Содержание к диссертации
Введение
1 Квази локальная Кварковая Модель в поли критическом режиме 17
2. Формулировка Квазилокальной Кварковой Модели 17
2.2 Динамическое нарушение киральной симметрии в окрестности трикритичсской точки 20
2.2.1 Вторая вариация и спектр коллективных возбуждений 23
2.2.2 Ограничения на мезонные параметры из правил сумм ВКС 27
2.3 Векторные и аксиалыю-вскторные мезоны в ККМ 32
2.3.1 Введение VA-полей 32
2.3.2 Спектр масс для VA-мезоыов 35
2.3.3 Р-А смешивание 37
2.3.4 ВКС ограничения в VA-случас 38
2.3.5 Сравнение VA и SP каналов 43
2.4 //(3)-обобщение ККМ с ненулевой токовой массой кварка 45
2.4.1 Построение //(3)-обобщения ККМ 45
2.4.2 Массовые соотношения 48
2.5 Сравнение с экспериментом 50
2.6 Выводы 53
3 Электромагнитное расщепление масс тг-мезопов 55
3.2 Учет вклада высших VA-резонансов в электромагнитное расщепление масс 7г-мезонов 56
3.3 Выводы 60
4 Кварк-адронная дуальность для мезони ых резоналсов 63
4.1 Ток-токовые корреляторы и правила сумм КХД 63
4.2 Векторные и аксиально-векторные резонансы 64
4.2.1 Скалярные и псевдоскалярные резонансы 71
4.2.2 Детали фитов и результаты 73
4.2.3 Фиты и сравнение с экспериментом 76
4.3 Кварковый конденсат и отклонения от струноподобного поведения мезонных спектров 78
4.3.1 Формулировка гипотезы 78
4.3.2 Линейный спектр масс 78
4.3.3 Нелинейный спектр масс 81
4.4 Выводы 83
Заключение 86
- Динамическое нарушение киральной симметрии в окрестности трикритичсской точки
- Сравнение VA и SP каналов
- Векторные и аксиально-векторные резонансы
- Нелинейный спектр масс
Введение к работе
Одной из основных задач физики элементарных частиц в области низких и промежуточных энергий является описание свойств легких адронов, взаимодействующих, главным образом, посредством сильных взаимодействий. В настоящее время признанной теорией сильных взаимодействий является Квантовая Хромоди-иамика (КХД). Однако, в данной области константа сильного взаимодействия велика и КХД оказывается в режиме сильной связи, где исходные переменные — токовые кварки и глюоны — не соответствуют физике адронизации. Последняя, в свою очередь, в значительной степени определяется динамическим нарушением киральной симметрии (ДНКС) в КХД, предположительно происходящим при энергиях около 1 ГэВ. В данном режиме стандартная теория возмущений не применима, а универсальных непер-турбативных методов до сих пор не разработано. Весьма многообещающим выглядит развитие решеточных вычислений, однако их применение пока сильно ограничено.
Такая ситуация привела к бурному развитию различных модельных подходов, в рамках которых вычисление физических характеристик адронов намного проще. Многие из предложенных моделей являются эффективными теориями поля. Эти теории описывают различные аспекты низко-энергетической физики, где понятие "низкий" определено по отношению к некоторому масштабу энергии Л. В них учитываются только низко-энергетические степени свободы, т.е. состояния с массой т<Л, в то время как по остальным степеням свободы с т ^> Л произведено усреднение. По предположению, результатом этого усреднения являются константы связи получившегося низко-энергетического эффективного лагранжиана. С точки зрения фундаментальной теории сильных взаимодействий, эти модели являются низко-энергетическим приближением типа эффективного действия Каданова-Вильсона [1]. Как следствие, ожидается появление бесконечного числа эффективных взаимодействий. Однако на практике из них удерживают только конечное число, а остальные считаются подавленными степенями 1/Л, т.е. несущественными при описании низко-энергетических взаимодействий.
Простейшая эффективная модель строит динамику сильных взаимодействий без глюонов — на основе локального чстырех-фермионного самодействия кварков (по аналогии со сверхпроводимостью). Эта модель — модель Намбу-Йона-Лазинио (НИЛ) [2] — изначально была введена для описания пиона как связанного состояния нуклона и антинуклона. Позже, после формулировки КХД, она была переопределена для кварков [3]. Начиная с этого времени, различные обобщения данной модели нашли свое применение ко многим физическим задачам [4-16], подробный обзор которых представлен в работах [17-19]. Главным достоинством модели НЙЛ является то, что она сравнительно просто описывает одно из самых важных явлений в низко-энергетической динамике КХД — явление ДНКС. А именно, в рамках модели НЙЛ ДНКС происходит из-за сильного притяжения в скалярном канале. В результате кварки приобретают динамическую массу Mdyn, а также появляется изоспиновый мультиплет пионов, которые безмассо-вы в киральном пределе, и массивный скалярный мезон с массой тег = 2Mdyn. Более того, хорошо известные из алгебры токов результаты, такие как соотношения Голдбергера-Треймана и Гелл-Манна-Окса-Реннера, могут быть непосредственно выведены, т.к. они являются следствиями симметрии модели НЙЛ.
По предположению, глюонные степени свободы в модели НЙЛ "заморожены" в эффективном точечном взаимодействии между легкими кварками. Существуют различные идеи, объясняющие доминантность локального 4-х фермиошюго взаимодействия в низко-энергетическом, длинно-волновом пределе КХД [8,17-19] (см. также [20,21]), Схематично, к модели НЙЛ можно интуитивно придти следующим образом. Пусть мы формально проинтегрировали по глюонам в порождающем функционале КХД в киральном пределе (в Евклидовом пространстве):
Zqcd = / VqDqVGf, ехр і - І Cqcd^
і VqDq ехр І - І &д*х J .
Далее, естественно предположить, что такое интегрирование не нарушает лоренц-инвариантности, т.е. eff — C^{qq) является
функционалом билинейных комбинаций кварковых полей qq. Кинетический кварковый член остается без изменения. Таким образом, можно символически себе представить, что:
Если допустить в некотором обобщенном смысле аналитичность функции f(qq), то можно написать разложение;
Шч) = Со + Cm + C2(q J2 ГіЯ)ІЯ Y1Г^) + "
' где Г; являются операторами с различными лоренцевыми, спинор-ными и флейворными индексами. Константа Со несущественна и может быть отброшена. Логично предположить, что интегрирование по глюоиам явно не нарушает киралыюй симметрии, т.е. Ci = 0. Удержав, тем самым, в суммах только единичный оператор, мы воспроизводим простейшую модель НИ Л. Также могут быть формально получены и различные обобщения этой модели. Например, для объяснения Ї7д(1) аномалии надо удержать б-ти фермионные вершины в разложении [22].
Из-за 4-х фермионного точечного характера взаимодействия, модель НЙЛ является неперенормируемой. Чтобы полностью определить эту модель как эффективную теорию поля, нужно предписать определенную регуляризационную схему для работы с возникающими несобственными интегралами. В принципе, перенормируемость не является проблемой в эффективных теориях поля: при включении новых вершин всегда можно выполнить перенормировку порядок за порядком. Более того, как показано в [4], стандартная модель НЙЛ эквивалентна перенормируемой линейной сг-модели. Другая особенность модели НЙЛ — отсутствие кон-файнмеита, что однако также не является большой проблемой, т.к. взаимодействия адронов во многих случаях не зависят от деталей конфайнмента.
Следует заметить, что моделирование эффективных кварковых взаимодействий посредством только локальных 4-х ферм ионных вершин является грубой аппроксимацией. В полном эффективном фермиоппом действии КХД ожидается бесконечное число вершин любой размерности (вообще говоря, нелокальных). Концепция низко-энергетического эффективного действия допускает
адиабатическое (квазилокальное) разложение по степеням 1/Л,
включающим производные по фермионным полям. По предпо
ложению, эти вершины описывают более сложные микроскопи
ческие взаимодействия. Каноническая размерность соответству
ющих констант связи является главным аргументом в пользу ло
кального приближения: вершины высшей размерности имеют до
полнительные обратные степени масштаба Л, который, как пред-
i полагается, существенно больше типичных импульсов. Таким об-
разом, соответствующие вершины считаются несущественными (более строгий ренормгрупповой анализ подтверждает эту классификацию). Тем не менее, как было обнаружено в [23] (см. также [24]), ситуация кардинально меняется в режиме сильной связи, где возникает явление поликритического ДНКС, которое приводит к образованию нескольких бозон ных состояний с одинаковыми квантовыми числами. Таким образом, включение квазилокальных 4-х фермионных вершин приводит к качественно другой модели.
Попытки включения вершин с производными в модели НЙЛ
* предпринимались различными авторами [25,26], но без существен-
ных результатов. Ситуация, когда новые операторы обеспечивают формирование дополнительных состояний при достаточно больших константах связи, впервые рассмотрена в [23]. Позже данный анализ был обобщен на векторный и аксиально-векторный каналы [27-33]. Альтернативный подход к обобщению модели НЙЛ рассмотрен в [34-37]. По аналогии с нерелятивистскими потенциальными моделями, дополнительные состояния с теми же квантовыми числами, но разными массами обычно называют радиальными возбуждениями основного состояния. Серии таких состояний хорошо известны из эксперимента [38], в частности, 0~+(тг, 7г', тт",...), 1 (р, рг, р",...), а недавний анализ протон-антипротонной аннигиляции на лету привел к открытию нескольких десятков новых радиальных возбуждений мезонов в области 1900-2400 МэВ [39], систематизация которых представлена в [40,41]. Благодаря кон-фай нменту, ожидается бесконечное число возбужденных состояний с возрастающими массами. Таким образом, квазилокальная модель НИЛ, включающая как вершины с локальными взаимодействиями, так и вершины с производными от кварковых полей,
позволяет описывать не только основные состояния мезонов, но также и их радиальные возбуждения. В диссертации эта модель называется К вази локальной Кварковой Моделью (ККМ). Отметим, что ККМ можно использовать для описания составных частиц Хиггса в расширениях Стандартной Модели [42].
Для того, чтобы воспроизвести основные особенности КХД как
в пертурбативной, так и в непертурбативной области энергий мы
v используем для ККМ так называемые условия восстановления
киральной симметрии, суть которых в следующем. При проме
жуточных энергиях корреляторы ККМ можно сопоставить [43] с
операторным разложением (ОРЕ от Operator Product Expansion)
соответствующих корреляторов в КХД [44] (подобные попытки
были предприняты в [16]). С точки зрения КХД, любой адрон яв
ляется полюсом двух-точечного коррелятора кварков ых токов с
квантовыми числами этого адрона. Ключевой момент сопостав
ления ("сшивки") заключается в отождествление полюсов двух
точечных корреляторов КХД с соответствующими мезонными со
стояниями ККМ. Процедура проводится в приближении больших
t Nc [45], которое эквивалентно планарному пределу в КХД [46]. В
этом приближении корреляторы синглетных по цвету кварковых токов насыщаются узкими мезонными резонансами. В частности, двухточечные корреляторы скалярного (S), псевдоскалярного (Р), векторного (V) и аксиально-вектор ного (А) кварковых токов могут быть представлены в виде суммы мезонных полюсов в Евклидовом пространстве:
nJ(p2) = / d^xexp{ipx){qrq(x)qrq(Q))piaim =
Т 2 z"2 +>ь7 + АУ, (1)
J = St Р, V, А; Г = і, 75, Ъ, 1рЛь\ Ah D\ - const.
Последние два члена представляют пертурбативный вклад, где Dq и Dip2 являются контактными членами, требуемыми для регуляризации бесконечных сумм. С другой стороны, высокоэнергетическая асимптотика этих корреляторов контролируется теорией возмущений и ОРЕ [44] благодаря асимптотической сво-
бодс КХД. Она оказывается следующей:
П V) |у-»= ПІРТ.Ь2) + П^еперт.(р2) * р2h + О {1/р2) . (2)
А*
Сравнивая выражения (1) и (2), можно заключить, что для воспроизведения пертурбативной асимптотики должно существовать бесконечное число резонансов с одинаковыми квантовыми числами.
Разность корреляторов для токов противоположной четности быстро убывает при больших евклидовых импульсах [43,47]:
(П V) - ПV)),^ = ^F, Л*Р ^ 24іг«.<й>а, (3)
и [44,48,49]:
(ГГ>2) - П V))^*, = ^, AVA ~ -1б5<^>2, (4) где в V,A каналах по определению:
nV) = (-
и использована гипотеза вакуумной доминантности [44] в пределе больших JVC.
Отсюда следует, что киральная симметрия восстанавливается при больших энергиях, а две вышеприведенные разности представляют параметр порядка нарушения киралыгой симметрии в КХД. Так как они быстро убывают при больших импульсах, можно аппроксимировать их КХД асимптотики посредством нескольких низколежащих рсзонансов, что дает ряд связей на спектральные параметры моделей. Такая процедура используется как для получения дополнительных условий на модельные параметры, так и для вычисления некоторых констант распада [16,27,29-33,48,50,51].
Двухточечные корреляторы VA кварковых токов связаны также еще с одной важной величиной — электромагнитной разностью масс 7Г-МЄ30Н0Б, Атп\ет [52]. Экспериментальные данные коллабораций ALEPH [53] и OPAL [54] по адрониым т-распадам (т — (VA)vT, г —> 7гі/г) указывают на необходимость более полного учета всех адронных степеней свободы в VA-корреляторах
с целью проверки как пертурбативных, так и непертурбативных параметров КХД. Так, в частности, в работе [55] проведен анализ экспериментальных данных ALEPH [53] по измерению поведения разности корреляторов Пу — ІГ4 из распада г —у (V, A)vr, Оказывается, что она практически исчезает уже при промежуточных энергиях < 3 ГэВ. В эксперименте виден небольшой вклад в первых радиальных возбуждений векторных мезонов, а вклад следующих возбуждений уже пренебрежимо мал.
Из работ [52,56] следует, что главный вклад в электромагнитное расщепление масс Am^lem 7г-мезонов имеет, в основном, электромагнитную природу. При этом были предложены различные теоретические подходы к вычислению данной величины [56-66]. Вопрос о вкладе радиальных возбуждений VA-мезонов в Am„-|em был впервые поднят в [29,67] и рассмотрен в диссертации.
Указанную выше идею о возможности вычисления параметров спектра из двухточечных корреляторов можно распространить на случай бесконечного числа узких резонапсов, которое ожидается в силу приближения больших Nc. Экспериментальной основой для таких вычислений является следующий факт в феноменологии адропов: массы мезонов с фиксированными квантовыми числами расположены в плоскости (т2,п) (п - номер радиального возбуждения) на траекториях, близких к линейным (см., например, современные обзоры [40,41]). Это, в частности, означает, что КХД является струноподобной теорией в смысле поведения спектра масс. В [68] было отмечено, что если принять линейное поведение спектра масс, то в случае бесконечного числа резонансов можно воспроизвести логарифм партонной модели для двухточечного векторного коррелятора, что находится в полном соответствии с моделью Венециано [69]. Данное наблюдение может означать, что обмен бесконечным числом векторных мезонов в некотором смысле дуален пертурбативному континууму КХД, построенному из кварков и глюонов. Подобная кварк-адронная дуальность была точно проверена в двухмерной КХД в пределе большого числа цветов [45, 70]. В настоящее время под этим понятием специалисты подразумевают несколько утверждений, эквивалентность которых, вообще говоря, не доказана. Наиболее известное из них состоит в том, что теорию возмущений можно применять для
вычисления усредненных с некоторым весом адронных сечений рассеяния (так называемая глобальная дуальность) [71]. Мы под кварк-адронной дуальностью имеем ввиду возможность использования (и дальнейшего развития) дуальных моделей, А именно, с точки зрения ОРЕ, логарифм партонной модели является оператором нулевой размерности. Возникает вопрос: способны ли дуальные модели воспроизводить операторы ненулевой размерности, появляющиеся в ОРЕ? Оказывается, ответ па этот вопрос положительный, что является одним из результатов данного диссертационного исследования.
Позже, модель с бесконечным числом векторных мезонов начали активно использовать [72-80]. В контексте правил сумм с конечной энергией рассматривались также псевдоскалярный [81] и скалярный [82] каналы. Однако из модели бозонной струны следует, что наклон траекторий должен быть одинаков во всех VASP случаях, так как он пропорционален натяжению струны, которое, в свою очередь, зависит только от глюодинамики (свойство универсальности). Таким образом, возникает задача одновременного анализа VASP каналов с универсальным наклоном. Кроме того, важным является вопрос о построении модели, описывающей отклонения от линейности, которые видны в эксперименте [40,41]. Эти вопросы, в частности, также затронуты в диссертации [83,84].
Основными целями данного диссертационного исследования
являются;
Обобщение Квазилокальной Кварковой Модели на случай векторных и аксиально-векторных каналов. Исследование Р-А смешивания.
Разработка ограничений на параметры векторной ККМ, используя правила сумм восстановления киральной симметрии.
Построение 11/(3) ККМ для VASP каналов с учетом ненулевой токовой массы кварка.
Оценка вклада радиальных возбуждений VA-мсзонов в электромагнитную разность масс пионов Атж и константу L\q эффективного кирального лагранжиана.
5. Вывод и применение условий согласования VASP спектров масс в пределе большого числа цветов с аналитической структурой операторного разложения для соответствующих двухточечных корреляторов.
С. Построение моделей для описания отклонений от линейных траекторий.
Материал изложен в диссертации следующим образом:
Динамическое нарушение киральной симметрии в окрестности трикритичсской точки
Минимальная модель с трикритической точкой получается из (8) если положить г, j = 1,2 в уравнениях (8)-(18). Мы ограничимся взаимодействием с минимальным количеством производных. Выберем вершинные функции в форме: Соответствующий анализ для другого, менее удобного выбора формфакторов был проделан в работе [24], однако окончательные результаты исследования не зависят от выбора форм-факторов. Динамическая массовая функция (14) имеет тогда вид M(s) = (2 — 3s) 7i — U2\f%s. Так как коллективные переменные &І являются комплексными функциями, динамическая масса M(s) — a-ifi(s) также комплексная величина. Однако, посредством глобального кирального поворота M(s) — М(в)еш, из — const можно обеспечить выполнение условия Im(M(0)) = 0. Мы используем следующую параметризацию решений уравнений стационарности: Линейно-независимые уравнения стационарности имеют вид: Критические значения копстапт связи соответствуют сокращению вкладов, квадратичных по параметру обрезания импульса Л, т.е., Щз $ij (CM. (17)). Уравнение (21) позволяет найти соотношения между компонентами динамической массовой функции и перенормированными константами связи Д&. На практике, в качестве входных параметров используют вакуумные ожидания скалярных полей, в частности 2и\ = М уп = 250 -т- 400 МэВ, а затем определяют требуемые Д&. Но для того, чтобы классифицировать решения, мы будем придерживаться здесь обратной процедуры, т.е. будем считать параметры Д& входными. Если предположить СКЄЙЛИІІГ Ды — 0(\па г), Ok = О само-согласованности уравнений (21) является а — 26 + 1. Наши бозонные поля на физическом решении не должны зависеть от обрезания, а — 0(1), таким образом Ац = C(ln j). В критической точке существуют тривиальные решения, когда о\ — 0, 02 = 0, которые доставляют истинный минимум потенциала. Более того, из системы уравнений (21) можно видеть, что существует решение т\ — \/3 Т2 = 0, MQ i=w Л2ехр(—8/3), в окрестности которого потенциал имеет седловую точку и его значение положительно. Тем самым в окрестности трикритической точки, когда Д С Л2, реализуются условия, характерные для фазового перехода второго рода, а именно, в надкритической области возникают ненулевые решения { jj) «С Л, которые доставляют минимум эффективного потенциала. Анализ уравнений (21) в окрестности трикритической точки, когда \A{j\ р? ; Л2, в приближении больших логарифмов (In - 1J приводит к различным классам решений в зависимости от направлений, по которым происходит отклонение от критической точки, и значений параметра р.
Ниже мы приводим решения для случая р = 0 и р ф 0. Вещественные решения (р = 0) принадлежат следующим классам (везде Л/Q = 4сг2): А. Решения типа Гросса-Неве afN: Эти решения доставляют минимум эффективного потенциала, если Д22 0 и одно из собственных значений матрицы Д находится в надкритической, а другое в подкритических областях det Д 0. Б. Аномальные решения afn, соответствующие различным скейлингам полей с , сг2, имеют вид: и отвечают минимуму потенциала в области Д22 0, Д22 —3\/ЗДі2 ф 0 (оба собственных значения матрицы Д положительны либо одно из них положительно, а другое отрицательно). В. Асимптотические решения (23) очевидно несправедливы, когда Д22 = 0 и Д22—3v3Ai2 — 0. По этим направлениям возникают так называемые переходные crjnt и сингулярные а\ решения, которые в пределе больших логарифмов имеют иные асимптотики. Они проанализированы в [24]. Комплексные решения уравнений (21) с р ф 0, of, существуют в окрестности гиперплоскости Д22 — 3\/ЗДі2 = 0 и даются асимптотиками: В каждой из перечисленных областей возникают четыре коллективных состояния (два скалярных и два псевдоскалярных) для вещественных решений и одно псевдоскалярное и три состояния, вообще говоря, со смешанной Р-четностью для комплексного решения. Их спектр анализируется в следующем разделе. Спектр возбуждений определяется матрицей второй вариации эффективного действия. Разобьем эту матрицу на постоянную часть (не зависящую от импульса р) В и кинетическую часть Ар2, которая в главном логарифмическом приближении оказывается квадратичной по импульсу: о где 7{(х) = ( Tj) -\ Хі(х) -\-іщ{х)- ОТМСТИМ, ЧТО для вывода матрицы В необязательно знать точное выражение для эффективного потенциала. На практике проще найти эту матрицу путем вычисления постоянной части второй вариации эффективного действия. Это будет подробно продемонстрировано для VA-случая. Используя уравнение стационарности 18), можно убедиться, что матрица В всегда имеет нулевое собственное значение (нуль-моду) с собственным вектором о№ = {TTJ) — i{Xj)- Это соответствует появлению голдстоуновской моды (безмассового 7г-мезона). Для двухканалыюй модели предыдущего раздела эта матрица принимает следующий вид: Спектр коллективных возбуждений определяется из уравнения: которое представляет собой условие одновременной диагонализа-ции матриц А и В. Условие минимума (положительность второй вариации) при евклидовых импульсах (р2 0) приводит к тому, что решения существуют в области р2 0, т.е. для физических значений масс частиц. Значения элементов матрицы В на решениях предыдущего раздела вынесены в приложение А, ниже приводится спектр масс для различных областей в окрестности трикритической точки. 1. Вещественный случай р = 0. A. Спектр масс типа НИ Л: здесь и далее приближенное равенство означает равенство с точностью до степеней обратных логарифмов. В этой области радиальные возбуждения "логарифмически тяжелее" легкого скалярного мезона: Отметим, что здесь имеют место более точные соотношения [51]: где параметр а22 дается уравнением (233), B. Спектр на аномальных решениях: В этом случае оба радиальных возбуждения оказываются "логарифмически тяжелее" легкого скалярного мезона, но с различными показателями степени логарифма; Сравнивая (37) и (41), мы убеждаемся, что корреляционная длина в скалярном канале, ( яа І/nv) разная в фазе Гросса-Неве и аномальной фазе, что соответствует режиму трикритической точки, в которой пересекаются три фазы (вместе с фазой ненарушенной симметрии).
Можно показать, что в этих фазах массы легких скалярных мезонов (в единицах динамической массы) не зависят от выбора вершинных функций /;, и тем самым эти значения являются универсальными. 2. Спектр масс с р ф 0. Из решений (24), (25) видно, что в приближении больших логарифмов доминирует мнимая часть массовой функции, то есть аксиальная динамическая масса. Это приводит к тому, что голдсто-уновский безмассовый бозон появляется в скалярном канале. Для того чтобы вернуться к традиционной интерпретации безмассового возбуждения как 7г-мезона, необходимо осуществить глобальный киральный поворот фермионных полей q —ї exp(iy ir/4)q, что соответствует замене бозонных переменных а2 — iej, т.е.: Сама классификация состояний по четности оказывается справедливой лишь в приближении больших логарифмов, когда: (см. (27)-(29)) и можно пренебречь смешиванием между скалярными и псевдоскалярными состояниями. С другой стороны, в моделях с конечным обрезанием Л (например, в расширениях Стандартной Модели), когда эффекты порядка 1/ In 2 оказываются наблюдаемыми, для данной классификации констант связи возникает явление динамического нарушения Р-четности в теории с Р-четным лагранжианом. Тогда массы псевдоскалярных и скалярных возбуждений оказываются следующими: не зависит от логарифма, и они являются сравнимыми. В данном разделе мы наложим ограничения на модельные параметры, используя восстановление киральной симметрии (ВКС) в КХД при высоких энергиях [51]. Как было упомянуто во введении к диссертации (уравнение (1)), мы будем рассматривать разность псевдоскалярного и скалярного двухточечных корреляторов син-глетных по цвету кварковых токов в Евклидовом пространстве, которые в пределе больших Nc насыщаются узкими мезониыми резонансами: Следующие из (3), (47) правила сумм ВКС для двухканальной модели (8) выглядят следующим образом: Первое соотношение может быть выполнено только в (однокаиаль-ной) модели НИЛ, что соответствует однорезонансному анзацу, Zgif? = 0, в то время как второе равенство может быть справедливым только в двухрезонаїїсіюй модели, где Asp определено в(3). Соответствующие корреляторы и значения вычетов Z\ можно найти путем вариации внешних источников 5jt, Pfc, которые связаны со скалярными и псевдоскалярными кварковыми плотностями.
Сравнение VA и SP каналов
Обсудим влияние Р-А смешивания на ограничения в SP канале. Применяя матричный метод к SP-случаю и учитывая переопределение (87), можно увидеть, что из-за скейлинга (69) первое правило сумм выполняется теперь не точно, а только до членов порядка G(MQ/A2). Второе SP правило сумм принимает вид: Благодаря (69) и (84), второй член в левой части (110) порядка 0{MQA2 hi s), тогда как первый член порядка С(Л4), т.е. это правило сумм также не меняется в разложении по большим Л. Вычеты Za, Za не изменятся при учете Р-А смешивания, также как и соотношения (55). Однако вычет Z% должен быть дом ножен на mljm2. Из-за перенормировки (88), соотношение: остается справедливым, но это не так для соотношения (54). Вместо него будем иметь: В отличие от SP канала, вычеты в VA-полюсах одного порядка величины: Соотношения (58), (104) являются ограничениями на параметры ККМ. Полагая в качестве входных параметров Л = 1000 МэВ АГСЛ2 можно фиксировать вакуумные ожидания скалярных полей: Из ККМ соотношения: и уравнений (58), (104), получаем оценки на расщепление масс: которые доказывают быстрое восстановление киралыюй симметрии. Отмстим, что из уравнений (58), (104), (111) можно вывести две независимые оценки величины: которые не зависят от модельных параметров. Расхождение составляет 15%, т.е. находится в пределах точности приближения больших Nc. Это показывает, что аппроксимация бесконечного спектра в двухточечных корреляторах посредством двух первых резонансов является хорошим приближением. Сделанные фиты можно использовать для оценки точности приближения больших логарифмов. А именно, первая поправка в разложении по 1/ ІП-JW к массе легкого скалярного мезона (по-следнее соотношение в (37)) имеет вид [28]: В приближении постоянной динамической массы, 72 = — л/Зеті, данная поправка равна нулю, т.е. воспроизводится соотношение одноканальной модели НЙЛ. При упомянутых фитах вклад этой поправки отрицателен и имеет величину 6%, т.е. порядка приближения больших Nc. Это наблюдение указывает па то, что, во-первых, приближение больших логарифмов самосогласованно, во-вторых, учет поправок к главному вкладу является превышением точности.
В предыдущих разделах ККМ рассматривалась в киралыюм пределе для случая одного аромата. 5//(2)-обобщсиие этой модели довольно тривиально: нужно вставить в вершины взаимодействия матрицы Паули, а при бозонизации вспомогательные по- ля считать триплетами [ЗО, 31]. Спектр масс при этом не изменится. Более содержательной задачей является построение //(3)-обобщения ККМ во всех SPVA каналах с учетом ненулевой токовой массы кварка [28,33], чему и посвящен данный раздел диссертации. В Евклидовом пространстве лагранжиан для двухканальной //(3) ККМ имеет вид: aj и 6 являются здесь симметричными матрицами констант связи в SP и VA случаях соответственно. Символ Г означает (a = 0,...,8): Далее мы предполагаем точную изоспиновую симметрию ти = та- Символ й будет везде стоять для и, d, й, d кварков. Символом ё обозначим s или s кварки. Формфактори выберем в прежнем виде (19). Введем вспомогательные SPVA поля, следуя стандартной процедуре: для VA случая. Рассмотрим сначала SP случай. Для сокращения квадратичных расходимостей, примем следующую параметризацию констант связи; Для выполнения соотношения Гелл-Манна-Оку бо, параметры А%{ должны удовлетворять соотношениям: переписать в эквивалентной форме: Здесь / есть единичная матрица. Те же условия справедливы и для VA случая с заменой: Удобно сделать следующий сдвиг скалярных полей: После интегрирования по кварковым полям, приходим к эффективному действию. Варьируя это действие по скалярным переменным, получим соответствующее уравнение стационарности, которое дает минимум эффективному потенциалу V : где введена динамическая массовая функция: В дальнейшем будем подразумевать г = 0,8. Числа rik в уравнении (129) зависят от выбора формфакторов. При нашем выборе (19) имеем: Удерживая в эффективном действии квадратичную по полям часть, приходим к выражению: где, как и ранее, введены кинетическая матрица А и матрица постоянных частей (В). Спектр масс определяется решениями сскулярного уравнения (36). Требование самосогласованности спектра накладывает следующий скейлинг параметров: где MQ — Мг(0). В последующем будем опускать индекс г. Вид спектра масс, выраженный через модельные параметры, формально совпадает с ранее исследованными случаями. Ниже будут выписаны соотношения между массами, которые не зависят от модельных параметров в приближении больших логарифмов. Дадим сначала некоторые комментарии. Мы не пишем названия конкретных физических частиц в индексах для S и А каналов, т.к. их выбор не является однозначным. Глюонная аномалия в модель не была включена, таким образом, т/-мезон не рассматривается. Однако, мы не видим каких-либо физических причин для появления С/д(1) проблемы для возбужденных состояний. Ниже штрих будет обозначать радиальное возбуждение, а символ {т))г — радиальное возбуждение 7-мсзона. Прежде всего, в Uf{3) модели выполняется соотношение Гелл-Мапиа-Окубо, а синглетное состояние не имеет примеси s-кварка: Все остальные соотношения, представленные ниже, выведены в рамках SPVA, //(3) ККМ. Для основных состояний SP-мезонов имеем: Здесь и ниже M.Q = MQ m =О- Отметим, что (137) отличается от соотношения Намбу, т.к. мы явно выделили вклад токовой массы кварка в MQ. В VA секторе соотношения между массами основных состояний выглядят следующим образом (знак " " означает приближение больших логарифмов): Для возбужденных VA состояний имеем: Таким образом, имеется довольно много предсказаний на соотношения между массами SPVA мезонов.
Возникает вопрос о степени соответствия этих предсказаний экспериментальным данным, чему и посвящен следующий раздел диссертационной работы. Как было показано в данной главе диссертации, в рамках ККМ можно получить богатый набор соотношений между массами SPVA мезонов. Количество этих соотношений увеличивается после сшивки модели с правилами сумм В КС. Фиксируя массы некоторых мезонов, полученные формулы позволяют предсказать весь остальной спектр основных состояний и их первых радиальных возбуждений. Результаты данной процедуры сведены в таблицу в конце этого раздела. Дадим некоторые комментарии к SPA случаям. Р-мезоны. Как было отмечено выше, /-мезон не был включен в модель. Однако, мы ожидаем восстановление Uj(3) симметрии для возбужденных состояний. Одним из аргументов является появление синглетного состояния с почти такой же массой, как у триплетных частиц, что согласуется с (135). S-мезоны. Мезон Kg (1430), по-видимому, не является основным состоянием из-за слишком большой массы. В качестве возможного кандидата на роль основного sw-состояния мы принимаем KQ (960)-мезон [93], который пока не включен в стандартный список элементарных частиц [38]. Довольно большое расхождение с наблюдаемой массой ао(980)-мезона, возможно, является артефактом приближения больших Nc: следующий порядок по этому разложению снимает вырождение между массами синглета и триплета, приводя к аномально большому увеличению триплстной массы [94]. А-мезоны. Наши фиты указывают, что возможным кандидатом на роль основного ««-состояния является скорее К\{ 1400)-мезон, чем ії"і(1270). Вполне возможно, что вторая из упомянутых частиц является связанным Кр состоянием. Мы не располагаем информацией на роль возможных кандидатов для возбужденных син-глетного и ss-состояний. Нужно отметить, что скалярный сектор весьма сложен, его интерпретация неоднозначна и подвергается постоянному пересмотру (см. современное состояние в [95-97]). По этой причине, довольно большое расхождении предсказаний теории с наблюдаемыми массами основных скалярных состояний является общей проблемой в феноменологии.
Векторные и аксиально-векторные резонансы
Для вывода параметров спектра масс мезонов используются различные непертурбативные методы. Во введении к диссертации был мотивирован подход, основанный на насыщении двухточечных корреляторов кварковых токов бесконечным числом узких резонансов со спектром струнного типа, ожидаемым в пла-нарном пределе КХД. Впервые такая попытка предпринята в работах [68], где был воспроизведен логарифм партонной модели. В [72] вид линейного спектра для векторного случая был выведен в рамках правил сумм с конечной энергией. Там же затрагивался и аксиально-векторный канал. Этот подход затем использовался для аналогичного анализа псевдоскалярного [81] и скалярного [82] случаев. В [73] была затронута проблема сшивки бесконечнорезо-нансной модели с ОРЕ, причем функция ту(п) считалась произвольной, В [74], на основе данной модели, исследовались возможные отклонения от кварк-адронной дуальности и учет ненулевых ширин резонансов. В [75] бесконечные наборы резонансов в векторном и аксиально-векторном корреляторах рассматривались совместно. Предложенный подход позволил вычислить некоторые физические величины. В дальнейшем, в [76-80], обсуждались различные аспекты кварк-адронной дуальности, восстановления киральной симметрии при высоких энергиях и сшивки с ОРЕ, Некоторые попытки выйти за пределы эквидистантного линейного спектра были предприняты в [77,78]. Однако, как показано в этой главе, предложенные там анзацы не являются корректными. В настоящей диссертации на единой основе рассматривается бесконечный набор резонансов в векторном, аксиально-векторном, скалярном и псевдоскалярном корреляторах [83]. Из модели бозошгой струны следует, что наклон траекторий должен быть одинаков во всех VASP случаях, так как он пропорционален натяжению струны, которое, в свою очередь, зависит только от глюодинамики. Феноменология подтверждает это наблюдение [40,41]. Данный факт не учитывался в процитированных выше статьях. В этой главе предлагается систематический метод учета возможных поправок к линейным траекториям с универсальным наклоном в VASP каналах. Полученный анзац для мезонного спектра масс и вычетов сшит затем с ОРЕ, что дает ряд ограничений на мезонные параметры. В конечном итоге, результаты фитированы на экспериментальные данные [38,40,41].
Во второй части главы предложена гипотеза происхождения отклонений от линейных траекторий, на основе которой построена соответствующая модель для VA случая [84]. Эта модель приводит к иной картине асимптотического поведения спектров масс. Рассмотрим высокоэнергетическую асимптотику корреляторов VASP кварковых токов (1) в пределе больших Nc (в этой главе нормировка корреляторов отличается от предыдущей на множитель 1/2) [44,106]: В уравнениях (160)-(163) {(?" )2) означает глюонный конденсат, Л — обрезание по импульсам, а А есть конденсат размерности два, введенный в [107]. Последний конденсат зависит от калибровки, однако существует калибровка — калибровка Ландау — где его величина минимальна и имеет определенный физический смысл: в ней может быть закодирована информация о некоторых топологически нетривиальных полевых конфигурациях. Соответствующие обсуждения относительно происхождения, измерения и физического смысла этого конденсата можно найти в [107,108]. Разлагая левую часть уравнения (1) по обратным степеням квадрата евклидова импульса р2 и сравнивая с (160)-(163), получаем по три правила сумм в каждом канале (мы не учитываем конденсаты размерности восемь и более). Если иметь дело с конечным числом резонансов, то данное разложение следует непосредственно. В случае бесконечного числа резонансов, суммы в (1) суммируются (при данном анзаце для т2[п)) с использованием формулы Эйлера-Маклорена или -0-функции. Здесь нужно отметить, что, вообще говоря, суммирование и разложение по 1/р2 в расходящихся суммах не являются коммутативными операциями. Как уже упоминалось, правила сумм ВКС, полученные таким образом, представляют определенные ограничения на параметры спектра масс мезонов [51]. Эту информацию можно извлечь и сравнить с феноменологией, чему и посвящены следующие разделы. 4.2.2 Векторные и аксиально-векторные резонансы В этой главе нам будет удобнее работать с размерными константами распада Fv,A{n)- Тогда имеем для структуры вычетов вместо (90): Введем обычный линейный анзац для спектра масс мезонов: Для вычисления бесконечной суммы в уравнении (1) применим формулу Эйлера-Маклорена: где В\ — 1/6, 2 = 1/30 ,... представляют числа Бернулли. Разлагая получившееся выражение по степеням р 2 и сравнивая с ОРЕ (160), (161), приходим к правилам сумм ВКС. Соответствующие соотношения довольно громоздки и мы не будем их здесь выписывать. В частности, коэффициент перед логарифмом партошюй модели ln(A t/p2) (уравнения (160), Отметим, что ВКС при высоких энергиях (а также модель бозон-ной струны) приводит к ау = а А = а. Равенство наклонов а-у = а А не имеет места в работе [75], где был сделан подобный анализ для линейных траекторий. Другой подход к правилам сумм ВКС был предложен в [76]. Автор рассмотрел следующее обобщение правил сумм Вайнбер-га [90]: С = Fl С = 0. Эти соотношения непосредственно следуют из разложения по р 2 в уравнении (4): которое не содержит пертурбативного логарифма (подчеркнем, что суммирование происходит по киральным парам). Для сходимости бесконечных сумм в уравнении (167) нужно наложить равенство наклонов ay = ад, интерсептов may = то:А И констант распада Fy = F , т.е. векторный и аксиально-векторный спектры оказываются вырожденными. Для выхода из данной трудности было предложено рассматривать основные VA состояния — р и а\ мезоны — как изолированные резопансы. Эта модель только грубо удовлетворяет существующей спектроскопии VA мезонов и не воспроизводит физические значения конденсатов.
Однако, предложенный анзац не противоречит ВКС при высоких энергиях. Отметим, что утверждение в [76] о коммутативности суммирования по бесконечному набору резонансов и разложения при больших значениях р2 в Hv(p2) — ЇІА(р2) является неточным. Отсутствие коммутативности не связано с наличием логарифма пар-тонной модели, как утверждает автор. Этот логарифм можно легко удалить почленным дифференцированием. Данная проблема связана с тем, что коммутативность требует абсолютной сходимости разложения по р 2, но это не имеет места в приведенных вычислениях. А именно, регуляризация состоит в предписании m2(N) = A2ai р2, т.е. будем иметь т2(к) р2 начиная с некоторого к. В данном разделе будет показано, что анзацы, предложенные в [75, 76], могут быть улучшены путем введения определенных нелинейных поправок к линейным траекториям (164). Проблема здесь состоит в том, что произвольные анзацы для т2(п) и F2(n) приводят к появлению вкладов, отсутствующих в стандартном ОРЕ (по крайней мере, в первом порядке теории возмущений, который мы рассматриваем), а именно вкладов с дробными или нечетными степенями р, а также вкладов видар 2к\п(А2и1/р2). Сокращение таких членов порядок за порядком путем надлежащей подгонки параметров приводит обратно к линейному анзацу (164). Нашей целью является построение класса параметризаций, ко- торый не приводит к нежелательным вкладам. А именно, наш апзац должен а) воспроизводить логарифм партонной модели, б) содержать только обратные степени квадрата большого импульса р. Логарифм партонной модели и нежелательные вклады появляются из-за интегрирования в уравнении (165) (мы опускаем индексы V,A): Условие а) выполняется только если: Здесь С является константой, многоточие означает полиномиальный по р 2 ряд, a ft есть масштаб нормировки. Дифференцируя уравнение (170) по х, легко увидеть, что условие б) удовлетворяется только если: где At (х) представляет убывающую функцию, которую нужно определить. Если не рассматривать эффективный заряд (бегущую константу связи), а ограничиться только первым порядком теории возмущений при некотором масштабе энергий, то функция At (х) не должна содержать никаких логарифмов и других иепо-линомиальных иор 2 членов. Таким образом, прямое разложение интеграла: должно быть определено в любом порядке. Это возможно, если функция At (х) спадает как экспонента некоторой степени х (или быстрее).
Нелинейный спектр масс
Согласно сделанной гипотезе, последнее слагаемое в (208) (где для ясности выделен размерный параметр) представляет собой убывающую по п поправку к линейному спектру, появившуюся вследствие нарушения киралыюй симметрии. Обозначая этот вклад как 5, можно написать (индекс J опущен): Первое слагаемое в правой части (209) может быть обработано как в предыдущем параграфе. Во втором слагаемом суммирование по п и разложение по 1/Q2 могут быть переставлены благодаря абсолютной сходимости (не менее, чем вплоть до 0(1/Q)). Рассмотрим аксиально-векторный канал. Правила сумм (201), (202), (204) решены в нулевом порядке по коидспсатиому разложению. В силу уравнений (161), (208), в первом порядке этого разложения правило сумм (204) имеет вид: где (#) есть дзета-функция Римана. Наложим условие выполнения правила сумм (203) в первом порядке конденсатного разложения. Это дает уравнение на параметр к А - В векторном канале соответствующие уравнения выглядят следующим образом: Для входных параметров Fw = 90 МэВ, {qq) = — (240 МэВ)3, (((3 ) ) = (360МэВ)4, otg — 0.3 численные вычисления дают к А ку « 2.1, а также показывают, что члены, содержащие квар-ковый конденсат, действительно являются малыми параметрами (их вклад численно меньше, чем точность счета по большим Nc). Представленное решение для поправок понижает массу р-мезона на 40 МэВ и увеличивает массу aj-мезона на 20 МэВ. Массы радиальных возбуждений при этом практически не меняются. В данном подходе формула Вайнберга имеет поправку, которая при сделанных фитах принимает вид: т.е. в этой модели отклонение от соотношения Вайнберга является параметром порядка нарушения киралыюй симметрии в КХД. На первый взгляд может показаться, что представленное решение для поправки в спектре (208) дает патологию в следующем порядке ОРЕ: второе слагаемое в правой части (209) расходится, начиная с 0(1/Q&). Однако, такое суждение, вообще говоря, неверно: рассмотрение следующего порядка означает добавление еще одного правила сумм (а именно, при Q-8), т.е. введение нового уравнения в систему. Для самосогласованности нам тогда неизбежно надо ввести новый параметр в поправке к линейному спектру масс и решать получившуюся систему для нового набора параметров.
Отметим также, что в рассмотренной модели константы распада выбраны постоянными, т.е. не удовлетворяют сформулированному ранее условию (171). В принципе, предложенный анзац можно исправить, но это значительно усложнит вид правил сумм. Мы выбрали данный анзац по соображениям максимальной простоты модели. Возникающие при этом трудности с аналитическим видом ОРЕ не являются здесь принципиальной проблемой — они относятся к тому "хвосту" операторного разложения, который в вычислениях не учитывался. В данной главе рассмотрена проблема совместного рассмотрения ("сшивки") резонансной части двухточечных корреляторов VASP токов с их ОРЕ для случая бесконечного числа резонан-сов с универсальным наклоном. Анализ был выполнен для легких нестранных мезонов в приближении большого числа цветов и киральном пределе. Главный результат заключается в том, что если известны массы основных состояний, то правила сумм ВКС позволяют получить весь спектр масс и вычетов VASP мезонов. Основные результаты, полученные в первой части главы: 1) Линейная параметризация спектра масс не воспроизводит корректно величины конденсатов в ОРЕ. 2) Сходимость обобщенных правил сумм Вайнберга требует универсальности интерсептов для масс киральиых партнеров. На древесном уровне универсальность интерсептов должна быть во всех VASP каналах. Таким образом, должны существовать отклонения от линейного спектра масс (т.е. от предсказаний бозон ной струны), параметризующие нарушение киральной симметрии. Эти отклонения экспоненциально (или быстрее) убывают с ростом номера радиального возбуждения. 3) Существуют также отклонения от соотношения для мезоиных вычетов (констант распада) 1 (п) " Аналитическая структура ОРЕ налагает экспоненциальное (или быстрее) убывание на эти отклонения с ростом п. 4) При высоких энергиях происходит отщепление D-волиовых векторных мезонов от правил сумм ВКС. Данный факт предполагает экспоненциальное (или быстрее) убывание соответствующих констант распада Fp(n). Однако при небольших п вклад D-волновых векторных мезонов в физические наблюдаемые может оказаться важным. В работе предложен простейший анзац для VASP мезонных масс и вычетов, удовлетворяющий всем перечисленным требованиям. Соответствующие правила сумм В КС были численно решены, и результаты оказались в хорошем согласии с экспериментальными данными. К сожалению, мы не знаем внутренней динамики, которая порождает экспоненциальные вклады в мезонные массы и вычеты (последние связаны с волновыми функциями мезонов). Можно только предположить, что эти отклонения от струнной картины параметризуют нарушение киральной симметрии в КХД и, следовательно, должны быть пропорциональны кварковому конденсату (qq). Один из возможных вариантов развития этой идеи представлен в следующем разделе главы, где была предложена соответствующая модель и схема счета. В этой схеме кварковый конденсат рассматривается как малый параметр, по степеням которого можно разлагать. Правило сумм (п.с.) при Q b, чувствительное к нарушению киралыюй симметрии, дает тогда набор решений для интерсептов (в нулевом порядке конденсатного разложения). П.с. при Q 2 позволяет классифицировать эти решения. П.с. при Q0 дает значения вычетов, а п.с. при Q 2 в аксиально-векторном канале позволяет определить величину универсального наклона. В итоге, линейный спектр масс оказывается параметризован только одной константой i7 , при этом хорошо удовлетворяя известной феноменологии.
П.с. при Q 4 служит для проверки решений. Было обнаружено, что это п.с. не может быть удовлетворено без нелинейных поправок к струноподобному спектру масс. Эти поправки оказались довольно малыми, однако они делают п.с. самосогласованными. Таким образом, в разделе 4.3 предлагается модель, в которой струноподобная часть спектра КХД и часть, возникшая вследствие нарушения киральной симметрии, являются естественным образом факторизованы. Такой подход оказывается альтернативной точкой зрения на асимптотическое поведение спектра масс VA-мсзопов по сравнению с идеологией, рассмотренной в первой части главы: здесь V- и А-траектории имеют постоянное расщепление при любой энергии. Похожий результат следует также из работ [72,81,82]. В главе I показано, что подход, основанный на включении производных в кирально-инвариантные четырехкварковые взаимодействия, расширяет область применимости эффективных квар-ковых моделей типа НИ Л. Их можно использовать для описания сильных взаимодействий не только в области низких энергий, но и в области промежуточных энергий как для основных, так и для возбужденных состояний мезонов. Более ясно это обнаруживается при совместном рассмотрении скалярного, псевдоскалярного, векторного и аксиально-векторного каналов в описании соответствующих мезонов. При промежуточных энергиях становится оправданным совместное рассмотрение Квазилокальных Кварко-вых Моделей с правилами сумм восстановления киральной симметрии, что увеличивает их предсказательные возможности. Учет странных кварков в моделях с кваз и локальным взаимодействием позволил получить ряд дополнительных, моделыю-независимых соотношений для спектров масс основных состояний мезонов и их первых радиальных возбуждений. Численное сравнение с экспериментом, приведенное в таблице 1, дает основание считать, что ККМ вполне удовлетворительно описывают физику мезонов при низких и промежуточных энергиях. Вычисления в главах I и II показали, что рассмотренные физические наблюдаемые насыщаются, главным образом, вкладом основных состояний мезонов, однако вклад первых возбуждений может оказаться заметным. Остальные возбуждения вносят поправку, которая меньше, чем точность расчетов при сделанных приближениях.
