Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование статической потери устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа сжимаемой/растягиваемой внешними краевыми усилиями 16
1.1 Двупараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений 16
1.2 Граничные условия А и С 26
1.3 Граничные условия В 33
1.4 Граничные условия В' 42
1.5 Описание комплекса программ и численных методов по определению критических многообразий и построению асимптотики бифуркационных задач 45
Глава 2. Моделирование статической потери устойчивости удлинённой упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа 52
2.1 Однопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений и теории катастроф 52
2.2 Граничные условия В 60
2.3 Граничные условия В' 69
Глава 3. Общая модель дивергенции тонкой удлинённой упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа 73
3.1 Многопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений 73
3.2 Граничные условия В 86
3.3 Граничные условия В' 97
3.4 Граничные условия D 102
Заключение 109
Литература 110
- Двупараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений
- Однопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений и теории катастроф
- Многопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений
- Граничные условия В'
Двупараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений
Вторая половина XX столетия характеризуется интенсификацией исследований нелинейных явлений как в республиках СССР, так и за рубежом. В монографии М.М.Вайнберга и В.А.Треногина [38] было впервые дано систематическое изложение теории ветвления(ТВ) решений нелинейных уравнений с позиций современного функционального анализа, основанной на редукции нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной системе трансцендентных алгебраических уравнений с малым параметром. Классические результаты A.M. Ляпунова [64] и Э. Шмидта [23] представлены здесь на существенно более высоком уровне. ТВ как одно из направлений качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX и XX столетий при исследовании прикладной задачи математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы [64, 78] и в общей теории нелинейных интегральных уравнений [23]. Дальнейшее развитие ТВ диктовалось прикладными задачами математической физики и нелинейного анализа. В первой четверти XX столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И. Некрасов [73] решает плоскую задачу о гравитационных волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости. Двумя годами позже эти результаты были получены другими методами Т. Леви-Чивита [13] и Д. Стройком [28]. Л. Лихтенштейн [14] и Л.Н. Сретенский [82] дают современное для того времени развитие результатов A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре о фигурах равновесия небесных тел. Н.Н. Назаров [71] публикует исследования по ветвлению решений нелинейных интегральных уравнений и точкам бифуркации нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. В 50-х гг. И.Г. Малкин [65] и Л. Чезари [89] применяют методы теории ветвления к задачам о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, в них последовательно прослеживается связь теории ветвления с задачами устойчивости решений [66], в основе которых лежали фундаментальные исследования A.M. Ляпунова по устойчивости. Таким образом, основополагающие результаты ТВ возникли в математическом моделировании гидродинамических процессов и общей теории нелинейных функциональных уравнений.
М.А.Красносельским [50] доказана теорема существования разветвляющихся решений задачи о точке бифуркации, в работах В.А.Треногина получает развитие метод диаграмм Ньютона [87] и аппарат обобщённых жордановых цепочек [84,85]. В работах П.Г.Айзенгендлера, М.М.Вайнберга, В.А.Треногина [36,37] применяется кронекеровский метод исключения для исследования уравнения разветвления (УР).
Обзору зарубежных часто ещё не опубликованных работ по теории ветвления и бифуркаций посвящена монография Л.Ниренберга [75]. Многочисленным приложениям ТВ в естественно-научных дисциплинах посвящены труды конференций [2,83]. Дальнейшее развитие ТВ характеризуется сочетанием вариационных, топологических и теоретико-групповых методов. В 1971 году Н.А.Сидоровым и В.А.Треногиным применением топологических методов (теории степени отображения) непосредственно к системе разветвления была доказана наиболее общая теорема существования решений задачи о точках бифуркации [88], развита общая теория регуляризации в задачах теории ветвления [80,81]. Эти результаты изложены в докторской диссертации Н.А.Сидорова, изданной в качестве монографии [79].
Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу [38,92]. Они были применены им и его сотрудниками при решении ряда задач гидродинамики [31,44,70,91]. Последовавшее развитие теории ветвления в условиях групповой инвариантности содержится в [58,62,63], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного уравнения разветвления (см.обширную библиографию в монографии [58]-обзоре результатов по 1980 год и [53]). В частности, в [58,62] доказана теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, открывшая новый подход к экви-вариантной теории ветвления - использованию методов группового анализа дифференциальных уравнений (ДУ) [76]. Эти методы позволили решить задачу построения общего вида УР по наследуемой им группе симметрии как в стационарном [16,60], так и в нестационарном [15,56,86] ветвлении (см. обзорную работу [53]). Указанное сочетание топологических, вариационных и теоретико-групповых методов отражено в коллективной монографии [74] и монографиях [24,49].
В бифуркационных задачах, описываемых ОДУ четвёртого и более высоких порядков, часто возникает сложная зависимость уравнений от бифуркационных параметров. Это значительно осложняет выявление критических значений этих параметров, особенно в многопараметрических бифуркационных задачах, что препятствует их исследованию в точной постановке. В диссертации это явление рассматривается на примере краевых задач для дифференциальных уравнений четвёртого порядка, описывающих статические бифуркационные задачи аэроупругости, возникающие при исследования поведения упругих пластин и оболочек в потоке газа.
Однопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений и теории катастроф
Задачи аэроупругости,являющиеся по существу бифуркационными, начали изучаться в конце 30-х годов прошлого века, однако для их исследования методы теории бифуркаций не применялись. При исследовании поведения упругих пластин и оболочек в потоке газа возникают сложные модели взаимодействия. Соответствующие дифференциальные уравнения выводились на основе предложенного академиком Ильюшиным закона плоских сечений ("поршневой теории"), к которым затем применялись вариационные методы, преимущественно метод Галёркина. Результаты, полученные в этом направлении представлены в работах Болотина В. В. [11,35], Вольмира А. С. [43], Григолюка Э. И. [30], Бисплингхоффа Р. Л., Эшли X., Халфмана Р. Л. [34], Ильюшина А. А., Кийко И. А. [45], Алгазина С. Д., Кийко И. А. [29], Мовчана А. А. [67,68],Доуэлла Е.Х., Ильгамова М.А. [7] и др.
В диссертации предложен прием, позволяющий исследовать дивергенцию удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа с соответствующим нелинейным ОДУ 4-ого порядка, зависящим от двух и трёх бифуркационных параметров при различных условиях закрепления в точной постановке. Зависимость дифференциального уравнения от бифуркационных параметров, выраженная через корни соответствующих характеристических уравнений линеаризации, позволяет дать точную постановку задач дивергенции, поскольку корни характеристического уравнения при использовании методов отделения этих корней можно определить с любой степенью точности. Считая эти корни заданными точно, нетрудно найти критические бифуркационные кривые и поверхности, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений. Таким образом мы определяем соответствующие малые по норме функциональных пространств решения в отличие от многих работ, дающих либо качественную картину решений, либо применяющих сеточные методы.
В задачах аэроупругости различают две формы потери устойчивости -статическую и динамическую, соответственно стационарные бифуркационные задачи и бифуркацию Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Выпучивание (дивергенция) - статическая потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции в потоке газа, которая приводит к изгибным деформациям конструкции. Флаттер - динамическая колебательная потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции, которая приводит к периодическим незатухающим колебаниям, повышению износа в процессе эксплуатации и возможному последующему разрушению конструкции [46]. При создании современных летательных аппаратов предъявляются повышенные требова 8
ния к прочности конструкции. Таким образом разработка новых эффективных и надежных методов расчета модельных задач потери устойчивости является актуальной задачей.
Зависимость форм пластин и оболочек в потоке газа диктует применение симметрийных методов теории ветвления. С середины 70-х годов симметрийные методы в теории ветвления развиваются параллельно западными и советскими математиками. Теорема о наследовании была доказана позднее и применялась к задаче Бенара о конвекции в слое [21,22] для определения главной части УР. Эти результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были также получены в [55] и применены в [57] к задаче кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла. В 80-х годах были опубликованы фундаментальные работы А.Вандербауведе [26], М.Голубицкого, И.Стюарта и Д.Шеффера [8,9]. Они дают детальный обзор результатов западных математиков по эквивариант-ной теории ветвления. Основным средством исследований в [8,9]явилась теория особенностей гладких отображений. Однако, по нашему мнению, развиваемые А.Д.Брюно [88] методы многогранника Ньютона более перспективны, они позволяют исследовать УР при любых порядках вырождения линеаризованного оператора. В диссертации исследуются модели дивергенции удлинённых пластин в сверхзвуковом потоке газа, при исследовании которых симметрийные методы практически не применяются.
Стационарные бифуркационные задачи аэроупругости изучались в работах [35], динамические бифуркационные задачи в работах [10], в цикле работ И.Д.Чуешова [69], в ряде работ Ярославльской школы [12,51,52] и в диссертации J.Sijbrand [25].
Бифуркационным задачам аэроупругости для пластин произвольной формы и оболочек отвечает полная система фон Кармана [43] - система уравнений в частных производных, связывающих функцию прогиба и функцию напряжения. Модельные задачи аэроупругости для длинной пря 9
моугольной пластины (пластины-полосы) описывается краевыми задачами для ОДУ 4-ого порядка. Методами теории бифуркаций задача о дивергенции прямоугольной пластины исследована в работе [61], детали см. в диссертации О.В.Кожевниковой [48]. Дивергенция удлинённой пластины при учёте только одного бифуркационного параметра - числа Маха - в работах П.А.Вельмисова и Б.В.Логинова [41, 59], П.А. Вельмисова и С.В.Киреева [42], а также в кандидатской диссертации С.В.Киреева [47], в которых применялся метод групповых преобразований Ц.На, позволяющий сводить двухточечные граничные задачи для ОДУ 4-ого порядка к задаче Коши.
В работе [19] исследована наиболее простая модельная бифуркационная задача для удлинённой пластины с двумя бифуркационными параметрами ( сжатие/растяжение и число Маха) при использовании стандартных методов теории ветвления решений нелинейных уравнений [38]. Эта же техника применялась во всех наших работах [32,33]. При применении методов теорий бифуркаций и катастроф к нелинейным граничным задачам для ОДУ высоких порядков возникает ряд технических трудностей, связанных с исследованием спектра прямой и сопряжённой задач. Для их преодоления используется метод отделения корней характеристического уравнения с последующим представлением через них бифуркационных многообразий. Этот прием позволяет исследовать модельные многопараметрические бифуркационные граничные задачи для ОДУ высоких порядков в точной постановке, а также строить стандартными методами [72] соответствующие функции Грина [1,32], тем самым впервые [20] доказывая фредгольмовость линеаризованных операторов в модельных статических задачах аэроупругости.
Многопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений
Проблема построения функций Грина к краевым задачам для линейных ДУЧП, ОДУ и их систем является по сути дела интегральным представлением решений соответствующих задач. Одновременно построение интегрального представления решения является доказательством фредголмовости соответствующего дифференциального оператора. Известны справочники функций Грина для ОДУ : 1) Э.Камке «Справочник по ОДУ», М.Наука, 1971 г, изд.4, где изложены общие принципы построения функций Грина для ОДУ -операторов и представлены решения отдельных ОДУ; 2) Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. «Справочник по нелинейным ДУ Приложения в механике», Физматлит, М.:Наука,1993, в котором содержится решение многих ДУ, отсутствующих у Э.Камке; 3) Melnikov Ju.A. "Influence functions and matrices", M.Dekker, Inc., NY, Basel , цель которого построение функций Грина в задачах теоретической механики. В последнем справочнике автором отмечено отсутствие функций Грина в задачах аэроупругости, описываемых двухточечными граничными условиями для ОДУ четвёртого порядка в случае удлинённой пластины обтекаемой потоком газа, т.е. отмечено для каких задач теоретической механики имеется аппарат функций Грина, а для каких нет. Общие принципы построения функций Грина изложены в главе I монографии М.А.Наймарка «Линейные дифференциальные операторы», М., Наука, 1969 г., 2 изд. В аэроупругости особенно интересна задача обтекания потоком газа прямоугольной и круглой пластин, описываемых системой фон Кармана.
В первое десятилетие XXI века возобновилась деятельность В. В. Болотина и его коллег по задачам аэроупругости [3-6], исследованию флаттера посвящены многие работы В. В. Веденеева [27,39,40].
Многие задачи аэроупругости носят бифуркационный характер, когда при переходе определяющих явление параметров через их критические значения меняется картина решения. От тривиального решения ответвляются статические или осцилляционные. В первом случае говорят о дивергенции пластин, оболочек и т.п. Во втором - о флаттере. Имеющиеся решения тех и других задач либо численные, либо носят качественный характер, поэтому актуальным является решение задач аэроупругости в точной постановке, т.е. точного описания модельной бифуркационной картины разветвляющих 11
ся решений и их устойчивости. Известная литература в этом направлении трудно обозрима и, как было сказано, либо это решения, выполненные численными методами с конкретным выходом на инженерные нужды, либо содержит их описание средствами качественной теории дифференциальных уравнений.
Основополагающие результаты по дивергенции и флаттеру пластин, а также обзор выполненных исследований до 1964 года дан в монографии А.С.Вольмира [43]. Современный обзор задач аэроупругости содержится в монографии А.С.Алгазина и И.А.Кийко [29].
В диссертации разрабатывается новый подход, замена ,точнее представление, бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений, которые практически можно вычислить с любой точностью. Тем самым развиваемые в диссертационном исследовании методы позволяют вычислить точную асимптотику ответвляющихся стационарных или осцил-ляционных решений в моделях аэроупругости в виде сходящихся рядов по малым отклонениям от бифуркационных параметров. В этом и заключается актуальность выполняемых исследований.
Полученные результаты должны представляться одинаковыми формулами при описании бифуркационных явлений любых прикладных задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями 4-ого порядка с однотипными линеаризациями и одинаковыми граничными условиями. Это утверждение является основой математического моделирования многопараметрических бифуркационных задач.
Целью диссертации является исследование бифуркационных задач дивергентного типа, т.е. стационарных бифуркационных задачи аэроупругости для удлинённой пластины. Эта задача о прогибе пластины в сверхзвуковом потоке газа сжимаемой или растягиваемой внешними краевыми условиями, задача о прогибе пластины на упругом основании в сверхзвуковом потоке газа, эта же задача с учётом сжимающих (растягивающих) краевых усилий, эта же задача для пластины, подпертой по некоторой срединной линии, параллельной краям. Помимо определения точной асимптотики разветвляющихся решений для применения разрабатываемого подхода нужно обосновать фредгольмовость линеаризации. Это достигается построением соответствующих функций Грина модельных бифуркационных задач. Таким образом в исследуемых нами задачах кроме вычисления точной асимптотики разветвляющихся решений, актуальным является также обоснование метода с помощью построения функции Грина [20].
Граничные условия В'
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1. Обосновать бифуркационный характер модельных стационарных задач аэроупругости. 2. Доказать фредгольмовость граничных задач для ОДУ 4-ого порядка, описывающих дивергентные потери устойчивости удлинённых пластин, с помощью построения соответствующих функций Грина. 3. Дать точную постановку модельных задач аэроупругости с помощью выражения бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений соответствующих линеаризации. 4. Вычислить асимптотику разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по степеням малых отклонений от критических значений бифуркационных параметров на основе применения асимптотического метода Ляпунова-Шмидта и построения соответствующих уравнений разветвления (систем разветвления). 5. Создать программный комплекс вычисления асимптотики разветвляющихся решений, включающий визуализацию метода Штурма отделения корней характеристических уравнений в зависимости от существенных параметров задач, определение бифуркационных множеств, а также их визуализацию в виде рельефов при вариациях характер 13 ных небифуркационных параметров (материал пластины, жесткость основания и т.п.).
Основные положения, выносимые на защиту: 1. Точная постановка бифуркационных задача аэроупругости, моделирующих статическую потерю устойчивости. 2. Обоснование фредгольмовости дифференциальных операторов задач о дивергенции удлинённой пластины с помощью построения функций Грина. 3. Доказательство существования критических многообразий в пространстве управляющих параметров и применяемые численные методы для их определения. 4. Построение решений стационарных задач аэроупругости в окрестностях точек бифуркации на основе разработанного программного комплекса. 5. Исследование самой общей задачи о потери устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа с учётом всех возможных существенных параметров 6. Программный комплекс, позволяющий вычислять асимптотику разветвляющихся решений бифуркационных задач
Научная новизна: 1. Метод Ляпунова-Шмидта теории ветвления решений нелинейных уравнений впервые применен к задачам о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа. 2. Судя по справочнику Мельникова по функциям Грина в задачах ме ханики функция Грина для задач аэроупругости построена впервые. Научная и практическая значимость В известных нам исследо ваниях задач аэроупругости применяется метод Галёркина, хотя эти задачи следует считать бифуркационными. Мы предполагаем более соответствую щие характеру исследуемых задач методы теории бифуркаций, практически не применявшиеся в известных нам работах. Практическая значимость проводимых нами исследований обусловливается возможными многими приложениями в авиастроении и космонавтике.
Достоверность выполненных исследований гарантируется применением методов нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2011"(г.Санкт-Петербург, 11-16 апреля 2011 г.), 82nd Annual Scientific Conference ( Graz, Austria, April 18-21, 2011), Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г.Самара, 15-17 сентября 2011 г.), VI Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем "(г. Пенза, 25-29 октября 2011 г.), научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012" (Санкт-Петербург, 16—21 апреля 2012 г.), X международной Четаевской конференции (г.Казань, 12-16 июня 2012 г.), Третьей Международной научной конференции "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения"(Беларусь, г.Брест, 17-22 сентября 2012 г.), научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2013"(г.Санкт-Петербург, 15-20 апреля 2013 г.), а также на ряде рабочих семинаров кафедры, где выполнялась эта работа.
Личный вклад. Основные результаты принадлежат лично соискателю. В тех местах, где требовался двойной просчет, он выполнялся совместно с руководителем работы. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях [1,17,32], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [33], 13 — в сборниках трудов конференций [18].
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 163 страницы с 30 рисунками и 9 таблицами. Список литературы содержит 92 наименования. Диссертационная работа была выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки. Тема НИР: Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций, установок, приборов, устройств при аэро-годродинамическом, тепловом и ударном воздействиях.
