Введение к работе
Актуальность работы. Нелинейная динамика играет исключительно важную роль в современном естествознании и является одной из бурно развивающихся областей науки, изучающей такие объекты и явления, как солитоны, бризеры, динамический хаос, различные виды самоорганизации материи и т. д. В настоящее время трудно указать те области естествознания, где не используются идеи и методы нелинейной динамики. Существенно, что задачи нелинейной динамики лишь в очень редких случаях имеют точные аналитические решения, в силу чего при их исследовании приходится прибегать к компьютерному эксперименту.
При изучении различных явлений природы решающее значение имеет построение адекватных математических моделей с последующим их исследованием с помощью точных и приближенных методов современной математики. С середины прошлого века началось бурное развитие вычислительной физики как некоторого самостоятельного направления, в основе которого лежит идея проведения компьютерных экспериментов при исследовании математических моделей естествознания. Особо следует подчеркнуть тот факт, что такие эксперименты позволяют не только количественно описывать изучаемые явления, но в ряде случаев приводят к открытию принципиально новых режимов поведения системы, т. е. могут играть ярко выраженную эвристическую роль.
Особую роль играют простейшие «классические» модели, которые включают в себя лишь основные свойства рассматриваемой системы, но при этом позволяют получать новые результаты, дающие толчок к дальнейшему развитию науки. Одной из таких моделей, сыгравшей существенную роль в становлении современной нелинейной науки, является предложенная Э. Ферми в 50-х годах прошлого века простейшая нелинейная модель [20], представляющая собой аналог одномерного кристалла, в которой учитывается взаимодействие только между соседними частицами. Эта модель, получившая название цепочки Ферми-Пасты-Улама (ФПУ), численно изучалась на первом мощном компьютере MANIAC-1 в Лос-Аламос-ской национальной лаборатории (США) и привела к открытию целого ряда важных особенностей поведения нелинейных систем и обнаружению новых динамических объектов. Упомянем в связи с этим открытие так называемых явлений «возврата» и «индукции», введение понятия о солитонах в работе Н. Забуски и М. Крускала, обнаружение ряда особенностей возникновения хаотической динамики, открытие полностью интегрируемой цепочки Тоды. Именно с этой модели фактически и началось развитие современной вычислительной физики и практики проведения компьютерных экспериментов. Интерес к цепочкам ФПУ не угас до настоящего времени: в последние годы появилось большое число работ, связанных как с исследованием процессов установления теплового равновесия в таких цепочках, их теплоемкости и теплопроводности, так и с обнаружением в них ряда новых динамических объектов (локализованные моды, хаотические бризеры, (/-бризеры и т. д.). Обзор последних достижений в области исследования модели ФПУ можно найти в специальном выпуске известного журнала Chaos [21], посвященного 50-летию со дня публикации работы Ферми, Пасты и Улама.
В последнее время получили развитие различные обобщения одномерной модели ФПУ на двумерные и трехмерные динамические системы с дискретной симметрией. В качестве одного из таких обобщений можно отметить двумерную модель Бутта-Ваттиса [22], которая находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [23]. В этой модели, в частности, исследуются дискретные бризеры (локализованные в пространстве и периодические во времени колебания).
Еще одним примером классических моделей нелинейной динамики является известная система Лоренца [24], в которой впервые было обнаружено явление динамического хаоса и которая, также как и модель ФПУ, оказала огромное влияние на последующее развитие науки. Эта динамическая модель используется, в частности, при исследовании конвекции в слое жидкости, работы одномодового лазера, и в некоторых задачах метеорологии.
Интерес к исследованию указанных моделей обусловлен тем, что все они, с одной стороны, являются достаточно простыми для проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, качественно описывают динамику многих реальных систем. Именно поэтому эти модели до сих пор остаются актуальными, о чем свидетельствует огромное количество появляющихся в последнее время публикаций, связанных с их исследованием.
Предметом исследования в настоящей диссертации являются различные нелинейные системы с дискретной симметрией, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому классу систем относятся все упомянутые выше модели.
Наличие дискретной симметрии у нелинейных динамических систем позволяет применять для их исследования специфические теоретико-групповые методы, которые начали интенсивно разрабатываться около 20 лет назад в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [25], где было введено фундаментальное понятие о бушах (кустах) нелинейных нормальных мод. Буши мод представляют собой точные динамические режимы в нелинейных системах с дискретной симметрией. В случае гамильтоновой системы энергия, локализованная в данном буше мод, не передается другим модам, и соответствующее возбуждение существует в системе бесконечно долго. В динамическом смысле буш мод представляет собой систему, размерность которой может быть существенно меньше размерности исходной динамической системы (например, часто встречаются одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные и т. д. буши мод). Одномерные буши мод являются не чем иным, как нелинейными нормальными модами (ННМ), введенными в 60-х годах прошлого века Р. М. Розенбергом [26].
В литературе были исследованы некоторые из возможных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /3-типов [27—29]. Однако систематического перечисления и исследования всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках проведено не было.
Как показывает вычислительный эксперимент, буши мод (и в том числе сим-метрийно-обусловленные ННМ) являются устойчивыми не при любых амплиту-
дах колебаний. При достижении некоторой критической амплитуды ННМ может потерять устойчивость в линейном приближении — при любом сколь угодно малом отклонении от точного инвариантного многообразия решение будет экспоненциально удалятся от него. Отметим, что исследованию устойчивости в нелинейных цепочках только одной из возможных ННМ — так называемой пи-моды — посвящено весьма большое число работ разных авторов [27]. В связи с вышесказанным весьма актуальным является вопрос о выделении всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках и определении областей их устойчивости.
Другим интересным и перспективным объектом исследования являются дискретные бризеры, обнаруженные в численных экспериментах в начале 90-х годов прошлого века. В настоящее время такие возбуждения обнаружены в самых разных физических объектах (массивах контактов Джозефсона, квазиодномерных кристаллах, оптических волноводах, фотонных кристаллах, Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках, цепочках микромеханических осцилляторов и др. [30]). Дискретные бризеры в основном исследовались в нелинейных одномерных цепочках, где уже сложилась определенная их классификация («четная» мода Сиверса-Такены [31] и «нечетная» мода Пейджа [32]), которая вытекает из симметрии соответствующего профиля колебаний. Однако, целенаправленного поиска дискретных бризеров различной симметрии в более сложных объектах (например, в плоских решетках) до сих пор не проводилось.
Большинство известных приложений теории бушей мод связано с гамильто-новыми системами, в то время как широкий класс нелинейных систем с дискретной симметрией включает также и диссипативные системы. Одной из особенностей таких систем является возможность существования в них хаотического поведения, в частности, наличия странных аттракторов. Примером являются классические системы Лоренца и Ресслера, обладающими точечными группами симметрии С*2 и С\ соответственно. При этом возникает естественный вопрос о возможности существования систем, принадлежащих к тому же классу (трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями), но обладающих более высокой симметрией, а также о применении к ним идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией.
Цели работы. С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:
Вывести все возможные симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (ННМ) в одномерных нелинейных цепочках и исследовать их устойчивость по отношению к величинам амплитуд колебаний в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и /3-типов.
Провести поиск дискретных бризеров разной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследовать устойчивость этих динамических объектов.
Найти все трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями и выделить те из них, которые допускают хаотическое поведение при
определенных значениях своих параметров.
Научная новизна. В настоящей диссертационной работе впервые были получены следующие научные результаты:
Установлено, что в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периодическими граничными условиями в случае потенциала межчастичного взаимодействия общего вида может существовать только 3 симметрийно-обусловлен-ные ННМ, а в случае четного потенциала имеется 6 таких мод.
Предложен метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как границы устойчивости ННМ в цепочках из произвольного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.
Проведен анализ устойчивости всех возможных симметрийно-обусловлен-ных ННМ в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и /3-типов и построены соответствующие диаграммы устойчивости.
Предложена классификация дискретных бризеров в кристаллических решетках по точечным подгруппам групп симметрии этих решеток.
С помощью компьютерного моделирования рассчитаны различные по симметрии дискретные бризеры в квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.
Исследован класс трехмерных динамических систем, описываемых автономными дифференциальными уравнениями первого порядка с квадратичными нелинейностями, которые являются инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных классов таких систем могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Этим системам отвечают точечные группы Сі, С, Сг, Сз, *2 и S\.
Для всех указанных в предыдущем пункте классов систем возможность хаотического поведения была подтверждена численным моделированием.
Научная и практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные методы представляют собой вклад в исследование ряда фундаментальных проблем нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Они могут быть использованы различными коллективами ученых, проводящих исследования в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные автором результаты уже имеются ссылки из работ таких известных специалистов, как Н. Забуски, Р. Гилмор, А. Лихтенберг, С. Руффо, С. Флахидр.
Предложенный в главе 1 метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама, Френ-келя-Конторовой, разнообразных диатомных цепочках и др.). Предложенная в главе 2 классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе эксперименталь-
ных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах. Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипа-тивные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией 1 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.
Методы исследования и достоверность научных результатов. В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными.
Апробация работы. Полученные автором научные результаты обсуждались на международных конференциях: «Dynamical chaos in classical and quantum systems» (Новосибирск, 2003), «Nonlinear dynamics» (Харьков, Украина, 2004), «Chaos 2004» (Саратов, 2004), «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2006), «Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport» (Дрезден, Германия, 2006), «Chaos 2007» (Саратов, 2007), «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008), «Multi-ferroics-2» (Ростов-на-Дону — Лоо, 2009) и ряде всероссийских научных конференций. В 2009 г. по теме диссертации автором были проведены два семинара в Институте Макса Планка Физики сложных систем (Дрезден, Германия).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах. Из них 2 статьи опубликованы в известных международных журналах, специализирующихся на публикации статей по нелинейной динамике, именно, в «Physical Review Е» и «Physica D», а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика». Указанные журналы входят в список изданий, рекомендованных ВАК. В соавторстве с Г. М. Чечиным и В. П. Сахненко автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» (103 стр.) в коллективной монографии «Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Science Publishers, 2007), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, 2008).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 164 страницы, в том числе 38 рисунков и 9 таблиц. Список литературы включает 143 наименования.
