Содержание к диссертации
Введение
2. Математические модели 19
2.1. Малые колебания движущейся струны 19
2.2. Малые колебания демпфированного вращающегося гибкого бура . 22
2.2.1. Демпфированная симметричная модель 24
2.2.2. Недемпфированная гироскопическая модель 24
3. Теория и вычислительные методы проблемы собственных значений для квадратичных матричного и операторного пучков 26
3.1. Проблема собственных значений для квадратичного матричного пучка . 26
3.1.1. Два стандартных подхода к квадратичной проблеме на собственные значения 28
3.2- Вычисление небольшой части спектра для квадратичного пучка 32
3.2.1. Методы сдвига-и-обращения для квадратичного пучка 32
3.2.2. Отношения Релея для квадратичного пучка 35
3.2.3. Метод Якоби-Дэвидсона 37
3.3. Ортогональные соотношения между собственными векторами 40
3.4. Проблема собственных чисел для квадратичного операторного пучка . 46
3.5. Ортогональные соотношения между собственными функциями квадратичного операторного пучка 49
4. Существующие методы решения и их вычислительные и инженерные трудности 52
4.1. Назначение спектра квадратичного матричного пучка с помощью сведения к системе первого порядка 52
4.2. Проблема назначения спектра для квадратичных матричных пучков через независимое управление собственными режимами (IMSC подход) 54
4.3. Назначение собственной структуры 56
4.3.1. Решение проблемы назначения собственной структуры для квадратичного матричного пучка 57
4.4. Назначение спектра для операторного пучка 57
4.4.1. Независимое управление собственными режимами в системе с распределёнными параметрами 58
5. Предлагаемые методы репіения проблем частичного назначения спектра и собственной структуры для квадратичных матричных пучков 60
5.1. Проблема частичного назначения спектра для квадратичных матричных пучков 61
5.1.1. Существование и единственность решения проблемы назначения спектра 62
5.1.2. Конструктивный метод частичного назначения спектра для системы первого порядка 65
5.1.3. Параметрическое решение проблемы частичного назначения спектра 71
5.1.4. Единообразное доказательство известных результатов . 82
5.2. Частичное назначение собственной структуры для квадратичных матричных пучков 84
6. Предлагаемые методы частичного назначения спектра для квадратичных операторных пучков 93
6.1. Параметрическое решение проблемы частичного назначения спектра 95
6.1.1. Вывод недавних результатов по проблеме частичного назначения
спектра для квадратичного операторного пучка 100
7. Численные эксперименты 102
7.1. Вибрации вращающейся оси турбины , 102
7.1.1. Частичное назначение спектра для вращающейся оси турбины 104
7.1.2. Частичное назначение собственной структуры для вращающейся оси турбины 104
7.2. Вибрации однородной движущейся струны 105
8. Заключение 110
8.1. Теоретическая значимость 110
8.2. Направления будущих исследований 111
8.3. Возможные области практического применения результатов диссертации 113
Список литературы 114
- Малые колебания демпфированного вращающегося гибкого бура
- Два стандартных подхода к квадратичной проблеме на собственные значения
- Независимое управление собственными режимами в системе с распределёнными параметрами
- Конструктивный метод частичного назначения спектра для системы первого порядка
Введение к работе
Естественными моделями вибрационных систем, которые создаются в разнообразных прикладных исследованиях (особенно при конструировании и изучении таких вибрирующих структур, как мосты, автодороги, высотные здания, самолеты и т.п.), являются системы уравнений в частных производных вида
М(.) + ОД М+К(1 Ц,) = 0, (1.1)
где М, C = D + GHK- дифференциальные операторы, действующие по пространственным переменным х функции смещения /(,я), которая при всех значениях временной переменной t принадлежит заданному гильбертовому пространству Ш, учитывающему граничные условия (1.1). Операторы М, К, D и G называются, соответственно, операторами инерции, жесткости, демпфирующих сил и гироскопических сил. Во многих прикладных задачах операторы М являются самосопряженными и положительно определёнными, D - самосопряжёнными и G - кососимметрическими. Т.е., для всех ненулевых функций ф(х),ф(х) € Н выполнено
(М0, ф) О, (Мф, ф) = (0, Мір), (Оф, ф) = (ф, Ъф) и (Сф, ф) = -(0, GV),
где (-,•) обозначает скалярное произведение пространства Н.
Проблему гашения вибраций желательно решать в исходной постановке, т.е. для уравнений вида (1.1). Однако зачастую на практике, из-за отсутствия эффективных численных методов, применимых непосредственно для уравнений в частных производных, система (1.1) дискретизируется. В результате получается конечномерная матричная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида Mx{t) + Cx(t) + Kx(t) = О, (1.2)
где М, С = D + G, К е R" ", a x(t) и x(t) обозначают, соответственно, первую и вторую производные вектора x(t) по времени.
Очень часто в вибрационных задачах матрицы М, К, D и G являются разрежёнными. Их называют, соответственно, матрицами инерцищ жёсткости, демпфирующих сил, и гироскопических сил. Во многих прикладных задачах М = МТ О (т.е. матрица М симметрична и положительно определена), D = DT и G = —GT.
Применяя разделение переменных (см., например, [1]), решение системы (1.2) приводит к задаче на собственные значения для квадратичного пучка Р(Х) = Х2М + ХС + К. (1.3) Пучок (1.3) имеет In собственных чисел, которые являются корнями уравнения det(P(A))=0, и им соответствуют 2тг собственных (и присоединённых) векторов.
Собственные числа Р(А) связаны с натуральными частотами однородной системы (1.2), а собственные вектора иногда называют также режимами или модами вибраций системы (см. [1], [2]).
Опасное возрастание амплитуды колебаний (называемое резонансом) происходит тогда, когда одно или несколько собственных чисел пучка (1.3) становятся равными или очень близкими к частоте внешней силы, действующей на вибрационную систему (1.2). Одним из возможных способов избежать возникновения таких нежелательных колебаний является приложение к вибрационной системе управляющей силы вида /(() = Bu(t), где В Є Rnxm и u(t) Є Rm. Это приводит к рассмотрению управляемой матричной системы второго порядка вида Mx(t) + Cx(t) + Kx{t) = Bu(t), (1.4) которая в данной работе будет обозначаться как пара {Р(Х), В). Предполагая, что вектор отклонений x(t) и вектор скорости отклонений x(t) известны, можно выбрать управляющий закон вида u{t) = Fix{i) + F2x{t), (1.5) с постоянными матрицами Fi,F € Жтхт. Тогда система (1.4) становится замкнутой системой Mx{t) + Cx(t)+Kx(t) = B{FlX(t) + F2x(t}), (1.6) или, в эквивалентной записи, Mx{t) + {C BF1)x(t) + (K BF2)x{t) = 0. (1.7) В задачах управления вибрациями матрицы В, Fi и F% известны как В - управляющая матрица Fi - матрица обратной связи по скорости і-2 - матрица обратной связи по отклонению. Математически проблема состоит в том, чтобы выбрать матрицы F\ и F2 так, чтобы собственные числа замкнутого пучка РС(Л) = \2M + \{C-BF1)+K-BF2 (1.8) могли бы быть изменены так, как это необходимо для борьбы с эффектами резонанса, или для того, чтобы гарантировать либо улучшить стабильность системы. Задача выбора Fi и F2 таким образом, чтобы управляемый пучок Pc{ty имел наперёд заданный спектр, называется задачей назначения спектра для системы (1.8).
К сожалению, известные численные методы [1,3- 14] для задачи назначения полного спектра работают удовлетворительно только при малом отношении п/т. Это происходит из-за роста числа обусловленности вследствие увеличения размерности матриц, входящих в условия задачи. В случае многих входов управления (т 1) решение перестаёт быть единственным. В этом случае можно применять технику оптимизации для отбора того из решений, при котором собственные числа управляемой системы настолько хорошо обусловлены, насколько это возможно.
Однако реальные системы содержат лишь немного "плохих" собственных чисел. Поэтому имеет смысл изменять только эти "плохие" собственные числа, оставляя весь остальной спектр неизменным. Такой подход приводит нас к следующему варианту задачи назначения спектра:
Проблема 1. (Задача частичного назначения спектра квадратичного матричного пучка).
Дано:
1) Вещественные матрицы М, С, К размера п х п.
2) Вещественная управляющая матрица В размера п х m (т п).
3) Самосопряжённое подмножество {Аі,...,Лр}, р п множества собственных чисел {Ах,..., Агп} неуправляемого пучка (1.3) и множество соответствующих левых собственных векторов {у1;..., ур} (определение см. в Главе 3).
4) Самосопряженное множество комплексных чисел {дх,... ,цр}.
Требуется найти;
Вещественные матрицы обратной связи F± и i размера тхп, такие, что множество S = {ці,...,/лр; Ар+х,..., Азп} является спектром управляемого пучка (1.8).
Хотя Проблема 1 важна сама по себе, заметим, что для изменения ответа вибрационной системы надо рассматривать задачу назначения как спектра, так и собственных векторов. Действительно, если собственные числа определяют скорость, с которой ответ вибрационной системы затухает или растёт, то собственные вектора определяют "форму" этого ответа. Такая задача называется задачей назначения собственной структуры. К сожалению, если управляющая матрица В задана зараннєє, то задача назначения собственной стуктуры в общем случае не имеет решения (см. [15]). Что и приводит к следующей, более легко решаемой (но тоже имеющей важные приложения) задаче:
Проблема 2. (Задача частичного назначения собственной структуры для квадратичного матричного пучка).
Дано:
1) Вещественные матрицы М, С, К размера п х п.
2) Самосопряжённое подмножество {Ai,...,Ap}, р п множества собственных чисел {Лі,..., Агп} неуправляемого пучка (1.3) и множество соответствующих левых собственных векторов {у1у..,, уР}.
3) Самосопряженное множество комплексных чисел {/ 1,--.,/} и множество векторов {хс1,... ,хср}, такие, что цj = Щ влечёт xCj — xck.
Требуется найти:
Вещественную управляющую матрицу В размера п х т (т п) и вещественные матрицы обратной связи Fi и F-i размера т х п, такие, что множество S — {Міі ) МрІ \н-ь і 2п} является спектром замкнутого пучка (1,8). Причем МНОЖествО {Хеі, • і %ср] Я-jH-lt • • %2п } соответствующих собственных векторов таково, что хр+і,.. ,%2П - это собственные векторы пучка (1.3), отвечающие собственным числам Ар+і,..., Агп Так же, как и в случае матричных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, системы уравнений в частных производных (1-1), если их решать методом разделения переменных, приводят к задаче частичного назначения спектра для квадратичного операторного пучка следующего вида: Р(А)=А2М + АС + К, где М, С и К - это дифференциальные операторы.
Определения полупростого собственного числа, левой собственной функции и дважды полной системы собственных функций, которые мы используем в нижеследующей формулировке, даются в Главе 3.4. Операторный аналог Проблемы 1 формулируется так:
Проблема 3. (Задача частичного назначения спектра квадратичного операторного пучка). Дано:
1) Невырожденный оператор М и операторы С и К такие, что квадратичный операторный пучок Р(А) = А2М + АС + К (1.9) имеет дискретный спектр без конечных точек накопления; каждое собственное число пучка (1.9) полупростое и система собственных функций пучка (1.9) дважды полна.
2) т вещественных управляющих функций bi,..., bm.
3) Самосопряжённое подмножество {Ai,..., Ар}, р п множества собственных чисел {Ai, А2,...} неуправляемого пучка (1.9) и множество соответствующих левых собственных функций {vb..., vp}.
4) Самосопряженное множество комплексных чисел {//і,..., цр}. Требуется найти:
Вещественные функции обратной связи fn,..., fim и fat,..., Ї2т такие, что множество S = {jUi,..., //р; Ap+i, Ар+2, • • } является спектром управляемого пучка
Рс{Х)ф = Х2Мф + \(сф JT{fik,4 )bk\ + (кф - f)(f2Jkl ф)Ьк\ (1.10)
Операторный аналог Проблемы 2 может быть сформулирован аналогично. Мы не будем рассматривать эту задачу в данной работе.
Теоретический вклад
• Для всех трех задач, сформулированных выше, в данной работе получены теоремы существования и единственности. Кроме того, доказаны новые теоремы существования и единственности для соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Как следствия этих теорем получены результаты для Проблем 1 и 2.
• Недавно были опубликованы решения частных случаев задач частичного назначения спектра и собственной структуры для квадратичных матричных пучков, а также задачи частичного назначения спектра для квадратичных операторных пучков [16 -21]. В диссертации все эти частные решения выведены как следствия общих теорем существования и единственности.
• Доказаны новые ортогональные соотношения между собственными векторами квадратичного матричного пучка и между собственными функциями квадратичного операторного пучка. Несколько уже известных ортогональных соотношений [16,18] выводятся из них как частные случаи. Помимо важной роли, которую доказанные соотношения играют в решении трех сформулированных выше задач, они представляют и самостоятельный интерес для линейной алгебры и теории операторов.
Вычислительный вклад
• Разработан новый, прямой и частично модальный подход к численному решению Проблем 1, 2 и 3. Частично модальным мы называем наш подход потому, что для своего применения он требует знания лишь части собственной структуры рассматриваемого пучка. Мы называем наш подход прямым потому, что каждая из проблем решается в своей исходной форме. Это значит, что Проблемы 1 и 2 решаются без переформулировки их для систем ОДУ первого порядка. Использование исходной формы позволяет избежать удвоения порядка системы и обращения матрицы (которая может быть плохо обусловлена); а также сохранить структуру матриц (симметрию, положительную определённость, разрежённость и ленточную форму), которая требуется для применения алгоритмов, более эффективных, чем те, что могут работать с матрицами общего вида. Аналогично, применяя предложенный подход, Пробдему 3 можно решить без дискретизации входящих в неё дифференциальных операторов. Таким образом, из решения устраняются погрешности, привносимые дискретизацией, точная оценка которых в практических задачах чаще всего неизвестна.
При применении предлагаемого подхода для вычисления точного решения до статочно знания лишь части собственной структуры рассматриваемого пучка. Так как для больших разрежённых квадратичных пучков существующие методы позволяют вычислять только небольшую часть спектра, то предлагаемый подход хорошо применяется ко многим вибрационным задачам для больших гибких структур, систем элекроснабжения, компьютерных сетей и т.п. Особенно значительную пользу предлагаемый подход приносит в Проблеме 3, позволяя сводить решение бесконечномерной проблемы к решению малоразмерной системы линейных уравнений.
Малые колебания демпфированного вращающегося гибкого бура
В Параграфе ЗЛ показаны трудности численного решения обыкновенной и обобщенной проблем собственных значений, ассоциированных с проблемой собственных значений для квадратичных пучков» Из-за недостатков стандартных методов решения проблем назначения спектра, кратко описанных в Главе 4, представляется естественным искать такие решения Проблемы 1 (частичного назначения спектра) и Проблемы 2 (частичного назначения собственной структуры), которые удовлетворяют двум условиям. Первое условие: решение можно получать, обладая знанием лишь тех собственных чисел и собственных векторов, которые требуется изменить. Второе условие: при этом решения не должны требовать переформулировок к проблемам первого порядка. Решения, удовлетворяющие таким условиям, мы будем называть прямыми и требующими частичного знания спектра. Мы называем такие решения "прямыми" потому, что решение получается прямо в исходной квадратичной постановке, без всяких переформулировок; и "требующими частичного знания спектра" - из-за того, что для их вычисления необходимо знать только небольшую часть собственной структуры,
В этой главе мы предложим такой "прямой и требующий частичного знания спектра" подход для Проблем 1 и 2. Результаты сперва выводятся для проблем первого порядка и затем обобщаются на случай квадратичных матричных пучков. Из полученного обобщения как элементарные следствия выводятся: 1) результаты в случае симметричного положительно определенного квадратичного пучка с одним входом [16]; 2) результаты для проблемы назначения спектра в случае симметричного положительно определенного квадратичного пучка с многими входами в предположении, что матрица жесткости К невырождена [19]; 3) результаты для для проблемы назначения спектра в случае недемпфированного гироскопического квадратичного пучка с одним входом [18]; 4) результаты для проблемы назначения собственной структуры в случае симметричного положительно определенного квадратичного пучка [17]. 5.1 Проблема частичного назначения спектра для квадратичных матричных пучков Напомним, что проблемой частичного назначения спектра называется такая проблема назначения спектра, где переместить надо только лишь малую часть спектра (обычно это та часть, которая не удовлетворяет условиям дизайнера), а остальная часть спектра должна остаться неизменной (формальное определение см. в Проблеме 1 в Главе 1). В этом параграфе мы докажем теорему существования и единственности для решения проблемы частичного назначения спектра в системах первого порядка, а потом обобщим этот результат для квадратичных пучков. Прежде чем мы приведём хорошо известный результат существования и единственности решения для проблемы назначения спектра, напомним понятие управляемости которое играет в данном случае очень важную роль (например см. [7]). Теорема 37. (Критерий управляемости, основанный на собственных векторах). Система первого порядка (4-І), или, в других обозначениях, пара матриц (А, В), является управляемой по собственному числу А матрицы А тогда и только тогда, когда у В Ф 0 для всех у ф 0 таких, что у А — \у . Определение 38. Система первого порядка (4-І), или пара матриц (А, В), называется управляемой по подмножеству {Аь ..., Ар} спектра матрицы А, если она управляема по каждому из собственных чисел Xj, j = 1,... ,р. Определение 39. Система первого порядка (4 1)г « пара матриц (А, В), называется полностью управляемой, если она управляема по всему спектру матрицы А. Теорема 40. (Существование и единственность решения проблемы назначения спектра для системы первого порядка) Проблема назначения произвольного спектра S для пары матриц (Д В) имеет решение тогда и только тогда, когда пара (А, В) полностью управляема. Решение единственно тогда и только тогда, когда система имеет единственный вход (т.е. если В является вектором-столбцом). В случае более чем одного входа, если существует хоть одно решение, то вместе с ним существует бесконечно много решений Доказательство. Доказательство этой хорошо известной теоремы приводится в большинстве учебников по теории управления, например в [7, 50, 51], Сформулируем теорему существования и единственности для проблемы частичного назначения спектра. Эта теорема и её доказательство являются новыми. (Существование и единственность решения проблемы частичного назначения спектра для системы первого порядка). Рассмотрим диагональную матрицу Л = diag(Ai,..., Хр; Ар+1, -.., Хп), составленную из собственных чисел Ai, ...ТАП матрицы А Є С1 ". Предположим, что подмножества {Аь-..jAp} и {Ар+ь , Ап} не пересекаются. Пусть собственные числа АЬ-..,АР надо переместить на места /ІІ,...,//Р, а все остальные собственные числа необходимо оставить без изменений. Проблема частичного назначения спектра для пары (А, В) имеет решение для всех наборов / 1,.,.,/ір тогда и только тогда, когда пара (Л, В) частично управляема по подмножеству {Ль ..., \р\. Решение единственно тогда и только тогда, когда система является полностью управляемой и имеет один вход. В случае нескольких входов и в случае системы с одним входом, которая не является полностью управляемой, если существует хоть одно решеииег то вместе с ним существует бесконечно много решений. Доказательство. Докажем сперва необходимость. Пусть пара (-4, В) не является управляемой по некоторому собственному числу Aj, 1 j р. Тогда существует вектор у Ф О такой, что у (А — XjJ) =0и ушВ = 0. Это значит, что для всех F мы получим у (А — BF — Xjl) = 0. Значит, Aj будет собственным числом матрицы А — BF для всех Ft и его нельзя назначить. Докажем теперь достаточность. Обозначим Ai = diag(AL, ..., Хр) и Аг = diag(Ap+ll ..,, Ап). Докажем существование матрицы обратной связи F, назначающей собственные числа матрицы Лі на произвольные места и одновременно оставляющей все остальные собственные числа без изменений. Обозначим матрицы, составленные по столбцам, соответственно, из правых и левых собственных векторов матрицы А как X — (л;1,...,хЛ) и У = (&ь--чУпХ и обозначим 1 = ІУи — чУр)- Так как Y X = I и Y AX = diag(Ai,A2), то частичная управляемость пары (-4, В) по спектру Лх влечёт частичную управллемость пары (diag(A1,A2),y.B) по этим же собственным числам. Тогда пара (А У В) полностью управляема, так как {АЬ„,,А„}П{АР+1,...,АП}=0.
Два стандартных подхода к квадратичной проблеме на собственные значения
В данной работе представлен новый подход, названый "прямым и частично модальным," для двух важных проблем управления с обратной связью- Это - проблемы частичного назначения спектра и частичного назначения собственной структуры для управляемых систем, моделируемых конечномерными матричными системами второго порядка.
Предложенный подход обобщён на проблему частичного назначения спектра для систем с распределенными параметрами, которые естественно моделируют вибрации структур и для которых матричные системы второго порядка являются их дискретизирован-ными версиями, полученными применением метода конечных элементов.
Предложенный подход обладает следующими важными особенностями. Во-первых, проблемы решаются в своей исходной постановке; то есть, если проблема задана матричной моделью второго порядка, то она решается без сведения к системе первого порядка. Если модель представляет собой систему с распределёнными параметрами, то проблема решается без дискретизации до матричной системы второго порядка. Преимуществом такого решения является то, что свойства модели, такие как симметрия, положительная определённость, разрежённость и т.п., используются при вычислении матриц и функций обратной связи.
Во-вторых, предлагаемый подход требует знания лишь нескольких собственных чисел и собственных векторов соответствующего квадратичного пучка. Это позволяет применять его даже к очень большим разрежённым системам, используя современные итеративные алгоритмы для матричных вычислений. Эта особенность подхода очень важна для случая систем с распределёнными параметрами, так как с сё помощью бесконечномерная операторная задача точно решается с использованием нескольких собственных чисел и собственных функций.
В-третьих, для каждой проблемы строго доказываются математические результаты, гарантирующие, что собственные числа и собственные вектора, которые должны оставаться инвариантными, не будут изменены под действием обратной связи.
Кроме вычислительных алгоритмов диссертация содержит новые теоретические результаты, касающиеся существования и единственности решения проблем частичного назначения спектра и собственной структуры для матричных уравнений как первого, так и второго порядков. Также новыми являются результаты, связанные с отношениями Рэлея и ортогональными соотношениями между собственными векторами квадратичных пучков.
Эти результаты, в дополнение к важной роли при выводе алгоритмов данного исследования, представляют также и самостоятельный интерес для линейной алгебры и прикладной математики.
Основываясь на теоретических изысканиях и численных экспериментах, мы предлагаем следующие направления для будущих исследований: Назначение спектра, устойчивое к возмущениям. Хорошо известно, что одним из основных факторов, определяющих чувствительность управляемых собственных чисел, является число обусловленности матрицы собственных векторов, В предложенном нами параметрическом решении присутствует возможность произвольного выбора матрицы параметров Г, которую можно использовать для уменьшения числа обусловленности матрицы собственных векторов. Мы полагаем, что число обусловленности матрицы Zit появляющейся в каждом из наших алгоритмов, будет играть для этого критическую роль. Проведённые численные эксперименты по определению чувствительности управляемых собственных чисел под влиянием возмущений системы и матриц обратной связи как функции числа обусловленности матрицы 2\л похоже, подтверждают наши предположения. Но это требует точного доказательства Прямой н частично модальный подход к проблеме частичного назначения собственной структуры для систем с распределённым параметром. Прямой и частично модальный подход к проблеме частичного назначения собственной структуры для матричных уравнений второго порядка, скорее всего, может быть распространён на системы с непрерывным параметром. Коррекция моделей, полученных методом конечных элементов. При анализе вибраций и построении моделей проблема коррекции моделей, полученных методом конечных элементов, заключается в таком изменении модели, при котором заданное небольшое множество предсказанных моделью собственных чисел и соответствующих собственных векторов заменяется на заданное множество измеренных в эксперименте собственных чисел и собственных векторов. Остальные собственные числа и собственные вектора, для которых нет данных измерений, должны остаться неизменными» а сама модель - симметричной.
Предлагаемый нами метод частичного назначения собственной структуры для квадратичных матричных пучков решает данную проблему, но не сохраняет симметрии модели- Будущие исследования могут быть направлены на выяснение того как модель, изменённую применением управления с обратной связью, снова сделать Возможные области практического применения результатов диссертации Надеемся, что результаты полученные в данной диссертации, откроют новое направление в исследовании теории управления для матричных систем второго порядка и систем с распределёнными параметрами. Следует ожидать, что результаты окажут влияние на многие отрасли экономики, включая автомобильную, аэрокосмическую, энергетическую промышленность и т.п.
Независимое управление собственными режимами в системе с распределёнными параметрами
. Из-за недостатков стандартных методов решения проблемы назначения спектра» кратко описанных в Главе 4, представляется естественным искать такие решения Проблемы 3 (частичного назначения спектра), которые удовлетворяют двум условиям. Первое условие: решение можно получать, обладая частичным знанием лишь тех собственных чисел и собственных функций, которые требуется изменить. Второе условие: при этом решения не должны требовать переформулировок к проблемам первого порядка или дискретизации. Решения, удовлетворяющие таким условиям, будем называть прямыми и требующими частичного знания спектра. Мы называем такие решения "прямыми" потому, что решение получаются прямо в исходной квадратичной операторной постановке, без всяких переформулировок и дискретизаций, и "требующими частичного знания спектра" - из-за того, что для их вычисления необходимо знать только небольшую часть собственной структуры.
Как мы уже отмечали в Главе 2, вибрирующие структуры, такие как струны, балки, высотные здания, мосты и т.п., естественно моделировать системами уравнений в частных производных (также называемых системами с распределённым параметром) следующего вида где ,-) принадлежит к некоторому гильбертовому пространству И, скалярное произведение В КОТОРОМ МЫ Обозначим Как {ф}ф) ДЛЯ BCeX to t tftnal В этой главе мы получим прямое и основанное на частичном знании спектра решение Проблемы 3 в ее естественной постановке для систем с распределенными параметрами (6.1) и управляющими силами вида где функции bi(x)T... ,bm(:c) называются управляющими функциями а функции f , f Є Н, k = 1,... ,m называются функциями обратной связи по скорости и позиции, соответственно.
Конечно, такой способ решения этих проблем лучше способа, основанного на дискретизации. Дело в том, что в дискретизированнои модели приближаются только первые несколько собственных значений из бесконечного числа собственных значений исходной модели с распределенными параметрами. Поэтому, в частности, нельзя гарантировать, что управление, синтезированное по дискретизированнои моделиа не дестабилизирует те из бесконечного количества собственных чисел исходной модели, которые не учитываются при дискретизации и которые должны в исходной постановке задачи оставаться неизменными.
В этом разделе мы доказываем Теорему 6S, которая дает параметрическое семейство функций обратной связи, решающих данную проблему частичного назначения спектра. Затем в следующем Параграфе 6.1.1 мы выводим недавние результаты работы [18] касающиеся модального решения проблемы частичного назначения спектра для недемпфированного гироскопического операторного пучка, как следствие доказанной теоремы. Из Теоремы 68 очевидным образом получается численный Алгоритм 69, обобщающий известные алгоритмы.
Не ограничивая общности, введем следующие предположения, которые упростят доказательства теорем этой главы (см. Параграф 5.1.3 для объяснения этих предположений). Предположение 66. Управляющие функции bi,..., bm линейно независимы. Предположение 67, Самосопряженные множества {Аь А2, не пересекаются. Следующая теорема исследует параметризацию управляющих функций fn . Ї $2т используя матрицу параметров Г. Теорема 68. (Параметрическое решение проблемы частичного назначения спектра для квадратичного операторного пучка). Пусть выполняются Предположения 66 и 67, и пара (Р(А), В) частично управляема по множеству {Аі,.. -, Ар}. Пусть матрица Г = () Є СтХр такова, что Пусть невырожденная матрица Z\ это единственное решение уравнения Сильвестра Пусть матрица Ф — (фц) Є Сткр удовлетворяет линейной системе вещественные функции обратной связи (ц и f jt ftp? A: = 1,2,., . т, заданные как решают проблему частичного назначения спектра для пары (Р(А),В). С другой стороны, если существуют вещественные функции обратной связи fib .,., ft и f2ij -.., f2T„ вида (6.6), которые дают решение проблемы частичного назначения спектра для пары (Р(А),В), тогда существует матрица Ф из (6.6), удовлетворяющая условиям (6. Я) - (6.5). Доказательство. Сперва докажем обратное утверждение теоремы. Пусть вещественные функции обратной связи fiij... ,fim and f2i,. -. ,f2m имеют вид (6.6) и дают решение проблемы частичного назначения спектра. Обозначим через wcl,.. -, wcp правые собственные вектора управляемого пучка, соответствующие собственным числам /іі, 7/ірл Введем обозначение.
Конструктивный метод частичного назначения спектра для системы первого порядка
С другой стороны, если существуют вещественные матрицы обратной связи F\ и F2 вида (5.23), решающие проблему частичного назначения спектра для пары (Р(\),В), тогда существует матрица Ф, удовлетворяющая (5.S1) - (5.24).
Доказательство. Аналогично доказательству Теоремы 44, мы сведём нашу задачу к задаче частичного назначения спектра для пары (.4, В), определённой как Затем мы применим Теорему 51 и получим вещественную матрицу обратной связи F} которая решает сведенную задачу для (А, В) и, наконец, получим матрицы обратной связи Fj и F2 для задачи частичного назначения спектра для квадратичного пучка как F = (F2lFl).
Чтобы доказать, что пара матриц F\ и J7 определённых соотношениями (5.21) -(5.24), даёт решение для квадратичного пучка, заметим, что эти соотношения переходят, соответственно, в соотношения (5.10) - (5-13) из Теоремы 51 при подстановке F = (F2, F\). Это происходит потому, что по Теореме 10 матрица левых собственных векторов Y\ матрицы Ау соответствующая собственным числам Ai , .., Ар матрицы А, задаётся Аналоги Замечания 45 и Следствия 46 также имеют место. Особенно важным ста-новится Следствие 46, позволяющее обойтись без явного использования демпфирующей матрицы. Вот так аналог Следствия 46 может быть сформулирован явно.
Параметрическое решение без явного использования демпфирующей матрицы). Если, в дополнение к условиям Теоремы 5S, известно, что ни одно из собственных чисел Л;,..., Ар не равно нулю, то (5.23) можно упростить как В этом случае можно обойтись без явного выражения демпфирующей матрицы при вычислении матриц обратной связи. Как мы yotce говорили, для практических моделей трудно теоретически обосновано оцепить демпфирующую матрицу. Поэтому вычисление матриц обратной связи без явного использования демпфирующей матрицы представляется весьма удобным для практических приложений. Более того, техническое ограничение, связанное с тем, что ни одно из собственных чисел Лі,..., Хр не равно нулю, можно снять с помощью "процедуры сдвига", описанной в [їв]. Основываясь на Теореме 533 мы можем сформулировать следующий алгоритм: Замечание 56. (Некоторые отличительные свойства Алгоритма 55). Наиболее примечательное свойство алгоритма состоит в том, что он вычисляет решение проблемы частичного назначения спектра большой размерности, решая малоразмерную линейную алгебраическую систему уравнений и используя только те несколько собственных чисел соответствующего квадратичного пучка большой размерности которые необходимо заменить, и соответствуюхцие им правые собственные вектора. Таким образом, алгоритм непосредственно применяется для управления опасными вибрациями структур, в которых только небольшуя часть спектра необходимо переместить, оставляя неизменной остальную часть спектра. Более того, алгоритм позволяет полностью использовать преимущества разреженности, симметрии, положительной определенности и т. п. свойств матриц М, С, и К при вычислении Fi и F2. Как отмечено во введении к данной главе, в работах [5, 16, 17, 18, 19, 52], и ряде других работ, опубликованных за последние годы, уже рассматривались частные случаи проблемы частичного назначения спектра для квадратичных пучков. Эти результаты могут быть единообразно получены как следствия из Теоремы 53. Ниже мы выведем результат из [16], касающийся симметричного положительно определенного квадратичного пучка с одним входом. Вывод остальных результатов аналогичен. Так как в уравнении (5.28) зкы" элемент Zjk матрицы Zy задается как легко видеть, что вектор /?, определенный (5.27) , удовлетворяет (5,28). 5.2, Частичное назначение собственной структуры для квадратичных матричных пучков Вспомним, что та проблема назначения собственной структуры, в которой требуется назначить только небольшую часть собственных чисел и соответствующих им собственных векторов (обычно ту часть, которая не удовлетворяет инженера), а все остальные собственные числа и собственные вектора требуется оставить неизменными, называется проблемой частичного назначения собственной структуры (точное определение см, в Проблеме 2 в Главе 1). В этом разделе мы развиваем подход, основанный на частичном знании собственной структуры в проблеме частичного назначения собственной структуры для квадратичных матричных пучков Р(А). Так же, как и в Параграфе 5.1.3, мы рассматриваем только те случаи, когда выполняется Предположение 50. Как и раньше, сперва мы выводим условия существования решения проблемы частичного назначения собственной структуры для систем первого порядка, а затем показываем, как эти условия могут быть обобщены для квадратичных матричных пучков.
