Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Управление тепловыми режимами на поверхностях в турбулентном сверхзвуковом потоке 15
1.1. Математическая модель для расчета тепловых режимов в двухфазной среде: «газ-стенка» 15
1.2. Определение поля температур в твердой стенке, составленной из пластин с различными теплофизическими свойствами .,..21
1.3. Определение поля температур в стенке переменной толщины 40
1.4. Расчет уравнений турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке 43
1.5. О потребном перепаде давления над пористой стенкой, обеспечивающем заданный закон вдува охладителя 47
ГЛАВА 2 Управление тепловым режимом на адиабатической стенке с помощью газовых завес 50
2.1. Типы газовых завес и их эффективность 50
2.2. Газовая завеса с предвключенным пористым участком 57
2.3. Газовая завеса, создаваемая тангенциальным вдувом газа через щель 59
2.4. Числовые расчеты газовых завес 61
ГЛАВА 3 Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем в сверхзвуковом потоке 65
3.1. Аппроксимирующая система второго приближения 65
3.2. Постановка и решение оптимальной задачи для случая обтекания клиньев 70
3.3 Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке 77
3.4. Минимизация сопротивления трения в сверхзвуковом потоке на основе точных уравнений движения типа Прандтля 81
Заключение 87
Список использованных источников
- Определение поля температур в твердой стенке, составленной из пластин с различными теплофизическими свойствами
- Расчет уравнений турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке
- Газовая завеса с предвключенным пористым участком
- Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке
Введение к работе
Для большинства газов внутренние трения и теплопроводности проявляются в основном в довольно тонких слоях, примыкающих к обтекаемой поверхности. Поэтому для решения многих практических задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями пользуются идеями и методами теории пограничного слоя, которые были предложены Л. Прандтлем для течения несжимаемой жидкости в 1904 г. [74].
Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной и дала мощный толчок к развитию теоретических исследований. Под влиянием задач, поставленных развитием авиационной и ракетной техники, эта теория быстро развилась и превратилась в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.
Следует отметить, что в зависимости от значений числа Рейнольдса и других условий течения внутри пограничного слоя, он может быть ламинарным или турбулентным. Теория ламинарного пограничного слоя в настоящее время довольно глубоко развита в многочисленных исследованиях [см. например 27, 36, 43, 44, 52, 60, 68], чего нельзя утверждать в отношении турбулентного пограничного слоя.
Главными областями применения теории пограничного слоя являются задача о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела, расчет теплопередачи между телом и обтекаемой жидкостью, определение точки отрыва пограничного слоя и др.
Имеются различные способы, позволяющие влиять на характеристики пограничного слоя. Один из таких способов, заключающийся в отсасывании пограничного слоя, указал еще Л. Прандтль в своей первой работе о пограничном слое.
Как показали расчеты, ламинарный пограничный слой в состоянии преодолеть без отрыва относительно небольшое расстояние, а при турбулентном тече-
5 ний опасность отрыва значительно меньше, чем при ламинарном, так как турбулентное течение дает непрерывный перенос импульса из внешнего течения в пограничный слой. Несмотря на это и при турбулентном режиме течения желательно управлять пограничным слоем.
Методы управления пограничным слоем проверены экспериментально [1, 3, 7, 8, 38, 40, 41], а часть из них исследована теоретически [6, 27, 36, 39, 49, 59, 60, 68]. Все способы управления пограничным слоем предполагают: либо охлаждение обтекаемой стенки, либо вдув в пограничный слой или, отсос, либо придание стенке особой формы, либо приведение стенки, на которой образуется пограничный слой, в движение в сторону течения, либо сдув пограничного слоя.
Охлаждение обтекаемой стенки позволяет в области сверхзвуковых чисел Маха полностью стабилизировать пограничный слой и уменьшить его толщину. Если через пористую или перфорированную стенку вдувать (отсасывать) газ в пограничный слой, то можно уменьшить теплопередачу между стенкой и внешним течением и уменьшить сопротивление трения и, следовательно, уменьшить лобовое сопротивление обтекаемого тела.
Из всех способов управления пограничным слоем наибольшее практическое значение представляют отсос и вдув в пограничный слой [28, 44, 68].
Точное решение задачи о трении и теплообмене при вдуве в турбулентный пограничный слой представляет большие трудности, поэтому на практике широко используются эмпирические зависимости [45-48].
Следует также отметить, что в качестве средства, создающего эффект пленочного охлаждения, широко используется и тангенциальный вдув.
Вдув газа в пограничный слой используется как средство уменьшения трения и теплопередачи. С увеличением скорости вдува в направлении нормали к стенке напряжение трения в пограничном слое, уменьшается [28, 44, 68]. Причем, если вдува нет, то максимум напряжения трения имеет место на стенке, а с увеличением интенсивности вдува напряжение на стенке значительно уменьшается, а в пограничном слое существенно возрастает, достигая максимума на некотором удалении от поверхности. При этом, если интенсивность вдува невелика, то сохраняются основные допущения теории пограничного слоя. Методы расчета параметров турбулентного пограничного слоя при наличии вдува представлены в многочисленных работах (см., например, [1,3, 49, 53, 59]).
Наряду с классическими постановками задач по управлению пограничным слоем на проницаемых профилях в последние годы благодаря работам Казанского профессора Т.К. Сиразетдинова и его учеников успешно развивается новое направление: теория оптимально управляемого пограничного слоя.
Первой публикацией в этом направлении является работа [62].
Как уже было отмечено, одним из способов решения этой задачи является управление местными значениями градиентов продольной скорости на обтекаемой поверхности путем вдува жидкости в пограничный слой. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход жидкости, мощность системы управления) ограничены, то естественным образом возникает вариационная задача оптимального управления пограничным слоем.
В работах [63, 64] в качестве функционалов выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо количество тепла в единицу времени, передаваемое от пограничного слоя к обтекаемой поверхности; управлением служит скорость вдува, который предполагается «слабым», т.е. практически не влияющим на внешней границе пограничного слоя. В качестве ограничений выступает суммарный расход и кинетическая энергия вдуваемой жидкости (мощность системы управления). Разработан метод интегрирования сопряженной системы, основанный на идее пограничного слоя решений для множителей Лагранжа. Позднее Крайко [42] сделал полезное замечание к проблеме интегрирования сопряженной системы, вытекающее из факта существования интеграла Крокко для уравнения энергии в случае обтекания пластинки при числе Прандтля Pr ~ 1 и постоянной температуре стенки.
В работе [9] с помощью теоремы Нетер [73] был найден первый интеграл сопряженной системы для случая минимизации силы трения в пограничном слое несжимаемой жидкости на произвольном проницаемом профиле. Группо-
7 вые свойства уравнений оптимального управляемого пограничного слоя исследованы в работе [26], а в [25] было осуществлено их расслоение. В работе [11] построено основное интегральное соотношение сопряженной системы и получено следствие из первого интеграла, которое предложено использовать для построения минимизирующей последовательности оптимальных законов вдува. На примере обтекания пластинки была показана эффективность использования группового подхода к решению вариационной задачи по сравнению с идеей пограничного слоя решений для множителей Лагранжа, предложенного в [64].
Задача оптимизации теплообмена для случая несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса рассмотрена в работе [10], а в работах [12, 14] поставлена и решена задачи минимизации конвективного теплового потока, передаваемого от пограничного слоя сжимаемого газа к обтекаемой поверхности соответственно в плоском и осесимметрическом случаях. Получен первый интеграл сопряженной системы, справедливый для любой зависимости вязкости от температуры, любой скорости на внешней границе пограничного слоя и произвольной температуры стенки.
В работе [2] дана постановка и решение задачи оптимального управления двухфазным пограничным слоем несжимаемой жидкости (через проницаемую поверхность подается жидкость с физическими свойствами, резко отличающимися от свойств жидкости в основном потоке). Разработан алгоритм построения оптимального закона вдува для случая обтекания пластинки; в качестве функционала выступает величина силы ньютоновского трения, в качестве ограничений - расход и энергия вдуваемой жидкости. В статье [38] результаты работы [2] были распространены на случай оптимизации теплового обмена в двухфазном пограничном слое несжимаемой жидкости. Отметим, что в работах [2, 38] для построения оптимальных управлений был использован первый интеграл сопряженной системы, полученный ранее в [9].
В работе [21] была разработана разностная схема для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя, а в статье [22] для случая обтекания клиньев потоком несжимаемой жидкости впервые была доказана конечность
8 оптимального управления в критической точке. Следует подчеркнуть, что разностные схемы была построены с учетом первого интеграла, полученного профессором К.Г. Гараевым для сопряженной системы относительно множителей Лагранжа.
В работе [12, 14] поставлена и решена задача о построении оптимальной неразрушающей тепловой защиты поверхностей, обтекаемых потоком вязкого газа при любой зависимости вязкости от температуры, произвольном числе Прандтля и произвольной температуре поверхности. Отметим, что в работе [64] подобная задача была поставлена для случая постоянной температуры стенки и линейной зависимости вязкости от температуры; там же были получены необходимые условия оптимальности. В качестве функционала выступает конвективный тепловой поток, передаваемый от пограничного слоя к стенке; в качестве управления — местный расход газа через проницаемую поверхность. Задача решается при ограничении на мощность системы охлаждения, которая рассчитывается с учетом закона Дарси [4, 57]. Оптимальная задача алгоритмизирована: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына [35, 51, 56] сведена к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми особенностями в точке полного торможения потока. Проведен вычислительный эксперимент по построению оптимального расхода охладителя через пористую стенку кругового цилиндра. Минимизирующая последовательность строилась комбинированным способом: на первой итерации оптимальное управление определялась методом типа Пикара, последующие приближения методом наискорейшего спуска [63]; была обнаружена быстрая сходимость итерационного процесса: оптимальное управление, найденное в первом приближении в аналитическом виде, дает значение функционала, совпадающее с точностью до 1-2% с его значением, полученным для «предельного» управляющего воздействия. Работа [14] посвящена минимизации тепловых потоков на проницаемых телах вращения. Получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен опти-
9 мальный закон вдува охладителя в первом приближении (также в аналитической форме), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Проведен вычислительный эксперимент для случая обтекания сферы сверхзвуковым потоком. Кроме того, поставлена и решена задача о форме внутреннего контура стенки, обеспечивающей требуемую температуру наружной стороны обшивки. В работе [5] рассмотрена задача оптимального управления пограничным слоем диссоциирующего газа при гиперзвуковых режимах течения.
Следует подчеркнуть, что все указанные здесь оптимальные задачи принадлежат к классу двумерных вариационных задач типа Майера [16].
Среди зарубежных работ следует отметить работы [69, 70], в которых рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости в стационарном случае, уравнения которого взяты в форму Мизеса: требуется найти уравнение (вдув или отсос [70], или распределение скорости на внешней границе пограничного слоя [69]), реализующее заданное распределение продольной компоненты скорости в фиксированном сечении х = х . Функционал записывается в виде чебышевского отклонения действительного распределения скорости от желаемого. В обеих работах наискорейшего спуска проведены вычислительные эксперименты для модельных задач; при этом обнаружена достаточно быстрая сходимость метода последовательных приближений.
Данная диссертация посвящена управлению пограничным слоем при различных режимах течения, как в случае ламинарного, так и турбулентного потока. Работа состоит из трех глав.
В первой и второй главах рассмотрена задача управления температурным режимом на поверхностях, обтекаемых вязким газом в турбулентном сверхзвуковом потоке, что является важной проблемой прикладной аэродинамики: в некоторых случаях на определенных участках поверхности летательного аппарата необходимо создать определенный температурный режим, который требуется для нормального функционирования соответствующих приборов и оборудова-
10 ния, установленных на летательном аппарате, например, для проведения аэрофотосъемки на прозрачном участке обшивки необходимо поддерживать постоянную температуру для уменьшения оптических искажений.
В первой главе работы для этой цели предлагается математическая модель задачи тепломассообмена между турбулентным сверхзвуковым газовым потоком и произвольной криволинейной поверхностью с учетом сопряженного тепломассообмена. Эта модель представлена уравнениями турбулентного пограничного слоя, составленных с учетом гипотезы Прандтля-Ван-Дриста [49] и уравнениями распространения тепла в обшивке летательного аппарата с соответствующими граничными условиями. С помощью преобразований Степано-ва-Манглера-Дородницына эти уравнения приведены к виду, близкому к уравнениям пограничного слоя для несжимаемой жидкости и для решения соответствующей краевой задачи используется метод обобщенных интегральных соотношений А.Дородницына.
Расчет поля температур в твердой стенке, обтекаемой сверхзвуковым потоком, произведен для случая, когда стенка составлена из последовательно соединенных между собой частей с различными теплофизическими свойствами. Вначале идет непроницаемая часть, затем проницаемая, через которую осуществляется вдув газа и затем непроницаемая пластина (которую и необходимо защищать). Краевая задача стационарной теплопроводности для составной пластинки решена методом Бубнова-Галеркина и вариационным методом.
Вычислительный эксперимент проведен для различных значений параметров набегающего потока (числа Маха, высота), теплофизических свойств материала стенки (пористость, теплопроводность, толщина), а также скоростях вду-ва.
В результате был построен закон управления местным расходом газа через пористый участок обшивки, который обеспечивает практически постоянную температуру защищаемой части обшивки.
Во второй главе также рассмотрена задача стабилизации температуры на защищаемом участке пластины с применением полуэмпирической теории Ку- тателадзе-Леонтьева; в этом случае защищаемая часть представляет собой адиабатическую пластинку с предвключенным участком, который можно либо охлаждать, либо осуществлять вдув (по нормали к поверхности). Кроме того, рассматривался и тангенциальный вдув: через щель в обшивке перед защищаемым участком производится вдув охладителя по касательной к поверхности в предположении ее адиабатичности.
Расчеты проведены для различных чисел Маха, высотах и скоростей вдува; варьировалась и высота щели при тангенциальном вдуве. Вдувался воздух. Результаты расчетов показали, что эффективность газовых завес с подачей охладителя выше, чем у завесы с охлаждаемым предвключенным участком; при тангенциальном вдуве можно обеспечить практически постоянную температуру защищаемого участка поверхности. Однако для этого требуется значительно больший расход воздуха, чем при вдуве по нормали
В третьей главе работы поставлены и решены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем на тонких клиньях и конусах в сверхзвуковом потоке. Система уравнений, описывающая ламинарный пограничный слой на цилиндрическом теле при его обтекании сверхзвуковым газом под нулевым углом атаки приводится к аппроксимирующей системе второго приближения (в смысле А.А. Дородницына). Ставится вариационная задача: среди непрерывных функций, описывающих законы вдува, требуется найти такой, который реализует минимальное значение ньютоновского сопротивление трения, при заданном ограничении на мощность системы управления.
Получена приближенная формула для оптимального управления.
Проведен вычислительный эксперимент для различных значений угла полураствора клина при различных числах Маха. Результаты вычислений показали, что при фиксированном угле полураствора выигрыш увеличивается с увеличением числа Маха, а при фиксированном числе Маха максимальная эффективность достигается на пластине.
Максимальная эффективность оптимального управления по сравнению с постоянным законом вдува достигает 34%.
В этой же главе поставлена и решена задача об определении оптимального закона вдува в пограничный слой на остром конусе в сверхзвуковом потоке, реализующего минимальное значение ньютоновского сопротивления трения. Оптимальное управление в первом приближении также получено в аналитическом виде.
Завершая вводную главу подчеркнем, что проблема управления пограничным слоем является особенно актуальной при сверхзвуковых режимах течения.
Цель работы: разработка математической модели для турбулентного режима обтекания сверхзвуковым потоком составной пластины с учетом сопряженного тепломас-собмена с целью управления температурным режимом на защищаемом участке; постановка и решение вариационных задач о минимизации величины ньютоновского трения на заостренном клине и конусе в сверхзвуковом потоке.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют, во-первых, обеспечить требуемые тепловые режимы на защищаемых участках поверхностей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа при турбулентном режиме обтекания; во-вторых, построить оптимальные законы вдува охладителя на пористом клине и конусе при их обтекании сверхзвуковым потоком, что, в конечном итоге, должно привести к снижению веса двигательной установки.
Основные научные результаты: ~ математическая модель сопряженного тепломассообмена в двухфазной среде «газ-стенка», состоящая из уравнений турбулентного пограничного слоя, уравнения распространения тепла в составной обшивке летательного аппарата и условия теплового баланса на обтекаемой поверхности; постановка и методы решения задачи управления температурным режимом на внешней стороне обшивки на защищаемом участке затупленной пластины при сверхзвуковом режиме обтекания; результаты вычислительного эксперимента по стабилизации температуры на защищаемом участке твердой стенки; сравнение эффективности газовых завес; постановка и решение вариационных задач об оптимальном вдуве охладителя в сверхзвуковой пограничный слой на клине и заостренном конусе.
Научная новизна. Во-первых, использованная в диссертации математическая модель для решения задачи управления тепловыми режимами на определенных участках поверхности, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком, по-видимому, предложена впервые.
Во-вторых, автору неизвестны постановки и решения, рассмотренных в диссертации вариационных задач по оптимальному управлению пограничным слоем на заостренных тонких телах при сверхзвуковом режиме обтекания.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории пограничного слоя, тепломас-собмена, метод обобщенных интегральных соотношений Дородницына и методы вычислительной математики.
Достоверность исследований обеспечивается корректным использованием метода обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына, теории сопряженного тепломассобмена и методов вычислительной математики.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: VII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 1997 г.; VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 2002 г.; XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий, Миасс, 2003 г.; XII Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2004 г. (2 доклада); VII международной летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 2005 г.;
Всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2005 г.; научных семинарах кафедр теоретических основ теплотехники и специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (КАИ).
Постановка и решение задач по оптимальному управлению ламинарным пограничным слоем на клиньях и остром конусе в сверхзвуковом потоке были проведены согласно договору-подряду №05-5.2-263 на средства фонда НИОКР РТ по теме: «Теоретико-групповые методы в проблеме управления ламинарным пограничным слоем».
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17,18,23,24,30-33,54,55].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 116 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 6 таблиц и 16 рисунков.
Определение поля температур в твердой стенке, составленной из пластин с различными теплофизическими свойствами
Твердая стенка состоит из следующих частей: I. непроницаемая пластинка толщины h, длины х, с коэффициентом теплопроводности /Ij; П. проницаемая пластинка толщины h, длины L, с коэффициентом теплопро-водности Д2 III. непроницаемая пластинка толщины Н, длины Lx, с коэффициентом теплопроводности Aj. Система координат выбрана, как показано на рис. 1.1. У Рис. 1.1 Рассматривается краевая задача стационарной теплопроводности для составной пластинки с условиями сопряжения на границе с внешней средой (при у = 0) и между отдельными частями пластинки (при x = t{, x = l2=i + L, х = 1ъ=1\+Ь + Zj). Уравнение теплопроводности (1.1.26) для каждой части пластинки решается приближенным методом Бубнова-Галеркина, коэффициенты теплопроводности предполагаются постоянными. 1 . Краевая задача для пластинки I. Решается уравнение + агт; ,э2тГ=0 дх ду (1.2.1) в области Д = {О х і ] ,-h у О} при следующих краевых условиях дТ дх х=0 = 0, с=е, = /(у), (1.2.2) где Г, - искомая температура, Т0 -const; f(y) - распределение температуры на границе между непроницаемой и проницаемой частями пластинки; 7 ( ) -распределение температуры на границе между пластинкой и внешней средой.
В уравнении (1.2.1) вместо Тх вводим новую функцию U, определяемую формулой T;=U + VU (1.2.3) где Vx{x,y) удовлетворяет на границе прямоугольная Dx условиям (1.2.2). Для новой функции U{x,y) уравнение (1.2.1) примет вид Т д2и д2и F{x,y) = 0 y=o-U ,=-А=0. + dxz ду с нулевыми краевыми условиями: 8U дх = о,и\х =и х=0 (1.2.4) (1.2.5) где F{x,y) = —-J- + -. дх ду
Приближенное решение уравнения (1.2.4) ищется в виде п где cpi(x,y) представляют первые п функций системы {7,.( , )), которая является полной в прямоугольнике Dx и удовлетворяющих граничным условиям (1.2.5). В качестве такой системы можно принять р0 =б), рх =ж, р2 =у, р3 = сох2,щ =в)ху, ( \ дт да) где аух у) - непрерывная вместе с —, — внутри прямоугольника Dx функ дх ду ция, удовлетворяющая условиям со 0 внутри области, со = 0 на границе. Для прямоугольника 0 х , h у 0 можно положить а(х,у) = х2 (х - ! У у2 {у + h). Решение U(x,y) в первом приближении ищется в виде U = 4o Poix y) где А0 определяется из условия ортогональности функции (Ро(х,у) в области Dx левой части уравнения (1.2.4): +U"}y + F)pQdxdy = 0 или lPo Poxx + АФІуу + F)p0dxdy = О. (1.2.6) Первая часть интеграла в формуле (1.2. ) равна: Ао ІДФолх + Фо Ро У = Ао 33075—U Для вычисления второй части интеграла выберем функцию Vx(x,y) в виде: у(х,у)- -VM -Л) , Tw(x)x2{y + h)(x-l) (у + h + xf (у + h + х - і І )/і (у + д;)2 (у + х -1!) А , f(y)x2y(y + h) \(x-\+yJx-lA+y + hy которая удовлетворяет граничным условиям (1.2.2). Тогда j\F(x,y)q 0dxdy= W + V dxdy. Вычисляя этот интеграл по частям (дважды), получим \\F(x,y)pQdxdy= \Vx(x-h) $ Qy(x-h)dx+ $( р"0хх + q "Qyy)vxdxdy, где q 0y(x-h) = x2(x ll)h2, Vx{xt-H)-Vx{xty)[y=_h . Здесь )Vl{x,-h) p Qy(x-h)dx = T0 -, Фо« + Фо ЬАФ = 2/]1(бх2 611x + 2Jy3+hy2)+x2{X lf{3y + h)\vldxdy. Условие ортогональности (1.2.6) примет вид: An — іn — 0 33075 ЗО = 2\\ 6Х2-61Х + 1УУ3 +hy2)+x2(x-ll)2(3y + h)\vldxdy, (1.2.8) где f{y) и 7 w(:x) определяются из условий сопряжения. Из условия (1.2.8) определяется коэффициент А0.
Расчет уравнений турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке
Математическая модель состоит из уравнений (1.1.23) и уравнения (1.4.1), в которых следует положить к = 0, т = 0. Распределение скорости на внешней границе ае(х) было взято из работы [56]; при этом в окрестности критической точки /? = з/ 7\ [16]. х{1-ае) Начальные условия: #о( о)=#о" о 0\( Q) = 6I-XQ, УО( О) = % (» \(Х0) = Щ-Х0, (1.4.6) где точка х0 выбирается достаточно близкой к нулю. Безразмерная температура поверхности определяется по формуле
2. Непроницаемый участок [(), ]. Исходная система состоит по-прежнему из уравнений (1.1.23) и (1.4.1), в которых к = 0, /? = 0, т(х) = 0. Начальные условия к этой системе: решение системы, заданной на участке [0,0], в точке х = 0.
3. Проницаемый участок [ i,2]«
Здесь математическая модель состоит из уравнений (1.1.23) (в которых к = 0, т О и /3 = 0) иусловия сопряжения тепловых потоков (1.4.1).
Начальные условия к этим уравнениям: решение системы, заданной на участке [/0, /j ], в точке х = 1.
4. Непроницаемый участок [ 2» зЗ Математическая модель состоит из уравнений (1.1.23) и (1.4.1) ( = 0, т(х)=0 и /? = 0). В качестве начальных условий к этим уравнениям берется решение системы уравнений на предвключенном участке [\Лг\ в точке х = 2 В результате проведенных вычислительных экспериментов было обнаружено, что температура стенки Tw на участке [/2,/з],где 2 10,05м, 3 = 10,30м практически постоянна для всех чисел Маха от Мм = 1,2 до А/да - 2 и высот в диапазоне от Н = 100м до Н 2000м (см. Приложение 1). Температура охладителя Гохл = 288 К. На рис. 1.5 представлены зависимости температуры стенки 7 ( ) от координаты д: для высоты Н - 2 км при различных числах Маха. На рис. 1.6 показаны управляющие воздействия (зависимости расхода воздуха на проницаемом участке от координаты) обеспечивающие постоянство этой температуры. Эти зависимости аппроксимируются формулой (pV)w=a 1-е М.8)2 +(х-9,8) , (1.4.8) где а = 0,128; 6 = 93 при Мю=1,2; я = 0,268; 6 = 61 при = 1,5; а = 0,621; 6 = 21 при Мй =2. Можно получить более точную формулу для АР, если в уравнении (1.5.3) распределение температуры Т задавать как решение уравнения тепло проводности в пористой стенке (см. раздел 1.2).
Отметим еще, что классической формулой для определения перепада давления йц_ hvg(pV)e hve(pV)w AP = Vg= gVK /g = gVK /w, (1.5.11) Кп Кп П - Kn можно пользоваться только при малых вдувах и толщине стенки.
Например, для стенки, изготовленной из пористой коррозионно-стойкой стали 14Х17Я2 с пористостью П = 0,3 и коэффициентом проницаемости Ки = 6,4-10 14м2 для высоты полета Н = 2км и Л/да =2 по формуле (1.5.10) получаем тахАР = 18,1 105Па, а по формуле (1.5.10) max АР = 5,8 105 Па. Расчеты проведены для случая тах К) = 0,52 ——, который достигает мг -с сяпри х = 10м. Как видим, разница существенна. Типы газовых завес и их эффективность
В этой главе рассматривается полуэмпирический метод расчета теплового режима на адиабатической стенке при ее обтекании высокоскоростным и высокотемпературным потоком газа, который разработан Кутателадзе СИ. и Леонтьевым А.И. [6-8, 45-49].
Имеется несколько способов организации таких защитных слоев или завес. Наиболее важной является подача защитной струи через встроенный в тело пористый участок, соответствующую щель, насадок. Кроме того, можно создать охлаждаемый участок в головной части тела, а остальную его часть не охлаждать или охлаждать менее интенсивно.
Газовая завеса с предвключенным пористым участком
Эта формула дает результаты, которые совпадают с опытами Волчкова Э.П., Себана [6, 76].
Изложенный метод можно распространить на течение сжимаемого газа вдоль плоской стенки. В этом случае -1-0,8 0= 1 + 0,01601,25 . ,- , (2.3.10) / Y 25 где « _pxWxS легоо — , у — Цоо ( г —л V -1 arcs in У у -1 или принимая, что Аг — 1 А-1 і ft- ,/2 у -1 = г —Л/, V/ = V arctgM0Jr М0 г для дозвуковых скоростей -і2 = \/+1 »Re = Po o( - i) Hi Z4. Числовые расчеты газовых завес
Исходя из формул приведенных выше для расчета газовых завес схематически изображенных на рис. 2.1-2.3 можно сделать вывод, что завесы с пред-включенным пористым участком и с тангенциальным вдувом через щель более эффективным, чем завеса с охлаждаемым участком, то численные расчеты будем вести по формулам (2.2.8) и (2.3.10) для сверхзвукового потока.
Проведем расчет газовой завесы с предвключенным пористым участком величиной х1 =5 см и последующим участком величиной 15см, для которого и осуществляется тепловая защита. Расчет ведется по формуле (2.8) на высотах 1км до 20км, при различных числах Маха (М0) от Мдо ЪМ, различных скоростях вдува (при махах 1 М 2 - скорость вдува 100м/сек, при махах М 2 — скорость вдува 200м/сек) и различных температурах охладителя (253, 263, 273К). В качестве охладителя берется воздух.
Относительный закон теплообмена у/, принимаем равным единице, что является весьма близким к значению этой величины в таких условиях arctgM0Jr xj/ = 2 Относительный закон трения вычисляем по этой формуле, где М0 - число Маха внешнего потока, г = vPr « 0,9, а к = 1,4 (для воздуха). Число Рейнольдса Re : _Po oC -fi) М-оо где р0 - плотность внешнего потока; М0 - скорость внешнего потока; {WQ = MQa0 ); Х- текущая координата пластинки; ц00 - динамическая вязкость внешнего потока в точке торможения (р00 = v0p0). Число Рейнольдса Kecml: па _ PcmV ст\х\ где рт] - плотность вдуваемого газа при х = х{; Wcml - скорость вдуваемого газа (скорость вдува); //си] - динамическая вязкость вдуваемого газа при х = х .
Таким образом, по формуле (2.26) получаем соответствующие величины 0 —эффективность газовой завесы в соответствующих точках защищаемой пластины. Точек на пластине берем 4 (через 5см). Затем из формулы (2.1.1) полу чаем Тст, как функцию от х (в соответствующих 4-ч точках). Температура торможения внешнего потока T0Q берется из таблиц при соответствующих числах Маха (в таблицах получены отношения То оо)- Можно также использовать формулу:
Г00=Г0(1 + 0,1Ш02). Исходные данные: р0 - плотность внешнего потока; v0 - кинематический коэффициент вязкости внешнего потока; Т0 - температура внешнего потока; а0 скорость звука внешнего потока, как функции от высоты, взяты из таблиц стандартной атмосферы. Результаты расчетов приведены в Приложении 2.
Расчет газовой завесы, создаваемой тангенциальным вдувом приведен для высот от 0 до 20км; числа Маха варьировались от 1 до 3, скорости вдува от 50м/сек до 200м/сек; высота щели от 1мм до 2мм; температура охладителя принималась равной 253К, 263К, 273 К. В качестве охладителя вдувался воздух.
Расчет эффективности тепловой защиты проведен по формуле (2.3.10). Величины v/ и Re вычислялись по тем же формулам, что и в случае нормального вдува, а число Рейнольдса по формуле Re -Р№ Ноо где Pi - плотность вдуваемого газа, W{ - скорость вдува, S - высота щели (в метрах), ц00 — динамическая вязкость воздуха в точке торможения. Исходные данные взяты из таблицы стандартной атмосферы, а расчеты проведены по тем же самым формулам, что и для случая вдува по нормали. Результаты расчетов приведены в Приложении 2.
Следует отметить, что из рассмотренных трех способов защиты, первый представленный на рис. 2.1 для летательных аппаратов является малоэффективным, потому что охлаждающая установка утяжеляет аппарат и занимает много места. Но этот способ может быть эффективным на какой-либо установке на земле. Поскольку работа ориентировалась на летательные аппараты, то расчет для этого случая не проводился, так как для эффективного охлаждения необходима мощная холодильная установка.
Для случаев нормального и тангенциального вдува, представленных на рис. 2.2 и рис. 2.3 были приведены соответствующие расчеты, результаты которых показали, что при нормальном вдуве поддержание стабильной температуры (особенно при больших скоростях обтекания) на защищаемом участке невозможно. А при тангенциальном вдуве это возможно.
Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке
Уравнения ламинарного пограничного слоя на конусе, обтекаемого под нулевым углом атаки в рамках аппроксимирующей системы второго приближения (в смысле А.А. Дородницына) имеют вид [16]Результаты вычислительного эксперимента приведены в таблицах для т0 — 0,1.
При этом безразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя тонкого конуса определялась по формуле [65] ае = :1П БР J 1+ М (3.3.12) rfle5 = V -l. В таблице 3.3 приведены значения выигрыша (в процентах) в величине ньютоновского трения для корня рх = 4,78, а в таблице 3.4 - для р2 = 1,5. В обоих случаях N = 0,005 (m0=0,l). Так же, как и в плоском случае этот выигрыш при фиксированном Р увеличивается с увеличением числа Маха Мю; при фиксированном Мад он слабо зависит от угла полураствора Р
Минимизация сопротивления трения в сверхзвуковом потоке на основе точных уравнений движения типа Прандтля Известно, что если число Рг = 1 и температура стенки xw постоянная, то при обтекании клиньев уравнения движения в системе (3.1.1) можно интегрировать независимо от уравнения энергии [27, 50]. В этом случае для расчета трения необходимо интегрировать уравнения типа Прандтля TT+lF-o. (3.4.1) ds dt ди ди 8 K,dt U + W—=- —= ds dt dt граничные условия (3.4.2) й = 0, w = (t = 0); «-И, f- o). q(s) Здесь обозначения те же, что и в разделе (3.1). Ньютоновское сопротивления трения Хтр можно записать в виде -- =ЩУ (ЗАЗ) v СЄ n yLwule\\-aze) где С = V =—, і - длина участка вдува. " wV ео шах
В переменных Дородницына функционал (3.4.3) с точностью до постоянной имеет вид Мощность системы управления с точностью до постоянной оценивается функционалом [16] N= \m2di. (3.4.5) о
Ставится следующая вариационная задача: среди непрерывных управлений m(s) требуется найти такое, которое доставляет минимум функционалу (3.4.4) при связях (3.4.1), (3.4.2) и изопериметрическим условием (3.4.5). Рассматривается случай линейной зависимости вязкости от температуры: b(z)= 1. Вспомогательный функционал имеет вид (черточки над всеми переменными опустим)
Здесь А, ,/), A,2(s»0» {s t) а - множители Лагранжа. Первая вариация функционала / имеет вид [16, 62] (L- подынтегральная функция в (3.4.6)) 8L ґді) „(dL 8/ = 5 +6/2, ґдЬ ( dL dL_ dut j (ят\ ґ г\ 6м + 6w + -A Dt ди dw \dwtJ K sJ где 5/j = JJ D ei dL + 8Д [ & # + J "A 6м + 8w +—-&R m pRt dwr dR. v№»; v5 BR s dL _ 5 _ 51 __ 6и +—5w + — Si? 4dw, dwt dRt j ds. (3.4.7) (3.4.8) 5/2 = J(5/J + 2ambm)ds, о Здесь Ds ш Dt - операторы полного дифференцирования соответственно по переменным S и / . Приравнивая нулю вариацию 5/ получим уравнения Эйлера дкл dX dw дХ ди ЭХ дКу &КУ -w — и -Хх- - = 0, Хх 2. = 0, Х4- = 0. (3.4.9) dt ds ds dt dt dt dt dt Условия трансверсальности Xx =-1 при / = 0; A,j -»0, X2 -»0 при -»oo; A = A,2 = 0 при s = sk. (3.4.10)
Оптимальное управление определяется по формуле X2(s,0) / ч 2aq (3.4.11) где ot0 - постоянный множитель Лагранжа. Из второго уравнения системы (3.4.9) в силу граничных условий (3.4.10) при t - оо имеем
