Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Численный анализ задач теплопроводности 16
1.1. Постановка краевой задачи теплопроводности 16
1.2. Вариационная формулировка краевой задачи теплопроводности 17
1.3. Основные вычислительные процедуры метода локальных вариаций 20
1.4. Алгоритм решения температурной задачи методом локальных вариаций 27
ГЛАВА 2. Численное решение задачи теории упругости методом локальных вариаций 36
2.1. Постановка краевой задачи МДТТ 36
2.2. Определяющие уравнения для решения упругой задачи 38
2.3. Вариационная постановка краевой задачи теории упругости 39
2.4. Решение задачи теории термоупругости методом локальных вариаций 42
2.5. Решение одномерной задачи термоупругости методом локальных вариаций 50
2.6. Решение двумерной задачи термоупругости методом локальных вариаций 60
ГЛАВА 3. Численный анализ двумерных нелинейных краевых задач МДТТ 69
3.1. Постановка краевой задачи термоупругопластичности 69
3.2.Вариационная формулировка краевой задачи термоупругопластичности 71
3.3. Вычислительные процедуры метода локальных вариаций при решении краевой задачи термоупругопластичности 75
3.4. Комплекс прикладных программ для решения краевых задач термоупругопластичности 79
3.5. Постановка краевой задачи термоупругости с учетом ползучести 86
3.6. Вариационная формулировка краевой задачи термоупругости с
учетом ползучести 88
3.7. Вычислительные процедуры метода локальных вариаций при решении краевой задачи термоупругости с учетом ползучести 92
Глава 4. Результаты прикладных исследований температурного и напряжённо-деформированного состояний составной конструкции 98
4.1. Расчетная схема составной конструкции 98
4.2. Численный анализ температурного состояния составной конструкции 104
4.3. Численный анализ напряжённо-деформированного состояния составной конструкции 107
4.3.1. Решение задачи термоупругости для составной конструкции методом локальных вариаций 107
4.3.2. Решение задачи термоупругопластичности для составной конструкции методом локальных вариаций 115
4.3.3. Определение напряженно-деформированного состояния составной конструкции с учетом деформации ползучести 120
Основные результаты работы 122
Литература 123
- Основные вычислительные процедуры метода локальных вариаций
- Решение задачи теории термоупругости методом локальных вариаций
- Комплекс прикладных программ для решения краевых задач термоупругопластичности
- Решение задачи термоупругости для составной конструкции методом локальных вариаций
Введение к работе
Актуальность проблемы
Элементы теплонапряженных конструкций часто работают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий. Работоспособность и долговечность таких конструкций зависят от многих взаимосвязанных факторов. Особенности работы теплонапряженных конструкций требуют совместного рассмотрения и температурного и силового воздействий.
В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования температурного и напряжённо-деформированного состояний является математическое моделирование.
Высокая динамика современного развития вычислительных средств привела к появлению мощных компьютерных систем. Это открывает новые более широкие возможности эффективного использования математического моделирования сложных теплофизических и физико-механических процессов. В то же время качество математического моделирования во многом зависит, во-первых, от достоверности на теоретическом уровне принятых математических моделей, во-вторых, от полноты их алгоритмической и программной реализации.
Математическое моделирование в настоящее время интенсивно развивается. Строятся усовершенствованные модели сложных нелинейных физических процессов, конструируются новые численные алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты: поисковые, диагностические, оптимизационные.
Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов теплообмена и деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как теория теплопроводности и механика деформируемого твёрдого тела, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.
Важнейшим с этой точки зрения является дальнейшее развитие прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физические эффекты, возникающие при неизотермическом вязкоупругопластическом деформировании. Это даёт возможность проведения более полного и тонкого анализа температурного и напряженно-деформированного состояний ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и, таким образом, получения данных для более точной оценки их ресурса.
"^национальная] 1
ИСЛИетеКА
ЇЇГ2
В областях, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих в формулировку задач теплопроводности, наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное время, лидирующее положение занимают метод конечных элементов и метод граничных элементов.
Наряду с этими методами для решения задач теплопроводности и МД'ГГ также можно использовать метод локальных вариаций, который является главным объектом исследования этой работы. Метод прост по своей логике и легко программируется, что делает его удобным для практического использования на вычислительных машинах. Метод локальных вариаций позволяет легко учитывать ограничения на искомые функции, особенности геометрической формы области.
Важным преимуществом метода локальных вариаций является и то, что при его реализации не требуется формировать и решать систему линейных алгебраических уравнений большого порядка.
Актуальной является также проблема создания новых эффективных алгоритмов и на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики.
Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие прикладных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики с учётом особенностей поведения материала конструкции в условиях термосилового нагружения.
Постановленная цель достигается на основе решения следующих задач:
-
Разработка алгоритмов для решения нелинейных краевых задач теплопроводности в двумерных областях сложной геометрической формы с использованием метода локальных вариаций.
-
Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в двумерных областях сложной геометрической формы с помощью метода локальных вариаций.
-
Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ на основе метода локальных вариаций для решения двумерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.
Научная новизна
Разработаны алгоритмы решения нелинейных краевых задач термомеханики в двухмерных областях сложной геометрической формы, основанные па современных вычислительных технологиях и применении метода локальных вариаций в сочетании с методом переменных параметров упругости. .
і *<':* '->>** '"
2 , ... ' " '" '
Tt» *" '"
Достоверность результатов работы основана на строгости математического построения описанных моделей исследуемых теплофизических и физико-механических процессов; на тщательном и методическом тестировании разработанных алгоритмов и программ на решениях широко известных тестовых задач; на сравнении полученных результатов расчетов с результатами расчетов других авторов.
Практическая значимость. Разработанные алгоритмы диссертации могут быть использованы в исследовательских отделениях, ведущих работы по проектированию и производству теплонапряженных конструкций.
На защиту выносятся следующие положения:
Алгоритмы решения нелинейных краевых задач теплопроводности в двумерных областях сложной геометрической формы.
Итерационные алгоритмы решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в двумерных областях сложной геометрической формы с учетом особенности поведения материала конструкции в условиях термосилового нагружения.
Программная реализация решения двумерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.
Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на Первой международной научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения акад. В.Н. Челомея., Москва - Реутов, 24-25 мая 2004; итоговых научных конференциях МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2003 - 2004 г.г.; научных семинарах отдела ЭМ-2.4 НИИЭМ МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2003 - 2005г.г.; на симпозиуме «Образование через науку», Москва, 17 мая 2005; семинаре кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2005г.
Публикации. Основные содержания работы изложены в 2 статьях и 2 тезисах выступлений на конференциях.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов. Работа изложена па 130 страницах, содержит 35 иллюстраций и 3 таблицы. Библиография включает 89 наименований.
Основные вычислительные процедуры метода локальных вариаций
Алгоритм решения задачи (1.19), (1.20) методом локальных вариаций заключается в следующем. Сначала задается набор исходных значений искомой величины u}j, который сохраняется в памяти машины. Далее
проводится анализ начального приближения. Целью анализа является проверка всех ограничений и вычисление значения функционала для начального приближения. Если при проверке окажется, что в некоторых точках заданные значения не удовлетворяют ограничениям (1.19), то выполняется коррекция начальных значений искомой величины. Если все эти ограничения удовлетворены, то с помощью (1.21) и (1.22) вычисляется начальное значение функционала по формуле (1.20). После этого начинается процесс варьирования. Если искомая величина является векторной, то варьирование проводится последовательно для каждого из компонентов вектора: сначала для первого, затем для второго и т.д. Для каждого компонента задается свой шаг варьирования. При варьировании одного компонента значения всех остальных компонентов искомого вектора остаются фиксированными.
Алгоритм решения вариационной задачи методом локальных вариаций состоит из двух основных частей [86]: анализа и варьирования. Эти части реализуются стандартными программными процедурами и не зависят от конкретного вида минимизируемого функционала. При выполнении этих блоков используются элементарные операции» учитывающие конкретные свойства решаемой задачи. В вычислительной программе эти операции реализованы в виде вспомогательных процедур (см. рис. 1.2).
Процедура Л проверяет ограничения (1.19). Она возвращает ответ «ДА», если совокупность (х,у,и) удовлетворяют этим ограничениям, в противном случае она возвращает ответ «НЕТ» и при этом нужен другой набор узловых значений минимизирующей функции.
Процедура Б вычисляет приближенные значения интеграла по формуле (1.21). Процедура В вычисляет суммы интегралов по формуле (1.20). Для начала работы алгоритма требуется задать некоторое начальное приближение, т. е. задается таблица узловых значений и у при 0 і т, 0 у л. Если все ограничения выполнены, то вычисляются значения функционалов 1у и их суммы /. Рассмотрим варьирование искомой величины на одной какой-либо итерации. В соответствии с алгоритмом просматриваются последовательно все узлы по одному разу в течение итерации в каком-либо порядке (например, индекс і пробегает от 0 до /и, индексу пробегает от 0 до и ). Для каждого узла сетки в качестве возможного нового значения и. рассматриваются старое значение и у и новые значения Uy+h, и у — к. Чтобы вычислить значение функционала / для каждого из этих возможных значений, нужно в каждой сумме (1.20) пересчитать четыре слагаемых, содержащих и у. Эти слагаемые соответствуют ячейкам, которые имеют узел, в точке (х1зу)). Если замена и„ на и,; +h (или ity-h) не нарушает ограничения (1.19) и приводит к уменьшению значения функционала /, то значение и у заменяется на tig + h (или uf- -h)y и в соответствии с алгоритмом далее рассматривается следующий узел сетки. В случае, если нарушаются ограничения (1.19) или не уменьшается значение функционала (1.20), то сохраняется старое значение н„. Для оценки сходимости итераций рассматриваются вариации всех узлов сетки. После этого новое приближение считается полностью построенным. Отметим, что в ходе процесса варьирования значение функционала / не возрастает, т. е. значение функционала к -ого приближения 2 не больше, чем значение функционала предыдущего приближения / 1К При фиксированных h,Ax,Ay сходимость достигается, если выполняется или для всех узлов выполняется неравенство Su, где Sj, Su- заданные числа, характеризующие сходимость. Далее шаг варьирования h уменьшается. Процесс варьирования продолжается до тех пор, пока шаг h не становится меньше заданного положительного достаточно малого числа Л . Затем числа Дх.Ду, характеризующие размеры сетки, уменьшаются и процесс варьирования повторяется. Шаг варьирования вновь уменьшается от начального значения h до малого значения h . Окончательное решение достигается, если значения Дх, Ау становятся достаточно малыми. Таким образом, метод локальных вариаций включает несколько вложенных друг в друга итерационных процессов: процесс уменьшения размеров сетки Дх,Ау, процесс уменьшения шага варьирования и процесс итераций с фиксированными Ах,Дуй А. Пока Д#,Дуне меняются, значения функционала / не возрастают. При уменьшении Ах,Ау из-за ошибки интерполяции значение функционала может возрасти, но затем снова начнет монотонно убывать.
Алгоритм метода локальных вариаций сравнительно прост и легко реализуется. Метод локальных вариаций не связан с выбором базисной системы функций, поэтому его можно применять к областям произвольной формы. В отличие от многих других приближенных методов здесь в течение всего процесса решения требуется хранить лишь решение текущего приближения. Таким образом, при реализации метода локальных вариаций на вычислительной машине в памяти хранится только одна таблица значений utj, которые непрерывно стремятся к допустимым.
Решение задачи теории термоупругости методом локальных вариаций
Для реальных элементов теплонапряженньгх конструкций сложной формы, выполненных из разнородных материалов с зависящими от температуры механическими характеристиками, редко удается воспользоваться аналитическими метолами для определения параметров напряженно-деформированного состояния, необходимых для последующего анализа работоспособности исследуемой конструкций. В таких случаях более гибкими и универсальными являются численные методы, построенные на интегральной формулировке задачи, в том числе метод конечных элементов и методы граничных элементов. Эти же численные методы решения задач могут быть использованы при анализе неупругого поведения конструкций, когда расчет проводится последовательными приближениями или последовательными этапами нагружения и на каждом приближении или этапе нагружения решается соответствующая задача термоупругости. При этом на каждом приближении необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений большой размерности, что представляет значительные вычислительные трудности. Эти трудности можно обойти, если использовать метод локальных вариаций.
Экстремальные свойства функционала (2.19) позволяют решать задачи термоупругости в теле не только из линейно-упругого материала, но и нелинейно-упругого материала методом локальных вариаций [24]. Метод локальных вариаций для задач термоупругости заключается в следующем [86].
Разобьём область Q на треугольные элементы (рис. 2.1). Располагая нулевым приближением и ] для вектора узловых значений перемещений [и] и векторов шагов варьирования {k}t по формуле (2.19) можно вычислить значение функционала "J Вариация первого компонента перемещений щ в /и-ом узле сетки приводит к изменению значения функционала (1.19). Из значений («1) и (wj Jm ± hx выбирают то, которое отвечает минимуму функционала j[u], при этом второй компонент вектора перемещения и2 остается постоянным. Затем осуществляется варьирование второго компонента перемещения и2 в т -ом узле сетки с шагом h . Далее варьируются перемещения в следующем ( т + 1)-ом узле. После обхода всех узлов сетки процедура повторяется до тех пор, пока дальнейшее варьирование не приводит к уменьшению значения функционалами]. Это достигается только тогда, когда перемещения {uf после k-ого приближения отличаются от перемещений {uf- , полученных при (к-І)-ом приближении, на величину, меньшую некоторого заданного числа. После этого, последовательно уменьшаются шаги hx и h2 варьирования в узлах сетки. Сходимость считается достигнутой, если после некоторой итерации шаги варьирования Aj и h2 перемещений по осям Xi и х2 стали меньше некоторого заданного достаточно малого значения. Точность решения можно повысить, если после определения перемещений на сетке с малым числом узлов перейти к определению перемещений на более мелкой сетке с большим числом узлов. В качестве начальных значений перемещений на новой сетке принимаются соответствующие значения перемещений, полученные после сходимости итераций на старой сетке. Значения перемещений в узлах новой сетки определяются путем интерполяции узловых значений перемещений, полученных на старой сетке. Однотипность простых повторяющих вычисленных операций делает метод локальных вариаций удобным для реализации на компьютерах и позволяет при решении задач термоупругости избежать многократного решения систем линейных алгебраических уравнений большего порядка. Однако для достижения достаточно точного решения с помощью метода локальных вариаций требуется выполнить значительное число итераций. Для определения компонентов тензоров деформации и напряжений удобно использовать конечноэлементную технологию [27, 69]. В каждом конечном элементе обозначим узловые значения перемещений через щ, vh Uj, vj, Uh v в узлах ij,k соответственно, а пары координат узлов через fojy,), (зд), (хьУк) (рис 2.2).
Комплекс прикладных программ для решения краевых задач термоупругопластичности
К плоской задаче термоупругости, как и в теории упругости, обычно относят случаи обобщенного плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Первое из состояний характерно для элементов конструкций в виде достаточно длинных тел с постоянным поперечным сечением (цилиндрических тел, но не обязательно с круговым контуром поперечного сечения), когда температурное поле и нагрузки вдоль образующей не изменяются. При этом поперечное сечение, достаточно удаленное от его торцов, остается плоским после приложения силового и температурного воздействий и относительное удлинения вдоль образующей тела постоянно. Плоское напряженное состояние приближенно реализуется в тонкостенных элементах конструкций, когда можно пренебречь касательным и нормальным напряжениями, действующими в направлении нормали к срединной поверхности.
Функционал в плоской вариационной задаче термоупругости имеет вид где П - ограниченная область в пространстве R , S — часть границы области Q, на которой задана распределенная нагрузка р.
Для минимизации функционала (2.43) разобьем область Q на треугольные элементы. Нумерации элементов и узлов сетки представлены на рис. 2.8. По заданным размерам области F определяются координаты всех узлов построенной сетки. Эти координаты заносятся в таблицу для дальнейшего использования. На рис 2.8 номерами в кружочках обозначены номера элементов. Для локальной нумерации узлов в пределах каждого конечного элемента используются индексы i,j,k.
Исходными данными для начала процесса минимизации являются произвольные начальные значения перемещений узлов и некоторые шаги варьирования hx, h2, соответственно в направлении осей х , х2. С помощью формул (2.22), (2.23) и (2.24) приближенно вычисляется значение функционала (2.43) по выражению
Здесь J - значение минимизируемого функционала е-ого элемента сетки. В каждом элементе варьируется сначала значение перемещения иі в локальном узле / по оси х1 с шагом hx. Из трех возможных значений м,, ul + hx и Uj - Aj выберем то значение, которое отвечает минимуму значения функционала в выражении (2.44). Подобные вариации проводятся до тех пор, пока замена на и( на ui + h\ или ut - hx не приводит к уменьшению значения функционала (2.44). После этого аналогично варьируем значение перемещения иj в /-ом и uk в &-ом узлах. Для сокращения времени счета очередная вариация выполняется в том направлении (±Лі), которое приводит к уменьшению функционала в предыдущем рассматриваемом узле. После окончания варьирования значений компонент перемещений по оси хг начинается аналогичный процесс варьирования значений компонент перемещений по оси х2 с шагом h2. Процесс варьирования с шагами h\ и h2 заканчивается тогда, когда вариации значений компонент перемещений не приводят к уменьшению значения функционала. Затем уменьшаются значения шагов варьирования Al5A2 (одновременно оба или какой-то из них, например, делением их на целое число) и процесс варьирования повторяется. Значения компонент перемещений считаются окончательными, если шаги варьирования hlth2 удовлетворяют условию (2.30). Полученное поле перемещений используется для вычисления значений компонентов тензора деформации. Далее в соответствии со спецификой рассматриваемой (плоское напряженное или плоское деформированное состояние) задачи термоупругости строятся соответствующие матрица упругих характеристик [D] И вектора температурной деформации \ j- Подставив их в формулу (2.26), вычисляются значения напряжений. В результате решения определяются все параметры напряженно-деформированного состояния тела: перемещения, компоненты тензора деформации и значения компонентов тензора напряжений. В качестве примера рассмотрим применение описанного алгоритма для определения напряженно-деформированного состояния в поперечном сечении цилиндрической трубы, находящейся под действием внутреннего давления и температурного поля. Предполагаем, что температура распределяется по логарифмическому закону (2.40). Для решения этой задачи выделим фрагмент поперечного сечения. Разобьем выделенную часть на слои текущими радиусами г и лучами, проходящими через центр поперечного сечения, затем на треугольники (рис. 2.9) и пронумеруем элементы и узлы по выше описанной конечно-элементной технологии. Соотношения между глобальными и локальными номерами узлов представлены в таблице 1. Зададим нулевые начальные перемещения для всех узлов созданной сетки в радиальном и окружном направлении. Сначала варьируются радиальные узловые перемещения и с шагом /. При этом перемещения по окружному направлению v остаются неизмененными. В каждом конечном элементе сначала варьируется перемещение в узле і. Затем варьируется значение перемещения и}, далее — перемещение ик.
Решение задачи термоупругости для составной конструкции методом локальных вариаций
Таким образом, требовалось определить узловые перемещения и и v, которые должны были удовлетворять граничным условиям (4,5)-(4,8), (4.9) и минимизировать сумму (4.15). Решение реализовано следующим образом
Задаются начальные приближения векторов радиальных и окружных перемещений {и} =0 и {v} = 0 и размеры шагов варьирования h{ 0, hj 0. Затем в соответствии с алгоритмом, рассмотренным в разделе 2, последовательно варьируются значения перемещений во всех узлах области QUJT. В зависимости от зон расположения узлов количество слагаемых, входящих в сумму (4.15) было разным, А именно 1) изменение радиального перемещения в одном внутреннем узле приводит к изменению шести слагаемых Je , соответствующих конечным элементам, общей вершиной которых является данная рассматриваемая узловая точка (см. заштрихованные элементы на рис. 4.2); 2) изменение перемещения в граничном узле номер 1 вызывает изменение значения одного слагаемого Je ; 3) при изменении перемещений в точках на правой и левой границах сечения и на поверхности наружной стенки, омываемой окружающей средой — изменяются три слагаемые Je ; 4) при изменении значения перемещений в узле с номером 5- изменяются два значения слагаемых Je ; 5) при изменении перемещений в узлах на поверхности внутренней стенки, омываемой газом (граница Гх)- изменяются три слагаемых Je и два слагаемых Je , которые вычисляются по формуле (4Л 7): 6) при изменении перемещений в точках на границах Г2, Г$, Г4 — изменяются три слагаемые Je и два слагаемые Jg . Начальные значения шагов варьирования принимались hx- 0.001мм в радиальном направлении, / = 0.0001мм в окружном направлении и уменьшались в процессе варьирования до значения К =10"10 мм. Итерации останавливались при выполнении условия Расчет проводится для значения внутреннего давления рг = 4 МПа, а давление охлаждающей жидкости было принято равным рж — 5 МПа. Деформированное положение конструкции показано сплошными линями на рис. 4.4.а. Результаты расчета показывают, что под действием перепада давлений Ар = рж - рг внутренняя стенка прогибается в пролете между элементами связи. В результате несколько увеличивается площадь проходного сечения охлаждающего тракта. Это может привести к падению скорости жидкости и ухудшению условий охлаждения внутренней стенки. Эпюры радиального и окружного напряжений представлены на рис. 4.4.6 и рис. 4.4.B соответственно. Кроме того, был выполнен численный анализ напряженно-деформированного состояния, возникающего в результате совместного действия силовых факторов (давление газа рг — 4 МПа, давление охлаждающей жидкости рж = 5 МПа) и температурного поля (см. рис.4.5). Воздействие температурного поля вызывает снижение механических характеристик. Это приводит к увеличению прогиба внутренней стенки. Под воздействием температурного поля, в отличие от чистого силового воздействия, радиальные перемещения существенно увеличиваются. Результаты расчета показаны на рис. 4.5. Окружное напряжение внутренней стенки составляет ?„ =-144 МПа. Внутренняя стенка находится в сжатом состоянии, а наружная стенка в состоянии растяжения. В данной составной конструкции при определенных условиях нагружений может возникать упругопластическая деформация. Методика и алгоритм определения упругопластической деформации с помощью метода локальных вариаций в сочетании с методом переменных параметров подробно изложены в разделе 3.1. В данном разделе рассматриваются некоторые особенности определения пластической деформации применительно к исследуемой конструкции. Также как решение упругой задачи, решение упругопластической задачи проводится с использованием цилиндрической системы координат. В этой системе координат интенсивности деформации єи и напряжений аи определяются с помощью формул При определенной температуре зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформации (диаграмма деформирования) может быть представлена в виде где А, т - коэффициенты, зависящие от температуры. Остановимся на уточнении переменных параметров упругости в процессе решения. В результате решения упругой задачи с помощью метода локальных вариаций для всех узлов сетки определяются перемещения -радиальное и и окружное v, затем в соответствии с конечноэлементной технологией вычисляются деформации и напряжения каждого конечного элемента. С помощью соотношений (4.21) и (4.22) находятся значения интенсивности тензора суммарной деформации єи и интенсивности тензора напряжений аи. Значение интенсивности тензоров деформации єи и напряжений ти в конечных элементах будут различаться, так как поля температур и компонент тензоров деформации и напряжений неоднородны. Для выполнения расчетов необходимо в рассматриваемом диапазоне температур располагать семейством диаграмм деформирования.
