравнений могут сколь угодно мало отличаться от решения исходной системы, если характерные параметры системы (угловые скорости собственного вращения гироскопов) достаточно велики. Для обозначения этого свойства решения прецессионных уравнений в монографии [41] был введен термин "приемлемость". Для обоснования приемлемости использовалось сравнение асимптотического поведения решений исходных и прецессионных уравнений при значениях характерного параметра Н — оо.
По-видимому, впервые на возможность применения метода функций Ляпунова для оценки погрешности приближенных математических дифференциальных моделей указал Н.Г.Четаев в работе [62].
Метод функций Ляпунова первоначально был предложен Ляпуновым для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Устойчивость оценивается по поведению отклонения невозмущенного (исходного) решения дифференциального уравнения и возмущенного решения того же дифференциального уравнения. Основным условием применения этого метода является наличие системы дифференциальных уравнений для отклонений возмущенного и невозмущенного решений (так называемых уравнений в возмущениях).
Методы аналитической механики и устойчивости движения (метод функций Ляпунова) оказываются достаточно эффективными для оценки отклонения решений. Важной особенностью метода функций Ляпунова является отсутствие необходимости строить само приближенное решение. Метод довольствуется фиксированием лишь общих его свойств (непрерывность, ограниченность и т.п.).
Широкое обобщение понятия приемлемости приближенных решений системы, содержащей существенные, параметры было дано в работе В.Н.Скимеля [54]. В этой работе на основании метода функций Ляпунова формулируется достаточный критерий приемлемости. Критерий сводится к выполнению двух неравенств, которые могут быть использованы и для доказательства приемлемости, и для получения оценок погрешности приближенных решений. Показана применимость предложенного критерия при понижении порядка модели, когда решения получаемых при этом вырожденых уравнений принимаются за приближенные для исходной системы.
Точность оценки отклонения, получаемой с помощью метода функций Ляпунова, как указывал сам Н.Г.Четаев [62], невелика. Она может быть увеличена, если эллипсоид V(x) = С приближается к шару. Такого рода оптимизация оценки за счет выбора коэффициентов формы V(x) была предложена в работе Пустовойтова [44]. Заметим, что эллипсоидальные оценки, несмотря на их грубость, применяются для оценки областей достижимости в теории управляемых систем Черноусько [59].
Решаемые задачи тесно связаны с общими вопросами динамики рассматриваемых систем.
В первой главе формулируется общее определение приемлемости приближенного решения системы дифференциальных уравнений, содержащих существенные параметры. Дается определение приемлемости решения вырожденной системы, полученной отбрасыванием членов с высшими производными. В связи с этим обсуждаются такие свойства вырожденных систем как область изменения их решения, условия ограниченности их решений и производных от них, оценки области их изменения при условии ограниченности производной от правых частей исходной системы. На основе метода функций Ляпунова сформулированы достаточные условия приемлемости решения вырожденной системы. Дается пример применения достаточных условий приемлемости для оценки значений параметра, обеспечивающего приемлемость приближенных решений.
Во второй главе доказывается приемлемость решений вырожденных систем для линейных нестационарных систем частных видов. Рассматриваются четыре типа дифференциальных уравнений движения механических систем, которые содержат существенный параметр. Сформулированы и доказаны теоремы о приемлемости по обобщенным координатам решений вырожденных уравнений. Для доказательства теорем использовался метод функций Ляпунова, достаточные условия приемлемости.
В третьей главе рассматривались задачи оценки погрешностей приближенных решений для нелинейных. В первой из рассмотренных систем описывается поведение системы непрямого регулирования. Сравнивается поведение такой системы при линейной и нелинейной характеристиках регулятора. На основе дифференциального уравнения для отклонений методом функций Ляпунова получена оценка отклонений решений. Вторая задача рассматривает приемлемость приближенного решения нелинейной динамической системы, обобщенные силы которой диссипативные силы которой линейно зависят от обобщенных скоростей и нелинейно от обобщенных координат. В качестве приближенного рассматривается решение вырожденной нелинейной системы, полученной из исходной отбрасыванием членов со второй производной.
В четвертой главе предлагается метод оценивания области изменения фазовых переменных линейных неавтономных систем, основанный на использовании экстремальных функций Ляпунова. Этот метод применяется для построения оценок значений существенного параметра, обеспечивающих приемлемость.
Приемлемость решений вырожденных уравнений движения механических систем
Как известно [40] дифференциальные уравнения движения механической системы, испытывающей действие линейных сил - потенциальных, дис-сипативных, гироскопических - имеют ВИД: Aq + Gq + Cq=f(0 (1.6)
Здесь q = col{qi,...,q] ) - вектор обобщенных координат системы; А - матрица инерции, С - матрица жесткости (обе симметричные, положительно опреть деленные); G = В + Г, где В = В - положительно определенная матрица дис т сипативных сил; Г = —Г - кососимметрическая матрица гироскопических сил; кусочно-непрерывная при t 0 вместе со своими производными вектор-функция f (t) соответствует действующим на систему возмущающим силам.
Предположим, что матрицы A, G, С зависят от набора параметров (а,\, а2, ...,ar) = a є Ga, не конкретизируя пока форму этих зависимостей. Заметим, что при сделанных предположениях G - невырожденная матрица. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему u = —Gu и положитель 1 2 но-определенную квадратичную форму V = — u , производная которой в силу этой системы V = u и = —u Ви является отрицательно определенной функцией. Значит решения рассматриваемой системы асимптотически устойчивы, а поэтому корни уравнения det(-G - соЕ) = 0 имеют отрицательные вещественные части Re(o).-) 0. Характеристические числа матрицы G отличаются от этих корней лишь знаком, поэтому их действительные части положительны. В силу известного свойства характеристических чисел мат к рицы [13] определитель det(G) = П(-юг) 0 . s=\.
Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Из приемлемости решения вырожденного уравнения (1.15) по переменным Ъ, для уравнения (1.14) следует и приемлемость решения (1.7) по переменным q для уравнения (1.6). Таким образом, любое невырожденное линейное преобразование (1.13) переменных q в системе (1.6) сохраняет приемлемость решений соответствующей ему вырожденной системы. Поэтому, при исследовании приемлемости можно воспользоваться более простым преобразованным уравнением вида (1.14) вместо исходного уравнения (1.6).
Прежде всего покажем, что для вырожденной системы (1.7) имеет место асимптотическая устойчивость. Напомним, что линейная система дифференциальных уравнений называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если все решения этой системы устойчивы по Ляпунову (асимптотически устойчивы) [16].
Следовательно, производная по времени от положительно определен т ной функции К = р Ср в силу системы (1.18) является отрицательной повсюду, кроме многообразия р = 0, которое не содержит целых траекторий системы (кроме изолированного положения равновесия р = 0). Тогда из теоремы Н.Н. Красовского [24], следует асимптотическая устойчивость системы (1.18), а, следовательно, и неоднородной системы (1.8) при любой функции f(0 [16].
Важным для последующих рассуждений следствием асимптотической устойчивости системы (1.7) или (1.8) является отрицательность действительных частей характеристических чисел матрицы — G С.
Асимптотическая устойчивость решений неоднородных систем (1.44) , (1.46) при любых свободных членах следует из асимптотической устойчивости соответствующей однородной системы [16].
Перейдем к получению условий приемлемости решений вырожденной системы (1.45) для исходной (1.44) в смысле определения 2.
Будем рассматривать скалярную положительно-определенную при всех ає(?д функцию V(x,а), определенную в пространстве R2 отклонений х = col(y, z) и зависящую от существенных параметров а системы. Будем предполагать, что все первые частные производные этой функции по х непрерывны.
Заметим, что эта производная может оказаться кусочно-непрерывной функцией времени, из-за того, что входящие в правые части системы (1.46) функции р(ґ,р0,а) имеют конечные разрывы.
Понижение порядка уравнений диссипативной системы при наличии гироскопических сил
Докажем следующую теорему. Теорема 6. Решение вырожденной системы (2.33) является приемлемым по параметру а для системы (2.32) в смысле определения 2. По ходу доказательства этой теоремы неоднократно выполняется обращение матриц вида А = В + /JC. Поэтому правило такого обращения сформулируем в виде леммы. Лемма 3 (об обращении матрицы с параметром). Пусть A(JU) = B(M) + JUC(JU) элементы матриц В и С - дифференцируемые в точке ju = 0 функции малого параметра ju; матрица В при ju = О неособенная (В(0) ФО). Тогда справедливо представление А- (//) = В" (0) + ju 6(//), где 0(//) -матрица, элементы которой имеют при ju — 0 конечные предельные значения. Доказательство: Элементы обратной матрицы А (//) определяются по известной формуле U 1АС") я0 (М)Мп + » + я„-і (М)М + ап где Ajj (ju) - алгебраическое дополнение элемента а (//) матрицы A(/i); определитель \А{/л)\ в знаменателе при // = 0 имеет ненулевое значение; т п, п- порядок матриц. Очевидно все а {/л) являются дифференцируемыми при /л— 0 функциями параметра, поскольку А(0) Ф 0, а коэффициенты ар (//), by1 (//) получены из дифференцируемых функций я-- (ju) С ПОМОЩЬЮ операций сложения и умножения.
Заметим, что элементы всех используемых в дальнейшем матриц являются дробно-рациональными функциями параметра /л. Поэтому из существования конечного предела в у (/л) при // — 0 следует как их непрерывность, так и дифференцируемость при /л = 0.
Из (2.59), (2.60) следует, что левая часть неравенства (1.63) при / — 0 и фиксированном Є\ 0 имеет конечное ненулевое предельное значение. Поэтому для выполнения (1.61) достаточно, чтобы величина h(a), ограничивающая норму вектора Dy, могла быть сделана сколь угодно малой за счет выбора параметра а (или /и).
В силу доказанной ограниченности всех норм в правой части (2.82) имеем для достаточно больших значений а оценку: И- -1 и 2A HfN2+L2Y/2 a Поскольку левая - є\ д/Лшп (а) Ртах 0я) и правая - 2h(a) части неравенства (1.63) имеют одинаковый порядок относительно параметра a , то выполнение неравенства (1.63) можно обеспечить при любых значениях єі 0, только накладывая на производную от возмущений дополнительное условие: сГт ,т (2.92) Тогда, за счет выбора достаточно большого значения параметра а можно добиться выполнения неравенства (1.63), обеспечив, таким образом, достаточные условия приемлемости решения вырожденного уравнения (2.69).
Доказательство. Для установления приемлемости решения вырожденной системы (2.94) по координатам для исходной системы (2.93) проверим выполнение условий (1.57) и (1.63) теоремы 3.
Поскольку величины ртах (р) и Ят}п (р) имеют одинаковый порядок, то левая часть неравенства (1.63) при р —» 0 стремится к конечному, независящему от р пределу. Величину h(ju) (ju = a ) в правой части неравенства (1.63) оценим с помощью (2.14), учитывая (2.100) и, полагая, что имеет место ограниченность \\p(t,p0)\\ H при t t0, \\ро\\ 1 где / - произвольно выбранная и фиксированная постоянная. Получим h{ii) — 0 при р. -» 0. Таким образом, достаточно малое значение параметра р , при котором выполняются оба неравенства (1.57), (1.63) при любых наперед заданных є\, с 2 существует, что и доказывает приемлемость приближенного решения. Другим достаточно часто встречающимся в приложениях случаем является динамическая система, поведение которой описывает дифференциальное уравнение п-го порядка с малым параметром при высшей производной. Приближенное решение неоднородного уравнения я—го порядка с малым параметром при старшей производной Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение п-то порядка: вида // " +0 -1) +... + ап_гІ + апї = Яі) (2.102) где /л- малый параметр, а\,...,ап - постоянные коэффициенты, f{t)- функция, ограниченная вместе со своей производной при t 0. За приближенное решение уравнения (2.102) примем решение вырожденного дифференциального уравнения: сци 1"1) + а2и( п Т} +... + ап_ій + апи = f(t) (2.103) которое получено из (2.102) отбрасыванием члена рЕ 1 со старшей производной.
Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях
Постановка задачи. Здесь формулируется задача приемлемости для динамической системы, диссипативные силы которой линейно зависят от обобщенных скоростей и нелинейно от обобщенных координат.
Приводимое здесь определение предложено в работе [2] , в которой была установлена приемлемость приближенных решений для однородной системы, соответствующей (3.48).
Свойства решений вырожденной нелинейной системы. Для последующих оценок потребуется не только установить характер зависимости решения р(/,а,ро) вырожденной системы (3.52) и его производных р, р от параметра а , но также и оценить область изменения решения системы (3.52) при заданных начальных условиях ро. Очевидно, эта оценка должна учитывать интенсивность возмущения f (t) и значения коэффициентов уравнений, определяемых матрицами B(q), С .
Как было уже отмечено в п.п.1.1, после положительного решения принципиального вопроса о приемлемости приближенного решения, естественным образом возникают следующие задачи:
Задача 1. Определить числовые значения существенных параметров (а\, а2, ., ат ) = а , которые обеспечивают заданную норму є отклонения приближенного решения от точного.
Задача 2 (обратная). Найти наибольшее значение є нормы погрешности приближенного решения при заданных значениях (аь а2,. , ат ) = а существенных параметров.
На примере решения задачи 1, рассмотренном в п.п.2.6, для системы невысокого (4-го) порядка со скалярным параметром а продемонстрированы возникающие при этом трудности, которые делают принципиально невозможной аналитическую форму решения как первой и так и второй задачи. Единственный и естественный способ преодоления этих трудностей - использование численных методов и вычислительной техники.
Среди возникающих в ходе решения задач 1 и 2 подзадач, требующих численного решения, можно выделить: - традиционные задачи линейной алгебры (обращение матриц, вычисление характеристических чисел матриц, решение обобщенной задачи о характеристических числах); - решение матричного уравнения Ляпунова (1.53) при произвольной правой части; - решение нелинейных алгебраических уравнений с одной неизвестной (параметром а);
Еще Н.Г.Четаев [62] высказал справедливое предположение о грубости оценок отклонений приближенных решений, получаемых методом функций Ляпунова. Следует заметить, что эта грубость является справедливой платой за универсальность метода Ляпунова и за общность получаемых результатов.
Повышение качества оценок, получаемых методом функций Ляпунова, можно попытаться добиться в двух направлениях:
- использовать вместо шаровой (п.п.1.5) более тонкую эллипсоидальную оценку области отрицательных значений производной функции Ляпунова;
- применить для построения оценок «оптимальных» функций Ляпунова, т.е. таких, которые дают наилучшие значения параметра а (задачаї) или наименьшее значение нормы предельных отклонений. (задача2).
В первом случае используются алгоритмы построения эллипсоидальных оценок, предложенные Ф.Л.Черноусько [59]. Во втором - алгоритм многомерной оптимизация по матричной переменной Т » 0, стоящей в правой части уравнения Ляпунова.
Последним, но немаловажным обстоятельством является доступность методики построения оценок (решения задач 1 и 2) для специалистов прикладных областей. Поэтому все предлагаемы алгоритмы реализованы на базе единого доступного общематематического пакета Mathcad 7.0.
В данной главе представлены результаты, полученные для линейных неавтономных динамических систем с одним скалярным параметром а , которые рассматривались в главе 2: 1) описаны алгоритмы численной реализации оценок, полученных методом функций Ляпунова в главе 2; 2) исследована возможность улучшения качества оценок с помощью методов многомерной оптимизации.
Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова
Как видно из анализа доказательства леммы 2 (п.п.1.5) правая часть неравенства (1.63) выражающего второе достаточное условие приемлемости решения вырожденной системы, использует довольно грубую шаровую аппроксимацию области отрицательных значений производной V.
Последнее неравенства означает, что область Q неотрицательных значений производной V аппроксимируется шаровой областью радиуса R -/г(а) в 2&-мерном пространстве отклонений.
Будем считать, что область изменения вектора y(f) известна и представляет собой эллипсоид Ey&R (вектор у имеет только к ненулевых компонент). В этом случае область изменения вектора v = T_1D у будет вырожденным эллипсоидом Е\ в В2 , а само множество Q будет представлять собой объединение семейства эллипсоидов (4.2), зависящих от параметра у (рис.9).
Все эллипсоиды (4.2) подобны, т.е. имеют одинаковые направления главных осей и одинаковые отношения соответствующих полуосей, а отличаются только положением центра (вектором v) и объемом (скалярным параметром b) . Поэтому можно заменить их одним эллипсоидом Е2 наибольшего объема.
Такое представление области Q позволяет использовать для неё эллипсоидальную аппроксимацию, предложенную в работах Ф.Л.Черноусько. Применительно к нашему случаю это будет построение эллипсоида EQ наименьшего объема, заключающего в себе сумму эллипсоидов Е\ и Е2 .
Условие существования нетривиального решения системы (4.3) det( D - AQ-1) = 0 позволяет найти стационарные значения Л , равные характеристическим числам матрицы DS. Пусть X какое-нибудь из этих зна-чений, а х - соответствующее ему решение однородной системы (4.3), удовлетворяющее исходному условию xTQ_1x = 1.
Ляпунова V (х) =х D х , определяемая уравнением (1.53) с точностью до произвольной положительно определенной матрицы Т. Таким образом оценка (4.5) зависит от выбора матрицы Т, и этот произвол в выборе матрицы Т может быть использован для некоторой оптимизации оценки, наподобие того как это сделано в работе [50] для однородной динамической системы.
В данной диссертационной работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений, описывающих широкий класс механических систем, коффициенты которых содержат существенные параметры. Для таких систем уравнений при некоторых значениях параметров может ставиться вопрос об их замене более простыми - вырожденными дифференциальными уравнениями. При этом решение вырожденной системы оказывается достаточно близким (приемлемым по выбранным параметрам) к решению исходной системы.
Основными результатами диссертационной работы являются новые методы исследования и оценки близости решений точных и вырожденных систем уравнений. Эти результаты заключаются в следующем:
1. Доказаны теоремы о приемлемости приближенных решений линейных неавтономным относительно параметров при матрицах инерции, дисси пативных и гироскопических сил.
2. Доказаны теоремы о сохранении приемлемости для линейных неавтономных систем при линейных невырожденных преобразованиях переменных и при наличии малых нелинейных постоянно действующих возмущений.
3. Доказана теорема о приемлемости решений вырожденных уравнений для системы, содержащей нелинейность в коэффициентах при первой производной.
4. Получена оценка погрешности при линеаризации дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования с непрямым регулированием.
5. Разработан новый метод эллипсоидальной оценки области изменения отклонений решения вырожденной системы от точного решения.
6. Предложена процедура оптимизации оценки параметра приемлемости за счет выбора в классе квадратичных форм экстремальной функции Ляпунова.
7. Разработаны алгоритмы вычисления оценок погрешностей приближенных решений рассмотренных в работе типов дифференциальных уравнений.
Похожие диссертации на Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей
