Содержание к диссертации
Введение
1 Решение основных задач плоской теории упругости и их модификаций с приложениями в теории разрушений 34
1.1 Интерполяционное решение нестационарной задачи — второй основной плоской задачи динамики упругих тел 36
1.1.1 Постановка задачи и метод решения 36
1.1.2 Пример интерполяционного решения задачи 41
1.2 Решение основных плоских задач теории упругости для бесконечных R-областеЙ путем сведения к двум задачам Шварца 46
1.2.1 Метод решения '. ; 46
1.2.2 Примеры решения основных плоских задач теории упругости для областей с границами, содержащими каспы 50
1.3 Решение основных задач теории упругости для бесконечных областей с каспами в общем случае 60
1.4 -Смешанная задача теории упругости для бесконечных R-областей 67
1.4.1 Постановка задачи и метод решения 67
1.4.2 Решение смешанной задачи для плоскости с каплеобразным вырезом 71
1.5 О постановке обратной краевой задачи плоской теории упругости 76
1.6 Решение простейших задач, связанных с разрушением, для пластины с двоякосимметричным вырезом, имеющим две точки возврата . 85
1.7 Направление начального роста трещины из каспа для
одного класса вырезов 91
1.7.1 Определение начального роста трещины для R-области 91
1.7.2 Зависимость направления начального роста трещины из каспа на границах областей двух типов от направления растяжения 94
1.8 Моделирование процесса роста полостей в вязких телах с применением семейств последовательно вложенных областей 98
1.8.1 О семействах последовательно вложенных областей 98
1.8.2 Пример образования каспа на границе полости 103
Решение задач теории упругости в трехмерных постановках с применением краевых задач на плоскости 111
2.1 Граничные задачи для покрытий плоских областей и для тонких симметричных оболочек 112
2.1.1 Представление трехмерных смещений в тонких упругих покрытиях плоских областей с помощью аналитических функций 112
2.1.2 Постановка и решение краевых задач для конечной области 117
2.1.3 Пример решения краевой задачи для тонкого покрытия конечной плоской области 125
2.1.4 Случай бесконечной односвязной области 128
2.1.5 Пространственные задачи для одного класса оболочек, аналогичные основным задачам теории упругости 133
2.1.6 Решение задач для оболочек с R-областью в срединной плоскости 142
2.2 Интерполяционное решение основных граничных задач теории упругости в трехмерной постановке в случае цилиндрических упругих тел 146
2.2.1 Вид интерполяционного решения второй основной граничной задачи 146
2.2.2 Сведение решения поставленной трехмерной задачи к решению последовательности краевых задач 150
2.2.3 Пример решения задачи для кругового цилиндра 156
2.2.4 Интерполяционное решение первой основной граничной задачи теории упругости для цилиндроида 160
2.2.5 Схема решения задачи 163
2.2.6 Случай бесконечного пласта с цилиндрическим вырезом 168
2.3 Интерполяционное решение смешанной граничной задачи теории упругости в случае полого цилиндра 176
2.3.1 Постановка задачи и предварительные предположения 176
.2.3.2 Решение задачи 180
2.3.3 Пример 191
2.4 Изменение краевых условий при интерполяционном решении задач для цилиндрических тел 195
2.4.1 Добавление новых уровней 195
2.4.2 Изменение условий на прежних уровнях 195
2.4.3 Добавочные условия на торцах 199
2.5 О построении сплайн-интерполяционных решений задач для цилиндроидов 202
Краевые и обратные краевые задачи с граничными особенностями для уравнений эллиптического типа 209
Сведение решения внутренней обратной краевой задачи по параметру s для аналитической функции к интегральному уравнению 212
3.1.1 Сведение обратной краевой задачи в классической постановке к решению уравнения Фредгольма 212
3.1.2 Случай угловой точки на искомом контуре 220
3.1.3 Решение обратной краевой задачи для аналитической функции в обобщенной постановке с помощью интегрального уравнения 223
3.1.4 Обобщенная постановка обратной краевой задачи в случае угловых точек на известном контуре 234 Некоторые достаточные условия корректности обратных краевых задач по параметру s для аналитических функций237
3.2.1 Получение достаточных условий однолистности решения внутренней обратной краевой задачи в классической постановке 237
3.2.2 Однолистность в случях угловой точки на искомом контуре и обобщенной постановки задачи 247
3.2.3 Получение классов данных для корректной постановки обратной краевой задачи путем перепара метризации 252
3.2.4 О получении классов данных для корректных постановок внутренних обратных краевых задач путем комбинации параметризаций 262
3.2.5 Достаточное условие единственности решения внешней обратной краевой задачи в виде ограничений на исходные данные 266
Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 271
3.3.1 Задача Шварца для одного уравнения эллиптического типа 271
3.3.2 Решение внутренней обратной краевой задачи по параметру s для уравнения Бельтрами, заданного в плоскости известной области 280
3.3.3 Смешанная краевая задача в полуполосе для уравнения эллиптического типа 289
3.3.4 Решение смешанной задачи в полуполосе при за данном поведении в окрестности бесконечности 300
Приложение краевых задач к решению задач гидроме ханики 308
4.1 Построение подземного контура по заданной эпюре фильтрационного давления в полуплоскости в случае неоднородного грунта 310
4.2 О поиске квазирешения обратной задачи фильтрации в неоднородном грунте при задании граничного модуля градиента напора 320
4.2.1 Способ изменения граничных условий, обеспечи вающий разрешимость задачи для однородного грунта 320
4.2.2 О постановке задачи и о построении итераций в случае неоднородного грунта 328
4.3 Решение задачи о шпунте Жуковского для неоднородного грунта 331
4.3.1 Постановка задачи и метод решения 331
4.3.2 Сходимость процесса итераций 337
4.3.3 Оценка норм операторов 341
4.4 Интерполяционное решение задачи неустановившегося обтекания профиля вязкой жидкостью с малым числом Рей-нольдса 345
4.4.1 Постановка задачи и основные соотношения 345
4.4.2 Схема решения задачи неустановившегося обтекания 349
4.5 Интерполяционное решение задачи стационарного движения вязкой жидкости в цилиндре с динамичными стенками 352
Список публикаций автора по теме диссертации. 361
Литература.
- Примеры решения основных плоских задач теории упругости для областей с границами, содержащими каспы
- Представление трехмерных смещений в тонких упругих покрытиях плоских областей с помощью аналитических функций
- Сведение обратной краевой задачи в классической постановке к решению уравнения Фредгольма
- О поиске квазирешения обратной задачи фильтрации в неоднородном грунте при задании граничного модуля градиента напора
Введение к работе
Актуальность. Трудно переоценить важность решения задач определения внутренних характеристик тела по внешним — граничным — воздействиям. В теории упругости к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по, соответственно, напряжениям или смещениям в точках поверхности тела. Задачи эти исследуются с середины 19-го века, но число точных решений таких задач в трехмерной постановке очень мало. Естественно, что соответствующие нестационарные задачи являются еще более сложными. Обычно такие задачи решаются приближенно, например, методом конечных элементов.
В случае плоских стационарных задач теории упругости аппарат теории функций комплексного переменного, впервые предложенный в работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили, позволил получить точные решения основных задач для достаточно широкого класса областей, в частности, для областей, получаемых при дробно-рациональном отображении круга или его внешности. Однако, способ решения НИ. Мусхелишвили исключает возможность рассмотрения областей с граничными точками возврата — каспами. В то же время моделирование процессов разрушения требует описания точного асимптотического поведения граничных напряжений именно вблизи каспов, так как такие точки являются концентраторами напряжений.
Теория функций комплексного переменного и краевые задачи для аналитических функций имеют приложения также в теории фильтрации. Вопросы, связанные с фильтрацией, в 20-м веке приобрели особое значение в связи с интенсивным строительством гидросоору-
жений. Именно в Казанском университете возникла и получила развитие теория обратных краевых задач фильтрации — задач определения формы подземного водонепроницаемого сооружения по заданным вдоль контура сооружения характеристикам процесса фильтрации, например, по эпюре фильтрационного давления или скорости фильтрации жидкости. В случае однородного изотропного грунта обратные краевые задачи фильтрации решаются с применением краевых задач для аналитических функций. В случае неоднородного грунта задача усложняется, и нетривиальные аналитические решения обратных задач фильтрации до сих пор не были построены. В последнее время актуальность задач фильтрации обусловлена также проблемами, связанными с загрязнением окружающей среды.
Целью настоящей работы является построение решений граничных задач теории упругости и гидромеханики новыми методами, а также приложение полученных решений в теории разрушений и теории фильтрации.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Впервые поставлены и решены следующие задачи: вариант смешанной задачи плоской теории упругости (аналог контактной задачи), обратная краевая задача плоской теории упругости, ряд краевых задач для тонких симметричных относительно срединной плоскости оболочек и покрытий плоских областей, граничная задача для полого цилиндра в трехмерной постановке, задача неустановившегося обтекания профиля вязкой жидкостью и задача течения жидкости в канале с динамичными стенками. В работе предложен новый метод решения основных задач плоской теории упругости для областей с граничными каспами. Этим методом, например, получены точные решения основных задач плоской теории упругости для бесконечных областей — плоскостей с С- и S-образными вырезами. Новыми являются все интерполяционные решения задач теории упругости и гидромеханики, итерационные решения задач фильтрации в неоднородном грунте, а также решение обратной краевой задачи для
аналитической функции в обобщенной постановке и все достаточные условия корректности постановки этой задачи (однолистность и единственность решения).
Методы исследования. Основными методами, применяемыми в настоящей работе, являются
—методы краевых задач для аналитических функций и их обобщений, —метод интегральных уравнений.
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что применяются точные и строго обоснованные аналитические методы в рамках общепринятых гипотез и допущений механики сплошной среды. Кроме того, результаты диссертации являются обобщением или развитием полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях.
Апробация. Основные методы и результаты, изложенные в дис- . сертации, опубликованы в 46 публикациях, приведенных в конце диссертации, перед списком цитированной литературы.
Результаты докладывались на семинарах по геометрической теории функций комплексного переменного при КГУ под руководством профессора Л.А. Аксентьева, на конференциях "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения" (Казань, 1991), "Вторые математические чтения памяти М.Я.Суслина" (Саратов, 1991), "Алгебра и анализ" (Казань, 1994 и 1997), "Теория функций и ее приложения" (Казань, 1995, 1999, 2001, 2003), "Понтрягинские чтения - 10" (Воронеж, 1999), "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), "Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения" (Казань, 2000), "Геометрическая теория функций и краевые задачи" (Казань, 2002), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию СМ. Никольского (Москва, 2005), на научном семинаре при кафедре механики композитов МГУ (сентябрь 2005), на
Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж:, 2005), на семинаре в институте математического моделирования (руководитель — профессор Е.И. Лева-нов), на итоговых научных конференциях 2003 г. и 2004 г. Казанского научного центра РАН, а также, на ежегодных отчетных конференциях КГУ (секции "Геометрическая теория функций" и "Механика твердого тела").
Основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту.
Получено интерполяционное решение нестационарной задачи — второй основной плоской задачи динамики упругих тел.
Предложен новый метод решения основных задач плоской теории упругости для бесконечных областей, являющихся образами внешности единичного круга при действии дробно-рациональных функ ций.
Найдены зависимости направлений начального роста трещин из каспов от формы выреза и способа нагружения на основе полученных точных решений задач для областей с граничными каспами.
Решены граничные задачи для тонких покрытий плоских областей и для оболочек специального вида — симметричных относительно срединной плоскости.
Построены интерполяционные решения основных граничных задач в трехмерной постановке для цилиндроидов. Решена интерполяционная задача для полого кругового цилиндра, внутренняя поверхность которого находится под давлением.
Получены интерполяционные решения задач течения вязкой жидкости с малым числом Рейнольдса — нестационарного плоского обтекания изолированного профиля и стационарного течения в цилиндре.
Построены решения краевых и обратных краевых задач при достаточно общих предположениях относительно исходных данных, получены достаточные условия корректности постановок таких задач.
Разработан метод решения задач фильтрации в неоднородном грунте.
Примеры решения основных плоских задач теории упругости для областей с границами, содержащими каспы
Будем называть область D бесконечной R-областыо, если функция z(Q, отображающая Е на D является дробно-рациональной функцией. Для такой области возможно построение точного решения основных задач плоской теории упругости путем сведения к двум задачам Шварца для мероморфиых функций. Введем функции q(Q = 2(Ї/С), r(() = z (l/Q. Функции q(Q и г(0 являются мероморфньши в Е . Рассмотрим функции К±(() , задаваемые формулами: к±(0 = кФ(от ± Ф(С)КС) т (9(С)Ф Ю + Ф(СУ(0) С2- (ui)
Заметим, что КеК+(ег9) = 11(в))1тК-(егв) — V(9). Заметим также, что функции К±(С) имеют одинаковые особенности — полюсы, и главные части разложений функций К±(() в окрестности полюсов отличаются знаком. Зная полюсы функций q(Q и г(), легко восстановить К±(С), решая обобщенные задачи Шварца. В выражения для K±(Q войдут несколько произвольных констант, число которых зависит от количества и кратности полюсов K±{Q. Теперь легко восстановить функцию Ф(): то есть приравнять нулю все коэффициенты при отрицательных степенях в разложении этой функции в окрестности полюсов.
Следует отметить, что в случае, когда 17(0) и V{&] гельдеровы, а следовательно гельдеровы граничные значения К±{(,) ([78], [27]) функция Ф(С) согласно (1.12) в граничных точках, соответствующих вершинам каспов, будет иметь особенности порядка -1. Одной из наиболее актуальных задач теории упругости является задача определения коэффициента интенсивности напряжений в точке, соответствующей каспу, то есть, величины Кг - гКп - 2Ш{у/Щ$=Щ$]Щ)} . От этого коэффициента, согласно ряду гипотез, зависит,например, направление роста трещины [59,72,102] из вершины каспа.
Хотя традиционные задачи плоской теории упругости предполагают достаточную гладкость граничных данных, может возникнуть необходимость решать задачи с неднфференцируемой граничной функцией. Если не предполагать дифференцируемости R(t), то задачи можно решать подобным же способом, не прибегая к дифференцированию краевого условия (1.7). Обозначим G(Q н гМО) = ГУ(оо)С + " Ь С + Go(0. Краевое условие будет служить для нахождения функций Fo и Go, аналитических в Е , и примет вид
В случае первой основной задачи правая часть в краевом условии (1.14) будет однозначной, несмотря на присутствие слагаемого -19, так как приращение этого члена после обхода единичной окружности равно по величине и противоположно по знаку приращению функции R(t(6)). В случае второй задачи указанное слагаемое исчезает. Вводим, как и в предыдущем случае, функции К±{(1): ЫО = ВД(С) ± Щ$Ш) ± Go(0- (1-15) Восстанавливая мероморфные функции К±(() по действительной и мнимой частям в соответствии с (1:14), сможем найти FQ(Q:
Константы, появившиеся в выражениях K±(Q при решении обобщенных задач Шварца, определятся, когда потребуем аналитичности Go (С)- Получив функцию F{(), можно найти
Заметим, что рассмотренный метод может быть полностью перенесен на решение основных задач изгиба тонких пластин (постановка этих задач приведена, например, в [20]) для R-областей, так как математическая постановка задач изгиба тонких пластин для бесконечных областей также сводится к нахождению двух аналитических функций по краевому условию вида (1.7).
1). Рассмотрим плоскость с каплеобразным вырезом (рис.1.3), имеющим граничную точку возврата с нулевым углом.
Здесь величина параметра с влияет на форму выреза: при с = \ получаем прямолинейный разрез вдоль отрезка [0,2Z], при с = — 1 — круговой вырез радиуса 1/2, промежуточные значения параметра позволяют изменять вырез, содержащий на границе одну точку возврата — касп.
Решения двух предыдущих задач могут быть применены для исследования локального поведения решения основных задач плоской теории упругости и нахождения коэффициента интенсивности напряжений в случае, когда граница выреза имеет касп и локально симметрична относительно касательной, проходящей через касп.
Следующие две задачи представляют случаи областей с границами, не симметричными относительно касательных, проходящих через касп ы. 3), С-образный вырез на бесконечной плоскости. В данном случае область представляет собой плоскость с вырезом, ограниченным двумя касающимися в двух каспах дугами (рис. 1.5).
Представление трехмерных смещений в тонких упругих покрытиях плоских областей с помощью аналитических функций
Предположим, что уравнение границы плоской области D имеет вид {x(s),y(s),0},s Є [0,/], уравнение верхней кромки покрытия D имеет вид {x(s),y(s),z(s)}, s Є [0,1]. Пусть задан плоский вектор граничных смещений (u,v) в основании покрытия и вектор смещений (и, v, го) верхней кромки покрытия. Требуется определить смещения во всех точках покрытия.
Согласно результатам предыдущего пункта имеем u{x(s),y(s),0) + iv{x{s),y{s),0) = 1І7" ri ( т+ +${ ))+q{ )\\aD = Ri(s), (2.15) ф(в), y(s), 5(a)) + ги(х(д),у(в), 5(e)) = ІВД, (2.16) w{x(s),y(s),z{s)) = z{s)wl(x(s),y{s)) = Я3(5), (2.17) Очевидно, что функцию й$(х, у) можно восстановить в D согласно (2.17), решая задачу Дирихле с граничным условием
Функции q(z) (z),il)(z) найдем согласно (2.15) и (2.13). Таким образом, щ{х,у), Vf)(x,y) могут быть найдены благодаря соотношению (2.12). Теперь из (2.15) и (2.16) имеем щ{х(з), у{з)) + т{х{з),у{з)) = [Щз) - Ri{s)}/z(s) = Q s) + iQ2(s), (2.18) следовательно Qi(s) - iQ2(s) = f{z{s)) - 0z{s), z{s) = x(s) + iy(s),. согласно (2.14). Необходимым и достаточным условием того, что f(z(s))1 s Є [О, I], является граничным значением функции, аналитической в D, является следующее соотношение ([27]) f(z(t))dz(t) яг Jo z(t) - z(s) Таким образом, мы получили условие разрешимости поставленной в начале этого пункта задачи: і V(s) Qi(s) - hmjlQ t) - iQ2(t)}dln[z(t) - z(s)} о 1. -і —Re / z{t)d\n[z(t) - z(s)\ = const.se [0,1], (2.19) 118 где Q\{s))Q2\s) из (2.18), а интегралы, входящие в выражение, являются интегралами в смысле главного значения по Копій.
Если условие (2.19) выполняется, то для восстановления гармонических в D функций щ(х,у) и V\(x,y) пш остается решить две задачи Дирихле с граничными функциями Qi(s) и Q2{s), соответственно, согласно (2.3) и (2.18).
Таким образом, решение поставленной выше задачи с краевыми условиями (2.15) - (2.17) и условием разрешимости (2.19) сводится к задачам для аналитических функций, и здесь можно применять, например, метод конформных отображений. Заметим, что соотношение (2.19) может быть использовано для нахождения значений Ui(x(s),y(s)), если краевое условие (2.16) заменить краевым условием v{x(s) y(s),z(s)) = R2(s).
При этом разные константы в правой части (2.19) обеспечат разные решения. Заметив, дополнительно, что получаемое уравнение Фред-гольма имеет семейство решений, отличающихся па постоянную, мы получим двупараметрическое семейство значений щ. Конкретизировать решение в этом случае можно, задав, например, значения щ в двух краевых точках.
Изменим постановку краевой задачи, заменив значения плоских смещений на значения касательной составляющей плоских смещений на верхней кромке покрытия. Таким образом, вместо условия (2.16) получим условие u{x{s),y{s),z(s))x {s) + v{x{s), y{s), z(s))y {s) = R2{s), где s -дуговая абсцисса соответствующей граничной точки. Поскольку и(ф), y{s),z{s)) = u0(x(s), y(s)) + z{s)ui(x(s), y(s))f 119 v{x{s),y(s),z(s)) = vQ{x(s),y{s)) + z(s)vt(x(s),y{s)), краевое условие согласно (2.15) примет вид mixislyis x is) hvi(x{s),y(s))y {s) = [R2{s) -ReRl{s)x (s) \mRl{s)y {s)]z(s)-1 = R4(s). (2.20)
Покажем, что краевое условие (2.20) дает возможность однозначно восстановить гармонические в D функции щ(х,у) и vi(x,y). Для этого воспользуемся вспомогательным конформным отображением. Пусть функция z = h(Q конформно отображает единичный круг 1 на область D. Сравнивая граничные значения /і(ехрг#) = z(s), получим зависимость s = s(6). Из соотношения [x\s) + iy {s))\h {j9)\ = ti(j9)eiei получим представление: x (s) = - sin(arg h {eie) + в), y\s) = cos(avgh {eie) + в). Будем обозначать щ{x(s(0)),y{s(e))) щ(в), vi(x{s(e)),y(s(9))) Vi(9). Теперь краевое условие (2.20) запишется в виде -щ(в) sin(arg h (eie) + 9) + Vl(0) cos(arg ti{eie) + 0) = = Щ(з{0)) = -Еі(в). (2.21) Согласно (2.14) при (3 = iy имеем: щ(в) — iv\(9) + 2yy(s(9)), в Є [0,27г], — граничные значения аналитической при \(\ 1 функции при некоторой вещественной постоянной 7- Обозначим щ(Кек(0МЧ())-т(Шк(0МЧ0) + ї7іК0 = НСШ і.
В соответствии с новыми обозначениями щ(9) = ReF(exp(i9)) — 2ylmh(exp(i9)), v\(9) = 1тР(ехр(ів), Согласно условию (2.21) получим задачу Гильберта [27] для определения аналитической при С 1 функции F(() по краевому условию
Сведение обратной краевой задачи в классической постановке к решению уравнения Фредгольма
В первых четырех параграфах данной главы приводится решение задачи без вспомогательного отображения на фундаментальную область как для случая, когда заданные функции обладают гельдеровыми производными (параграф 3.1.1) — такая постановка задачи названа классической, — так и для обобщенной постановки (параграф 3.1.3), с ограничениями, близкими к достаточным условиям, указанным Ф.Д.Гаховым. Следует отметить, что условие принадлежности функции u (s)+n/(s) пространству »1+е, используемое в параграфе 1.3, является более общим, чем условие ограниченности производных заданных функций почти всюду, приведенное Ф.Д.Гаховым [26].
Очевидно, что наличие угловой точки на известном или искомом контуре нарушает те ограничения, при которых решается задача в классической постановке. Представление заданных функций в окрестности соответствующего значения параметра получены в работах [28, 91]. В параграфах 3.1.2 и 3.1.4 иследуется возможность сведения к интегральному уравнению задач при наличии таких угловых точек.
Результаты и идеи по этой теме опубликованы в работах автора дис-сертации [1], [2], [И], [12], [24], [25], [28].
В следующих четырех параграфах (3.2.1 - 3.2.4) получены достаточные условия однолистности решения внутренней обратной краевой задачи по параметру s.B первых двух параграфах результаты основаны на применении оценки Трикоми разности между решениями истинного и измененного интегральных уравнений (параграфы 3.2.1 и 3.2.2). При этом первый параграф основан на решении задачи в классической по становке, а во втором параграфе допускаются особенности у исходных функций.
В параграфах 3.2.3 и 3.2.4 решается проблема получения новых исходных функций путем перепараметризации известной функции w(s) таким образом, чтобы при решении новых задач получались однолистные (выпуклые или почти-выпуклые) области в плоскости z. Таким образом, не меняя известного контура, а только параметризуя его по-другому, получим постановки задач, имеющих однолистные решения. В случае внешней обратной краевой задачи по параметру s на первый план выходит проблема единственности решения. Здесь также важно уметь получать достаточные условия единственности, не прибегая к вспомогательному отображению на каноническую область, а пользуясь только исходной функцией w(s). Такое условие получено в параграфе 3.2.5.
Результаты, связанные с корректностью — однолистностью и единственностью — обратных краевых задач, опубликованы в работах [1], [2], [3], [5], [27], [35] автора диссертации.
Последние четыре параграфа третьей главы посвящены исследованию краевых задач для более общего класса функций — функций, удовлетворяющих уравнениям эллиптического типа. Примером таких уравнений является уравнение Бельтрами. Неотрицательность якобиана при отображении с помощью таких функций дает возможность ставить и решать краевые и обратные краевые задачи. Основой для решения обратных краевых задач для аналитических функций является задача Шварца — задача восстановления функции в области по граничным значениям ее вещественной (мнимой) части. Эта задача для уравнения эллиптического типа решается в параграфе 3.3.1 как в области с гладкой границей, так и в области, граница которой содержит угловую точку. Внутренняя обратная краевая задача по параметру s сводится к решению задачи Шварца в параграфе 3.3.2 при различных условиях на исходные данные — соответствующих классической постановке (параграф 3.1.1) и обобщенной постановке (параграф 3.1.3) подобных задач для аналитических функций. Параграф 3.3 посвящен решению смешанной задачи для функции, удовлетворяющей уравнению эллиптического типа в полуполосе. Вводится интегральный оператор Т, аналогичный операторам, традиционно участвующим в решении уравнений эллиптического типа, например, в работах [23],[15],[22],[60], но имеющий нулевые краевые условия, соответствующие краевым условиям задачи, исследуются его свойства. При этом рассмотрен новый подкласс функций, интегрируемых по Лебегу в полуполосе — с особым условием сходимости соответствующего несобственного интеграла. Подобные задачи для функций с заданным поведением в окрестности бесконечности рассмотрены в параграфе 3.3.4. Основные результаты по этим материалам опубликованы в работах автора [4], [6], [7), [10], [33], [39].
О поиске квазирешения обратной задачи фильтрации в неоднородном грунте при задании граничного модуля градиента напора
Следовательно, 1тФо(±а + ги) = Q,v (—оо,0). Очевидно, что ФО(ІУ) имеет конечный предел при w — оо и в конечных точках, отличных от w = ±а, на границе. В точках же w = ±а согласно свойствам интеграла типа Кош и Фо(ги) может допускать логарифмические особенности ([28],с.75). Покажем, что в действительности Фо(го) имеет конечный предел также и в точках ±а. Рассмотрим в D функцию Со = г (П(а) - П(-а)) ехр(-ї—)/2 + (ОД + П(-а))/2.
Очевидно, что Q}(w) — аналитическая в D и непрерывная вплоть до границы D функция, отображающая D на полукруг и удовлетворяющая соотношениям: Со(—о) = П(—а), (о(а) = П(а), Imo(ia + w) = 0,v (—00,0). Заметим, что Reo(u) С[—а, а]. Нетрудно видеть, что CIW = COW- T Аод-RfiCoW] 7г(г + w) 4а 7Г(Т — Ш) drb w Є D, 4a удовлетворяет краевым условиям (3.46) и Ci(w) имеет конечный предел при ш — 00.
Покажем, что значения &(±а) конечны. Представим интеграл в выражении 0(iu) как интеграл по ляпуновскому простому замкнутому контуру Г, лежащему в полуплоскости Imw 0 и имеющему общую часть с вещественной осью - отрезок [—а,а], причем точки Г \ [—а, а] лежат ниже вещественной оси, с нулевой плотностью на Г \ [—а, а], то есть
Очевидно, что й(т). Є На(Т). Полученный интеграл типа Коши с гельдеровой плотностью — аналитическая функция в конечной области Dr с границей Г, непрерывно продолжимая на Г, в том числе, и в точках w ±а.
Аналитическая в D функция Ф(ю) = 6(ги) — Фо(го) имеет нулевые краевые условия вида (3.46) и может иметь в точках w = ±а логарифмические особенности. Таким образом, граница Ф(О) расположена на осях координат, но в образах точек w = ±а будет образовывать прямые углы, только если значения Ф(±а) конечны. В этом случае область Ф(О), лежащая в конечной части плоскости, является вырожденной, то есть, Ф(хи) = 0 или Фо(гу) = i(w),w Є D. Отсюда следует непрерывная продолжимость ФО(ЇУ) в точки ±а. Так как (Q(W) ограничена в D, П(т) гельдеровас показателем a, Фа(и + іу) Lo + - iexp( ) при у — —со, то Ф[,И = CiW Є ipPJn iW.Vp (2,(1 - а)"1) согласно [28], с.69, и благодаря тому, что
Таким образом, представление g(w) в виде (3.48) не выводит из нужного нам класса. Теперь для того, чтобы функция g{w) была решением уравнения (3.45), потребуем, чтобы ш(т) была решением уравнения и = \(w)S[u ] + \(w)$ 0{w) + h{w), (3.49) где интеграл М- // Мт)] о sin _2 7г(т - w) 4а cfoy, понимаемый в смысле главного значения, является обобщенной производной функции f(w) — Т[ш)(ги) по w.
Для решения уравнения (3.49) относительно ш оценим норму оператора а\ш] в Л(гу)5[ш], рассматриваемого на пространстве LP(D) f] Ll(D), Ур 2, и переводящего это пространство в себя. В LP(D) р\Ьг(0) введем норму:
Покажем, что задача (3.45),(3.46) имеет единственное решение, если vrai$upweD\\(w)\ Ло 1. Пусть g(w) и gi(w) - два решения этой задачи. Тогда ?o(w) = g{w) — g\(w) является решением уравнения L, = 4w)sL,v eDt (3.54) и удовлетворяет краевым условиям lmg(w) а,=±о-И«,і;Є(-оо,0) = 0, причем gn(w) непрерывна в D и непрерывно продолжима в точки 3D. Согласно (3.54) и ограничению на Ло функция QQ(W) осуществляет отображение, сохраняющее область, а из краевых условий (3.55) следует, что граница ga(D) расположена на осях координат. Вследствие ограниченности область QQ{D) вырожденная, и значит, go(w) = 0. Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:
ТЕОРЕМА 3.18. Краевая задача (3.45),(3.46) имеет единственное в D решение (3.48) с плотностью и из (3.53) в классе непрерывных в D функций с локально интегрируемыми обобщенными производными, непрерывно продолжимых в точки границы dD, если Q(u) Є На[—а, а], 1 а 1/2, h(w) Є LP0(D)n (O) (2,(1-а)"1),vraisu?wD \X(w)\ Ло 1, X(w) Є L (D)f)Ll{D), q0 = -1)- (X0 + \\X\\Lqo)B(p0) 1,гдеВ(р)из(3.52).
