Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Прямые и обратные граничные задачи для моделей стационарной реакции-конвекции-диффузии 15
1.1. Постановка прямой граничной задачи 17
1.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи 23
1.3. Постановка обратной граничной задачи 30
1.4. Некорректность обратной граничной задачи 37
1.5. Вариационный метод решения обратной задачи 41
1.6. Метод квазиобращения решения обратной задачи 53
1.7. Метод Ньютона–Канторовича решения обратной задачи 60
1.8. Метод Ландвебера решения обратной задачи 68
1.9. Метод Левенберга–Марквардта решения обратной задачи 76
Глава 2. Прямые и обратные граничные задачи для моделей стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости 84
2.1. Постановка прямой граничной задачи 86
2.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи 90
2.3. Постановка обратной граничной задачи 92
2.4. Некорректность обратной граничной задачи 95
2.5. Метод Ньютона–Канторовича решения обратной задачи 96
2.6. Метод Ландвебера решения обратной задачи 107
2.7. Метод Левенберга–Марквардта решения обратной задачи 117
Глава 3. Программные средства численного моделирования 126
3.1. Программные средства к задачам первой главы 127
3.2. Программные средства к задачам второй главы 134
Заключение 140
Список литературы
- Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи
- Вариационный метод решения обратной задачи
- Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи
- Программные средства к задачам второй главы
Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи
По признаку искомой причинной характеристики можно выделить четыре основных класса обратных задач [9,25,49]. 1. Коэффициентные задачи - заключаются в нахождении функций и параметров, составляющих коэффициенты модели. 2. Эволюционные (ретроспективные) задачи - состоят в восстановлении предыстории состояний некоторого известного состояния модели. 3. Граничные задачи — заключаются в нахождении функций и параметров, входящих в граничные условия модели. 4. Геометрические обратные задачи - заключаются в реконструкции геометрических характеристик некоторого множества, расположенного в области реализации модели. Наряду с обратными задачами, с точки зрения соотношения причина-следствие, выделяются прямые задачи, в которых по известным причинам требуется определить следствие.
При формулировке постановок обратных задач предполагаются известными постановки прямых задач. Постановка прямой задачи подразумевает задание набора функций и параметров, определяющих модель (например, задание коэффициентов и параметров дифференциального уравнения, задание начальных и краевых условий — полностью определяет модель). При решении прямой задачи этому набору ставится в соответствие новый объект — состояние модели (решение соответствующей начально-краевой задачи для дифференциального уравнения). Предположим, что неизвестны некоторые функции или параметры, определяющие прямую задачу, но при этом можно получить некоторую дополнительную информацию о состояниях или свойствах модели. Требуется определить (восстановить) недостающие функции. В этой ситуации имеем дело с обратной задачей.
Постановки прямых и обратных задач подразумевают предварительное моделирование реального процесса. Под моделированием понимается построение и изучение моделей реальных объектов, процессов или явлений с целью исследования свойств этих объектов, процессов или явлений. Моделирование является универсальным методом научного познания и играет важную роль в развитии науки и техники [53,62,69].
Процесс моделирования обычно разделяют на три этапа: математическая модель — алгоритм — программа. Программирование осуществляется после составления вычислительного алгоритма, который, в свою очередь, разрабатывается после полной постановки задачи в той или иной форме. Математическая модель может быть представлена в различных формах (вычислительный алгоритм, компьютерная программа, дифференциальные уравнения, функциональные уравнения).
В математической физике модели обычно задаются с помощью дифференциальных уравнений, дополненных начально-краевыми условиями. Основной, достаточно широкий класс, представляют задачи для уравнений в частных производных, в силу того, что такие уравнения могут описывать достаточно широкий класс процессов. Обычно, при исследовании установившихся процессов различной физической природы, приходят к уравнениям эллиптического типа.
Исследование краевых задач для эллиптических уравнений является важной составной частью теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеет многочисленные приложения в задачах механики сплошных сред (тепломассоперенос, теория упругости), электродинамике и других областях науки и техники.
Теория общих краевых задач для уравнений эллиптического типа представляет собой вполне сложившуюся и достаточно хорошо разработанную теорию [1, 2, 42]. Обычно здесь ведутся исследования для областей с достаточно гладкими границами и для уравнений с достаточно гладкими коэффициентами [1,2]. Безусловно, имеется большой интерес и к изучающию эллиптических задач в областях с негладкими границами и негладкими коэффициентами [34,42]. Отметим также, что теория эллиптических краевых задач со смешанными граничными условиями (на двух или более участках границы задаются граничные условия различных типов) оказывается сложнее, в этом направлении отметим работы [71,85].
При изучении краевых задач математической физики достаточно часто (например, при рассмотрении задач в негладких областях, задач со смешанными граничными условиями, задач с разрывными коэффициентами) необходимо расширять классы функций, в которых осуществляется поиск решения. В этих ситуациях от классических постановок задач переходят к обобщенным формулировкам, к введению понятия обобщенного решения.
Решение обратных задач может быть сопряжено с рядом проблем. 1. Решение может быть неединственным и дополнительных сведений может быть недосаточно для обеспечения единственности. 2. Достаточно часто искомая функция или параметр входят в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом. 3. Исходная информация известна приближенно, т.к. измерительные приборы дают некоторую погрешность. 4. Может отсутствовать непрерывная зависимость решения обратной задачи от исходных данных, что приводит к необходимости разработки специальных методов решения обратных задач.
Если решения обратной задачи не существует (исходные данные могут противоречить друг другу), или нарушается условие единственности решения (недостаток дополнительных сведений о решении), или нет непрерывной зависимости решения от исходных данных, тогда задача называется некорректной по Адамару [3]. В обратных задачах, как правило, нарушается условие непрерывной зависимости решения от входных данных.
Основополагающий вклад в развитие теории и практических методов решения некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев. Большой вклад в развитие теории обратных и некорректных задач внесли А.Л. Агеев, Г.В. Алексеев, О.М. Алифанов, Д.С. Анико-нов, Ю.Е. Аниконов, В.Я. Арсенин, А.Б. Бакушинский, А.Л. Бухлейм, В.В. Васин, Ф.П. Васильев, Г.М. Вайникко, В.Б. Гласко, А.В. Гончарский, А.М. Денисов, С.И. Кабанихин, А.В. Кряжимский, А.С. Леонов, О.А. Лисковец, В.И. Максимов, Г.И. Марчук, И.В. Мельникова, Л.Д. Ме-нихес, В.А. Морозов, Ю.С. Осипов, В.В. Пененко, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.П. Танана, А.Г. Ягола и многие другие ученые. Достаточно подробно теория обратных и некорректных задач представлена в работах [9, 22, 23, 25, 41,59,67,77,79,84].
Наиболее широкую область применения теории некорректных задач представляют собой обратные задачи. Разработка эффективных методов решения обратных задач позволила существенно упростить экспериментальные исследования, повысить точность и достоверность получаемых результатов за счет определенного усложнения алгоритмов обработки экспериментальных данных.
Вариационный метод решения обратной задачи
Охарактеризуем с содержательной точки зрения обратную граничную задачу, соответствующую прямой граничной задаче. Как и прежде, в некоторой области 1]сГ,т = 2,3, содержащей неоднородную сплошную среду, находящуюся под воздействием некоторых внутренних и внешних определяющих состояние среды факторов (режимов), рассматривается установившееся (стационарное) распределение температуры (или концентрации какого-либо вещества среды).
Предположим, что граница Г области Q условно разделена на две части Гі и Гг. Считается, что на части Г і границы возможно прямое измерение необходимых параметров среды (например, температуры или концентрации вещества, потока тепла или потока вещества). На части Г2 границы прямое измерение необходимых параметров среды невозможно, но знание этих параметров крайне необходимо.
Обратная граничная задача состоит в нахождении необходимых параметров сплошной среды на части Г2 границы Г по всей совокупности граничных данных, имеющихся на части Г і границы Г, при учете соответствующей модели, описывающей состояние среды в области П.
Для определенности будем считать, что на части Г і границы задаются и известны температура (концентрация вещества) Т = v и тепловой поток (поток вещества) кдТ/дп = р. Модель распределения температуры (концентрации вещества) в области Q описывается стационарным уравнением реакции-конвекции-диффузии (1.1.1). Искомыми величинами могут быть температура (концентрация вещества) Т на части Г2 границы, или тепловой поток (поток вещества) кдТ/дп на Г2, или одновременно одно и другое, или какая-нибудь величина, вычисляемая по Т и кдТ/дп на Г2. Будем считать, для определенности, что искомой величиной является температура (концентрация вещества) Т на части Г2 границы Г. Варианты задачи с другими искомыми величинами могут изучаться совершенно аналогично. Это связано с тем, что обратные граничные задачи могут решаться в два этапа. На первом этапе (одинаковом для всех вариантов искомых величин) решается краевая задача (обобщенная задача Коши)
На втором этапе по найденному решению Т = Т(ж), ж Є Q, находятся или след Тг2, или след кдТ/дп\г2, или одновременно одно и другое, или какая-нибудь величина, вычисляемая по Т Га и кдТ/дп Га . Итак, для определенности, далее будем рассматривать следующий вариант обратной граничной задачи.
Обратная граничная задача состоит в нахождении температуры (концентрации вещества) Т г2 на части Г2 границы Г в результате решения краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3). Эту задачу иногда кратко будем называть обратной задачей. Рис. 1.3.1. Иллюстрация к постановке обратной задачи. Уточним постановку обратной задачи. Будем считать, что все величины и параметры в обратной задаче (в краевой задаче (1.3.1)–(1.3.3)) удовлетворяют тем же условиям, каким удовлетворяют эти величины и параметры в прямой задаче и (р Є Ь2(Гі).
При указанных условиях на параметры краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3), она может не иметь классического и обобщенного (из пространства W2l(Q)) решения. Введем понятие слабого решения краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3), следуя [46] (см. также аналогичные рассуждения в 1.1). Введем в рассмотрение гильбертовы пространства G3(Q) = g Є \2{П) : g = 0 на Г2 j , G4(Q) = { g Є W2(Q) : g = 0 на Г2 , = 0 на Г2 } , в этих пространствах будут использоваться естественные скалярные произведения и нормы, как в подпространствах соответствующих пространств. Умножим равенство (1.3.1) на пробную функцию д Є G3(Q) и результат проинтегрируем по области П. Применим формулу интегрирования по частям [42, с. 75], [43, с. 70] и перебросим часть прозводных с функции Т на функцию д, получим равенство
Для функций T Є Ь2{П) и д Є С4{П) все элементы в равенстве (1.3.5) определены корректно, интегралы существуют и конечны.
Слабым решением краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3) назовем всякую функцию Т Є L2(r2), удовлетворяющую интегральному равенству (1.3.5) для любой функции д Є G4(Q).
Замечание 1.3.1. Из способа введения слабого решения краевой задачи (1.3.1)–(1.3.3) вытекает следующее утверждение. Если краевая задача (1.3.1)–(1.3.3) допускает классическое решение, то, с одной стороны, классическое решение этой краевой задачи является и ее сильным решением из пространства W iP), и ее обобщенным решением из пространства W p), и ее слабым решением из пространства Ь2(Г2), с другой стороны, достаточно гладкое слабое решение краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3) будет являться и ее обобщенным решением, и ее сильным решением, и ее классическим решением. Для обоснования сформулированного утверждения нужно произвести проделанные выше выкладки с интегралами сначала в "прямом", а затем в "обратном" порядках (см. аналогичные рассуждения в [42-44,52]).
Таким образом, в качестве обратой граничной задачи будет рассматриваться задача о нахождении следа Т г2 от слабого решения краевой задачи (1.3.1)-(1.3.3). При / = 0 оператор А будет линейным. Отметим предварительно следующие моменты. Во-первых, обратная граничная задача поставлена пока формально, поскольку еще ничего не сказано о разрешимости краевой задачи (1.3.1)–(1.3.3) и о существовании следа Тг2 . Во-вторых, для любых функций v Є 2(Гі) и if Є 2(Гі) по теореме 1.2.1 краевая задача (1.3.7)-(1.3.9) имеет единственное слабое решение Т Є L2(f2), которое может не иметь подходящего следа кдТ/дп гг
Сначала отметим, что, вообще говоря, краевая задача (1.3.1)–(1.3.3) может не иметь слабого решения при любых v Є 2(Гі) и if Є 2(Гі). Действительно, рассмотрим следующий конкретный пример. J ехр(-ттг) Используя признак Вейерштрасса [54, c. 495], [70, c. 237], можно показать, что сам ряд для v и ряды, полученные его почленным дифференцированием сколько угодно раз, сходятся равномерно по ж2 Є [0,1], и поэтому v Є С0 [0,1], и тем более v Є L2[0,1].
Легко проверить, что задача (1.3.11)-(1.3.13) может иметь не более одного решения (слабого, обобщенного, сильного или классического). Предположим, что эта задача имеет (одно) слабое решение Т Є Ь2(П). Используя метод разделения переменных, это решение можно представить в виде формального ряда Фурье
Частичные суммы этого ряда являются классическими решениями задачи (1.3.11)-(1.3.13), когда на границе во втором равенстве (1.3.13) вместо функции v стоит соответствующая частичных суммах ряда Фурье, представляющего функцию V. Используя признак Абеля-Дирихле [54, c. 497-499], [70, c. 231-233], можно показать, что ряд (1.3.14) сходится к своей сумме в любой точке ж = (хі,х2) Є Q. Используя этот же признак, можно также показать, что ряд (1.3.14) сходится равномерно по х = (хъх2) Є Пє = [0,1] х [є, 1 - є] при любом є Є (0,1/2), и поэтому функция Т Є С(ПЄ).
Используя признак Вейерштрасса [54, c. 495], [70, c. 237], можно показать, что сам ряд (1.3.14) и ряды, полученные его почленным дифференцированием по переменным х\ и Х2 сколько угодно раз, сходятся равномерно по х = (хъх2) Є П = [0,є] х [0,1] при любом є Є (0,1), и поэтому функция Т Є С(П). Отсюда следует, что слабое решение (1.3.14) является классическим решением задачи (1.3.11)-(1.3.13) в области П при любом є Є (0,1).
Замечание 1.3.2. Вернемся теперь к постановке задачи и вопросу о следах. Хорошо известно [42-44,52,64,73], что функция Т Є L2(Q), вообще говоря, может не иметь следов ТГі Є 2(Гі), T\r2 Є Ь2(Г2) и тем более следов 9Т/ 9п Гі Є Ь2(Гі), 5 Т/ 9п Га Є Ь2(Г2). Чтобы сделать постановки обратных граничных задач корректными, можно было бы поступить следующим образом. Используемые здесь следы принадлежат более широким пространствам (пространствам функционалов, пространствам Соболева с отрицательными показателями [4,47,73]) и поэтому можно было бы поставить обратные граничные задачи с использованием этих пространств. Однако практическая и компьютерная реализация методов решения обратных задач стала бы тогда чрезвычайно трудной и громоздкой. Поэтому будем придерживаться в данной работе другого подхода. Будем считать, как это иногда делается [25,45,61], что параметры краевых задач принадлежат некоторым подпространствам используемых пространств, при привлечении которых соответствующие следы существуют в пространствах L2, постановки задач корректны, разрабатываемые методы и алгоритмы осуществимы.
Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи
В этом параграфе для решения рассматриваемой обратной задачи предлагается воспользоваться методом квазиобращения [45]. Метод квазиобращения заключается во введении некоторых дополнительных дифференциальных членов с малыми параметрами в дифференциальный оператор в уравнении реакции-конвекции-диффузии. Ожидается, что подобное возмущение рассматриваемой обратной задачи делает ее корректно поставленной или, по крайней мере, обладающей большим запасом устойчивости. Решение возмущенной краевой задачи в некотором смысле сходится к решению исходной задачи при стремлении малых параметров к нулю.
Опишем метод решения поставленной обратной задачи (1.3.1)-(1.3.3) на основе метода квазиобращения. Рассмотрим вспомогательную задачу, включающую в себя регуляризованное уравнение реакции-конвекции-диффузии div ( к VTa) = (u,VTa)-qTa-f + a 2 a 2 , ж є tt , (1.6.1) при этом для искомой функции Та граничные условия остаются прежними, то есть остаются условия (1.3.2), (1.3.3). Ожидается, что рассматриваемая вспомогательная задача (1.6.1), (1.3.2), (1.3.3) будет устойчивой при всех достаточно малых а 0 или будет обладать большим запасом устойчивости по сравнению с исходной задачей. Теоретически довольно трудно установить сходимость «() — () при а — 0, где а(ж) = Та(ж)г2, (ж) = Т(ж)г2. Проведем серию вычислительных экспериментов и исследуем зависимость построенных решений от параметра регуляризации.
Пусть далее при численном моделировании Q является прямоугольной областью (1.1.6) (1.1.10). В области Q будет рассматриваться прямая задача (1.5.5)-(1.5.8). Пусть граничный режим ГГі = неизвестен, а на границе Г3 замеряется (наблюдается) поток к? = (Р жєГ3. (1.6.2)
Обратную задачу (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.6.2) можно рассматривать как эволюционную задачу по пространственной переменной х2. В уравнении (1.5.5) введем новые обозначения I = /ь & = 12 и сделаем замену переменных t = h — X2, x = X\. Тогда обратная задача запишется в виде
На каждом слое j разностное уравнение (1.6.6) решалось методом трех-диагональной прогонки. Для определения значений искомой функции при j Є {0, 1} и і Є {0, N} использовалась стандартная аппроксимация граничных условий (1.6.4), (1.6.5) [60]. Для выбора параметра регуляризации можно использовать различные способы. Например, хорошо зарекомендовал себя метод невязки [60], в котором используется заданная точность вычислительного эксперимента. Однако, оценки погрешности задания входных данных обычно не известны. Поэтому на практике часто пользуются нахождением квазиоптимального значения параметра регуляризации [60,68], которое напрямую не связано с уровнем погрешности. Для этого строится последовательность as = a0 bs, 0 b 1, s = 0,S, и для нахождения квазиоптимального значения параметра регуляризации минимизируется норма разности
При формировании последовательности {as} для выбора квазиоптимального параметра регуляризации в методе квазиобращения использовались параметры «о = 0.01, Ь = 0.75, S = 13. При численном моделировании фиксировались параметры (1.5.14). Обратная задача (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.6.2) решалаcь для граничных режимов (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.6.2) на равномерных сетках N х N.
На рисунках 1.6.1-1.6.18 представлены следующие сведения о результатах восстановления граничных режимов (1.5.15)–(1.5.17): — точный режим ) = 0/)(Ж1), 0 тл /ь и соответствующее ему точное решение Тео) = Тео-)(ж), ж Є О, j = 1, 2, 3 на сетке 20 х 20; результаты решения обратных задач І (#i), 0 Х\ /i, j = 1, 2, 3 на сетке 20 х 20; (?) изменение значений относительной погрешности Еа в зависимости от выбора параметра а на сетках N х N, N є {20, 40, 60}, 4Я = II Й(-) - СиЧ-) к(Г1)/Н НО іи2(Гі) , J = 1, 2, 3 ; (і) значение относительной погрешности є/jy, для квазиоптимального значения параметра а на сетках N х N, N є {20, 40, 60}; — квазиоптимальное значение параметра a N, вычисленное при рассчетах на сетках N х N, N є {20, 40, 60}. В таблицах (1.6.1)–(1.6.3) представлены результаты восстановления граничных режимов, а также значения некоторых параметров.
При проведении вычислительных экспериментов фиксировались параметры (1.5.14). В области П для численного решения прямой задачи (1.5.5)-(1.5.8) и задачи (1.7.12)–(1.7.15) задавалась расчетная сетка nh = {{lhujh2) :/ = 0, Nh j = О, N2 } , где h\ = 1/Ni, Ii2 = I/N2. На этой сетке соответствующие краевые задачи считались как описано в параграфе 1.6. Для ускорения счета при численном решении задачи (1.7.12)–(1.7.15) использовался постоянный параметр а = 0.05. Рассчитывались обратные задачи по восстановлению трех граничных режимов (1.5.14)-(1.5.16). На рисунках 1.7.1-1.7.21 представлены следующие сведения о результатах восстановления граничных режимов (1.5.14)–(1.5.16): - точный режим W = (жі), 0 xi lu и соответствующее ему точное решение Тео) = Тео-)(ж), жеП,і = 1,2,3; — результаты решения обратных задач; — промежуточные и конечные итерации Q (хі), і = 1, 2, ..., j = 1, 2, 3; — изменение значений невязки А(г- ) — ір\\ в зависимости от номера итерации і = 1, 2, ..., j = 1, 2, 3; (?) — изменение значений относительной погрешности є) в зависимости от номера итерации, є? = II #() - (OIIWII НО к(Г1), г = 1, 2, ..., J = 1, 2, 3; — изменение значений параметра Д в зависимости от номера итерации і = 1, 2, .... В таблицах (1.7.1)–(1.7.3) представлены результаты восстановления граничных режимов, а также значения некоторых параметров. Приведены результаты расчетов на равномерной сетке 20 х 20
Программные средства к задачам второй главы
Алгоритмы численного решения обратных задач для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии и модели стационарной тепловой конвекции высоковязкой жидкости в прямоугольной области, описанные в главах 1 и 2, реализованы на языке программирования C++ и включены в соответствующие комплексы программ. Разработка осуществлялась в свободной интегрированной среде разработки модульных кроссплатфор-менных приложений Eclipse. Использовались несколько современных библиотек С++ из коллекции Boost (http://www.boost.org):Bind, Function, Format, Program Options, Random, Smart Pointers, uBLAS. Результаты работы программных комплексов могут быть визуализированы как с помощью различных специализированных программных пакетов (например, MATLAB, Maple, Matematica, UDAV), так и средствами обычных офисных пакетов приложений (например, Microsoft Office, LibreOffice, Calligra Suite, GNOME Office). Программные комплексы могут быть использованы в различных операционных системах (Windows, Linux) путем компиляции для каждой из них, без изменения исходного кода. На данный момент запуск программных комплексов и последующая обработка результатов проводились в Linux-системах.
В данной главе представлена структура разработанных программных комплексов, приведено описание и примеры входных файлов. Более подробно излагаются алгоритмы решения соответствующих прямых задач, необходимых для реализации предложенных в главах 1 и 2 методов. Приведена схема решения обратной граниной задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии методом квазиобращения. Описаны структура и примеры выходных файлов, получаемых в результате работы программных комплексов.
Все результаты, представленные в главах 1 и 2, получены с помощью разработанных программных комплексов.
Представленные в главе 1 результаты численного моделирования получены при помощи программного комплекса SRCD Inverse Boundary Problem, специально разработанного для решения обратной граничной задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии в прямоугольной области.
Программный комплекс включает в себя 6 основных блоков, предназначенных для решения обратной граничной задачи методами, описанными в параграфах 1.5–1.9, и решения вспомогательных задач.
Блок вспомогательных задач разработан специально для решения прямой задачи (1.5.5)–(1.5.8), а также вспомогательных задач (1.5.10)–(1.5.13), (1.7.12)–(1.7.15), (1.8.4)–(1.8.7), (1.9.4)–(1.9.7) необходимых для реализации предложенных методов.
Используя данные обозначения, алгоритм решения прямой задачи (1.5.5)–(1.5.8) можно записать в следующем виде. 1. Для временного слоя т = 0 задается распределение Тт = T0. 2. Формируется пятидиагональная матрица Ат и вектор FT. 3. Матричное уравнение Атут = FT решается методом сопряженных градиентов, находится Тт+1. 4. Вычисляется dT = \\Тт+1 - Тт\\ы). Полагается г = г + 1, Тт = Тт+1. Шаги 2-4 выполняются пока dr єегг, где eerr — заданный параметр. Блоки ММНК, ММЛ, ММЛМ, МКО и ВМ предназначены для решения обратной граничной задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии модифицированными методами Ньютона-Канторовича, Ланд-вебера, Левенберга-Марквардта, методом квазиобращения и вариационным методом. Описание алгоритмов для соответсвтвующих методов представлены в параграфах 1.5-1.9.
Подробнее опишем алгоритм решения обратной граничной задачи методом квазиобращения. Для этого предварительно введем некоторые обозначения: в параграфе 1.6 обратаная задача (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.6.2) рассматривалась как эволюционная по переменной Х2, обозначим через j соответствующий "временной" слой; Aj — трехдиагональная матрица, формирующаяся на основе разностной схемы, приведенной в параграфе 1.6; Fj вектор свободных членов, формирующийся на основе разностной схемы, приведенной в параграфе 1.6; yj = (T0j,... ,Tn1J)T; 128 «0, b, S — заранее заданные параметры необходимые для нахождения квазиоптимального параметра aopU который выбирается из набора {as = a0bs\ 0 b 1, s = 0 S}.
При работе с программным комплексом требуются входные данные, представленные в виде текстовых файлов, содержащих информацию о размерах области П = (0, /1) х (0, 12), в которой рассматривается задача, расчетную сетку Qh = {{ih1 jh2)\i = О 1, j = 0 }, необходимую для решения прямой и вспомогательных задач, граничные условия и сведения о некоторых физических параметрах. Опишем подробнее структуру входных данных. Формируются 6 текстовых файлов:
Результатами работы программного комплекса являются сведения о восстановленных распределениях температуры (концентрации) и значениях некоторых параметров численных алгоритмов на промежуточных и конечной итерациях. Опишем структуру текстовых выходных файлов (их примеры показаны на рисунках 3.1.7-3.1.11):
