Введение к работе
з
Актуальность проблемы и направление исследований. Актуальность моделирования и исследования процесса магнитной левитации тел связана с широким применением этого эффекта в высокоточных магнитожидко-стных датчиках угла наклона, магнитоуправляемых демпферах, магнитных сепараторах и других технических устройствах. Наличие краевых условий сопряжения на границах магнитно-неоднородных сред осложняет решение задачи левитации для тел произвольной формы, что определяет актуальность как теоретических, так и экспериментальных исследований этого процесса. При этом проведение экспериментальных исследований затруднено разнообразием физических и геометрических характеристик исследуемых систем, высокой стоимостью материалов, необходимых для физического моделирования.
В аналитической форме решения задачи магнитной левитации получены для систем в простой геометрической постановке. Решение задачи в более сложных постановках, применимых для разработки устройств, используемых в технике, требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов.
Известен алгоритм решения задачи магнитной левитации с применением метода конечных разностей на основе реляционных баз данных [2]. По сравнению с методом конечных разностей (МКР) использование метода конечных элементов позволяет расширить класс решаемых задач магнитной левитации, так как можно исследовать процесс левитации тел более сложной топологии.
Использование клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных позволяет развивать сеточные методы и создавать новые алгоритмы, повышающие быстродействие вычислений.
Объект исследования - моделирование процесса левитации тел.
Предмет исследования - методы математического и численного моделирования левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме.
Целью работы является разработка эффективных методов математического моделирования и алгоритмов решения задачи магнитной левитации с использованием реляционных баз данных и клиент- серверной архитектуры.
Научная задача - разработка и исследование методов математического моделирования процесса магнитной левитации тел для создания на их основе модели, алгоритмов и программного комплекса для решения задачи левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме, позволяющих повысить производительность вычислений.
Реализацию поставленной цели осуществляли путем решения следующих частных задач:
разработки метода моделирования левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме с использованием клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных;
алгоритмизации численного решения задачи магнитной левитации методом конечных элементов;
разработки вычислительного метода и алгоритмов решения задачи магнитной левитации на основе разделения операций между клиентом и сервером;
проведение вычислительного эксперимента и комплексного анализа процесса магнитной левитации на основе численного и натурного экспериментов;
разработки предметно-ориентированного комплекса программ для решения задачи магнитной левитации.
Методы исследований. В работе использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений, теории алгоритмов, численных мето-
5 дов, численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и программных средств с клиент-серверной архитектурой и реляционной базы данных. Научная новизна
Разработан метод математического моделирования процесса магнитной левитации, основанный на использовании клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных, и математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме, представляющая собой систему дифференциально-интегральных, конечно-разностных уравнений и запросов.
Разработан специальный вариант метода конечных элементов (МКЭ), который позволяет решать задачу левитации тел в два этапа: дифференциальные уравнения решают на клиентской стороне путем сведения их к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); интегральные характеристики исследуемой системы рассчитывают на сервере баз данных путем анализа выбранных конечных элементов, определяемых сущностью исследуемого явления, что уменьшает размерность решаемой задачи за счет сокращения числа узлов, необходимых для проведения вычислений. Разработанный метод повышает производительность вычислений на 14% по сравнению с известным [2].
Разработан алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером и отличающийся от известных тем, что на сервере баз данных вычисляются значения тех величин, которые соответствуют представленным в модели операциям реляционной алгебры.
Проведено комплексное исследование процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме при различных значениях напряженности и направления внешнего магнитного поля, размеров тел и параметров жидкости. С помощью натурного и вычислительного
6 экспериментов установлена высокая чувствительность взвешенного в магнитной жидкости постоянного магнита к воздействиям магнитного поля. Соответствие численных и экспериментальных результатов подтверждает адекватность предложенного вычислительного метода и возможность применения разработанного программного комплекса для оптимизации эксплуатационных параметров датчиков и измерительных устройств.
5. Разработан программный комплекс, позволяющий моделировать магнитную левитацию тел, отличающийся от известных реализацией МКЭ на основе клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных и позволяющий сократить объем вычислений за счет организации части вычислений относительно граничных узлов и соседних к ним без использования всей сетки.
Научно-практическая значимость работы:
Использование клиент-серверной архитектуры и технологии реляционных баз данных позволило разработать специальный вариант метода конечных элементов, повышающий производительность вычислений и расширяющий круг решаемых задач.
Разработанные алгоритмы и специальный вариант МКЭ можно применять для решения широкого круга задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями, в частности уравнением Лапласа в ограниченной области с условиями сопряжения на границах физически неоднородных сред (многофазные задачи).
Разработанный программный комплекс позволяет прогнозировать значения силовых характеристик различных технологических устройств, принцип действия которых основан на явлении магнитной левитации.
Положения, выносимые на защиту:
1. Метод математического моделирования процесса магнитной левитации тел и построенная на его основе математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме.
Специальный вариант МКЭ на основе клиент-серверной архитектуры и реляционных базах данных, который повышает производительность вычислений за счет решения задачи в два этапа. Решение дифференциальных уравнений осуществляется на клиентской стороне, а расчет интегральных характеристик производится на сервере баз данных.
Алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером.
Программный комплекс для моделирования физических процессов, основанный на методе конечных элементов и технологии реляционных баз данных, позволяющий рассчитать дискретное распределение векторного магнитного потенциала и численные значения пондеромоторной силы для задачи магнитной левитации.
Результаты комплексного исследования явления магнитной левитации с помощью данных натурного и вычислительного экспериментов, показавшие адекватность разработанной модели.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, корректностью математических постановок задач, согласованием результатов численного и натурного экспериментов.
Авторский вклад в разработку заключается в разработке методов и алгоритмов для решения задачи магнитной левитации, проведении теоретических и экспериментальных исследований, обработке данных.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях: XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2009 г.), X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2010 г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы и инновации в экономике, технике, образовании, праве, информационных технологиях
8 2011» (2011 г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании, информационных технологиях» (2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ в журналах и трудах конференций, из них: 3 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных положений диссертационных работ; 1 - свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Внедрение. В данной диссертационной работе изложены результаты исследований, выполненных в 2007 - 2011-годах. Работа выполнялась в соответствии с планами НИР СевКавГТУ, а также по гранту Министерства образования и науки РФ при выполнении НИР: «Исследование межфазных явлений на границах раздела магнитно-неоднородных сред в дисперсных нано-системах». Номер государственной регистрации 01201066014. Результаты работы внедрены в ОАО «Электроавтоматика», г. Ставрополь, акт о внедрении от 01 ноября 2011 г.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемых источников, содержащего 140 наименований. Общий объем диссертации - 121 страница. Работа содержит 49 рисунков и 7 таблиц.
