Введение к работе
Актуальность темы. В основе решения многих теоретических и технических проблем в современной антенной, измерительной технике, электронике, ядерной и ускорительной технике лежит задача построения эффективных математических моделей процессов дифракции и рассеяния электромагнитных волн па объектах из реальных материалов.
В последние десятилетия различные подходы к решению задач дифракции на идеально проводящих объектах развиваются в работах В.П.Шестопалова, Л.Н.Литвиненко, Е.В.Захарова, В.И.Дмитриева, Ю.В.Пименова, З.Т.Назарчука, С.А.Масалова, С.Л.Просвирнина, среди которых такие методы, как метод потенциалов, метод задачи Римана-Гильберта, метод Вииера-Хопфа, метод спектральных операторов. Большинство из предложенных методов существенно используют специфику геометрии рассеивающей структуры каждой конкретной задачи, которая заведомо отсутствует в близких задачах более общего типа, представляющих практический интерес.
В начале 80-х годов Ю.В.Ганделем был предложен новый подход к построению математических моделей задач дифракции. Суть его состоит в использовании параметрических представлений сингулярных интегральных преобразований для сведения краевых задач для уравнения Максвелла в строгой постановке к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) на системе отрезков. Для последующей дискретизации математических моделей используется эффективный численный метод дискретных особенностей (МДО), который возник на базе метода дискретных вихрей С.М.Белоцерковского и математического аппарата численного решения СИУ на системе отрезков, разработанного в трудах И.К.Лифапова. Такой подход позволил единообразно свести широкий класс периодических и непериодических краевых задач электродинамики, в том числе и рассмотренных в диссертации, к эквивалентным СИУ.
Для простейших математических моделей явлений дифракции и рассеяния волн на бесконечно тонких идеально проводящих отражателях теория численного решения получаемых уравнений методом дискретных особенностей детально разработана и строго обоснована в работах И.КЛифанова, А.Ф.Матвеева, Ю.В.Ганделя, Т.С.Полянской, С.В.Ере-ыенко. Реальные прикладные задачи приводят к математическим моделям, обоснования которых не могут быть проведены столь же строго, как в простейших случаях. И здесь численное моделирование играет решающую роль. Методы, разработанные и опробованные на "идеальных" моделях, где техника математического моделирования и численного эксперимента на его основе дает результаты высокой точности, переносятся затем на более сложные задачи: электродинамические задачи на телесных объектах с ребрами, с реальной проводимостью поверхностей и т. д. Получаемые результаты сравниваются с результатами для "идеальных" предельных случаев, экспериментальными данными, с результатами, полученными другими методами.
В диссертационной работе данный подход распространяется на случай импедансных граничных условий, что позволяет строить математические модели более близкие к реальным физическим задачам. Последнее обстоятельство важно, если учесть возрастающий интерес к расчету электродинамических характеристик сверхпроводящих объектов. Исследованиям в этой области посвящены работы В.Ф.Кравченко, Ф.Ф.Менде и др., чьи теоретические и расчетные материалы использовались автором диссертации при численном моделировании дифракции электромагнитных волн на произвольной ограниченной решетке, состоящей из конечного числа сверхпроводящих лент, дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода.
Важной теоретической и прикладной задачей является расчет спектральных характеристик механических и электродинамических систем.
Такие задачи возникают при конструировании электронной аппаратуры, в частности, при рассчете полосковых и щелевых линий передачи. Их анализу посвящены работы А.С.Ильинского, Ю.В.Шестопалова, В.Шу-гурова. В диссертационной работе впервые идеи метода дискретных особенностей применены к решению спектральных задач на примере задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными условями закрепления на границе. Эта задача с одной стороны представляет интерес как практическая задача теории механических колебаний, а с другой стороны, является модельной для изучения возможностей применимости метода дискретных особенностей к решению актуальных задач расчета спектральных характеристик электродинамических систем.
Цель работы и основные задания научного исследования. Целью диссертационной работы является построение на основе теории граничных сингулярных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей математических моделей
дифракции электромагнитных волн на решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент;
дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода;
нахождения собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными граничными условями.
Основные задания работы состоят в:
-
строгом сведении указанных задач к системам граничных интегральных уравнений;
-
построении дискретных математических моделей на основе метода дискретных особенностей;
-
разработке эффективных алгоритмов и пакета программ для численного анализа дискретной математической модели;
4) исследовании адекватности и эффективности полученных моделей в численном экперименте, определение границ их применимости. На защиту выносятся следующие результаты;
-
Аналитические математические модели задачи дифракции плоской электромагнитной волны на произвольной ограниченной решетке, состоящей из конечного числа тонких сверхпроводящих лент; задач дифракции плоской электромагнитной волны на полуограниченном волноводе с импедансным фланцем и излучения из такого волновода; задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными условиями закрепления на границе.
-
Модификация МДО для дискретизации аналитических математических моделей указанных задач, в том числе квадратурная формула интерполяционного типа по узлам полиномов Чебышева 1-го рода для интеграла с переменным пределом интегрирования.
-
Асимптотические формулы для определения приближенного значения поля в дальней зоне.
-
Эффективные алгоритмы численной реализации построенных дискретных математических моделей.
-
Результаты исследования средствами вычислительного эксперимента построенных математических моделей с определением границ их эффективной применимости.
-
Комплекс программ на языке Си для персонального компьютера типа IBM PC, реализующий предложенные дискретные математические модели.
Теоретическая ценность исследования и его научная новизна. На базе теории граничных интегральных уравнений и МДО впервые построены дискретные математические модели важных в теоретическом и прикладном плане задач теории рассеяния:
— дифракции электромагнитных волн на решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент ;
— дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода.
Для реализации дискретных математических моделей разработаны универсальные алгоритмы. Важным элементом предлагаемой вычислительной схемы является эффективное вычисление ядер интегральных уравнений, содержащих бесконечные ряды и интегралы по всей оси.
Получена квадратурная формула специального вида для интеграла с переменным пределом интегрирования, позволяющая применить численную схему МДО к уравнению с таким слагаемым.
С помощью созданного пакета программ проведен численный эксперимент. Предложенные модели по анализу большого числа модельных задач показали себя эффективными в широком диапазоне параметров падающего поля, геометрии и проводимости рассеивающих структур.
Впервые подход, в основе которого лежит численная схема МДО, применен к решению спектральных задач на примере задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными граничными условиями (в том числе и с граничными условиями 3-го рода по части границы). Для задачи нахождения собственных частот мембраны, закрепленной по части границы и свободной по ее оставшейся части, предложены альтернативные модели. По результатам численного эксперимента их совместное использование оказалось наиболее эффективным. Созданный пакет программ позволил исследовать полученные модели на устойчивость при различной величине и взаимном расположении участков закрепления.
В целом, теоретическая ценность работы состоит в распространении метода математического моделирования на базе построения граничных сингулярных интегральных уравнений и дискретизации по МДО на новый класс задач: задачи дифракции и рассеяния с импедансными граничными условиями и на спектральные задачи.
Достоверность подученных результатов обеспечивается
строгими постановками задач для стационарного волнового уравнения;
получением систем интегральных уравнений, эквивалентных исходным краевым задачам;
сравнением результатов с результатами, полученными другими методами и экспериментальными данными;
сравнением результатов с результатами в предельных случаях, для которых численная схема метода дискретных особенностей полностью обоснована и имеются строгие оценки сходимости приближенных решений к точным;
завершением численного эксперимента только при фиксации устойчивости результатов при увеличении порядка аппроксимации.
Практическая ценность исследования. Развитый в диссертации подход к решению двумерных задач электродинамики с импеданс-ными граничными условиями и к решению спектральных задач имеет существенную практическую ценность для большого класса научно-технических задач, которые находят применение при рассчете и проектировании различных электронных устройств, антенн, приборов СВЧ и ускорительной техники. Практическая значимость исследования определяется возможностью моделирования физических процессов для объектов из реальных материалов за счет разработки аппарата численного решения краевых задач с импедансныни граничными условиями. Привлечение мощного аппарата МДО к решению спектральных задач позволит в дальнейшем расширить круг исследуемых структур. В частности, этим мегом предполагается изучать спектральные характеристики волноводов различной геометрии и сложных систем резонаторов.
Практическое значение имеет комплекс программ на языке Си для персонального компьютера типа IBM PC и отдельные компоненты этого комплекса, которые обеспечивают
выбор на каждом из интервалов, соответствующих определенным участкам границы произвольного количества узлов дискретизации, исходя из физических соображений;
эффективное вычисление ядер интегральных уравнений, содержащих бесконечные ряды и несобственные интегралы;
эффективную аппроксимацию специальных математических функций;
построение дискретной модели в виде СЛАУ, матрица которой хорошо обусловлена;
решение СЛАУ с использованием эффективных алгоритмов на основе метода Гаусса;
вычисление по полученным решениям приближенных значений интересующих физических характеристик.
Разработанные алгоритмы и программы использованы в численном эксперименте, который является составной частью плановой работы кафедры математической физики и вычислительной математики Харьковского государственного университета.
Методы исследования. В работе использованы методы математической физики, теории интегральных уравнений, специальных функций и их аппроксимации, математического моделирования и вычислительной математики.
Реализация результатов работы. Результаты работы реализованы в учебном процессе Харьковского государственного университета.
Апробация работы.
VI Международный симпозиум "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (г.Харьков, 24-28 мая 1993г.);
V Международная конференция " Математические методы в электромагнитной теории" ММЕТ*94 (г.Харьков, 7-Ю сентября 1994г.);
IV Международная конференция им. академика М.Кравчука (г.Киев, 14-16 мая 1995г.);
Научно-техническая конференция "Техника и физика электронных
систем и устройств" (г.Сумы, 18-20 мая 1995 г.);
VI Международная конференция " Математические методы в электромагнитной теории" ММЕТ*96 (г.Львов, 10-13 сентября 1996г.);
Международная конференция "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление" (г.Минск, 16-20 февраля 1996г.).
семинар "Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики", руководитель д.ф.-м.н. Ю.В.Гандель (г.Харьков, 1995г.,1996г.);
республиканский семинар "Эффективные методы решения задач математической физики", руководители д. ф.-м. н. В.А.Щербина и д. ф.-м. н. Ю.В.Гандель (г. Харьков, 1996 г.);
семинар кафедры высшей математики ВВИА им. профессора Н.Е.Жуковского, руководитель д.ф.-м.н. И.К.Лифанов (г.Москва, 1996г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 научных трудах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 93 наименований, общий объем работы составляет 148 страниц машинописного текста .
Похожие диссертации на Математическое моделирование с использованием метода дискретных особенностей в некоторых задачах теории колебаний и волн
