Введение к работе
Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма - Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков.
В работах Е. A. Coddington, N. Levinson, P. Hartman, E. С. Titchmarsh, И. M. Глазмана, Л. Д. Николенко, В. А. Якубовича и других авторов изучались осцилляционные свойства решений дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма - Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А.А.Абрамовым, Р. В. Bailey, W.N. Everitt, A. Zettl1, Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, СВ. Нестеровым , L. Greenberg, М. Marietta и др.
Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные
1 Р. В. Bailey, W. N. Everitt and A. Zettl. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code, ACM Trans. Math. Software, 21, 2001, p. 143-192.
Л. Д. Акуленко, Г. В. Костин, С. В. Нестеров. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней. Изв. РАН. МТТ, 1995, № 5, стр. 180-191 3 L. Greenberg, М. Marietta. Algorithm 775: the code SLEUTH for solving fourth-order Sturm-Liouville problems. ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 23, 4, 1997, p. 453-493.
значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней занимались J. Givens, J. Wilkinson, С. К. Годунов и др.
Теория дискретных симплектических систем уравнений:
Yk+1 = WkYk' Wk
,wjWk = J,k = 0,...,N,J
0 I -I 0
(1)
развивалась в работах L. Erbe, P. Yan, С Ahlbrandt, M. Bohner, W. Kratz, O. Dosly и др. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков являются важным частным случаем краевых задач для систем (1) с
вырожденным блоком В, . В 2007 году W. Kratz и О. Dosly доказали
осцилляционную теорему для дискретных систем (1). Используя метод бисекции и данную теорему, можно решать частичную проблему собственных значений дискретных краевых задач для симплектических систем (1).
Применение метода бисекции для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля высшего порядка связано с трудностью подсчета фокальных точек главного решения соответствующей симплектической системы. Число фокальных точек — осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения системы (1).
В настоящей диссертации разрабатываются методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, позволяющие использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков, что является актуальным с позиций практического интереса.
Целью работы является развитие качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и разработка метода решения
4 О. Dosly, W. Kratz. Oscillation theorems for symplectic difference systems. J. Difference Equ.
Appl. 13, 2007, 585-605.
5 W. Kratz. Discrete Oscillation. J. Difference Equations and Appl. 9, 2003, 135-147.
частичной проблемы собственных значений для дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью.
Метод исследования. В работе используются методы линейной алгебры, матричного анализа и вычислительной линейной алгебры, элементы теории разностных уравнений. Разработка программного обеспечения проводилась в среде MATLAB.
Научная новизна работы.
В диссертационной работе разработаны новые методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма -Лиувилля высших порядков, отличительной особенностью которых является применение осцилляционной теории симплектических систем и учет структуры соответствующей матрицы симплектической системы.
Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля высшего порядка.
Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2п.
Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий O(N) операций для вычисления
отдельного собственного значения. Практическая ценность. Разработан комплекс программ, реализующий локализацию и вычисление отдельных собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков. Разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы при решении следующих задач:
анализ моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия;
исследование поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем;
анализ колебаний стержней переменного поперечного сечения;
решение частичной проблемы собственных значений симметрических ленточных матриц без приведения к трехдиагональной форме.
Основные положения, выносимые на защиту
Методы исследования дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, основанные на осцилляционной теореме и теореме о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения.
Алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма - Лиувилля высшего порядка.
Комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма-Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (N) операций для вычисления отдельного собственного значения.
Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А. Л. Скубачевского, РУДН (г. Москва, февраль 2012 г.); на XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2012 г.); на II международной научной конференции «Моделирование
нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», Москва, 2011 г.); на XV международной научной конференции "Dynamical system modeling and stability investigation" (КНУ им. Тараса Шевченко, Киев, Украина, 2011 г.); на XI, XII, XIII научных конференциях МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008, 2009, 2010 г.);
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 2 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 3 — в сборниках трудов научных конференций и 2 — в периодических изданиях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Содержание диссертации изложено на 148 страницах машинописного текста, в число которых входит 8 страниц приложений. В тексте имеется 19 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 91 наименование.
