Введение к работе
Актуальность работы. Вырождающиеся эллиптические уравнения описывают модели, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие внутри области. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. Такие уравнения возникают при математическом моделировании различных физических процессов. Например, подобные уравнения используются при описании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды. Подобные уравнения возникают при построении моделей процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах. Такие уравнения являются обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии. Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления.
Исследование математических моделей стационарных процессов в анизотропных средах в случае существенного влияния границы на процессы, происходящие внутри области, потребовало разработки новых методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением.
Краевые задачи для таких уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М. В. Келдыша. Полученные им результаты развивались и обобщались О. А. Олейник. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина и М. И. Вишика. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М. Смирнова, О. А. Олейник и Е. В. Радкевича. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А.
4 Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник. Метод "эллиптической регуляризации" был применен О. А. Олейник, а затем Дж. Коном и Л. Ниренбергом для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работах В. А. Рукавишникова и А. Г. Ереклинцева. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была исследована в работах С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева.
Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при "степенном" характере вырождения) было начато в работах М. И. Вишика и В. В. Грушина. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В. П. Глушко, X. Г. Леопольдом, С. 3. Левендорским, С. А. Исхоковым.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей, содержащих краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений. В диссертации разработаны новые методы решения таких задач. Это позволяет исследовать широкие классы математических моделей с вырождением, что и определяет актуальность данного направления исследования.
Цель работы. Разработка новых методов исследования математических моделей с вырождением. Разработка методов исследования новых классов псевдодифференциальных операторов (весовых псевдодифференциальных операторов), определяемых по специальному интегральному преобразованию Fa. Получение коэрцитивных априорных оценок решений задач Дирихле в полупространстве для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений,
содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и оператор —.
Исследование корректности математических моделей, определяемых такими
краевыми задачами. Разработка нового метода получения коэрцитивных
априорных оценок решений общих краевых задач в полупространстве для
вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, основанного на
построении разделяющего оператора. Построение регуляризаторов общих
краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических
уравнений высокого порядка. Разработка методов решения проблемы
корректности математических моделей, содержащих задачи Дирихле и общие
краевые задачи в полосе для некоторых классов вырождающихся
эллиптических уравнений высокого порядка. Получение коэрцитивных
априорных оценок решений этих краевых задач в полосе.
Исследование возможности применения полученных результатов к
анализу математических моделей процессов в неоднородных анизотропных
5 средах. Проведение численного эксперимента некоторых модельных примеров рассмотренных задач.
Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы математического моделирования основаны на фундаментальных методах современного анализа и математической физики, теории псевдодифференциальных операторов и методов вычислений.
Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми. В работе введены и изучены новые классы псевдодифференциальных операторов: весовые псевдодифференциальные операторы. Получены коэрцитивные априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле в полупространстве для псевдодифференциальных уравнений, содержащих
весовой псевдодифференциальный оператор и оператор —. Получены
коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач в
полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого
порядка. Построены регуляризаторы таких задач. Получены коэрцитивные
априорные оценки и установлена корректность задач Дирихле и общих краевых
задач в полосе для некоторых классов вырождающихся эллиптических
уравнений высокого порядка. Вопрос об эффективности некоторых полученных
результатов проверен в форме численного эксперимента на тестовых задачах.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть в дальнейшем использованы для построения и анализа широких классов математических моделей, описывающих процессы с вырождением. Результаты диссертации могут быть использованы при решении некоторых задач оптимального управления и исследовании математических моделей, содержащих вырождающиеся уравнения, например, процессов конвекции - диффузии и математических моделей стационарных магнитных и электрических полей в неоднородных анизотропных средах.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них всесоюзная конференция по дифференциальным уравнениям и математической физике (г. Новосибирск), всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений (г. Алма-Ата), школы - семинары по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск), школы по теории операторов в функциональных пространствах (г. Минск, г. Самара, г. Новгород, г. Тамбов), всесоюзная конференция по теории и численным методам решения краевых задач для дифференциальных уравнений (г. Юрмала), сибирская конференция по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск), международные конференции «Современные проблемы теории функций и смежные вопросы» (г. Воронеж), международные конференции «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж), третья международная конференция, посвященная 85 - летию члена - корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (г. Москва), семинары академика РАН С. Л. Соболева (г. Новосибирск), семинар академика РАН С. М. Никольского (г. Москва), семинары под руководством профессора С. Г. Крейна (г. Воронеж),
семинары под руководством профессора В. П. Глушко (г. Воронеж), семинары под руководством профессора Ю. В. Покорного (г. Воронеж).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 60 основных научных работах, в том числе одной монографии. Список этих работ приведен в автореферате. Из совместных работ [15] - [18], [27], [28], [30], [31], [33], [39], [40], [43], [44], [53], [59] в диссертацию включены только результаты автора. Официальному списку ВАК соответствуют работы [2] - [14].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 252 страницы. Библиография содержит 107 наименований.
