Содержание к диссертации
Введение
1 Построение и исследование эквивалентных разрешающих систем при бифуркации Андронова-Хопфа 34
1.1 Обобщенная жорданова структура и уравнение разветвления для ДУ 5-того порядка 35
1.2 Методы Ляпунова и Шмидта построения УР в корневом под пространстве 44
1.2.1 УРК А.Ляпунова. Теорема о наследовании групповой симметрии 46
1.2..2 УРК Э.Шмидта. Теорема о наследовании групповой симметрии 48
Построение и исследование модельных УР бифуркации
2. Андронова-Хопфа с симметрией плоских и пространствен ных кристаллографических групп 52
2.1 Бифуркация Андронова-Хопфа с симметрией дискретных групп по пространственным переменным 53
2.1.1 Симметрия Сп 53
2.1.2 Симметрия Dn 54
2.2 Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова Хопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений . 55
2.2.1 -Прямоугольная решётка 57
2.2.2 Квадратная решётка 68 2,2,3 Гексагональная: решётка 72
2.3 УР с симметрией простой кубической решётки STRONG 76
2.3.1 Элементарная ячейка - октаэдр 76
2.3..2 Элементарная ячейка периодичности- кубооктаэдр - . 85
2.3..3 Элементарная ячейка-куб 91
3 Устойчивость стационарных и периодических решений 100
3.1 Критерий устойчивости 101
3.2 Устойчивость стационарных решений 104
3.3 Устойчивость периодических решений 1 3.3.1 Постановка задачи 107
3.3.2 Устойчивость периодических решений уравнения первого порядка 111
3-3,3 Устойчивость периодических решений уравнения $-го порядка 115
3.3-4 Устойчивость периодических решений и метод диа граммы Ньютона 120
3.4 Устойчивость стационарных и периодических семейств раз ветвляющихся решений в условиях групповой симметрии 128
Заключение 131
Библиография 132
Приложение
- Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова Хопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений
- Критерий устойчивости
- Устойчивость периодических решений уравнения $-го порядка
- Устойчивость стационарных и периодических семейств раз ветвляющихся решений в условиях групповой симметрии
Введение к работе
Актуальность темы. Основу математического моделирования критических явлений составляют сингулярные задачи качественной теории дифференциальных уравнений и методы группового анализа.
Сингулярные задачи встречаются в теории волновых движений жидкости, фазовых переходах в физических системах, общей теории колебаний механических систем, математической биологии. В стационарных критических явлениях это задачи теории ветвления, когда линеаризованный на известном решении оператор не является обратимым. В нестационарном случае - это задачи теории аттракторов эволюционных уравнений. Простейшими из аттракторов являются предельные циклы, рождение которых происходит при бифуркации Андронова-Хопфа, т.е. при нестационарном ветвлении решений нелинейных уравнений. Теория ветвления решений нелинейных уравнений как отдельное направление в качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже ХК-го и ХХ-го столетия в прикладных задачах математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы (А.М.Ляпунов, А.Пуанкаре), а также в общей теории интегральных уравнений (Э.Шмидт). В первой четверти ХХ-го столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И.Некрасовым (1923) была решена плоская задача о гравитационных волнах (волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости). Несколько позднее аналогичные результаты были получены Т.Леви-Чивита и Д.Стройком. Следом за ними Н.Е.Кочин решает плоскую задачу о волне на границе раздела двух жидкостей (1929). Исследование бифуркации рождения предельного цикла, т.е. возникновения периодического автоколебательного режима при потере устойчивости равновесия или стационарного движения, также восходит к работам А.М.Ляпунова (1892) и А.Пуанкаре. А.М.Ляпунов предложил метод исследования устойчивости сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями. АААндронов открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и указал на связь этой бифуркации с результатами работ А.М.Ляпунова. Последующее развитие теории ветвления связано с именами Л.Лихтенштейна {ф^ЩТ"' P^fTPfifTH* вращающейся жидкос-
ІНШІЛЛЬНАїі ІПОТЕКА І
арии
РОС НАЦИОНАЛЬНА*j БИБЛИОТЕКА
ти), Н.Н.Назарова (нелинейные интегральные уравнения), В.В.Немыцкого, М.М.Вайнберга, М.А.Красносельского (теоремы существования в задаче о точках бифуркации), Э.Хопфа, Ю.Наймарка, Н.Брупглинской (рождение периодических решений в n-мерном случае), В.А.Треногина (диаграмма Ньютона и обобщенная жорданова структура линеаризованной задачи), В.И.Юдовича (использование групповой симметрии), В.А.Треногина и Н.АСидорова (наиболее общая теорема существования бифуркации). В бесконечномерных системах исследование бифуркации рождения цикла выполнено в работах В.И.Юдовича, М.Г.Крандаллаи П.Рабиновича, Марсде-на и Мак-Кракена, Ж.Иоосса, В.АТреногина.
Теория непрерывных групп преобразований возникла в конце 19-го столетия в работах норвежского математика Софуса Ли. В начале 20-го столетия развивается теория инвариантов групп преобразований. Теоретико-групповые методы находят многочисленные применения в теоретической физике. Однако глубокая связь математического моделирования и современного группового анализа дифференциальных (и вообще функциональных) уравнений была развита в работах новосибирской школы академика Л.В.Овсянникова. Термином "большая модель" Л.В.Овсянников называет систему соотношений математической физики - дифференциальных уравнений и дополнительных связей.
В 80-х годах Л.В.Овсянниковым была разработана "Программа подмодели", согласно которой если "большая" модель допускает некоторую группу G, то она допускает и любую подгруппу Н С G, а неподвижные элементы действия группы Н называются инвариантными Н-решениями, образующими класс решений.
Первые результаты применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу (1967), исследовавшему вместе с сотрудниками задачи многомерного ветвления в гидродинамике. Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии было продолжено Б.ВЛогиновым и В.А.Треногиным (1971), где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного У Р. Обзору результатов в симметрийных задачах теории ветвления до 80-го года посвящена монография Б.В.Логацова (1985).
Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией изучалась в работах В.И.Юдовича, Д.Рюэля,"А.Вандербауведе, Голубицкого и Шеффе-
pa, Б.В.Логинова и В.Л.Треногина.
Последовательное применение методов группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления содержится в работах Б.В.Логинова и его сотрудников. Теория С.Ли-Л.В.Овсянникова инвариантных многообразий применена здесь при построении общего вида УР по допускаемой группе.
Математическое моделирование нелинейных явлений требует также исследования устойчивости решений функциональных уравнений, моделирующих конкретные изучаемые процессы в естественно-научных дисциплинах. Основы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений также были заложены в работах А.М.Ляпунова (1892). Дальнейшее развитие теории устойчивости связано с именами Н.Г.Четаева, Р.Беллмана, В.М.Матросова, Н.Барбашина, И.Г.Малкина и многих других российских и зарубежных ученых.
Теория многомерного ветвления по-прежнему далека от окончательного завершения и в настоящее время. Поэтому остается актуальным математическое моделирование критических явлений, описываемых сингулярными функциональными уравнениями и исследование устойчивости их решений.
Цель диссертационной работы. Целью работы является развитие теории конечномерных эквивалентов моделей нестационарной бифуркации, вычисление асимптотики рождающихся решений и исследование их устойчивости. Эта цель достигается решением следующих задач:
-
Построение конечномерных разрешающих систем бифуркационных задач Андропова-Хопфа для сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и доказательство теорем о наследовании ими групповой симметрии основной нелинейной задачи.
-
Построение общего вида уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта для различных моделей бифуркации Андронова-Хопфа определяемых групповой симметрией нелинейных уравнений.
-
Вычисление асимптотики разветвляющихся решений, представляющихся сходящимися рядами по степеням малого параметра для нестационарных бифуркационных задач о нарушении симметрии.
-
Исследование устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых простран-
ствах с вырожденным оператором при старшей производной. Методы исследования. Для получения результатов работы использовались методы нелинейного функционального анализа и современный групповой анализ дифференциальных уравнений. Научная новизна положений, выносимых на зашиту.
-
Теория конечномерных разрешающих систем (PC) применена впервые при исследовании бифуркации Лндронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной в банаховых пространствах.
-
Для PC доказаны теоремы о наследовании групповой симметрии нелинейного дифференциального уравнения.
-
Построены новые хонечномерные модели нестационарной бифуркации по наследуемой ими симметрии кристаллографических групп.
-
Для модельных бифуркационных задач вычислена асимптотика семейств разветвляющихся решений.
5. Для сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых про
странствах получены критерии устойчивости разветвляющихся стационар
ных и периодических решений. Известные ранее критерии устойчивости ре
шений бифуркационных задач были установлены для эволюционных урав
нений без вырождения при производной.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты вычисления асимптотики и устойчивости разветвляющихся решений могут быть применены для исследования модельных классов критических явлений вне зависимости от конкретного физического содержания нелинейных задач. Практическая значимость работы подтверждена поддержкой ее результатов грантом РФФИ (N 01-01-00019) и стипендией Президента Российской Федерации для стажировки за рубежом.
Достоверность полученных результатов подтверждена корректным использованием современного математического аппарата, а также сравнением с результатами других авторов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, КГУ, ИВМ СО РАН, 1999 г.), САШ 2000, САМ 2002 (Питеш-ти, Румыния, октябрь 2000 г., октябрь 2002 г.), "Функциональный анализ" (Валенсия, Испания, 2000 г.), "Математическое моделирование, статисти-
ка, информатика" (Самара, СГЭЛ, июнь 2001 г.), "Теория операторов и их приложения" (Ульяновск, УлГПУ, 2001), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, 2002 г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, СамГУ, 2002г.), "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002), "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2002 г.), на ГХ и X межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1999, 2000) и на научно-технической конференции УлГТУ в 2002 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 12 статей и б тезисов.
Личный вклад. Результаты первой и третьей главы опубликованы совместно с руководителем и принадлежат авторам в равной мере, результаты второй главы были выполнены соискателем на основе консультаций с научным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трехглав (9 параграфов), заключения, списка литературы (134 наименования) и приложения. Работа изложена на 150 страницах. Формулы, теоремы, леммы и замечания имеют самостоятельную нумерацию в каждом параграфе. При ссылках внутри параграфа указывается этот номер, при ссылках на другой параграф указывается номер параграфа и номер утверждения. В остальных случаях нумеруется и глава.
Методы Ляпунова и Шмидта построения УР в корневом под пространстве
Построение и исследование уравнения разветвления в задачах с инверсион ной Zi симметрией по пространственным переменным, а также с инверсионной и вращательной симметриями Z% х 0(2) рассматривались в работах [66, 31, 108, 109, 110, 65]. В [66] исследована бифуркация Андронова-Хопфа с группой симметрии ромба ( 2 четверная группа Клейна) и с группой симметрии ромбической решетки периодичности по пространственным переменным (задача о нарушении симметрии). Поэтому ниже мы рассмотрим симметрию группы вращений правильного п-угольника Сп и диэдральных групп Д, [13].
Диэдральная группа Dn определяется как группа симметрии правильного тг-угольника; к п поворотам е,г,г2,...,г71"1 добавятся п отражений относительно осей симметрии многоугольника. Если $ - отражение относительно какой-нибудь фиксированной оси симметрии, то $2 = е и порядок группы Dn равен 2п. Группа Dn состоит тогда из элементов.
Построение общего вида УР для диэдральных групп выполнено в работе [122], где различаются случаи четных и нечетных п, причем для .четных п различаются порядки п = U и п = 4/ + 2, Уравнение разветвления в каждом отдельном случае может быть исследовано с помощью техники инвариантных подпространств.
Замечание 1, В качестве относительно простого примера уравнения разветвления допускающего дискретную группу симметрии многогранника (политопа) е п,2,3,А выписан общий вид УР с группой симметрии решетки с элементарной ячейкой в виде октаэдра, которое исследовано там с помощью техники инвариантных относительно левой части УР подпространств.
Метод Ляпунова-Шмидта в стационарной теории ветвления решений нелинейных уравнений был модифицирован [94, 9Ь] для разыскания периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа введением предложенной А.Пуанкаре замены переменных [77, 64]. Дальнейшее развитие этого направления при использовании групповой симметрии содержится в работах [23, 37, 88, 66, ПО, 122], Теорема о наследовании уравнением разветвления (УР) групповой симметрии нелинейной задачи [52, 53] позволила на основе методов группового анализа [72] решить общую задачу построения УР бифуркации Андронова-Хопфа по допускаемой им группе [23, 30, ПО, 122],см.Введение п.0.4. Здесь дается реализация этих методов в приложении к задачам о нарушении симметрии: определяется общий вид модельных УР Ляпунова-Шмидта при бифуркации Андронова-Хопфа, допускающих симметрию кристаллографических групп.
Предполагается, что уравнение (0.26) допускает группу движений евклидова пространства Rsts = 2,3. В окрестностях критических значений параметра рождаются периодические решения инвариантные относительно сдвигов по определенным направлениям аі,..,а3 на целые кратные периодов ау по пространственным переменным и преобразующиеся друг в друга при действии дискретной группы симметрии G1 порожденной основными трансляциями ai,..,as. Векторы a,-, j=T образуют решетку периодичности А. Произвольная s-периодическая функция может быть представлена ее рядом Фурье.
Группа симметрии (0.43) УР /(,,/ ,) = 0 является кристаллографической группой G = Gi(а) я Gly а = (аь-..,а5) - полупрямым произведением я-параметрической группы сдвигов G\ = G\{pi) по направлениям ау и группы симметрии G1 элементарной ячейки.
В практическом применении изложенной в п,0-4 схемы при высоких размерностях п = dimN{B) аналитического УР возникают технические трудности, связанные с невозможностью деления на некоторые инварианты зависящие только от - Если считать левую часть уравнения разветвления непрерывной по (7 то для построения УР достаточно использовать только функционально-независимые инварианты - полную систему функционально независимых инвариантов. В аналитическом случае это приведет к пропуску мономиальных слагаемых в разложении уравнения разветвления по степеням , Приходится добавлять дополнительные мономиальные инварианты наименьших возможных степеней с последующей факторизацией разложения f()P 9s) в степенные ряды по связям между использованными инвариантами, позволяющей избежать повторения слагаемых с одинаковыми степенями [23, 44], Эта факторизация выражения внутри скобок обозначается сим волом Уравнения системы разветвления выражаются через некоторую их часть действием дискретной группы симметрии. Бели при действии некоторого её элемента сохраняется номер уравнения, то это приводит к равенствам коэффициентов этого уравнения при мономиальных слагаемых одинакового порядка.
Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова Хопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений
Одним из главных вопросов теории математического моделирования задач ветвления является вопрос устойчивости. Какое из ответвившихся решений (семейств решений) реализуется на практике? Поэтому в большинстве выполненных приложений теории ветвления наряду с расчетом асимптотики разветвляющихся решений, как правило, выполнено исследование их устой чивости.
В данной главе исследуется устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной. Систематически используются результаты [7, 45, 79, 80] о жордановой структуре оператор-функций спектрального параметра, основанные на предложенном в [7] процессе продолжения неполных обобщённых жордановых наборов (ОЖН). Свойства биортогональности ОЖН-ов линейной оператор-функции спектрального параметра [45, 79, 80] позволяют определить проекторы на корневые подпространства и выписать уравнение разветвления (УР) в корневом подпространстве [29,119,111]. Они использовались при построении и исследовании УР бифуркации Андронова-Хопфа. УР в корневом подпространстве явилось основой исследования устой « чивости стационарных и периодических (от простой пары чисто мнимых
собственных значений) разветвляющихся решений [29, 119], теории дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старшем диффе 100
ренциальном выражении [84] и доказательств новых теорем существования точек бифуркации [120, 49].
Согласно результатам [45, 79, 80] ОЖН линейной оператор-функции В — \А может быть всегда выбран каноническим (теорема существования канонической пары { рі, 7ї}Г=і) и Д&же три-каноническим.
Предложенный в [7] процесс продолжения неполного ОЖН позволяет доказать, что аналитическая оператор-функция и её линеаризация с помощью бесконечных матриц типа (3) имеют одинаковую жорданову структуру, а корневое число (сумма длин обобщённых жордановых цепочек (ОЖЦ)) не зависит от выбора пары {tpit 7»}JLi: Однако для общего случая аналитической оператор-функции в [45, 79, 80] даны примеры несуществования каноничес
кой пары. Этот факт не противоречит результатам для линейной оператор функции А — ftAoy т.к., хотя линеаризованная оператор-функция обязатель но имеет каноническую пару {ФІ,ГІ}, Г» может не иметь вида (7 ,0, ...,0).
Элементы полного ОЖН нелинейной оператор-функции спектрального па раметра могут не быть линейно-независимыми.
Тем не менее результаты [29, 119] об устойчивости решений переносятся на уравнения вида (1) с помощью линеаризации (2),(3) согласно сле дующему утверждению.
Лемма 1. ОЖЦ элементов {Ф\ }_ Є N (Л) относительно оператор-функции A-(IAQ имеют видФ. лежит в левой полуплоскости Re{fi\fi є О А{В)} О (хотя бы одна точка ТА{В) попадает в правую полуплоскость). Тогда тривиальное решение линейного однородного уравнения (1) асимптотически устойчиво (неустойчиво).
Если фредголъмов оператор В имеет полный ОЖН относительно оператор-функции В—XAs-\ — ...—Xs"1 А\ —Xs Аэ и спектро А{В) обобщнной задачи на собственные значения (1.1.4) лежит в левой полуплоскости (хотя бы одна его точка попадает в правую полуплоскость), то тривиальное решение уравнения (1) асимптотически устойчиво (неустойчиво).
Так же как в работах [29,119] теоремы 1,2 позволяют исследовать устойчивость стационарных и периодических разветвляющихся решений уравнения
Рассмотрим здесь общую схему для соответствующей задачи о точке бифуркации, т.е. вопрос об устойчивости стационарных решений (1), ответвляющихся от тривиального х = 0. Пусть фредгольмов оператор В имеет подпространство нулей N(B) = span{ pi,.,.,y n}, -,7ft = fyt» зЛ = 1,...,n и дефектное подпространство N (В) = span{4 i ,..,ipn}} Zk j — fly,
Теорема 1. Пусть корневые числа k(As;—A8-i,...,—Ai,B) = gi.+ ...+ qm и к (В; А\,..., Ая) = р\ + ... + рп конечны. Тогда метод диаграммы Ньютона примененный к уравнению разветвления в корневом подпространстве оператор-функции (3) позволяет вычислить главные члены асимптотики отеетвлятогцгш: от собственного змаченгш д(0) = 0 гг, тел салльш, определить устойчивость (неустойчивость) стационарного решения XQ (Є).
Теорема 1 служит основой получения критериев устойчивости разветвляющихся решений связанных с соответствующим УР.
Теорема 2. Пусть ОЖЦ базисных элементов {у»}=1 относительно оператор-функции.
Критерий устойчивости
Периодическое решение х = p(t) следует рассматривать как -параметризованную замкнутую кривую (траекторию) ва пространстве. Поэтому ниже исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость: замкнутая траектория - решение р (t) асимптотически устойчиво в том смысле, что каждое решение (1), которое проходит вблизи траекториир (t)y стремится при t -+ ОО Kp{t),
Определение і [91]. Периодическое решение p(t) = р{і-\-ш) называется орбиталъпо-устойчивым (орбитально асимптотически устойчивым), если множество Г = {p(t) ,0 t а;} устойчиво (асимптотически устойчиво), т.е. если для любой окрестности U множества Г существует окрестность V этого множества, такая что если хі Є V, то определенное при t 0 решение xit xi) , #(07#i) = х\ принадлежит U
Введенные нормы графика для операторов Л и В в п.1 позволяют считать их ограниченными в соответствующих банаховых пространствах.
Лемма L Если операторы A{t) и B(t) w-периодические, оператор А () непрерывно обратим при 0 t w и U (t) разрешающий оператор для уравнения A(t) = B{t)x, (15) то U(t + w) также является разрешающим оператором для отого уравнения, причем U{t) = Z (t) е Z{t + w) = Z (0 (16) с обратимым оператором Z{t). Доказательство следует из теоремы 5-1 [17, глЛП] в силу обратимости оператора A (t). Собственные числа р разрешающего оператора U (и ) называются мультипликаторами уравнения (15). Они являются собственными значениями оператора etR. Соответственно собственные значения к оператора Я называются характеристическими показателями уравнения (15) или экспонентами Флоке, соответственно связи р = CWKf, Лемма 2. В условиях леммы 1 экспоненты Флоке определяются как числа к при которых задача
Система (22) ИМЄЄТ Нулевое рЄШЄНИЄт Т.Є. (?п (В) = сг(А 1В). Следовательно, (21) эквивалентна задаче (20).
Если теперь х,г = x(t7s) является апериодическим решением уравнения (1), то мультипликаторы и экспоненты Флоке Xf (t) определяются как мультипликаторы и экспоненты Флоке для линеаризованной на решении хє задачи
Поэтому справедлив следующий принцип линеаризованной устойчивости . если мультипликаторы Флоке линеаризованной задачи (23) по модулю мень-ше единицы, то ответвившееся w = / -периодическое решение устойчиво, если же имеется хотя бы одно из них по модулю большее единицы, то ответвившееся - -периодическое решение неустойчиво.,
Уравнение (1) автономно, допускает группу сдвигов по времени. Следовательно, как и говорилось выше, речь идет об орбитальной устойчивости. Если х является о/апериодическим решением нелинейного уравнения (1) и х= & ф 0, то дифференцирование (1) показывает, что w —й является решением (23), Следовательно 0 является экспонентой Флоке, а 1 мультипликатором Флоке для апериодического решения х. Поэтому далее предполагается, что только один мультипликатор Флоке для уравнения (19) равен единице-В соответствующем критерии леммы 3 для уравнения (20) к = 0 является 2 {п\ + ТЇ-2 + ... + Пу) = 2п-кратным собственным значением с собственными функциями в отсутствие группы симметрии /с = 0 является однократным собственным значением (при к = 0 (24) имеет нетривиальное решение)- Поэтому крите рием линеаризованной устойчивости являются знаки вещественных частей экспонент Флоке - собственных значений задачи (24) к = к-(е), ответвившихся от 2п-кратного собственного значения к = 0 задачи (19). Отметим, что число 2п — 2(ni + ,,. + Пу) является геометрической кратностью к = 0, его алгебраической кратностью является 2КА(В)7 где кд(В) = Y Prj г=іу і После выполнения подстановки А.Пуанкаре критерий линеаризованной устойчивости, выраженный в форме задачи на собственные значения (24) переписывается в виде задачи на собственные значения.
В работах [ПО, 122, 128] рассмотрена задача о ветвлении периодических решений уравнения (1) при бифуркации Андронова-Хопфа: на основе подстановки Пуанкаре методом А. Ляпунова-Э .Шмидта построены эквивалентные уравнения разветвления (YP), доказаны теоремы о наследовании ими групповой симметрии уравнения (1) и выписана асимптотика семейств разветвляющихся решений с симметрией квадратной решетки. В работах [237 37, 40] исследовано ветвление периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа для уравнения s-того порядка.
LINK4 Устойчивость периодических решений уравнения $-го порядка LINK4
Теперь рассмотрим схему исследования устойчивости стационарных разветвляющихся решений (2.1) в условиях групповой инвариантности. Пусть уравнение (2.1) допускает J-параметрическую группу симметрии Gy т.е.. существуют ее представления Ьд в Е\ и Кд в i% сплетающие оператори уравнения (2.1). Подпространства нулей N{AS) и N{B) инвариантны относительно Lgy а области их значений инвариантны относительно операторов Kg . Пусть ОЖЦ базисных элементов {р } подпространства N(B) относительно оператор-функции В — рА\ — ..; — fi lAt-i — р? А9 имеют единичные длины, и базисным элементам {фї} подпространства N{A9) отвечает, полный канонический ОЖН конечной длины относительно оператор-функции As+ЛЛ?-і+,,+A5 1 Ai — AsВ- Корневые подпространства оператор-функций В — Rv{x(z),) В — fiAi и A9 + \A9-i + .. + А "1Лі — Х9В инвариантны относительно операторов Ьд (смл.1.1).
Предположим?что оператор-функции B — Rx{x{e)te) отвечает полный канонический ОЖН расположенный по возрастанию длин ОЖЦ, т.е.
Тогда длина Рі{ф) обобщенной жордановой цепочки (однозначно определяемой условием рз }уь = От 3 1) Для произвольного элемента р Є N(B) определится номером первой ненулевой проекции элементов на линейную оболочку элементов ірі с одинаковой длиной ОЖЦ, При любом д (EG разложение элемента Lfffp по базису { pi)i начинается с номеров базиса этой линейной оболочки» Операторы Ьд индуцируют в координатном пространстве Е нижнюю блочно-треугольную матрицу Ад Если группа Л9 компактна, то матрицы Ар имеют блочно-диагональный вид.
Пусть для -параметрической непрерывной группы (0.4) rj — vl{0 u= 1 J — 1 — матрица (к-число строк, j-число столбцов) коорди нат инфинитезимальных операторов Ху = vtiOiP/ i) соответствующей алгебры Ли» Векторное тг-мерное координатное пространство Е при дейст вии группы Лд расслаивается на траектории. Пусть общий ранг матрицы ин т финитезимальных операторов Х v — 1, -,,, /, -параметрической группы Лд равен n — li L Тогда (см. Введение) системаXWI(() = О, j/ = 1,..., J, имеет її функционально независимых решений - инвариантов {/Д)}/=г Траектории общего положения имеют размерность п — її и определяются равенствами /,() — Cj} j = ly yti Соответствующие порождающие многообразия для траекторий группы Лд в Е трансверсальны к ним и могут быть выбра-ны в виде подпространств или нелинейных многообразий. Разветвляющиеся решения уравнения Вх = Н(х є) в условиях групповой симметрии не являются простыми (производная Фреше на решении не является обратимым оператором). Все малые решения представимы в виде /-параметрических семейств х = L{a)x\ где хг - общее малое решение в некотором порождающем подпространстве М полной минимальной системы АІ Эквивалентное, не: ч линейному уравнению Вх = Н{хуе) уравнение разветвления наследует его групповую симметрию. Поэтому, согласно определению линейного касательного многообразия [56] к семейству разветвляющихся решений #(а, е) в точке х${е)у для стационарного уравнения (2,1) находим размерность подпространства нулей производной Фреше В - Rx{x{e)y є) нелинейного оператора F{x{e)te) — Вх{е) - R(x(),e) равна числу его обо-щенных жордановых цепочек бесконечной длины. Для решения xt){e)j не зависящего от негрупповых параметров и отвечающего порождающему подпространству старшей размерности /i, dimN(B — Де(#( )»)) = п — /i, а среди обобщенных жордановых цепочек оператор-функции В — Нх{х{є)гє) существует п — її бесконечной длины.
Следовательно, в условиях групповой симметрии ответвляющееся семейство решений стационарного уравнения (2.1) следует определить как ор-битально устойчивое, если Л-спектр производной Фреше содержит (п — її)-кратный ноль, а другие его точки лежат в левой полуплоскости. В соответствующем аналоге теоремы 2,2 и её следствии мы будем иметь п — 1\ нулевых собственных значений матрицы Якоби J Знаки главных частей асимптотики остальных собственных значений будут определять устойчивость (неустойчивость) ответвившегося семейства решений.
Справедлив также аналог следствия 2.1: устойчивость разветвляющихся семейств решений определяется принципом линеаризованной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в правой части которой стоит соответствующее выражение УР.
В. Для бифуркации Андронова-Хопфа в условиях групповой симметрии уравнений (3.1) и (3,26) относительно -параметрических непрерывных групп в критериях линеаризованной устойчивости в виде задач на собственные значения (3-24) и (3-36) имеется (2п — і — 1) нулевых экспонент Флоке, где -наивысшая.размерность порождающих траекторий подпространств [1197 22]- Знаки вещественных частей остальных экспонент Флоке определяют орбитальную асимптотическую устойчивость (неустойчивость) разветвляющихся семейств периодических решений.
