Введение к работе
Актуальность работы. Требования к прочности, надежности и долговечности современных инженерных конструкций с каждым годом все возрастают. Важнейшим классом динамических систем являются такие конструкционные элементы как балки, одно- и многослойные пластины и оболочки. Состояния (в том числе хаотические) подобных динамических систем существенно определяются действием на них динамических нагрузок.
Пути перехода динамических систем к хаосу исследованы в работах Л.Д. Ландау, E.Hopf, D. Ruelle, F. Takens, М. Feigenbaum, Y. Pomean, P. Manneville. Ими были обнаружены четыре основные сценария, по сей день носящих их имена. Последующие исследования показали, что классические сценарии перехода колебаний от гармонических к хаотическим встречаются редко, чаще переход осуществляется по различным их вариациям и симбиозам.
Нелинейным колебаниям динамических систем различной природы посвящены работы J. Awrejcewicz, M. Amabili, A. Sarkar, O. Thomas, A.Vakakis, C.Touze, S. Bilbao, N. Mordant, A. Boudaoud, O. Cadot, N. Yokoyama, M. Takaoka, Y. Wang, H. Qiang, H. Haiyan, Y. Guitong, U. Lepik, W. Pietraszkiewicz, Van der Heijden, K. Nagai, S. Maruyama, M. Oya, T. Yamaguchi, Y. Tsuruta, T. Murata, В.А. Крысько, С.П. Кузнецова, В.С. Анищенко, В.В. Астахова, Б.Я. Кантора, В.В. Пикуля, А.В. Талонова, Ю.Г. Коноплева, А.В. Крысько, В.И. Ерофеева, В.А. Бабешко, М.В. Марчука, И.И. Блейхмана, А.А. Короновского, Н.Ф. Морозова.
Вместе с тем эффекты, связанные с динамическим хаосом в рассматриваемом классе распределенных систем, изучены недостаточно полно. В частности, мало исследованы локальные временные особенности переходов в хаос динамических систем в виде балок, одно- и многослойных пластин и оболочек. Поэтому возникает необходимость разработки усовершенствованных расчетных моделей, дающих возможность рассматривать сценарии перехода континуальных динамических систем в хаос с учетом влияния геометрической, конструктивной нелинейностей, типа загружения и краевых условий.
Цель диссертационной работы состоит в изучении новых эффектов, связанных с динамическим хаосом и путей перехода к нему в распределенных нелинейных системах различной геометрии (балках, одно- и двухслойных оболочках различной кривизны), а также в развитии алгоритмов и численных методов анализа хаотических режимов работы рассматриваемых систем.
Задачи, решаемые для достижения поставленной цели:
-
Разработка программного комплекса, позволяющего изучать балочно-оболочечные структуры различной геометрии, в том числе многослойные, учитывать разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, а также геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики.
-
Построение новой математической модели колебаний геометрически нелинейных многослойных пластин и оболочек с учетом контактного взаимодействия слоев под действием внешней продольной знакопеременной нагрузки с учетом неоднородных граничных условий.
-
Построение математических моделей пространственно-временного хаоса для распределенных динамических систем с бесконечным числом степеней свободы в виде балок, пластин и оболочек в зависимости от геометрических параметров, условий загружения и закрепления механических структур.
-
Проведение математического моделирования и выявление ключевых свойств путей перехода в хаос колебаний континуальных динамических систем в виде балок одно и многослойных пластин и оболочек в зависимости от их геометрии и условий динамического нагружения.
Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались с использованием методов математического моделирования, вариационных и численных методов решения дифференциальных уравнений, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, методов Фурье и вейвлет анализа, процедур анализа ляпуновских показателей.
Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задач, основанной на методах математической физики, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных разными методами: конечных разностей, конечных элементов, Рунге-Кутта различного порядка точности, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, математической физики, нелинейной динамики при обсуждении основных результатов на научных конференциях и семинарах.
Научная новизна работы
-
Развит математический метод моделирования сценариев перехода колебаний динамических систем в виде балок, одно- и многослойных пластин и оболочек в хаос, основанный на последовательном применении метода конечных элементов, метода конечных разностей и методов Рунге-Кутта, отличающийся возможностью учета неоднородных граничных условий.
-
Предложен математический аппарат качественного исследования явления пространственно-временного хаоса в рассматриваемых континуальных структурах, базирующийся на анализе эволюции модальных портретов и пространственно-временных сигналов.
-
Развит метод анализа фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия, основанный на вейвлет преобразовании сигналов всех слоев структуры.
-
Для анализа математических моделей колебаний распределенных систем с различного рода нелинейностями разработан комплекс программ, позволяющий изучать балочно-оболочечные структуры с различными геометрическим параметрами, в том числе многослойные, учитывать разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики.
-
Проведено комплексное исследование математических моделей переходов колебаний рассматриваемых динамических систем в хаос. Выявлены новые модификации данных переходов, где изменение состояний системы идет с течением времени при фиксированных значениях управляющих параметров (амплитуды и частоты внешнего гармонического воздействия). Серьезное внимание уделено изучению выявленных переходных процессов. Показано, что и качество переходных процессов, и сами сценарии существенно зависят от ряда внешних управляющих параметров, в частности от характера приложенной нагрузки (нормальной, продольной, сдвиговой, их комбинаций), от условий загружения краев структуры. Также выявлено явление включения- выключения некоторых частот с течением времени.
-
Впервые в нелинейных динамических системах в виде балок Эйлера-Бернулли под действием локальной нормальной нагрузки, заданной гармоническим законом, было обнаружено, что процесс перехода колебаний от гармонических к хаотическим может наблюдаться в нестационарных сигналах, причем последовательность бифуркаций по времени в них полностью совпадает со сценарием, полученным при росте амплитуды нагрузки для того же численного эксперимента.
-
Впервые в нелинейных распределенных динамических системах рассматриваемых классов выявлено, что пространственный хаос при переходе колебаний из квазипериодических в хаотические наступает с некоторой задержкой, также задержка наблюдается и при выходе из хаотического окна.
-
Выявлены особенности сложных колебаний при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных прямоугольных оболочек. Показано, что при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных пологих оболочек после областей хаоса колебания слоев синхронизируются с захватом амплитуд до колебаний на серии независимых частот, частоте, равной половине частоты возбуждающей силы, и даже до гармонических колебаний.
Практическая ценность и реализация результатов
Практическая ценность работы заключается в разработанном программном комплексе, позволяющем проводить исследование сценариев перехода нелинейных колебаний распределенных систем в хаос в зависимости от их геометрии, вариантов динамического нагружения и краевых условий, выявлять и изучать эффекты, связанные с хаотической динамикой рассматриваемых объектов. Численные эксперименты, проведенные в рамках данной работы, позволяют указать те наборы управляющих параметров, при которых балочно-оболочечные структуры находятся в безопасной зоне работы.
Результаты диссертации использовались при выполнении гранта: Конкурс научных проектов, выполняемых молодыми учеными (Мой первый грант), РФФИ, на 2012-2013 годы, проект 12-01-31204, НИР: Исследование нелинейных стохастических колебаний многослойных механических структур в температурном поле под действием концентрированных потоков энергии, 2012-2014 гг., регистрационный номер: 7.3229.2011, а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ студентами специальности «Прикладная математика и информатика» кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.». Получены 6 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Разработаны эффективные математические методы, алгоритмы и комплекс программ для изучения новых эффектов, связанных с динамическим хаосом (в том числе и пространственно-временным), и путей перехода к нему, для анализа математических моделей колебаний динамических систем с учетом геометрический нелинейности, контактного взаимодействия, разнообразных моделей динамического нагружения и краевых условий.
-
Показаны преимущества и недостатки двух методов: Фурье и вейвлет преобразований. Проведен анализ следующих материнских вейвлетов: Хаара, Шеннона-Котельникова, Мейера, Добеши, Кауфлеты, Симлеты, Морле, вейвлеты на основе производной функции Гаусса старше 8 порядка. Выявлено, что для исследований нелинейных колебаний рассматриваемых распределенных систем можно применять вейвлеты Морле и вейвлеты на основе производных функции Гаусса старше 16 порядка, как комплексные, так и действительные. Для анализа локальных особенностей сигналов, сконцентрированных в области низких частот, хорошо применим вейвлет Меера.
-
При исследовании поведения динамических систем в виде балок Эйлера-Бернулли под действием нормальной нагрузки впервые в системах подобного класса установлено, что процесс перехода колебаний от гармонических к хаотическим, наблюдаемый в нестационарных сигналах, полностью совпадает со сценарием, полученным при росте амплитуды нагрузки для того же численного эксперимента. Также показано, что при смещении зоны действия локальной нагрузки от края балки к ее центру возможны идентичные модели поведения системы. Были получены нестационарные сигналы, разница между которыми наблюдалась лишь в ширине окон, где нет изменений частотного наполнения сигнала и времени, где эти зоны сменяют друг друга.
-
Исследовано более 50 математических моделей сценариев перехода колебаний динамических систем в хаос. Показано, что большинство из полученных сценариев являются вариациями классических сценариев или различными их комбинациями. Выявлено несколько новых. Так, согласно некоторым, изменения состояний системы наступают не с увеличением управляющего параметра (амплитуды или частоты внешней силы), а при его фиксированном значении с течением времени. Окна квазипериодических и гармонических колебаний могут перемежаться зонами хаоса, могут происходить серии последовательных бифуркаций.
-
Предложен математический аппарат для качественного исследования математических моделей пространственно-временного хаоса распределенных динамических систем. Был обнаружен пространственно-временной хаос в различных классах рассматриваемых систем. Впервые в динамических системах в виде балок и оболочек было показано, что пространственный хаос наступает после временного с некоторой задержкой. Также задержка обнаружена при выходе из хаотического окна. Т.е. пространственный хаос является следствием временного.
-
Проведен анализ фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия. Выявлено, что при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных пологих оболочек после областей хаоса колебания слоев синхронизируются с захватом амплитуд до квазипериодических и даже до гармонических.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XVII, XVIII и XIX Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2010, 2011, 2012); VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010); Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы – 2011, 2012» (Москва, РУДН, 2011, 2012); 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011); International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011, 2013, Portugal); XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, ТПУ, 2011); XXIV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-24, Саратов, 2011) Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011); VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).
В законченном виде диссертация докладывалась на International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2013), Sesimbra, Portugal, June18, научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2013); межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2013).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 28 работах, в том числе 6 статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ, 1 статье из списка Scopus, 6 – в иностранных источниках. Получено 6 свидетельств о государственной регистрации программ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 202 страницах, содержит 33 рисунка, 68 таблиц. Список использованной литературы включает 149 наименования.
