Содержание к диссертации
Введение
1. Основные результаты кхд, классификация стандартных и экзотических состояний адронов, составные потенциальные модели 16
1.1. Асимптотическая свобода, нарушение киральной инвариантности иконфайнмент цветных частиц 16
1.2. Классификация стандартных и экзотических состояний адронов 20
1.3. Выбор составной модели, уравнений модели и потенциалов, задающих взаимодействие между составляющими адронов 32
2. Универсальность потенциала конфайнмента и группы обобщенных кинематических симметрии для цветных частиц 41
2.1. Введение симметричных обобщенных кварковых полей 42
2.2. Группы обобщенных кинематических симметрии для цветных составляющих адронов в квантовом пространстве 47
2.3. Некоторые свойства представлений групп обобщенных кинематических симметрии 56
2.4. Уравнения для кварковых полей, инвариантные относительно групп обобщенных кинематических симметрии 61
3. Трансляционно-инвариантная релятивистская модель квазинезависимых кварков 70
3.1. Основные положения релятивистской модели квазинезависимых кварков 70
3.2. Выбор потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями 76
3.3. Область применения модели, оценка её точности и алгоритм численного решения основного уравнения модели 84
4. Определение параметров сильного взаимодействия между кварком и антикварком и подтверждение гипотезы универсальности потенциала конфайнмента 91
4.1. Гипотеза независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента и ее проверка в потенциальных моделях адронов 92
4.2. Определение коэффициента наклона линейно растущего потенциала конфайнмента между кварком и антикварком, масс кварков и величины as по спектрам масс векторных мезонов 96
4.3. Определение величины спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком по спектрам масс векторных и псевдоскалярных мезонов 103
5. Расчет спектроскопических характеристик легких и тяжелых мезонов 110
5.1. Массовые формулы для орбитальных и радиальных возбуждений легких мезонов 110
5.2. Оценка среднеквадратичных радиусов векторных мезонов и ширин их распадов на электрон - позитроннуго пару 123
5.3. Расчет спектров масс радиальных возбуждений векторных и псевдоскалярных мезонов 127
5.4. Проблема идентификации экзотических адронов и значения масс основных состояний четырехкварковых мезонов 135
Заключение 141
Список литературы
- Классификация стандартных и экзотических состояний адронов
- Некоторые свойства представлений групп обобщенных кинематических симметрии
- Выбор потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями
- Определение коэффициента наклона линейно растущего потенциала конфайнмента между кварком и антикварком, масс кварков и величины as по спектрам масс векторных мезонов
Введение к работе
В последние годы прогресс в нашем понимании свойств сильновза-имодействующих частиц обусловлен, прежде всего, созданием квантовой хромодинамики (КХД) [1, 2] и полученными в различных экспериментах подтверждениями ряда результатов КХД [3, 4, 5, 6]. Однако, хорошо известно, что существуют нерешенные проблемы как в рамках самой теории, так и при её применении к расчетам характеристик силь-новзаимодействующих частиц и процессов, в которых они участвуют. Согласие между экспериментальными и теоретическими результатами относится, в основном, к области пертурбативной КХД (ПКХД) [7, 8, 9], которая используется для описания процессов, происходящих на малых по сравнению с Ак1хд расстояниях между взаимодействующими кварками и глюонами. Несмотря на то, что величина характерного масштаба КХД Акхд связана с выбором точки перенормировки и зависит от схемы перенормировки, тем не менее, Акхд играет основополагающую роль как в самой теории, так и при применении её к конкретным физическим явлениям. Её значение зависит от числа кварков, которые активно участвуют в том или ином процессе, причем значение Акхд отлично от нуля даже в чистой глюодинамике без кварков, определяя масштаб, так называемой, размерной трансмутации [10]. Что же касается непертурбативных КХД явлений, например, таких как формирование нетривиальной структуры вакуума или возникновение конфайнмента частиц, состояния которых не являются инвариантными относительно преобразований из группы 57(3)с, где SU{Z)C - это унитарная группа, действующая в пространстве цветных степеней свободы кварков, то, несмотря на большое время, прошедшее после появления КХД, завершенного описания этих явлений пока не существует [11, 12, 13]. Между тем роль непертурбативных эффектов в физике сильновзаимодействую-щих частиц является принципиальной. Они вносят значительный вклад (для легких адронов этот вклад является определяющим) в формирование связанных из цветных составляющих адронных состояний. Так например, массы нуклонов, а значит и массы всех образованных из нуклонов ядер, определяются, главным образом, взаимодействиями, происходящими между цветными составляющими на больших по сравнению с А~кхд расстояниях, то есть в той области, где заведомо не применима
_ 5_
ПКХД. С другой стороны, в экспериментальной физике сильных взаимодействий накоплено значительное количество данных высокой точности [6], относящихся к массам и ширинам распадов адронов, и найдены эмпирические закономерности, которые пока не могут быть подтверждены результатами расчетов, произведенными при использовании только основных принципов КХД.
Таким образом, можно констатировать, что наличие большого объема спектроскопических данных и эмпирических закономерностей для адронов и отсутствие во многих случаях точных результатов их расчетов на основе первых принципов КХД, приводит к необходимости разработки и применения различных феноменологических моделей адронов. Однако, учитывая справедливость принципов теории сильных взаимодействий цветных кварков и глюонов, одним из условий применимости любой модели должно являться отсутствие противоречий между положениями рассматриваемой модели и установленными результатами существующей теории.
Экспериментально подтвержденым результатом теории сильных взаимодействий, т.е. КХД, является асимптотическая свобода, проявляющаяся при взаимодействии цветных частиц на малых расстояниях. С теоретической точки зрения асимптотическая свобода связана с не-абелевостыо группы калибовочных преобразований и наличием сравнительно небольшого числа реально существующих кварков. Напомним, что КХД основана на лагранжиане, который инвариантен относительно преобразований локальной калибровочной группы SU(3)C, и построена по аналогии с квантовой электродинамикой (КЭД), лагранжиан которой обладает локальной калибровочной инвариантностью относительно преобразований абелевой группы U(l). Причем переход от группы U(l) к некоммутативной компактной группе SU(3)C приводит к возникновению не только асимптотической свободы, но и, вероятно, таких принципиально новых явлений как образование нетривиальной структуры вакуума и конфайнмент цветных зарядов. Асимптотическая свобода связана с логарифмическим уменьшением константы сильных взаимодействий as при увеличении величины переданного импульса во время взаимодейстия между кварками, передаваемого цветными глю-онами. Массы кварков также оказываются зависящими от величины переданного импульса. При этом в силу сложных непертурбативных эффектов вакуум КХД перестает быть фоковским пертурбативным вакуумом, становится неустойчивым и в нем появляются нелинейные струк-
туры типа инстантонов, вихрей и т.п., наличие которых, вероятнее всего, приводит к образованию нового непертурбативного вакуумного состояния [14,15,16,17], нетривиальные особенности которого оказывают значительное влияние на свойства адронов.
Уникальным явлением, характерным для непертурбативной КХД (НКХД), является конфайнмент цветных частиц. Причем несмотря на большие усилия, которые были предприняты после создания КХД, доказательства конфаинмента в рамках теории к настоящему времени нет. Однако, существуют различные модели конфаинмента цветных частиц. Например, модели хромоэлектрических трубок или струн, которые натягиваются между кварками и не дают им вылететь [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24] (струна, однако, может разорваться в одном или нескольких местах и при этом рождаются адроны); модель, так называемого "мешка", в которой находятся цветные поля кварков и глюонов с условием, что вне мешка цветные поля обращаются в нуль [25, 26, 27, 28, 29, 30]. Впервые прототип модели мешка был рассмотрен в работе [31]. Отметим модели, воспроизводящие явление конфаинмента по аналогии со сверхпроводимостью, например, модели постоянного вакуумного хромо-электрического или хромомагнитного поля с отрицательной плотностью энергии вакуума [32, 33]. Эти модели приводят к существованию выделенного направления в пространстве в силу того, что хромомаг-нитные и хромоэлектрические поля являются векторными по своей природе. Замена постоянных магнитных полей разреженным газом инстантонов или стохастическим полем [34, 35, 36, 37, 38, 39, 40], разрешая проблему выделенного направления в пространстве, приводит к другой трудности, а именно: к неустойчивости таких систем по отношению к флуктуациям [41, 42]. Существуют также альтернативные подходы к решению проблемы конфаинмента, допускающие нарушение условия абсолютного конфаинмента, например, в работе [43] была предложена гипотеза неполного заключения цвета, в рамках которой происходит вылетание при некоторых условиях цветных частиц из области конфаинмента. Однако, отрицательные результаты многочисленных экспериментов по поиску кварков в свободном состоянии (см., например, [44]), в настоящее время свидетельствуют в пользу гипотезы абсолютного конфаинмента цветных объектов. Эта гипотеза может быть сформулирована следующим образом: в физическом пространстве-времени не существует асимптотически свободных состояний с открытым цветом. В то же время, синглетные по цвету состояния, такие как qq'q"
_ 7-
- барионы и qq' - мезоны, могут находиться в асимптотических in- и out-с о стояниях, которые затем используются, например, при вычислении различных характеристик процессов рассеяния с участием любых бесцветных сильневзаимодействующих частиц.
Помимо конфайнмента другой нерешенной проблемой КХД является проблема связанных состояний цветных частиц, решение которой усугубляется ростом на больших расстояниях взаимодействия константы сильного взаимодействия as и возникающей при этом неприменимостью теории возмущений. При этом, разработанные в рамках КЭД методы расчета энергетических спектров таких систем как атом водорода, позитроний, мюоний и т.д. не применимы непосредственно для расчетов спектров связанных состояний сильновзаимодействующих частиц. Единственным точным методом КХД, который разработан и сейчас используется, является метод функционального интегрирования по траекториям. На основе этого метода возможно проведение численных вычислений на основе одних только первых принципов КХД. Однако, к настоящему времени реализация такого типа вычислений, т.е. в рамках, так называемой, решеточной КХД (РКХД), существенно зависит от объема решетки. Имеющихся ресурсов даже самых мощных суперкомпьютеров оказывается недостаточно, чтобы вычислить с необходимой точностью, например, значения спектроскопических характеристик легких адронов или решить проблему конфайнмента. Основные проблемы, возникающие при этом, связаны с увеличением объема решетки при переходе к малым значениям масс кварков и с ростом константы as на больших расстояниях взаимодействия. Оценки показывают, что для преодоления этих трудностей потребуется не менее десяти лет интенсивного развития вычислительной техники [45]. В тоже время количество экспериментальных данных, относящихся к спектрам масс адронов, полным и парциальным ширинам их распадов, а также точность этих данных, неуклонно растут, поэтому для их расчетов необходимо, как уже говорилось выше, использовать приближенные модельные расчеты.
В физике адронов традиционно существовало большое число феноменологических моделей и до создания КХД. Причем сама КХД возникла на основе кварковой модели адронов, которая была предложена Гелл-Манном и Цвейгом в 60-х годах [46, 47]. Основные успехи модели Гелл-Манна и Цвейга были связаны с систематикой известных в то время мезонов и барионов. Однако серьезной проблемой первоначаль-
ной кварковой модели явился факт невозможности согласовать условие антисимметричности полной волновой функции фермионных кварков с условием симметричности пространственной части этой функции при построении основных состояний барионов (проблема Q~ бариона). Чтобы разрешить эту проблему, было предложено использовать для кварков парастатистику [48], что, как оказалось впоследствии, эквивалентно введению дополнительного квантового числа [49, 50, 51, 52]. Введение нового квантового числа, которое было названо цветом (color), а затем группы локальных калибровочных преобразований 5t/(3)c в пространстве цветных степеней свободы кварков, привело в последующем к созданию КХД. После создания КХД основным критерием применимости модели стала совместимость положений и выводов модели с основными принципами КХД. Среди таких моделей в первую очередь отметим различные варианты правил сумм КХД [38, 53, 54]. Например, в известной работе [38] используется операторное разложение Вильсона [55] и дуальность между высокоэнергетическим поведением адрон-адронных сечений и низкоэнергетической резонансной областью [56, 57, 58]. Важнейшую роль в этом подходе играют вакуумные средние пропагаторов (конденсаты) глюонных и кварковых полей. В настоящее время широкое распространение получили также, так называемые, эффективные теории поля. Например, эффективная теория с тяжелым кварком (ЭТТК), которая используется для описания связанных состояний с одним тяжелым кварком [59, 60, 61, 62, 63] или нерелятивистская КХД (НрКХД), которая, как правило, используется для описания мезонов, состоящих из тяжелых кварков и антикварков [64, 65, 66].
Одним из доступных способов проведения расчетов в рамках составной кварковой модели адронов является использование потенциалов взаимодействия между основными (валентными) составляющими адрона и решение уравнений для фиксированного числа валентных составляющих. Эти положения составляют основу, так называемых, потенциальных кварковых моделей, которые отличаются как ясностью своих физических предположений, так и технической простотой при проведении расчетов. Впервые потенциальная кварковая модель, согласующаяся с результатами КХД, была предложена в работе Де Риджулы, Джорджи и Глэшоу [67], в которой полученный в основном приближении ПКХД потенциал взаимодействия между кварками на малых расстояниях был применен для описания связанных состояний. В дальнейшем использовались различные эффективные потенциалы для задания взаимодейст-
вия между кварками и/или антикварками [68, 69, 70], но наибольшее
распространение получил корнельский потенциал [71], который состо
ит из квазикулоновского потенциала и линейно растущего потенциа
ла, ответственного за конфайнмент цветовых частиц. Хорошо извест
но, что спектроскопические характеристики J/Ф мезона, а также Ф',
Ф" и других высших радиально возбужденных се - состояний впервые
были вычислены в рамках нерелятивистской потенциальной модели с
корнельским потенциалом [71]. Нерелятивистское приближение приме
няется, как правило, при расчетах характеристик адронов, состоящих
из тяжелых кварков и/или антикварков [54, 72, 73, 74, 75, 76]. После
сравнения расчитанных спектров масс J/Ф, Ф', Ф" мезонов и Т, Т', Y"
мезонов с экспериментально установленными значениями, была пред
ложена гипотеза независимости потенциала конфаинмента от ароматов
кварков, которая с ограниченной точностью выполняется для тяжелых
мезонов [77, 78, 79]. Причем необходимо отметить, что хотя с одной сто
роны условие универсальности потенциала конфаинмента не противо
речит основным принципам КХД, но с другой стороны она и не следует
с необходимостью из этих принципов, так как такого рода инвариант-
f ность могла бы нарушаться, например, за счет поправок к потенциалу
конфаинмента, зависящих от масс кварков.
Универсальность потенциала конфаинмента, если она выполняется, может свидетельствовать о наличие дополнительных свойств симметрии в инфракрасной области КХД, т.е. той части взаимодействий между кварками и глюонами, которая приводит к удержанию цветных частиц. Например, введение новой фундаментальной константы размерности длины изменило бы пространственно-временные свойства на масштабах, сравнимых с этой константой. В том случае, когда такая возможность реализуется, можно было бы связать масштаб конфаинмента с величиной фундаментальной длины. При этом возникает естественное объяснение универсальности потенциала конфаинмента для кварков разных ароматов, поскольку коэффициент наклона линейно растущего потенциала конфаинмента будет выражаться через дополнительную фундаментальную постоянную и, таким образом, будет иметь одно и то же значение для всех кварков. Наличие расширенной или обобщенной пространственно-временной группы симметрии и, следовательно, дополнительных физических постоянных приводит к практически не исследованной возможности объяснения свойства конфаинмента в рамках теорий или моделей с дополнительными симметриями, выходящи-
ми за рамки стандартной КХД. Разработка такого типа моделей мо
жет привести к выявлению новых, неизвестных сейчас, свойств КХД
в непертурбативной области. Однако при этом, т.е. при введении до
полнительных фундаментальных постоянных, желательно было бы со
хранить максимально возможное число основных постулатов стандарт
ной квантовой теории, в частности, релятивистскую инвариантность.
Отметим, что релятивистски инвариантная теория с дополнительной
константой размерности длины, которая приводит к некоммутативным
операторам координат, изучалась ранее в другом контексте в работах
[80, 81, 82, 83], в работе [84] была предложена теория с дополнитель
ными фундаментальными длиной и массой, в работе [85] - с дополни
тельными фундаментальными длиной, массой и действием. Модели с
некоммутативными переменными в конфигурационном пространстве,
также содержащие дополнительные постоянные, развиваются в теории
струн и квантовой гравитации [86, 87, 88, 89, 90, 91]. Они могут играть
большую роль при исследовании состояний материи в экстремальных
условиях, например, при рождении вселенной [92] или при образовании
кварк-глюонной плазмы [93].
V Для существующих в настоящее время подходов в физике сильно-
взаимодействующих частиц, таких как: РКХД, правила сумм КХД, ЭТТК, НрКХД, потенциальных модели, основные трудности при расчетах спектроскопических характеристик адронов возникают при вычислении характеристик легких адронов. В этом случае, например, в рамках потенциального или более общего квазипотенциального подходов необходимо обязательно учитывать как наличие релятивистских эффектов, так и наличие эффектов, связанные с существованием квар-ковых или глюонных конденсатов, нетривиальной структурой вакуума КХД, значительным различием между токовыми и конституентными массами кварков [94, 95, 96, 97, 98]. По сравнению с тяжелыми адронами для легких адронов эти эффекты играют более важную роль. Поэтому при переходе от нерелятивистских потенциальных моделей, которые использовались для тяжелых адронов, основной интерес представляют такие модели, в которых не только воспроизводились бы результаты,
полученные в нерелятивистском случае, но и повышалась бы, по возможности, точность вычислений. Важным результатом, который был получен в рамках КХД-мотивированного потенциального подхода, следует считать успешное применение потенциала взаимодействия, который на малых расстояниях совпадает с потенциалом, вычисленным в
ПКХД, а на средних и больших расстояниях не противоречит существующим результатам РКХД. При этом интересным фактом является приближенная универсальность (независимость от ароматов кварков) потенциала конфайнмента, полученная в нерелятивистском потенциальном подходе для тяжелых кварков. Этот результат может иметь основополагающее значение при объяснении механизма конфайнмента в рамках КХД или её обобщений. Таким образом, желательно разработать подход, который позволял бы в рамках единого формализма проверить гипотезу универсальности потенциала конфайнмента, а также производить с приемлемой точностью расчеты спектроскопических характеристик как легких, так и тяжелых адронов. В основу такого подхода можно положить модель независимых кварков [31, 99, 100], которая позволяет учитывать как релятивистские эффекты, так и феноменологически возможные вклады непотенциальных эффектов. Для самого простого варианта модели (так называемого,"дубненского мешка") в качестве потенциала среднего поля выбрается бесконечный, запирающий на некотором расстоянии потенциал, тогда как внутри мешка кварки являются свободными. Следующим, более сложным вариантом может являться введение потенциала среднего поля и учет остаточных взаимодействий. Заметим, что приближение независимых частиц или квазичастиц широко используется для описания свойств многочастичных систем (см., например, [101]), причем не только когда частицы слабо взаимодействуют между собой, но также для описания систем частиц с сильным взаимодействием, например, атомных ядер [102]. Использование релятивистской модели квазинезависимых частиц позволяет рассматривать адроны с любым фиксированным числом валентных составляющих, в том числе и экзотические. При этом желательно уменьшить погрешность вычисления спектроскопических характеристик адронов, которая в потенциальных моделях, как правило, находится на уровне 10"1 -~ 2 Ю-1 (по относительной погрешности). Построение такой модели, позволяющей проводить вычисление спектроскопических характеристик адронов, состоящих из произвольного числа валентных составляющих, в рамках единого формализма, особенно актуально сейчас в связи с интенсивными поисками глю боль ных*с о стояний и последними экспериментальными данными, относящихся к открытию многокварковых адронов, в частности, странного пентакварка [103, 104, 105, 106, 107].
В диссертации с целью вычисления спектроскопических характерне-
тик как легких, так и тяжелых мезонов разработана феноменологичес
кая релятивистская потенциальная модель, не противоречащая принци
пам КХД. Проверяется гипотеза независимости от аромата потенциала
конфайнмента для взаимодействий между тяжелыми и легкими кварка
ми и антикварками и подтверждается её справедливость в рассматри
ваемой модели. Для объяснения универсальности потенциала конфайн
мента исследуются возможные способы обобщения группы пространст
венно-временных симметрии для взаимодействий кварков и глюонов в
области конфайнмента путем введения релятивистски инвариантным
образом фундаментальных постояннных размерности длины, массы и
действия. Находятся инвариантные относительно введенных групп ки
нематических симметрии уравнения для обобщенных кварковых полей
с универсальными потенциалами конфайнмента. На основе имеющих
ся экспериментальных данных и численного решения основных урав
нений релятивистской модели квазинезависимых кварков определяются
параметры сильного взаимодействия между кварком и антикварком, об
ладающими произвольным u—, d—, s—, с— или 6— ароматом. Ставится
задача - с использованием полученных параметров сильного взаимодей-
f ствия вычислить спектры масс векторных и псевдоскалярных мезонов и
их радиальных возбуждений, определить ширины распадов векторных мезонов на электрон-позитронную пару и расчитать среднеквадратичные радиусы легких и тяжелых векторных мезонов.
Вычисленные в предлагаемой модели значения спектроскопических характеристик мезонов совпадают в пределах установленной точности модели с экспериментальными данными в тех случаях, когда они имеются, поэтому полученные результаты могут быть использованы при планировании будущих экспериментов по поиску новых мезонов и при идентификации обнаруженных мезонных состояний. Результаты диссертационной работы также могут быть использованы при разработке моделей адронов и моделей конфайнмента цветных частиц с учетом дополнительных свойств симметрии в непертурбативной области КХД.
Структура диссертации следующая.
В первой главе кратко обсуждаются основные результаты КХД, получившие экспериментальное подтверждение, а также нерешенные проблемы КХД, относящиеся к вакууму КХД и конфайнменту кварков и глюонов. Свойства связанных состояний цветных частиц в значительной мере зависят от структуры вакуума и взаимодействий в области конфайнмента. Принимая во внимание происходящее в последнее время
увеличение числа адронов за счет экзотических состояний, на примере
U(4)f ~ SU(4)f х С/(1)д~группы рассматривается способ определения
квантовых чисел группы симметрии ароматов для произвольных муль-
типлетов адронов. Для этого выводятся соотношения между генерато
рами 5(7(4)/—группы и аддитивными квантовыми числами, а также
правила сумм для аддитивных квантовых чисел [108, 109, 110]. С по
мощью полученных правил сумм находятся квантовые числа членов
SU(4)f—двадцатиплета экзотических мезонов, построены их волновые
функции, которые выражаются через состояния секстета скалярных ди-
кварков и антидикварков [111, 112]. Производится выбор составной мо
дели адронов и основных уравнений модели [113, 114]. Формулируются
дальнейшие направления работы: разработка релятивистской модели
квазинезависимых кварков, не противоречащей основным принципам
КХД и позволяющей одинаковым способом производить вычисление
спектроскопических характеристик произвольных адронных состояний,
определение параметров модели по спектрам масс стандартных 0~+— и
1 —мезонов, верификация гипотезы независимости от ароматов квар
ков потенциала конфайнмента и исследование возможностей получения
ї универсальных потенциалов конфайнмента в моделях с обобщенными
кинематическими симметриями в фазовом пространстве, расчет спектроскопических характеристик радиальных и орбитальных возбуждений мезонов, состоящих из и—, d~, s—, с— и Ь—кварков и антикварков.
Во второй главе исследуется возможность обобщения инвариантности относительно группы Пуанкаре для цветных частиц с помощью более широкой группы кинематических симметрии, действующей в фазовом пространстве [115, 116]. Определена процедура такого обобщения с условием сохранения лоренц-инвариантности теории и выполнения принципа соответствия с постулатами канонической квантовой теории поля [117]. Приведены группы обобщенных кинематических симметрии. Среди класса полупростых групп Ли групп обобщенных симметрии оказывается всего четыре. Это три пс ев до ортогональные группы: 0(2,4), 0(1,5),0(3,3) и псевдоунитарная группа 5С/(3,1) [117]. Получены ограничения, зависящие от дополнительных фундаментальных констант, на совместную измеримость ряда физических величин и исследованы некоторые свойства представлений этих групп [118, 119, 120, 121, 122]. Найдены уравнения, инвариантные относительно обобщенных кинематических симметрии, причем условие инвариантности приводит в этих уравнениях к появлению слагаемых, зависящих от координат частиц и
дополнительных фундаментальных постоянных [123, 124]. В потенциальных моделях эти слагаемые можно рассматривать как потенциалам конфайнмента, универсальные для кварков любых ароматов.
В третьей главе изложена трансляционно-инвариантная релятивистская модель квазинезависимых кварков. Обсуждаются основные положения модели [113, 114], а также выбор уравнений модели, потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями [125,126, 127]. В качестве основных уравнений рассматриваются уравнение Дирака с КХД-мотивированным потенциалом для фермион-ных составляющих адронов и уравнение Клейна-Гордона для бозонных составляющих. Исследуется область применения модели, производится оценка её точности и описывается алгоритм численного решения основного уравнения модели, основанный на трехточечных рекуррентных соотношениях Нумерова.
В четвертой главе в рамках релятивистской модели квазинезависимых кварков, производится определение параметров сильного взаимодействия между кварком и антикварком на основе экспериментально найденных значений масс двухчастичных мезонов. Обсуждаются гипотеза независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента и ее проверка в потенциальных моделях адронов. Определяются коэффициент наклона линейно растущего кварк-антикварков ого потенциала конфайнмента, значение постоянной сильного взаимодействия на малых расстояниях as по спектрам масс векторных мезонов, а также массы кварков [128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136]. Подтверждаются справедливость гипотезы независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента с относительной погрешностью 5 Ю-2 и уменьшение значений as при переходе от легких к тяжелым мезонам [126, 127, 137]. Производится оценка величины спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком на основе значений расщеплений масс векторных и псевдоскалярных мезонов [127].
В пятой главе собраны результаты расчетов спектроскопических характеристик легких и тяжелых мезонов. Получены аналитические массовые формулы для радиальных и орбитальных возбуждений легких мезонов [138,139]. Вычисляются среднеквадратичные радиусы векторных мезонов и ширины их распадов на электрон-позитронную пару [126, 127, 131, 137]. Проводятся совместное вычисление спектров масс векторных и псевдоскалярных мезонов на основе определенных ранее параметров потенциала сильного взаимодействия внутри мезона [127].
Для экспериментально открытых состояний найденные значения согласуются с имеющимися данными в пределах ошибок модели, вычислены также значения масс состояний, которые еще экспериментально не обнаружены. Полученные результаты могут быть использованы при идентификации мезонных состояний как стандартных, так и экзотических, таких как глюболы и четырехкварковые мезоны.
В приложении 1 выписаны стандартные коммутационные соотношения вещественных простых групп Ли третьего ранга и явный вид в четырехмерном представлении генераторов унитарной и псевдоунитарной алгебр. В приложении 2 приведены основные формулы алгоритма, основанного на трехточечных рекуррентных соотношениях Нумерова, для численных расчетов собственных значений и собственных функций радиального уравнения модели.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Результаты диссертации докладывались на международных семинарах "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Москва),. "Проблемы физики высоких энергий и теории поля" (Протвино), конференциях секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий", а также на научных семинарах ВНИИМС, ИФВЭ, ЛТФ ОИ-ЯИ, НИИЯФ МГУ, РНЦ "Курчатовский институт" и опубликованы в работах [108 - 139].
Классификация стандартных и экзотических состояний адронов
В конце 40-х годов Ферми и Янг предложили модель пиона как связанного состояния нуклона и антинуклона [152]. В рамках: 5(7(3)/—кварковой модели Гелл-Манна и Цвейга [46, 47] qq состояния образуют мезоны, тогда как qq q"—состояния - барионы, где q = {и, d, s}, и—, d—j s—кварки принадлежат представлению минимальной размерности группы 5(7(3)/. Значения квантовых чисел кварков зависят от способа размещения барионов по мультиплетам группы симметрии ароматов. Способ, основанный на размещении 1/2+—адронов в присоединенном представлении группы SU(3)f, получил название восьмеричного пути [153, 154] и привел к установлению 5(7(3)/—симметрии сильных взаимодействий. В дальнейшем такой способ заполнения мульти-плетов адронами был обобщен при переходе от 5(7(3)/—симметрии к 5(7(4)/—симметрии, а затем к 5(7(5)/— и 5(7(6)/—симметрии сильных взаимодействий. Если говорить точнее, то все известные к настоящему времени кварки образуют фундаментальное шестимерное представление специальной унитарной 5(7(6)/—группы, которая является максимальной группой симметрии ароматов (флейворов) кварков с бари-онным числом QB = 1/3. Группа 5(7(6)/ содержит в качестве своей подгруппы известную унитарную 5(7(3)/—группу, которая в свою очередь содержит группу изоспиновых симметрии 5(7(2)/. По определению стандартными состояниями адронов в 5(7(6)/—кварковой модели явля ются qq —мезоны и qq q"—барионы из и—, d—, s—, с—, b— и і—кварков и антикварков. Квантовые числа кварков приведены в таблице 1.1.
В рамках первоначальной составной кварковой модели экзотические адроны определялись как многокварковые (по сравнению с qq — и qq q"—составом) состояния. После появления КХД наряду с многоквар-ковыми адронными состояниями появилась необходимость предпринять поиски и начать теоретическое изучение свойств глюбольных и гибридных состояний, которые в первоначальной кварковой модели ранее никогда не рассматривались. Эти состояния сейчас тоже относят к экзотическим состояниям. Возможность существования глюболов впервые была рассмотрена в работах [1, 155]. Глюбольные состояния содержат конституентные (составные) глюоны с массой 600 - 700 МэВ, ад-ронные состояния, содержащие наряду с кварками и/или антикварками конституентные глюоны, часто называют "гибридами". Глюболы в первоначальном смысле этого слова должны состоять только из консти-туентных глюонов, однако весьма часто квантовые числа глюболов, а также других экзотических адронных состояний, таких как гибриды и многокварковые состояния, могут полностью совпадать с квантовыми числами кварк- антикв ар ковых или трехкварковых адронов. В этом случае в рамках квантовой теории поля нет строгих критериев их различия друг от друга. Эти состояния должны смешиваться между собой и вопрос классификации таких состояний по их составу становится весьма сложным. Смешивание состояний будет приводить к тому, что обнаружить, например, чистое глюбольное состояние будет практически невозможно, также как, между прочим, и чистое кварковое состояние. Однако сигналом присутствия глюболов, гибридов или многокварковых состояний должно быть наличие в ограниченной области значений масс большого числа адронных состояний с одинаковыми квантовыми числами, то есть появление, так называемых, "лишних" с точки зрения минимальной кварковой модели состояний. Другим критерием существования экзотических частиц должна служить регистрация адронов с экзотическими пространственными квантовыми числами Jpc, отсутствующими в стандартной кварковой модели.
Как известно, пространственные квантовые числа JPC в стандартной кварковой модели, например, для мезонов определяются по хорошо известным правилам [б]. Произвольный $q—мезон рассматривается как n2S+1Lj-cocTO%tme, причем п = 1 4- пт, где радиальное квантовое число пг - это число нулей радиальной волновой функции. Полный угловой момент этой системы равен J —L+S, где L— это относительный угловой момент, S - полный спин кварка и антикварка. Возбужденные мезон-ные состояния с определенным значением орбитального момента L ф О, например, в 5(/(3)/-симметричной теории могут занимать четыре различных нонета стандартных мезонов со следующими квантовыми числами спина J, собственных значений пространственной четности Р и зарядового сопряжения (для истинно нейтральных частиц) Регистрация мезонов с другими комбинациями квантовых чисел J,P и С, то есть, например, мезонов с квантовыми числами JFC: 0 , 0+_, 1 +, 2+ , 3 +, ..., будет сигнализировать об обнаружении экзотических состояний. Таким образом, в стандартной кварковой модели существует определенная корреляция между пространственными характеристиками адронов и их внутренней структурой, которая отражается в рас
пределении квантовых чисел представлений групп внутренней симметрии. Между тем, с определенным набором внешних и внутренних квантовых чисел связан и вполне определенный, характерный именно для данного набора, спектр масс сильновзаимодействующих частиц. О том, что корреляция между внешними и внутренними квантовыми числами существует, говорит также успешное использование в физике частиц группы 5У(6), которая является нетривиальным объединением нерелятивистской спиновой группы SU(2)$ и 5(7(3)/—группы [156, 157, 158]. Примером корреляции свойств симметрии относительно групп внешних и внутренних симметрии может служить другой пример - объединение SU(2)s и изоспиновой группы SU(2)j в ядерной физике. Такое объединение, в рамках унитарной группы SU(4) было предпринято Вигнером в 1937 году [159]. Как оказалось в дальнейшем, проявления спин-изоспиновой 5С/(4)— симметрии наблюдаются не только для легких ядер, но также и для тяжелых ядер с большой разностью между числом протонов и числом нейтронов [160].
В релятивистском случае проблема получения расщепления по массам для членов мультнплетов адронов в рамках теории внутренних симметрии приводит к условию нетривиального объединения группы Пуанкаре с группами унитарных симметрии, то есть с группами типа SU(n)fU(k) ... %)U(l). Однако, как следует из установленных в работах [161, 162], так называемых, "no-go" теорем, все попытки "релятивизации" групп внутренних симметрии для того чтобы получить расщепление по массам для членов мультиплетов адронов окончились неудачей. Например, в работе [163] была рассмотрена обобщенная процедура объединения группы Пуанкаре и произвольной компактной группы внутренних симметрии. Рассматривались следующие три возможности: расширения группы Пуанкаре Р с помощью компактной группы внутренних симметрии С, расширения С с помощью Р и объединение С к Р. Рассмотрение проводилось в классе локальных групп Ли, т.е. в качестве Р рассматривалась связная компонента единицы группы Пуанкаре, при условии, что пересечение Р с С в обобщенной группе Е сводится к единичному элементу. В результате объединения этих двух групп при сформулированных выше условиях можно получить либо прямое произведение Р 8 С, либо W С", где W группа Вейля, а С = C/R, R—аддитивная группа вещественных чисел. Но, как известно, группа Вейля содержит наряду с преобразованиями группы Пуанкаре, одно параметрическую подгруппу масштабных преобразований, т.е. дила-таций, поэтому с помощью полученной группы Вейля нельзя получить требуемого расщепления членов мультиплетов с дискретным спектром масс. Другим следствием полученной общей структуры любой группы, объединяющей группу Пуанкаре и группу внутренних симметрии, является для мультиплетов адронов с дискретным спектром масс существование двух независимых наборов квантовых чисел, один из которых задает квантовые числа относительно представлений группы пространственно - временных симметрии, а другой - квантовые числа относительно представлений группы внутренней симметрии. Таким образом, можно сделать общий вывод, что одних только теоретико- групповых соображений оказывается явно недостаточно для объяснения спектроскопических свойств адронов и для этого необходимо, как и для описания процессов рассеяния, привлекать дополнительные сведения, связанные с внутренней динамикой адронных составляющих.
Некоторые свойства представлений групп обобщенных кинематических симметрии
При H2 = M2L\ М2 0, L2 0 полученная обобщенная алгебра о(1,5) вырождается в полупрямое произведение о(1,4) алгебры и алгебры 5 - мерных трансляций, тогда как при Я2 = M2L2, М2 О, L2 О обобщенная алгебра о(3,3) вырождается в полупрямое произведение о(2,3) алгебры и алгебры 5 - мерных трансляций. Распределение полученных простых алгебр в зависимости от принимаемых значений L2, М2 и Я2 на плоскости параметров L2 и М2 приведено на рис. 2.1. На этом рисунке видно, что критическую роль играют значения параметров: L2 = О, М2 = 0 и Н2 L2M2, при переходе через эти значения меняется тип рассматриваемой простой алгебры.
Не все переходы параметров М, L и Я к бесконечным значениям выводят полученные алгебры из класса простых алгебр. Так переход к пределу Аа —ь со, где Аа принадлежит множеству {М2, L2, Я2, (M2,L2)}, не выводит алгебры с коммутационными соотношениями (2.12) из класса простых алгебр, в отличие от переходов Ва — со, где Ва Є {(М2,Я2), (2,Я2), (М2,Ь2,Я2)} или M2L2 - Я2.
Таким образом, в результате сформулированной выше процедуры получения алгебр групп обобщенных кинематических симметрии при соблюдении условий 1-3 были найдены три алгебры простых псевдоортогональных групп 0(3,3), 0(2,4) и 0(1,5). Заметим однако, что применение третьего условия, приведенное в данном подразделе, в общем случае слишком ограничивает возможный набор групп. Можно ослабить это условие, которое должно выполняться вблизи единицы группы при обобщении группы пространственно-временной симметрии для цветных частиц, т.е. при получении алгебры (2.12). А именно, ограничимся требованием, чтобы алгебра обобщенных симметрии в обязательном порядке содержала только подалгебру группы Лоренца. При этом коммутационные соотношения между генераторами подалгебры Лоренца и остальными генераторами в обобщенной алгебре могут отличаться от первоначальных, т.е. выполняющихся в исходной канонической алгебре, однако в пределе, когда исчезают члены, связанные с дополнительными фундаментальными постоянными, коммутационные соотношения предельной алгебры должны переходить в коммутационные соотношения канонической теории. В этом случае, как нетрудно проверить, среди полупростых групп в качестве возможной группы обобщенных кинематических симметрии может рассматриваться псевдоунитарная группа 5Г7(1,3) [117], которая кроме ослабленного третьего условия удовлетворяет также первым двум условиям, приведенным в этом подразделе.
Неприводимые представления алгебр (2.12) задаются собственными значениями операторов Казимира. Для вещественных простых алгебр, приведенных в табл. 2.1, операторы Казимира могут быть выражены известным образом через генераторы i y, i,j — 0,1, ...,5 псевдоортогональных групп, действующих в шестимерных пространствах [176, 215]:
При исследовании физических приложений полученных алгебр необходимо выразить операторы Казимира через операторы pi, ХІ, І -, г, j = 0, ...,3 и і". Как всегда, наиболее важным является инвариантный оператор второго порядка (квадратичный оператор Казимира). Учитывая соотношения (2.14), этот оператор может быть представлен следующим образом:
Как нетрудно видеть, выражение (2.16) в предельном случае-М — со, L со, Я —у со переходит в квадрат канонического "единичного" оператора /. Предельные выражения операторов Казимира (2.15) в виде, зависящем от операторов р$, xiy Fij и /, при L — со, М — со, в частном случае были приведены в работе [217], когда постоянная Н еще не была введена в систему коммутационных соотношений, т.е. при Н — со. Точная форма оператора Казимира (2.16), при Н со и при произвольных значениях L и М была получена в работе [123]. В трехмерном пространстве без учета временной координаты квадратичный оператор Казимира для решения задачи Кеплера в формализме обобщенной квантовой теории был найден в работе [218] и затем использовался в работе [219].
Следует отметить, что если применять алгебру (2.12) в общем виде с двумя константами размерности действия, то есть с константами / и Н, то это будет приводить к нарушению Т и С—инвариантности. Известно, что в ортодоксальной теории единственной размерной константой, которая изменяет знак при Т—преобразовании, является постоянная Планка (скорость света входит в систему коммутационных соотношений во втором порядке). Таким образом, переход к сопряженным или транспонированным величинам вместе с Т-преобразованием будет оставлять все коммутационные соотношения неизменными. Однако, в случае когда система коммутационных соотношений (2.12) содержит две константы размерности действия, то есть /, которая в пределе переходит в h, и новую константу Н, нельзя восстановить инвариантность по отношению к Т—преобразованиям таким образом. Аналогично можно показать, что система коммутационных соотношений (2.12) не инвариантна по отношению к С—преобразованиям (в этом случае все величины с размерностью массы меняют знак). СТ—преобразования не меняют значений / и Н, таким образом система коммутационных соотношений (2.12) будет как СТ—, так и Р—инвариантной.
Главная особенность системы коммутационных соотношений (2.12), это некоммутативность в общем случае определенного вида операторов рі, ХІ и I, что приводит к принципиальным ограничениям на минимальные ошибки при совместном измерении этих операторов 1. Таким образом, в обобщенной квантовой теории при оценке систематических погрешностей методов измерения как пространственно-временных, так и импульсно-энергетических наблюдаемых, операторы которых подчиняются коммутационным соотношениям (2.12), вклады в неисклю-ченные остатки систематических погрешностей будут вносить члены, пропорциональные степеням дополнительных фундаментальных констант М, L и Н.
Выбор потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями
Как было предположено в подразделе 3.1, среднее поле можно задать сферически симметричным потенциалом Vcp, инвариантным по отношению к преобразованиям из группы SU(3)C. В этом случае основное уравнение модели для каждой составляющей (за исключением среднего поля) должно иметь вид: і—-ФІ{УІ\ - х0) = {Щ -f Vcp(x; - Х0)) І(ХІ - х0), (3.12) где і = l,...,n, п—число валентных фермионных или бозонных составляющих адрона, явный вид свободных гамильтонианов НІ зависит от типа рассматриваемых составляющих. Необходимо обратить внимание, что потенциал Fcp([x; — Xoj) в общем случае не обязан совпадать с полным потенциалом или даже с какой-то частью полного потенциала, которые используются в нерелятивистских потенциальных моделях. Можно представить себе ситуацию, когда потенциалы, перенесенные из нерелятивистских потенциальных моделей не будут приводить к адекватному описанию свойств адронов в рамках модели квазинезависимых кварков. Поэтому процедура выбора потенциала среднего поля Vcp(x; — х0) является с одной стороны феноменологической, с другой стороны она должна подкрепляться какими-то теоретическими аргументами в пользу определенного вида потенциала. В качестве таких теоретических аргументов мы выберем, во-первых, отсутствие противоречий в пределах используемых приближений с основными КХД принципами, во-вторых, возможность согласования вида потенциала среднего поля Fcp(]xj — x0j) с условиями симметрии относительно групп обобщенных кинематических симметрии, которые рассматривались в предыдущей главе. При этом, безусловно, основным критерием правомерности выбора того или иного потенциала является возможность добиться наличие совпадения в пределах заданной точности вычисленных и экпериментально определенных характеристик адронов.
При определении явного вида потенциала Vcp(xi — хо) в рамках рассматриваемой модели необходимо определить как зависимость потенциала от расстояния, так и решить вопрос о трансформационных свойствах потенциала конфайнмента по отношению к преобразованиям из группы Лоренца. Вопрос о трансформационных свойствах потенциала конфайнмента в рамках потенциальных моделей с релятивистскими поправками несмотря на длительную предысторию исследования не имеет своего окончательного решения. Учитывая используемые в различных феноменологических моделях потенциалы конфайнмента, можно заключить, что потенциал общего вида представляет собой сумму векторного и скалярного потенциалов: Vcp(Xi - Хо) = VkflXi - х0) + /3Fc0(x; - xol), (3.13) где /З - бета-матрица Дирака (см., например, [95, 235]).
Неоходимо отметить, что рассматривались также кварковые модели с потенциалами удержания кварков тензорного или псевдоскалярного типа [236, 237]. Однако, наиболее часто используется потенциал вида (3.13). С точки зрения результатов, полученных в рамках ПКХД, векторный потенциал конфайнмента является наиболее естественным выбором. В тоже время, результаты ПКХД не могут иметь непосредственного применения в области конфайнмента. Причем, если векторная часть потенциала конфайнмента превосходит по своей величине скалярную, то для кварков с дираковскими значениями магнитных моментов возникает проблема с расщеплением по массам для орбитально возбужденных состояний мезонов [238, 239]. Один из способов решения этой проблемы заключается в введении аномальных магнитных моментов кварков [95], однако в любом случае имеются трудности, связанные с абсолютным удержанием кварков и антикварков в векторном потенциале в связи с известным парадоксом Клейна [240, 241, 242]. В то же время, эти вопросы решаются при использовании потенциала кон-файнмента, в котором скалярная часть доминирует, или же скалярная часть является единственной составляющей полного потенциала. Такой, чисто скалярный потенциал был введен в работе [239]. В широко распространенной модели хромоэлектрических трубок, в которой моделируются непертурбативные явления КХД, происходящие в области конфайнмента, основное состояние хромоэлектрической трубки также является скалярным. Имеются другие теоретические доводы в пользу скалярного типа потенциала [243, 244, 245]. Задолго до получения этих результатов в рамках известных потенциальных моделей скалярный потенциал конфайнмента был предложен в качестве потенциала среднего поля в модели квазинезависимых кварков в работах [246, 99].
Зависимость феноменологических потенциалов конфайнмента от расстояния взаимодействия уже рассматривалась в первой главе. Известно, что для описания спектроскопических свойств кваркониев было предложено достаточно большое число потенциалов [71, 67, 68, 70, 96, 274, 73, 74, 75, 247], которые аналитически задаются разными функциями, однако в области расстояний 0.1 Фм г 1Фм, где г является расстоянием, на котором взаимодействуют между собой кварк и антикварк, они практически совпадают (см. рис. 1.1). Причем простейший потенциал конфайнмента, который линейно растет при увеличении г и является скаляром по отношению к преобразованиям из группы Лоренца удовлетворяет всем необходимым условиям. Интересным является также то обстоятельство, что он удовлетворяет условиям симметрии относительно групп расширенных кинематических симметрии, рассмотренных во второй главе.
Рассмотрим, например, / 7(1,3)-инвариантную модель в комплексном фазовом пространстве [124]. Тогда масса Пуанкаре т для кварка будет зависеть от координат и, как следует из вида квадратичного оператора Казимира гпцгп11, конкретное значение т должно всегда удов -79 летворять следующему уравнению: тс = тцпг = т2 + к (х — XQ )2 (3.14) Тогда для получения Jf/(1,3)- инвариантного уравнения необходимо выразить массу кварка mq через 777(1,3) инвариант тс и (xfi — XQt,)(xii — хм), т.е. сделать подстановку mq —У Ку/т% — (х{1 — хйу)(хР — я0 ), где rhc = тс/к. Таким образом уравнение типа Дирака для обобщенного кваркового поля будет иметь вид: Ih - к\1шс - (хи - Щ Щяц - я0ц) = 0 (3.15)
Мы видим, что уравнение (3.14) позволяет найти координатную добавку к массе кварка в явном виде, которая является скалярной по отношению к преобразованиям из группы Лоренца. Таким образом, полученный вид потенциала и его трансформационные свойства находятся в согласии с результатами, используемыми во многих феноменологических потенциальных моделях.
При применении уравнения типа Дирака (3.15) к вычислениям характеристик связанных состояний будем пользоваться, как уже говорилось выше, одновременным приближением, которое может быть записано для связанных состояний в лоренц-инвариантном виде (3.4). Заметим, что это приближение часто используется для систем многих частиц в ядерной физике и в квантовой теории поля, особенно в том случае, когда необходимо определить только стационарные характеристики связанных состояний.
Определение коэффициента наклона линейно растущего потенциала конфайнмента между кварком и антикварком, масс кварков и величины as по спектрам масс векторных мезонов
Определить величины реально существующих между кварками и антикварками спин-спинового взаимодействий можно сравнивая спектры масс псевдоскалярных и векторных мезонов. Воспользуемся для этого основной формулой (3.26) для вычисления масс SQqq мезонов в рамках релятивистской модели квазинезависимых кварков: где Ei(n ,ji) , і = 1,2, - спектральная функция или массовый терм г—го кварка (антикварка) и представляет собой релятивистскую эффективную энергию г—го кварка/антикварка, находящегося в поле с заданным потенциалом внутри мезона. Квантовые числа n, ji, г = 1,2, являются радиальными квантовыми числами и квантовыми числами полного углового момента фермионных составляющих мезона. Более того, для S— волновых мезонов для этих квантовых чисел выполняются правила отбора: п\ = п\ = п — Х и ji = ji = 1/2. В формуле (4.3) член EQ учитывает вклад как энергии среднего поля, так и возможные добавочные члены, которые не могут быть учтены с помощью спин-спинов ого взаимодействия и взаимодействия со средним полем. Как отмечалось в третьей главе, этот член является чисто феноменологическим и отличен от нуля только для некоторых основных состояний мезонов.
Поскольку потенциал V(r), входящий в основное уравнение модели (3.25), не зависит от спинов кварка и антикварка, то волновые функции кварка и антикварка будут одинаковыми для псевдоскалярных и векторных мезонов, а значит и массовые термы Ei(ri ,ji) этих составляющих будут одинаковыми для псевдоскалярных и векторных мезонов. Массовые термы для кварка и антикварка, находящихся в 5—состоянии определены следующим образом где Af, і = 1,2 находятся из решения радиального уравнения (4.1). От метим, что прибавление некоторой константы к скалярному потенциалу конфайнмента Vo(r) эквивалентно прибавлению этой же самой константы к массе кварка и наоборот, тогда как вычитание некоторой константы от векторного квазикулоновского потенциала Vj.(r) эквивалентно вычитанию этой же самой константы из нулевой энергии мезона EQ. Таким образом, поскольку массовые термы 1?{(п, 1/2), г = 1,2, одни и те же для 1 и 0 + мезонов с одинаковыми радиальными квантовыми числами, то разница масс этих мезонов может возникнуть в рамках рассматриваемого формализма только за счет разных вкладов энергии среднего поля EQ и/или спин-спинов о го взаимодействия VstSz Необходимо отметить, что формула (4.3) для вычисления масс псевдоскалярных и векторных мезонов, полученная в рассматриваемой модели квазинезависимых частиц, аналогична формуле, которая была предложена Сахаровым и Зельдовичем в работах [168, 258]. Однако, в этих работах использовалось понятие эффективных кварковых масс, которые не вычислялись с помощью решения одночастичного уравнения в каком-либо потенциале, а подбирались эмпирически при проведении фиттирования массовых спектров адронов. Более детально сравним предложенную формулу (4.3) с формулой Сахарова и Зельдовича, согласно которой массы мезонов вычисляются следующим образом: где эффективные массы mi, тг, а также 5м являются феноменологическими параметрами. При этом вклад спин-спинового взаимодействия К5і5г(т1)т2) В свою ОЧереДЬ, КрОМе ЭффеКТИВНЫХ МаСС 77І1, ГП2, зависит от дополнительных феноменологических параметров т0, Ь и спиновых матриц о !, т2:
Приведем значения феноменологических параметров, которые использовались в работах [168, 258] при фиттировании значений масс мезонов по формуле (4.5). Использовались два варианта, для первого варианта: ms = 463МэВ, тс = 1621МэВ, 5М = 40МэВ, m0 = 285МэВ, 6 = 615МэВ, (то равняется массе и—кварка или d—кварка); для второго варианта: ms — mo = 179МэВ, тс т = 1356МэВ, 5М + то = 614МэВ, Ь = 635МэВ, s — то/т5 = 0.626, с = то/тс = 0.22. Как видно, неявно всегда предполагается, что значения &м должны быть положительными.
В рассматриваемой модели в формуле (4.3) для оценки спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком используется следующее выражение для оператора спин-спинового взаимодействия: где Si и S2 - это конечномерные операторы спинов, которые выражаются через спиновые матрицы Si = о\/2, і = 1,2, и . являются энергиями кварка и антикварка, соответственно. Выражение (4.7) аналогично выражению для оператора спин-спинов ого взаимодействия, которое использовалось в модели квазинезависимых кварков в работе [99], а также выражению, полученному в рамках релятивистской квар-ковой модели в работе [96] и приведенному в подразделе 3.2 (формула 3.20) при є = 0. Заметим, что значения дополнительного феноменологического параметра є во всех случаях оказываются малыми, поэтому в пределах принятых систематических ошибок рассматриваемой модели это значение может быть положено равным нулю.
Конкретная процедура вычисления вклада спин-спиновового взаимодействия для мезонов из определенного семейства сначала сводилась к нахождению волновой функции 5—состояния системы qq в полном потенциале, состоящем из скалярного линейно растущего потенциала кон-файнмента и векторного квазикулоновского потенциала. Затем вычислялось среднее значение Vsxs2 (4-7) по найденным волновым функциям. Численные вычисления среднего значения оператора спин-спиновового взаимодействия в первом порядке теории возмущений показывают, что эти значения образуют медленно меняющуюся функцию от Ei и , зависящую в основном от полного спина кварк-антикварков ой системы и постоянной сильного взаимодействия as.
Таким образом, в пределах принятых систематических ошибок модели при вычислении значений масс S— волновых состояний 1 — и 0_+—мезонов с учетом спин-спинового взаимодействия использовалась следующая формула: Мт = Е0т + Ех{п\, 1/2) + Е2{пгъ 1/2) + 4 S,S2 ftft Vs (4.10) Значение параметра Vs, связанного со спин-спиновым взаимодействием, оказывается пропорциональным величине постоянной квазикулоновско-го взаимодействия as с некоторым коэффициентом Уц$ Сравнивая формулы (4.10) и (4.6), а также (4.7) и (4.5) , можно установить определенное соответствие между эффективными массами в модели Сахарова и Зельдовича и массовыми термами в данной модели, которое распространяется даже на вид спин-спинового взаимодействия. Однако, принципиальными отличиями являются следующие три важных обстоятельства: во-первых, массовые термы (эффективные массы) не подбираются чисто феноменологически, а вычисляются с помощью решения уравнения Дирака во внешнем потенциале. Во-вторых, вклады энергии среднего поля оказываются не положительными, а отрицательными, в то время как в модели Сахарова и Зельдовича всегда предполагается, что константа д/, которая играет роль, аналогичную той, которую играет энергия среднего поля, должна быть положительной. В третьих, величина спин-спинового взаимодействия в рассматриваемой модели оказывается значительно ниже аналогичных величин не только в модели Сахарова и Зельдовича, но также и во многих других потенциальных моделях. Причем это касается не только спин-спинового расщепления в тяжелых мезонах, но также и в легких. Основную роль при этом играет тот факт, что в данной модели мы не считаем единственной причиной малой величины массы тт - мезона спин-спиновое взаимодействие, как это обычно предполагается многими авторами. При проведении вычислений значение массы 7Г - мезона представлялось в виде двух слагаемых. Одно слагаемое связано с энергией среднего поля и непотенциальными эффектами, другое слагаемое связано с энергией спин-спинового взаимодействия.
