Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратная граничная задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости 14
1.1 Постановка прямой задачи 14
1.2 Разрешимость прямой задачи в слабом смысле 16
1.2.1 Определение слабого решения задачи 16
1.2.2 Переход к однородной задаче 17
1.2.3 Априорные оценки обобщенного решения однородной задачи 21
1.2.4 Существование и единственность обобщенного решения однородной задачи 22
1.2.5 Корректность прямой задачи 26
1.2.6 Свойства гладкости слабого решения при гладких исходных данных 28
1.2.7 Случай прямоугольной области 31
1.2.7.1 Прямая задача 1 31
1.2.7.2 Прямая задача 2 35
1.3 Постановка обратной задачи 39
1.3.1 Случай прямоугольной области 40
1.3.1.1 Обратная задача 1 40
1.3.1.2 Обратная задача 2 41
1.3.2 Некорректность обратной задачи 41
1.4 Краткие выводы по главе 42
Глава 2. Решение обратной задачи вариационным методом 44
2.1 Сведение обратной задачи к вариационной 44
2.1.1 Вариационная задача 1 44
2.1.2 Вариационная задача 2 51
2.2 Метод сопряженных градиентов решения вариационной задачи 55
2.3 Численные схемы 58
2.4 Численное моделирование 62
2.4.1 Численное моделирование прямой задачи 62
2.4.2 Численное моделирование обратной задачи 1 67
2.4.3 Численное моделирование обратной задачи 2 71
2.5 Краткие выводы по главе 73
Глава 3. Решение обратной задачи методом квазиобращения 74
3.1 Метод квазиобращения решения обратной задачи 74
3.2 Численные схемы 76
3.3 Численное моделирование 78
3.4 Краткие выводы по главе 81
Заключение 82
Список литературы 84
Приложение
- Разрешимость прямой задачи в слабом смысле
- Постановка обратной задачи
- Метод сопряженных градиентов решения вариационной задачи
- Численное моделирование
Введение к работе
Актуальность темы. В различных областях науки и техники с целью изучения закономерностей функционирования некоторого объекта или природного явления проводятся исследования самого различного вида. Цель исследования — выявление главных закономерностей явления и, возможно, формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить исследования по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений, извержений вулканов, а также изучать динамику внутренних процессов нашей планеты. Отметим, что глубина самых глубоких скважин, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений внутренних процессов Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах внутренних процессов Земли (например, об изменении ее плотности или температуры с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям.
В приведенной выше ситуации мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина — следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).
К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства и конфигурация которых известны. Математический аппарат для исследований таких задач удобно представлять в виде дифференциальных уравнений.
К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических характеристик объектов, таких, например, как плотность, теплоемкость, коэффициент теплопроводности, по их косвенным проявлениям. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагается известными постановки прямых задач. Заметим, что часто без умения решать прямые задачи невозможно подойти к решению обратных задач.
Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т.е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход физического процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о естественной природе некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.
Основополагающий вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов. Большой вклад в развитие некорректных и обратных задач внесли Г.И. Марчук, В.Я. Арсенин, В.А. Морозов, А.Б. Бакушинский, В.Б. Гласко, В.В. Васин, А.Г. Ягола, О.М. Алифанов, В.Г. Романов, A.M. Денисов, Ф.П. Васильев, СИ. Кабанихин, А.С. Леонов, О.А. Лисковец, И.В. Мельникова, Л.Д. Мени-хес, В.П. Танана, А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконов, А.Л. Бухлейм и многие другие математики.
С позиций математического моделирования алгоритм численного решения обратных задач состоит в сведении обратной задачи к решению последовательности корректных задач, которые можно решать численно. Реализация методов решения некорректных задач связана с численным решением соответствующих дифференциальных задач. При этом широко используется математический аппарат разностных схем, разработанных в школах А.А. Самарского, Г.И. Марчука, Н.Н. Яненко.
Развитие теории и методологии решения обратных задач, как актуального направления исследований, вызвано насущными потребностями практики и базируется на математической теории некорректно поставленных задач, оптимальных принципах планирования эксперимента, современных численных методах и должно соответствовать характеру и уровню развития вычислительной техники и программного обеспечения.
Одним из важных классов обратных задач являются обратные задачи тепло- и массообмена. Многие обратные задачи теплообмена достаточно хорошо изучены1 2 3 4 5. Однако встречаются и более сложные модели теплообмена, такие как, например, естественная тепловая конвекция, для которых
1 Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М. : Машиностроение. 1988.
2Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М. : Изд-во МГУ. 1994.
3Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопроводности. Киев : Наукова думка. 1982.
4Мацевитый Ю.М., Мултановский А.В. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев : Наукова думка. 1982.
5 Бек Док. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М. : Мир. 1989.
известно сравнительно мало результатов в связи с решением обратных задач
Под тепловой конвекцией понимают перенос теплоты в жидкостях, газах или сыпучих средах потоками вещества. Естественная конвекция возникает при неравномерном нагреве текучих или сыпучих веществ, находящихся в поле силы тяжести (или в системе, движущейся с ускорением). Вещество, нагретое сильнее, имеет меньшую плотность и под действием архимедовой силы перемещается относительно менее нагретого вещества. Направление архимедовой силы, а следовательно, и конвекции для нагретых объемов вещества противоположно направлению силы тяжести. Конвекция приводит к выравниванию температуры вещества. При стационарном подводе теплоты к веществу в нем возникают стационарные конвекционные потоки, переносящие теплоту от более нагретых слоев к менее нагретым. С уменьшением разности температур между слоями интенсивность конвекции падает. При высоких значениях теплопроводности и вязкости среды конвекция также оказывается ослабленной. Конвекция широко распространена в природе: в нижнем слое земной атмосферы, морях и океанах, в недрах Земли, на Солнце и т.д. С помощью конвекции осуществляют охлаждение или нагревание жидкостей и газов в различных технических устройствах.
Одной из стационарных моделей тепловой конвекции является модель естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в приближении Буссинеска9 10. Данная математическая модель может быть использована для моделирования температурного режима осадочных бассейнов11, вулканических провинций12, стационарной конвекции в мантии Земли9. Решение этих геофизических задач чрезвычайно важно с точки зрения их прикладного характера: осадочные бассейны являются природными хранителями полезных ископаемых, в частности, большинство исследованных месторождений нефти и газа связаны с такими геологическими структурами; изучение вулканов и их теплового режима помогает в предсказании вулканических извержений; мантийная конвекция является одной из причин движения континентов на планете и источником землетрясений, происходящим на границах разломов литосферных плит. Кроме того, модель конвекции высоковязкой жидкости
вРауап S. Inverse boundary design of square enclosures with natural convection // Int. J. of Thermal Sciences. 2009. Vol. 48. № 4. P. 682-690
7Prud'homme M., Nguyen Т.Н. Solution of inverse free convection problems by conjugate gradient method: effects of Rayleigh number // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. Vol. 44. № 11. P. 2011-2027
8Payan S., Salvari S.M.H., Ajam H. Inverse natural convection problem of estimating wall heat flux // Chemical Engineering Science. 2000. Vol. 55. № 11. P. 2131-2141
9 Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. New York : Dover. 1981. 10Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М. : Наука. 1988. Т. 6. 11Schubert G., Turcotte D.L., Olson P. Mantle convection in the Earth and planets. United Kingdom : Cambridge University Press. 2004.
12 Turcotte D.L., Schubert G. Geodynamics. Cambridge : Cambridge University Press. 2002.
может использоваться в промышленности при моделировании процесса изго-
1 ч
товления стекла в плавильных печах .
Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.
Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование прямой задачи стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости, разработка методов численного решения соответствующей обратной граничной задачи, а также разработка соответствующих алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов математического моделирования, теории обратных и некорректных задач, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории оптимизации, методов вычислительной математики. Для проведения вычислительных экспериментов применялись современные технологии программирования.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Они обобщают и дополняют работы отечественных и зарубежных исследователей по данной проблематике. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, соответствием полученных теоретических результатов результатам компьютерного моделирования, использованием общепризнанных апробированных математических методов и согласованностью результатов, полученных различными способами.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретическую и практическую ценность. В работе получены теоретические результаты по исследованию прямой и обратной задач для модели стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Разработанные подходы и методы исследования могут быть применены при теоретическом исследовании других важных моделей тепловой конвекции. Практическая значимость работы заключаются в том, что предложенные в ней вычислительные методы и алгоритмы могут быть использованы при решении прикладных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби», посвященном 60-летию академика А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005); на Международной конференции «Тихонов и современная математика: Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 2006); на III и IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной
13Hajime I. Numerical simulation of thermal convection in a fluid with the infinite Prandtl number and its application to a glass manufacturing problem // Hirosima Math. J. 1999. Vol. 29. № 1. P. 27—60.
памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006, 2008); на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (Екатеринбург, 2008); на Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—11]. Работы [1—4] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. В совместных работах [1, 2, 5, 6] научному руководителю А.И. Короткому принадлежат постановки задач, общее руководство исследованиями по теме диссертации и идеи доказательств основных утверждений, а диссертанту — доказательства основных теорем, разработка численных алгоритмов и программных средств для проведения численного моделирования. В работах [4, 11] диссертанту принадлежат реализация численных методов, разработка программных средств и проведение вычислительных экспериментов. В работе [7] А.Т. Исмаилу-Заде принадлежит физическая постановка задачи, А.И. Короткому — математическая постановка задачи, И.А. Цепелеву — идеи численного решения задачи, а диссертанту — реализация численных методов и разработка программных средств.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы составляет 160 страниц. Список литературы включает 93 наименования.
Разрешимость прямой задачи в слабом смысле
Для заданных функций v Є іг(Гі)) и ги Є L2(TN) ПОД слабым решением краевой задачи (1.1)—(1.5) будем понимать пару функций (гх, Т) Є H(Q) х 1/2 (П), которые удовлетворяют тождествам Классическое решение краевой задачи (1.1)—(1.5) является и ее слабым решением, так как тождество (1.6) является следствием равенства (1.1) (оно определяется аналогично тождеству [35, с. 45—46] для обобщенного решения краевой задачи Стокса (1.1), (1-2), (1.4)), а тождество (1.7) является следствием равенства (1.3) (и получается умножением последнего на функцию g Є (?2(П) и интегрированием результата по Q с применением второй формулы Грина [27, с. 171] и формулы интегрирования по частям [36, с. 75], а также с учетом граничных значений функций и, Т, g и условия несжимаемости (1.2)). Обратно, если слабое решение краевой задачи (1.1)— (1.5) обладает достаточной гладкостью, то оно является классическим. Это можно показать, проведя рассуждения, аналогичные для задачи Стокса в [35, с. 45-46]. Отметим, что переход к вариационной формулировке (1.6), (1.7) краевой задачи (1.1)—(1.5) позволил исключить из рассмотрения искомую ска лярную функцию р, а также уравнение (1.2), причем условия (1.4), (1.5) вошли в соответствующие интегральные тождества в компактном виде. Если найдено слабое решение (и,Т) Є H(Q) х 1/г( ) краевой задачи (1.1)—(1.5), то согласно [56, с. 20—27], существует такое распределение р Є Ь2(Г2), что пара (и,р) удовлетворяет (1.1), (1.2) в смысле теории распределений. Если слабое решение (u, Т) обладает достаточной гладкостью, то скалярная функция р может быть найдена с помощью интегрирования из уравнения (1.1). В обоих случаях р определяется единственно с точностью до аддитивной постоянной. Чтобы упростить исследование исходной краевой задачи (1.1)—(1.5), можно перейти к исследованию соответствующей краевой задачи с однородными граничными условиями. Отметим, что классическим способом такой переход осуществить невозможно, т.к. функции v и w нельзя продолжить внутрь области Q с помощью гладкой функции. Для осуществления перехода к однородной задаче рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу для уравнения Лапласа: Слабым решением краевой задачи (1.8), (1-9) назовем функцию Ф Є 1/2 (Г2), удовлетворяющую интегральному тождеству которое получается умножением уравнения (1.8) на функцию ф Є Gi{) и интегрированием результата по О, с применением второй формулы Грина, а также с учетом граничных значений функций Ф и ф. Доказательство. Проведем доказательство методом транспонирования [39, с. 78—80], следуя схеме рассуждений из [78]. Возьмем произвольный элемент h Є 1/2(1). Пусть ір Є Gi(Q) будет единственным обобщенным решением сопряженной к (1.8), (1.9) краевой задачи удовлетворяющим тождеству Существование и единственность такого решения следуют из теоремы Лакса — Мильграма [47, с. 386], причем при ф = ф из тождества (1.13) вытекает оценка где Сі — константа из неравенства Пуанкаре — Фридрихса [36, с. 116] Везде в оценках под сг- будем понимать положительные константы, не зависящие от оцениваемых величин. Справедлива следующая лемма. Доказательство. Для областей класса С2 доказательство леммы аналогично доказательству теоремы 4 из [43, гл. 4, 2]. Для областей класса ШН лемма доказывается аналогично теореме 7.1 [36, гл. 2, 7], с учетом того, что для оператора Лапласа в таких областях справедливо неравенство (второе основное неравенство [36, гл. 2, 6; 37, гл. 3, 8]). Лемма доказана. Итак, согласно доказанной лемме, ф Є G ). Тогда ф удовлетворяет тождеству из которого при ф = Аф следует оценка
Постановка обратной задачи
Рассмотрим следующую обратную задачу в области Г2 класса С2 или ШН, соответствующую прямой задаче (1.1)—(1.5). Уравнения (1.1)—(1.3) по-прежнему будем использовать для описания стационарного состояния модели естественной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Для скорости и на границе Г, как и ранее, задаем условие прилипания (1.4). Выделим участок Г С Гд, mesT 0, границы Г, на котором прямые измерения температуры Т невозможны. Пусть T D = Г \ Г . На T D и Г задаются следующие условия: Допустим, что на участке Гдг С IV или на участке Г J С Г границы Г дополнительно наблюдаются (замеряются) следующие тепловые режимы: Задача состоит в том, чтобы по результатам этих наблюдений найти решение задачи (1.1)—(1.4), (1.98), (1.99), а затем по этому решению найти его след V- на участке границы Г Определим оператор прямой задачи следующим образом: А = Обратно, если известен след v+ или w+, то соответствующий оператор обратной задачи можно формально записать, как Основная задача состоит в том, чтобы научиться эффективно вычислять значение А-1. Как и ранее в 1.2.7 под П будем подразумевать прямоугольную область с такими же характеристиками как и прежде. В этой области дадим постановку двух обратных задач, соответствующих прямым задачам 1 и 2. Рассмотрим прямую задачу 1, задаваемую соотношениями (1.63)— (1.67). Пусть температурный режим Тг = q\ неизвестен, в то время как остальные условия для температуры остаются прежними Допустим, что на верхней границе Г2 наблюдается (замеряется) поток тепла дТ/дп\Т2 = tp. (1.101) Задача состоит в том, чтобы по результатам этих наблюдений найти температурный режим q\ на нижней границе Г\ прямоугольника П. Далее будем ссылаться на задачу (1.63)—(1.66), (1.100), (1.101) как на обратную задачу 1. Легко убедиться, что обратная задача 1 является частным случаем более общей задачи (1.1)—(1.4), (1.98), (1.99). Рассмотрим прямую задачу 2, задаваемую соотношениями (1.82)— (1.86). Пусть температурный режим Т\г — q\ неизвестен, в то время как остальные условия для температуры остаются прежними Допустим, что на верхней границе Г2 наблюдается (замеряется) температурный режим Задача состоит в том, чтобы по результатам этих наблюдений найти температурный режим q\ на нижней границе 1\ прямоугольника Q. Далее будем ссылаться на задачу (1.82)—(1.85), (1.102), (1.103) как на обратную задачу 2. Легко убедиться, что обратная задача 2 является частным случаем более общей задачи (1.1)—(1.4), (1.98), (1.99). Покажем, что обратная задача (1.1)—(1.4), (1.98), (1.99) является, вообще говоря, некорректной. Для этого достаточно показать, что введенный раннее оператор А прямой задачи является вполне непрерывным. Тогда, если существует соответствующий оператор А-1 обратной задачи, то он не может быть ограниченным [26, гл. 4, 6], следовательно решение обратной задачи не будет обладать свойством непрерывной зависимости от входных данных и обратная задача будет некорректной. Доказательство проведем для некоторого сужения области определения оператора А, т.к. гладкости исходных данных прямой задачи не хватает, чтобы воспользоваться теоремами вложения и показать полную непрерывность оператора А. Будем считать, что существует такая функция в Є W2(Q), что 0г = у, дв/дп\Гм = w. По теореме 4 справедливо включение Т Є W2 (fi), следовательно, определены следы (v+,w+) Є L2(rJ-) х L2(rJ), т.е. определен оператор взятия следа А2, который является непрерывным, что следует из теорем вложения [36, 55, 61]. Пусть известно, что произвольным образом выбранная последовательность (vW,wW) -г (V,w ) в L2(TD) х L2(rN), (і ( ,Г ) = Ai(v(k\w ) и (u ,T ) = Ai(v ,w ) — слабые решения прямой задачи при соответствующих граничных данных. Введем следующие обозначения: оператора Ai прямой задачи можно с точностью до обозначений провести рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при доказательстве корректности прямой задачи. Кроме того, из доказательства теоремы 1 при Ф = Ф , v = v(k\ w = Тй(к\ следует справедливость тождества где тр Є G2(p) есть обобщенное решение задачи (1.11), (1.12) при фиксированном h. Учитывая, что v —г 0 в (Гр), w —г 0 в (Гдт), из (1.104) получаем, что Ф — 0 в 1/2(П) при h = Ф . Тогда, из неравенств (1.56) следует, что (ww,T ) —» (0,0), в H(Q) х L2(f2), следовательно (и(к\тМ) - (и ,Г ) в Jf(ft) х L2(ft). Таким образом, оператор Ах переводит произвольную слабо сходящуюся последовательность в некоторую сильно сходящуюся, из чего следует полная непрерывность оператора Ai [26, 6.4]. Следовательно, оператор А также является вполне непрерывным. Исследовалась прямая задача стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости. Доказано существование и единственность слабого решения задачи в различных функциональных пространствах. В ходе исследования получены полезные априорные оценки решения прямой задачи. Доказана корректность прямой задачи. Отдельно рассмотрены два частных случая прямой задачи (прямые задачи 1 и 2) для прямоугольной области. Получены более точные априорные оценки решения для этих случаев. Дана постановка обратной задачи как в общем случае, так и для двух частных случаев (обратные задачи 1 и 2). Показана некорректность обратной задачи. Насколько известно автору, в литературе встречается мало работ но исследованию разрешимости прямых и обратных задач тепловой конвекции. Близкие по постановке прямые задачи, содержащие конвективный член в уравнении Стокса и неоднородное граничное условие по скорости, рассматривались в [86, 87] при таких же как и в данной работе нерегулярных граничных данных по температуре. В [2-4] рассматривались аналогичные прямые задачи, содержащие конвективный член в уравнении Стокса, однородное граничное условие по скорости, но при регулярных граничных данных по температуре. Полученные в [2-4, 86, 87] результаты нельзя непосредственно перенести на рассматриваемый в данной работе случай. Ключевым отличительным моментом [86, 87] от рассматриваемого случая является наличие неоднородного граничного условия для скорости, позволяющего провести расщепление компоненты решения по скорости на регулярную и нерегулярную часть. В этих работах используется одна из ключевых априорных оценок для скорости, которая не выполняется в случае соответствующего однородного граничного условия. Ключевым отличительным моментом от [2-4] является наличие в данной работе нерегулярных граничных данных для температуры, которые не позволяют продолжить граничные данные внутрь области регулярным образом. В главах 2 и 3 разрабатываются два метода численного решения обратных задач 1 и 2 в прямоугольной области. При этом, не ограничивая общности, разработанные методы и полученные результаты численного решения обратных задач 1 и 2 можно перенести на более сложные области, применяя метод фиктивных областей [11, 40].
Метод сопряженных градиентов решения вариационной задачи
Для нахождения точек минимума в вариационных задачах 1 и 2 воспользуемся нелинейным методом сопряженных градиентов [90]. Данный метод выбран исходя из его преимуществ [5] при решении обратных граничных задач. Для краткости, опишем нелинейный метод сопряженных градиентов только для решения вариационной задачи 1. Вариационная задача 2 решается аналогичным образом. После конечномерной дискретизации экстремальная задача (2.1) сводится с следующей экстремальной задаче на минимум: где п — количество узлов при дискретизации задачи (2.1). Нелинейный метод сопряженных градиентов решения задачи (2.36) может быть записан в следующей компактной форме: где выбором параметра /?& и алгоритмом определения шага спуска А& определяется конкретная реализация метода. В качестве реализации нелинейного метода сопряженных градиентов был выбран метод сопряженных градиентов Флетчера — Ривса [45, 67, 81], т.к. он не накладывает жестких ограничений на выбор начального приближения, показывает хорошую скорость сходимости и для него имеются обоснования сходимости. Опишем кратко алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера — Ривса для решения задачи (2.36). Начальный этап.
Выбрать є 0 и начальную точку а 1) Є Еп. Положить у = х \ d\ = —Vf(x ): к = j = 1 и перейти к основному этапу. Основной этап. Шаг 1. Если f(y ) є, то остановиться. В противном случае взять в качестве Xj оптимальное решение задачи на минимум f(y + Xdj) при А 0 и положить Если j го, то перейти к шагу 2, в противном случае перейти к шагу 3. Шаг 2. Положить dj+i = -Vf(y(j+V + (3j dj), где Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1. Шаг 3. Положить у = a +1) = у{п+1\ dx = -Vf(y ), j = 1, заменить к на к + 1 и перейти к шагу 1. На первом шаге представленного алгоритма используется так называемый «точный» поиск шага спуска Aj, который есть решение задачи одномерной минимизации причем, при j — п используется процедура рестарта алгоритма, чтобы не допустить накапливание возможных ошибок определения шага спуска. При практической реализации представленного выше алгоритма возникает проблема качественного решения задачи одномерной минимизации. Для ее решения может использоваться метод «золотого сечения» [7, 14, 54], но тогда приходится предполагать, что функция /(А) является унимодальной. К тому же, метод «золотого сечения» будет в данном случае неэффективным с вычислительной точки зрения, т.к. неизвестна правая граница интервала минимизации. Если в представленном алгоритме выбрать параметр то это будет хорошо известный метода Полака — Ривьера [54]. В данной работе был выбран иной, достаточно эффективный способ определения шага спуска [68]. Используется так называемый «неточный» поиск шага спуска Xj, удовлетворяющего строгим условиям Вольфа: Для нахождения шага спуска, удовлетворяющего строгим условиям Вольфа, использовался алгоритм из [79], гарантирующий результат за исключением некоторых маловероятных случаев. Если множество уровня L = {у : /(у) f{y )} ограничено и в некоторой его окрестности целевая функция / непрерывно-дифференциируема, а ее градиент непрерывен по Липшицу в этой окрестности, то, согласно [68], метод Флетчера — Ривса с «неточным» поиском шага спуска глобально сходится, причем можно выбрать параметр j3j равным fy = max{—/3jR, min{/5jR, PjR}}, чтобы избежать отрицательные стороны метода Флетчера — Ривса, медленную сходимость PI удаление от искомой точки в некоторых случаях. Под глобальной сходимостью здесь понимается то, что метод гарантирует нахождение точки локального минимума. Такой выбор параметра метода сопряженных градиентов и будет использоваться в данной работе при численной реализации. В методе итерационной регуляризации параметром регуляризации выступает число итераций, которое должно каким-то образом согласовываться с погрешностью исходных данных. Таким образом, главным вопрос в таком методе заключается в выборе подходящего критерия останова. Часто на практике не известна оценка ошибки в исходных данных. Поэтому получили распространение различные эмпирические методы останова при решении обратных граничных задач градиентными методами, приведенные в [5]. В этой же работе проводятся эксперименты, из которых следует, что если в исходных данных нет осцилляции, то градиентные методы дают устойчивый итерационный процесс. В данной работе мы не будем специально останавливаться на регуляризации рассматриваемого градиентного итерационного процесса. Будем считать, что во всех модельных расчетах в исходных данных нет осцилляции. В качестве критерия останова будет использовать условие «малости» значения функционала на приближенных решениях.
Численное моделирование
Перейдем к рассмотрению разностных схем для расчета обратной задачи методом квазиобращения. Как и в методе сопряженных градиентов, задача (1.63), (1.64), (1.66) сводится к задаче (3.5), (3.6) и для ее численного решения используется аналогичная разностная схема. Для аппроксимации одномерного оператора конвекции-диффузии в правой части уравнения (3.3) применим регуляризированную безусловно монотонную разностную схему второго порядка аппроксимации с направленными разностями [52]
Приведем итоговую конечно-разностную аппроксимацию уравнения (3.3) (для сокращения записи опустим везде индекс а)
На каждом слое j разностное уравнение (3.7) решалось методом трех-диагональной прогонки. Для определения значений искомой функции при j Є {0,1} и при і Є {0,п} использовалась аппроксимация граничных условий (3.4). Прогонка будет корректной, т.е. матрица системы разностных уравнений будет иметь диагональное преобладание, при выполнении условия
Таким образом, получили ограничение на шаг сетки вдоль направления -г2, аналогичное ограничениям (2.42).
Параметр регуляризации а должен согласовываться с погрешностью входных данных и величинами шагов разбиений т (отрезка [0,$]) и h (отрезка [0,1]). Чем меньше погрешность, тем меньше берется параметр регуляризации. Однако, параметр регуляризации нельзя брать слишком малым, т.к. при его уменьшении растет погрешность и проявляется неустойчивость задачи. Таким образом, нужно так выбирать параметр регуляризации, чтобы погрешность приближенного решения была минимальна. Существуют разные способы выбора параметра регуляризации. Например, хорошо зарекомендовал себя метод невязки [53], в котором используется заданная точность вычислительного эксперимента. Однако, оценки погрешности задания входных данных обычно не известны. Поэтому на практике часто пользуются нахождением квазиоптимального значения параметра регуляризации [53, 57], которое напрямую не связано с уровнем погрешности. Для этого организуется последовательность и для нахождения квазиоптимального значения параметра регуляризации минимизируется нормаОбратная задача решалась методом квазиобращения при тех же условиях и в тех же вариантах, что и обратные задачи 1 и 2 вариационным методом. Ставился аналогичный квазиреальный эксперимент.
При формировании последовательности {ак} для выбора квазиоптимального параметра регуляризации в методе квазиобращения использовались параметры ао = 0.01, q = 0.75, М = 10.
При каждом значении о к+\ вычислялась относительная погрешность приближенного решения, чтобы показать насколько квазиоптимальный выбор параметра регуляризации близок к «оптимальному», в котором используется информация об относительной погрешности приближенного решения к точному. В качестве начальных приближений для всех итерационных процессов использовались нулевые значения.
На рис. 21—24 приведены результаты численного моделирования. Кроме приближений к искомому граничному режиму (на рис. (А)) здесь также показано изменение различных числовых характеристик (на рис. (Б)), связанных с решением задачи.
По полученным данным можно сделать заключение о применимости метода квазиобращения к решению обратной задачи. Причем, в случае восстановления постоянного и гладкого граничных режимов метод дает хорошие результаты. В остальных случаях полученные численные решения достаточно плохого качества.
Метод квазиобращения дает схожие с вариационным методом результаты при восстановлении постоянного, кусочно-гладкого и разрывного граничных режимов, но гораздо менее требователен к вычислительным ресурсам. При восстановлении гладких граничных режимов вариационный метод выигрывает в точности. Разработан метод квазиобращения решения обратных задач 1 и 2. Описана численная схема решения возмущенной задачи. Проведено численное моделирование обратных задач 1 и 2 методом квазиобращения.
Насколько известно автору, в литературе не встречаются работы, в которых метод квазиобращения применялся бы при решении обратных граничных задач стационарной тепловой конвекции.
