Введение к работе
Колебания струн описываются гиперболическим уравнением
о'її f) и
^—г = а2^—^ + g(t)x)) 0 < t, 0 < х < /, a = const. (1)
otz ox1
Начальные данные, в нашем случае начальные отклонение и скорость:
y\t=o = h0(x),
= h(x), х є (0,/), (2)
будем рассматривать как начальные возмущения. На границах Г струн могут быть наложены различные граничные условия, в частности, условия закрепления
У\х=0 = У\х=1 = 0 (3)
Энергия колеблющейся струны в момент времени t задается интегралом
E(t)
(yx(t,x)+yt(t,x))dx (4)
В работе рассматривается проблема демпфирования (гашения) колебаний, т.е. следующая задача демпфирования (задача D): найти управляющую функцию g(t,x) (из некоторого класса), позволяющую полностью погасить начальные возмущения (2) за конечное время Т > 0:
Е(Т) = 0; (5)
Следуя Ж.-Л. Лионсу будем называть такую ситуацию строгой управляемостью.
Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности, колебаний тонких длинных и тонких круглых элементов, актуальны в силу многочисленных технических приложений. При создании новых космических комплексов в мировой практике все более широкое применение находят космические платформы (КП), на которых размещаются различного вида полезные нагрузки. Сами КП имеют каркасную конструкцию, кроме того, в большинстве проектов КП имеются выносные конструкции, такие, например, как антенные устройства или панели солнечных батарей. На борту КП размещаются приборы и агрегаты технологических систем, которые могут быть источниками механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных упругих колебаний составных частей КП . Кроме того, эти колебания могут возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние на пространственную устойчивость КП
и отрицательно влияет на работу установленных на ней приборов. Поэтому гашение таких колебаний представляет собой важную прикладную задачу.
Другим примером может служить случай с двухкилометровы мостом в Волгограде, на котором 20 мая 2010 года по неизвестным причинам возникли колебания аплитудой до 1 метра, угрожавшие разрушением моста и остановившие движение транспорта на несколько дней.
Цель и задачи исследования. Основной целью данной работы является разработка методов демпфирования колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с помощью точечного движущегося демпфера, а также неподвижного демпфера конечной ширины. Последний случай является более приближенным к практической реализации. В качестве граничных условий для струны рассматривается случай, когда оба конца струны закреплены, и случай, когда правый конец не закреплен. Для мембраны также рассматриваются варианты с закрепленной и незакрепленной внешней границей. В центре круглой мембраны всегда действует условие симметрии.
Также целью данной работы является выбор наилучшего численного метода, позволяющего найти оптимальное управление, сводящее энергию колеблющейся струны и мембраны к нулю за конечное время Т. При этом необходимым является нахождение оптимальных параметров сходимости численного метода решения.
Одной из задач работы является создание комплекса программ, реализующего численный метод и позволяющего находить оптимальное управление в интерактивном режиме для заданных параметров.
В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.
Научная новизна. Ранее строгая управляемость колебаниями была рассмотрена в работах Д. Лагнесса, Д. Рассела, А.Г. Бутковского, Л.А. Муравья, А.З. Ишмухаметова в классе функций {g(t,x) Є ^((0 < t < Т) х (а < х < /3)), g(t,x) = 0, х ф [а,р]}, {g(t,x) = u(t)f(x), u(t) Є L2(0,T)} и {g(t,x) = u(t)S(x — хо), u(t) Є L2(0,T)} соответственно. В последнем случае д(х) - дельта-функция Дирака, хо - некоторая фиксированная точка интервала (0,/). Этот случай соответствует ситуации, когда управление осуществляется только в одной точке интервала.
В работе Лагнесса было показано, что колебания можно погасить с помощью бесконечного числа управляющих функций u\{t), v,2{t), ..., Uk{t), ..., если g(t, х) представима в виде бесконечного ряда Y^=iuk(t) fk{x)- Отметим, что данное ограничение сильно затрудняет использование результатов работы в практических приложениях.
В работе Рассела получены условия на функцию f(x), которые позволяют решить задачу D с помощью одной управляющей функции u(t). Однако эта функция f(x) распределена на всем интервале (suppf(x) = (0,/)), поэтому для решения задачи D управление должно осуществляться вдоль
всей длины струны, что не позволяет использовать результаты работы в практических приложениях при достаточно длинной струне.
В работах Бутковского рассматривался точечный стационарный демпфер, помещенный в точку хо. Им было показано, что существует всюду плотное на {0,/} множество точек {хо} таких, что помещенный в них демпфер не позволяет решить задачу D, например, на множестве решений уравнения sin ^р = 0, к = 1,2,..., являющихся узлами стоячих волн решений Zk{t,x) = (Akcos cukt + Bfcsin cukt) sin ^, к = 1, 2, ... однородного уравнения (1); здесь cut = ]^fL в случае колебаний струны. Поэтому при способе управления задача либо неразрешима, либо неустойчива.
В последнее время было опубликовано большое количество работ по данной тематике, в частности В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым.
Для приближенного нахождения оптимального решения такого рода задач используются различные методы оптимизации (см., например, работы Ф.П. Васильева, А.А. Махмудова, Л.А. Муравья). В частности, в работе А.А. Махмудова, Л.А. Муравья использовался метод наискорейшего спуска. В настоящей работе мы используем новый подход к нахождению численного решения задачи на основе численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов.
Методы исследования. В ходе исследования применяются следующие математические методы. Для понижения порядка волнового уравнения, используется метод сведения уравнения второго порядка к системе двух уравнений первого порядка. Для численного решения системы уравнений первого порядка используется численный метод характеристик, в котором все производные аппроксимируются центральными разностями. В качестве метода оптимизации для нахождения оптимального управления используется метод сопряженных градиентов. Интегралы вычисляются численным методом трапеций.
Программный комплекс, реализующий разработанный численный метод, создан с использованием свободных технологий. В качестве языка программирования использовался Java. Построение графиков осуществлялось с помощью Gnuplot.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут послужить отправной точкой для дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Разработанные методы можно использовать для решения задач демпфирования колебаний при использовании других типов управлений и других граничных условий. Принципы и подходы данной работы могут быть использованы для построения модели демпфирования колебаний в трехмерном случае.
Разработанный программный комплекс может быть использован как будущая основа для програмного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-5 октября 2005 г.
IV научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности», Москва, 24-26 октября 2007 г.
VIII Международный авиационно-космический салон «МАКС-2007», Жуковский, 21-26 августа 2007 г.
IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-4 октября 2007 г.
В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследователь-ной работы по проектам российского фонда фундаментальных исследований:
07-01-00682 - математические модели управления нелинейными колебаниями;
07-01-00380 - математическое моделирование и оптимизация нелинейных процессов в механике и гидродинамике.
Публикация основных результатов. По теме диссертации опубликовано 4 работы ([1-4]), в том числе 2 работы в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.
Структура и объем диссертации. Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.
