Содержание к диссертации
Введение
2 Комбинаторика путей и фермионные характеры 21
2.1 Одномерные конфигурации 22
2.1.1 Пути 25
2.1.2 Веса, сегменты и вершины 26
2.1.3 Веса одномерной конфигурации 27
2.1.4 Полосы и четность 29
2.1.5 Переопределение весов путей 30
2.1.6 Фундаментальная последовательность пути 31
2.2 Комбинаторные преобразования 32
2.2.1 /3-преобразования 32
2.2.2 йі-прсобразование 33
2.2.3 ^-преобразование 35
2.2.4 Движения частиц 36
2.2.5 ^-преобразование 37
2.2.6 Содержание частиц в пути 38
2.2.7 ^-преобразование 39
2.3 Фермионные характеры 40
2.3.1 Цепные дроби и mn-система 40
2.3.2 Зоны 41
2.3.3 mn-система 42
2.3.4 Обобщенная матрица Картана 43
2.3.5 Сектора 44
2.3.6 Генерирующие функции и формулы для характеров 46
2.3.7 Формулы для характеров 49
3 Алгебраический анализ 53
3.1 Решеточные модели 55
3.1.1 Модели ВВГ 56
3.1.2 Модели АВФ 58
3.2 Эвристический подход 63
3.2.1 Угловая трансфер матрица 63
3.2.2 Спектр углового гамильтониана 66
3.2.3 Многоточечные функции 68
3.2.4 Двухточечная ЛВВ 72
3.3 Представление свободными полями 73
3.3.1 Бозонное представление операторов 74
3.3.2 Комплекс Фельдера 77
3.3.3 Вычисление следов 80
3.3.4 Интегральное представление 82
3.4 Технические вопросы 84
3.4.1 Матрицы U 85
3.4.2 Доказательство коммутационных соотношений . 85
3.4.3 Формулы для вычисления следов 86
3.4.4 Вычисление простейшего интеграла 87
4 Деформированная алгебра Вирасоро 89
4.1 Динамическая симметрия 90
4.2 Экранирующий оператор Лукьянова 92
4.3 Когомологии БРСТ комплекса 97
5 Вакуумные ожидаемые значения 101
5.1 Операторы второго рода 101
5.1.1 Первое связанное состояние 101
5.1.2 Предписание для форм факторов 103
5.2 Скейлинговый предел 104
5.2.1 Операторы слияния 107
5.2.2 Вакуумные ожидаемые значения 111
6 Деформированные W алгебры 115
6.1 Коммутационные соотношения 115
6.1.1 Модели Джимбо, Мивы и Окадо 116
6.1.2 Коммутационные соотношения 119
6.2 Антисимметричное слияние 119
6.2.1 Слияние больцмановских весов 119
6.2.2 Дуальные вершинные операторы 124
6.3 Бозон изация вершинных операторов 125
6.3.1 Бозоны 125
6.3.2 Экспоненциальные операторы 126
6.3.3 Вершинные операторы 127
6.3.4 Графическое определение вершинных операторов , 130
6.3.5 Доказательство обменных соотношений 133
6.3.6 Доказательства теорем 3.2 и 3.3 138
6.4 БРСТ комплекс 144
6.4.1 Обозначения для $1п алгебры Ли 145
6.4.2 Базисные операторы 149
6.4.3 Хй(А) как сплетающие операторы 151
6.4.4 Конформный предел 154
7 Вершинные операторы восьмивершинной модели 161
7.1 Разностные уравнения 162
7.1,1 Связь с ВВГ моделями 162
7.1.2 Бозонизация 169
7.2 Корреляционные функции 172
8 Деформированная парафермионная алгебра 175
8.1 Антиферромагнитные АБФ модели 177
8.1.1 Больцмановских веса 177
8.1.2 Вершинные операторы в наивном подходе 179
8.1.3 Локальные спиновые вероятности 182
8.2 Свободно-полевая реализация 184
8.2.1 Основные операторы 184
8.2.2 Коммутационные соотношения 186
8.2.3 Свободно-полевая резольвента 187
8.2.4 Отождествление с решеточной теорией 189
8.2.5 Правила слияния для парафермионных токов 190
8.3 Форм факторы на решетке 191
8.3.1 Следы операторов типа II 191
8.3.2 Спиновый оператор 193
8.4 Технические вопросы' 194
8.4.1 Формулы для бозонных операторов 194
8.4.2 Резольвента -г) системы 197
8.4.3 Вычисление следа 198
9 Форм факторы в Zk моделях 201
9.1 Скейлипговый предел в режиме 2 201
9.1.1 Модели Кобсрле Свиеки 201
9.1.2 Проекционные операторы 204
9.2 Форм факторы 205
9.2.1 Двухчастичные форм факторы 205
9.2.2 Случай многих частиц 207
Заключение 211
Литература 213
- Фундаментальная последовательность пути
- Цепные дроби и mn-система
- Представление свободными полями
- Экранирующий оператор Лукьянова
Фундаментальная последовательность пути
Рассмотрим путь Лкак последовательность направленных отрезков, из меняющих направление между СБ и ЮЗ. При прохождении слева, пусть длины отрезков будут wi, W2, гоз,- -., ги/, для некоторого I, так, что каж дый из отрезков имеет ненулевую длину Wi 0 и Wi+Wi-\ \ W\ = L(h), где L(h) есть длина пути h. Для каждого из отрезков будем считать, что последняя вершина принадлежит ему, Тогда г-ый отрезок содержит и/ вершин, первые ш; — 1 из которых прямые вершины. ШІ = cii + bi так, что bi есть число вносящих вершин в гом отрезке. Фундаментальной последовательностью h будет называться массив: Доказательство: Предположим сначала, что первые W\ сегментов h на ходятся в СВ направлении. Тогда для нечетного і г-ый отрезок в СВ на правлении и его -координата есть шг+гі Н hwj_i- По определению ЬІ И преДПИСаНИЮ ДЛЯ ВССОВ, ЭТОТ ОТреЗОК ВНОСИТ ВКЛаД bi(w2+W4-\ hWi-i) в вес wt(h) пути h. Аналогично, для четного г г-ый отрезок находится в ЮЗ направлении и вкладывает величину b;(wi + w Н Ь Wf_i) в wt(h). Это доказывает лемму в случае, когда первый отрезок в СВ направле нии. Аналогично рассматривается второй случай. В дальнейшем рассмотрении ограничим внимание на множество пу той V (L) = Т окд+1(Ь), где L 0 четное и &0 определяется из усло вия, что ко и 10 являются наименьшими неотрицательными целыми для которых \рк0—р 10\ = 1. В пределе L — оо, соответствующая генерирую щая функция описывает характер вакуумного модуля алгебры Вирасо ро. Соответственно, линия h = kQ в картине путей называется основной линией. Из факта, что р и р являются взаимно-простыми легко найти, что всегда существуют такие к0 и о удовлетворяющие условию 0 10 ко 1f р — 1 и такие, что \рко — р 1а\ — 1. В частности, для случая р — 1 мы немедленно получаем о = 1и/о=0,ав случае р = р — 1 имеем ко = 1 и IQ — 1. В противном случае, если 1 р р — 1, то с необходимостью 1 Аго р - 1. Более того, если pkQ —p lo = 1, так, что pkQ/pf = IQ + 1/р , то линия h = / лежит ниже о-й нечетной полосы и выше четной полосы. Если жеpko—p lo = — lj так, чторк0/р = IQ — 1/р , то отрезок h — kQ находится сразу над /0-ой нечетной полосой и ниже четной полосы. С использованием этой информации можно доказать следующее техническое 4! утверждение Лемма 2.1.2. For all h P%f(L), we have j3(/i ) = 0. Доказательство может быть найдено в работе [113]. Сейчас мы готовы ввести первое комбинаторное В-преобразование, являющееся, существенно, обобщением преобразования Агарвала и Брюсо [1, 29], мотивированное работами Бэйли [9] (см. также [32]).
Преобразование в работе [1,29] действует на путях бесконечной длины для моделей ср = 2ир = 2А; + 1 где к S+. Обобщение состоит во включении путей конечной длины и рассмотрении всех взаимно простых р, р . -преобразование состоит из трех шагов, В\, Вг -преобразований. В\ отображает Vlf(L) (ииъективно) на (Ji(0) Vl .fQ{L№). Bi удлиняет пути, в частности отображая V (L) на V (L + 2к) для к 0. Б3 деформирует пути специальным образом. Р р (L). -преобразование включает в себя два параметра А; и А и обозначается как В(к,\). Оно отображает из \JhV$f (L) в {JuKf+Vi1 )- Это преобразование : (h, к, А) — Ы is является в действительности взаимнооднозначным. Определение Бі-прсобразования включает структуру полос V .f{L). Сначала отметим, что структура полос пространства Vlf {&) легко получается из структуры для V%f (L). В частности, число нечетных полос одинаково в обеих моделях. Так как 1-ая нечетная полоса для V (L) имеет нижний край при высоте \тр /р\, а в V {L ) нижний край находится в \1{р +р)/р\ — \}р /р\ +1, то мы видим, что расстояние между нечетными полосами увеличивается ровно на единицу, причем самая нижняя полоса тоже поднимается на 1. Заметим, что при р 1 начальная точка находится на верхнем (нижнем) ребре /о-й нечетной полосы как до так и после Ві-преобразования. Если р = 1, то начальная точка остается в h = 1. Образ пути получается сканированием последовательности вершин и вставлением добавочной вершины непосредственно перед каждой вносящей вершиной. Перед каждой прямой-вверх и пик-вниз вершиной вставляется прямая-вверх вершина. Перед каждой прямой-вниз и пик-вверх вершиной вставляется прямая-впиз вершина. Можно видеть, что форма и четность вносящих вершин при этом преобразовании сохраняются. Например, следующий V 8(1Q) путь (с L = 16 и UL+I = с = 4): Заметим, что путь, полученный при / -преобразовании не содержит последовательных соседних вносящих вершин и первая вершина является не вносящей. Лемма 2.2.1. Пусть h Є P?f (L) имеет фундаментальную последовательность ( 1 аь2 аь3 " аь1) , и пусть f№ Є + (- ) получен из него действием В\ -преобразования. Тогда h имеет фундаментальную последовательность: Доказательство: Доказательство следует непосредственно из определения фундаментальной последовательности и определения -преобразования.
Цепные дроби и mn-система
Мы получим модель V f (Ь) как последовательность В- и Р-преобразований из тривиальной модели. Эта последовательность определяется разложением числа р /р в цепную дробь. с со 0, Cj 1 для 0 і п, и Сп 2, то (CQ, СІ, С2,..., Сп) называется разложением в цепную дробь для р /Р Для дальнейших вычислений определим преобразование разложений в цепные дроби для р /р при В- Р-преобразовапиях. Лемма 2.3.1. Для положительных взаимно-простых целыхр up, пусть р /р имеет разложение в цепную дробь (со, Сі, С2,.. , Сп) 1. Разложение для (р1 + p)/j/ есть (CQ + 1, с\, сг,..., с„). 2. Еслир1 2р то цепная дробь для p /ip -p) есть (1, Со—1, сь CQ, ..., Сп). Доказательство: Прямым вычислением. Удобно будет разбить индексы в зоны. Пусть р и р такие, что р /р имеет разложение (со, сі,..., Сп). Определим Будем говорить, что индекс j с 0 j fn+i находится в зоне д, если м -? — Wi Таким образом, существует п+ 1 зона. Заметим, что для 0 5: Iі Щ зона и содержит с индексов, и п-я содержит Сп — 1 индексов. Определим = tn+i и назовем его рангом р /р. Ранг и число зон для V%fc{L) определяется рангом и числом зон для р /р. Лемма 2.3.1 показывает, что ранг повышается при В-преобразовании, но число зон неизменно. Ранг постоянен при -преобразовании, а число увеличивается. Пусть У 2р так, что t\ 0. Сейчас видно, что если мы начнем с Vi (L ) и применим последовательность t — 1 -преобразований таким образом, что для 1 /І п {t — )ое / -преобразование идет после Ранг постоянен при -преобразовании, а число увеличивается. Пусть У 2р так, что t\ 0. Сейчас видно, что если мы начнем с Vi (L ) и применим последовательность t — 1 -преобразований таким образом, что для 1 /І п {t — )ое / -преобразование идет после V-преобразования, то мы получим элемент [Jjj P f(L). Для каждой пары положительных взаимно простых целых р,р\ определим сейчас ассоциированную тп-систему (терминология предложена в работе [22], в которой она появляется другим образом). Пусть р /р имеет ранг t. mn-систсма есть набор t линейных уравнений определяющих ВЗаиМОЗавИСИМОСТЬ Двух f-МерНЫХ ВеКТОрОВ П = («1,П2, ... ,ТІ() и m = (тп0,mi,...,mt_i). Уравнения определяются для 1 j t как где мы положили mt = mt+i = 0. Заметим, что если каждый щ является неотрицательным числом, то все также неотрицательны ту Возможно исключить rrij для 1 j t из уравнений и получить: как длины струн. В дальнейшем то будет отождествлено с длиной L пути. В качестве примера рассмотрим случай р = 9 и р = 31. Цепная дробь имеет для 31/9 вид (3,2,4), при этом п = 2, ii — 2, t2 4 и t — 3 = 7 Соотношения для mn-системы удобно представлять в матричной форме Появляющиеся матрицы будут обобщениями матрицами Картана для алгебры Ли типа А. При заданных р и р , определим t как в (2.9) и пусть t = fn+i- Сейчас пусть С будет t х t три-диагональная матрица с элементами Су для 0 i,j t- 1. Лемма 2.3.2. Длл (тЗгиссироеанных p и p , пусть тип удовлетворяют тп-системе.
Тогда: Следствие 2.3.3. Для фиксированных р up1, пусть тип удовлетворяют тп-сисгпеме. Тогда, полагая L = то- Доказательство: Используя лемму 2.3.2, 52=1 гпіщ = — \тГСт—тощ. В случае ti — 0, выражение (2.10) дает 2щ = —m-i — то. В случае t\ 0, выражение (2.11) дает 2щ = ті — 2т0. Результат тогда следует после подстановки WIQ = L. Докажем две короткие леммы Лемма 2.3.4. Пусть h Vlf(L) и h Є Pkf+tfi 1 ) появляется в результате действия В[п , -преобразования па h. Если т — m(h) и т! — rn(hJ), то т = L и Доказательство: По лемме 2.2.1, действие -преобразования приводит к пути длины 2L—т, с m(h ) = L. Используя лемму 2.2.3 видно, что действие Вг (п )-преобразования на h дает путь длины 2L — т+2п для которого m(h ) = L. Так как В3V-преобразования, то мы получим элемент [Jjj P f(L). Для каждой пары положительных взаимно простых целых р,р\ определим сейчас ассоциированную тп-систему (терминология предложена в работе [22], в которой она появляется другим образом). Пусть р /р имеет ранг t. mn-систсма есть набор t линейных уравнений определяющих ВЗаиМОЗавИСИМОСТЬ Двух f-МерНЫХ ВеКТОрОВ П = («1,П2, ... ,ТІ() и m = (тп0,mi,...,mt_i). Уравнения определяются для 1 j t как где мы положили mt = mt+i = 0. Заметим, что если каждый щ является неотрицательным числом, то все также неотрицательны ту Возможно исключить rrij для 1 j t из уравнений и получить: как длины струн. В дальнейшем то будет отождествлено с длиной L пути. В качестве примера рассмотрим случай р = 9 и р = 31. Цепная дробь имеет для 31/9 вид (3,2,4), при этом п = 2, ii — 2, t2 4 и t — 3 = 7 Соотношения для mn-системы удобно представлять в матричной форме Появляющиеся матрицы будут обобщениями матрицами Картана для алгебры Ли типа А. При заданных р и р , определим t как в (2.9) и пусть t = fn+i- Сейчас пусть С будет t х t три-диагональная матрица с элементами Су для 0 i,j t- 1. Лемма 2.3.2. Длл (тЗгиссироеанных p и p , пусть тип удовлетворяют тп-системе. Тогда: Следствие 2.3.3. Для фиксированных р up1, пусть тип удовлетворяют тп-сисгпеме. Тогда, полагая L = то- Доказательство: Используя лемму 2.3.2, 52=1 гпіщ = — \тГСт—тощ. В случае ti — 0, выражение (2.10) дает 2щ = —m-i — то. В случае t\ 0, выражение (2.11) дает 2щ = ті — 2т0. Результат тогда следует после подстановки WIQ = L. Докажем две короткие леммы Лемма 2.3.4. Пусть h Vlf(L) и h Є Pkf+tfi 1 ) появляется в результате действия В[п , -преобразования па h. Если т — m(h) и т! — rn(hJ), то т = L и Доказательство: По лемме 2.2.1, действие -преобразования приводит к пути длины 2L—т, с m(h ) = L. Используя лемму 2.2.3 видно, что действие Вг (п )-преобразования на h дает путь длины 2L — т+2п для которого m(h ) = L. Так как В3(А)-преобразование не изменяет ни одного из свойств, то доказательство завершено. п Лемма 2.3.5. Пусть h є 7 р (L) и пусть Ы є Т щ-и Р( ) появляется в результате действия Т)-преобразования на h7 за которым следует В(п , X)-преобразование. Если т = m(h) и т = т{№), то т! = L и Доказательство: Пусть h Р0 р,р (L) появляется из действия -пре образования на h. По лемме 2.2.7, m(h) = L — т и L(h) — L. Тогда, используя лемму 2.3.4, т = L и V + (L — т) = 2т + 2п .
Представление свободными полями
В предыдущих разделах многоточечные ЛВВ были выражены как следы вершинных операторов. С математической точки зрения вершинные операторы и угловой гамильтониан образуют алгебру (3.35), (3.36), (3.37). Она действует в прямой сумме пространств к. К сожалению, наше предыдущее рассмотрение было эвристическим. Постулируем данные свойства вершинных операторов и попытаемся описать их матричные элементы. Из работы Андрюса и др. [2], мы твердо знаем, что Сцс имеет струк туру Z-градуированного пространства с угловым гамильтонианом в ка честве оператора градуировки. Свойства (3.26) являются характеристи ческими свойствами спектра оператора градуировки в пространстве Фо ка. Наша главная идея - построить представление для (3.35), (3.36), (3.37) в прямой сумме фоковских пространств. Ожидается что это пред ставление будет приводимым. Однако его ограничение па неприводимую компоненту должно обеспечить правильные кратности для собственных значений Не- Сходная процедура бозонизации былаЧтобы удовлетворить соотношению (3.47), мы задаем ненулевые коммутационные соотношения для операторов V, Q, (5п в следующем виде С этими определениями оператор (p(Q удовлетворяет коммутационным соотношениям (3.47). Это легко проверить так как функция R(Q (3.16) может быть переписана в виде: Алгебра Гейзенберга (3.49) имеет представление в фоковском пространстве. Как обычно, фоковское пространство Тр определяется как модуль, генерируемый действием операторов рождения /?_„, п 0 на старший ВеКТОр Vp Именно, пространство Тр покрывается векторами /3_П1/?_П2.. .0-njvp , пт О . Оно снабжено структурой Z-градуированного модуля с помощью оператора: Собственные значения этого оператора в Тр имеют вид (3.27), и мы хотим в дальнейшем отождествить (3.52) с угловым гамильтонианом. Как следует из (3.27), только фоковские пространства с целыми / и к являются существенными для пашей конструкции. Сейчас, введем следующее бозонное представление:
Тогда соотношение (3.46) удовлетворяется немедленно. Для описания бо-зонного представления для вершинного оператора Ф (), нам необходимы новые обозначения: Определим также оператор F{z,V) зависящий от "нулевой"моды V Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ где ш - ут Р и E(ziQ) задается уравнением (3.32). Мы предлагаем следующее правило бозонизации: = Г1І F& \ -V) U(z)U{0 . (3.57) Здесь контур С, идущий против часовой стрелки, охватывает полюса z — Qx1+2rm (т — 0,1,2,..) подынтегрального выражения, и г} является некоторой константой, которую мы определим позднее. Важно, что подынтегральное выражение (3-57) является однозначной функцией от переменной z на комплексной плоскости, поэтому контур интегрирования замкнут. Следовательно, действие оператора (3.57) является хорошо определенным для произвольного фоковского пространства Тр. Мы утверждаем применена для вы А числения конформных блоков в конформной теории поля [41] и решеточ ных корреляционных функций для XXZ спиновой цепочки Гейзенберга [371, [81]. Операторы Ф также образуют ассоциативную квадратичную алгебру, как можно проверить подстановкой уравнения (3.45) в (3.35). В частности, коммутационные соотношения операторов Ф+(0) и Ф"1" ) имеют вид: где функция Л (С) задана как (3.16). Наша первая задача - это провести бозонизацию Ф+(С) удовлетворяющего этому простому уравнению. Для этого мы следуем процедуре, развитой в работе 97j. Введем операторио-зпачную функцию р(0, удовлетворяющую коммутационному соотношению: Квазипериодичность R(C) при подстановке — е2,г,С подразумевает следующее лорановское разложение для р() : Чтобы удовлетворить соотношению (3.47), мы задаем ненулевые коммутационные соотношения для операторов V, Q, (5п в следующем виде С этими определениями оператор (p(Q удовлетворяет коммутационным соотношениям (3.47). Это легко проверить так как функция R(Q (3.16) может быть переписана в виде: Алгебра Гейзенберга (3.49) имеет представление в фоковском пространстве. Как обычно, фоковское пространство Тр определяется как модуль, генерируемый действием операторов рождения /?_„, п 0 на старший ВеКТОр Vp Именно, пространство Тр покрывается векторами /3_П1/?_П2.. .0-njvp , пт О . Оно снабжено структурой Z-градуированного модуля с помощью оператора: Собственные значения этого оператора в Тр имеют вид (3.27), и мы хотим в дальнейшем отождествить (3.52) с угловым гамильтонианом. Как следует из (3.27), только фоковские пространства с целыми / и к являются существенными для пашей конструкции. Сейчас, введем следующее бозонное представление: Тогда соотношение (3.46) удовлетворяется немедленно. Для описания бо-зонного представления для вершинного оператора Ф (), нам необходимы новые обозначения: Определим также оператор F{z,V) зависящий от "нулевой"моды V Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ где ш - ут Р и E(ziQ) задается уравнением (3.32). Мы предлагаем следующее правило бозонизации: = Г1І F& \ -V) U(z)U{0 . (3.57) Здесь контур С, идущий против часовой стрелки, охватывает полюса z — Qx1+2rm (т — 0,1,2,..) подынтегрального выражения, и г} является некоторой константой, которую мы определим позднее. Важно, что подынтегральное выражение (3-57) является однозначной функцией от переменной z на комплексной плоскости, поэтому контур интегрирования замкнут. Следовательно, действие оператора (3.57) является хорошо определенным для произвольного фоковского пространства Тр. Мы утверждаем, что следующее утверждение верно. Утверждение 3.3.1. Операторы (3.54), (3.57) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.60) Легко видеть, что коммутационные соотношения (3.59) эквивалентны (3.35) если вершинные операторы Ф± и Ф связаны как в уравнении (3.45). Явный вид матриц (3.60) представлен в техническом разделе ниже. Там же мы приводим основные выкладки доказательства (3.59). Легко видеть, что операторы (3.54), (3.57) удовлетворяют требуемым коммутационным соотношениям (3.36) с угловым гамильтонианом (3.52). Также можно проверить, что они удовлетворяют правильному условию нормировки.
Экранирующий оператор Лукьянова
Сейчас мы приступаем к доказательству утверждений о существовании и структуре комплекса Фельдера для деформированной алгебры Вира-соро, которые были сформулированы и использованы в предыдущей главе [111]. Именно, мы проверяем, что некоторые степени деформированных экранирующих операторов, введенных Лукьяновым, коммутируют с генерирующими функциями деформированной алгебры Вирасоро. Т. е. они являются сплетающими операторами и определяют структуру вложений сингулярных векторов. Мы даем доказательство того, что деформированные экранирующие операторы удовлетворяют БРСТ свойству, так что обычный комплекс Фельдера может быть деформирован в комплекс для деформированной алгебры Вирасоро. Рассмотрим экранирующий оператор Лукьянова [97, 111] где мы положили 2-х2". Обозначение [v] использовано для тета функций имеющих вещественный полупериод j/. Отметим, что подынтегральное выражение для оператора Х7 введенного выше, содержит фактор [111] F(v;u ) — [v + \ — u]/[v — ], который исчезает в пределе к теории представлений алгебры Вирасоро. Благодаря этому фактору подынтегральное выражение является однозначной функцией z, и интегрирование берется по замкнутому контуру. В конформном пределе ж- 1с фиксированным значением переменной z = x2v функция F(W,CL ) стремится к константе как функция z для Argz ф О, в то время как полюса и нули этой функции конденсируются в разрез вдоль положительной вещественной оси в г-плоскости. В работе [135] было показано, что экранирующие токи (4.8) коммутируют с генераторами деформированной алгебры Вирасоро с точностью до полной разности: Лемма 4.2Л. В случае, когда функция F(v; и) не имеет полюсов, лемма 4.2.1 ведет к коммутативности Тп и X. Общий случай нуждается в более аккуратном рассмотрении. Мы утверждаем, что следующее утверждение верно Утверждение 4.2.2. Щ Для 1 к р , оператор Хк коммутирует с генераторами Тп на про странстве T k так Вирасоро. Благодаря этому фактору подынтегральное выражение является однозначной функцией z, и интегрирование берется по замкнутому контуру. В конформном пределе ж- 1с фиксированным значением переменной z = x2v функция F(W,CL ) стремится к константе как функция z для Argz ф О, в то время как полюса и нули этой функции конденсируются в разрез вдоль положительной вещественной оси в г-плоскости. В работе [135] было показано, что экранирующие токи (4.8) коммутируют с генераторами деформированной алгебры Вирасоро с точностью до полной разности: Лемма 4.2Л. В случае, когда функция F(v; и) не имеет полюсов, лемма 4.2.1 ведет к коммутативности Тп и X.
Общий случай нуждается в более аккуратном рассмотрении. Мы утверждаем, что следующее утверждение верно Утверждение 4.2.2. Щ Для 1 к р , оператор Хк коммутирует с генераторами Тп на про странстве T k таком, что к = k mod р Это утверждение означает, что в бозонной реализации операторы Хк действующие в фоковском пространстве .7 j-і являются сплетающими операторами для деформированной алгебры Вирасоро. Важно, что лукьяновские экранирующие операторы также удовле творяют следующему свойству Утверждение 4.2.3. Оператор X является нилъпотентным: В силу этого предложения можно рассматривать сплетающие опера щ торы, заданные степенями экранирующих операторов как дифференци алы двухстороннего комплекса Фельдера и уравнение (4.13) интерпретируется как БРСТ свойство экранирующих операторов. Для доказательства этих предложений мы приготовим некоторые леммы. В общем случае рассмотрим выражение вида Симметризуя подынтегральное выражение и используя коммутационное соотношение переписать 5(F) в виде 5(SymF), где Доказательство предложений основывается на следующем тождестве для тета функций Лемма 4.2.4. Это тождество для квазипериодических ом, что к = k mod р Это утверждение означает, что в бозонной реализации операторы Хк действующие в фоковском пространстве .7 j-і являются сплетающими операторами для деформированной алгебры Вирасоро. Важно, что лукьяновские экранирующие операторы также удовле творяют следующему свойству Утверждение 4.2.3. Оператор X является нилъпотентным: В силу этого предложения можно рассматривать сплетающие опера щ торы, заданные степенями экранирующих операторов как дифференци алы двухстороннего комплекса Фельдера и уравнение (4.13) интерпретируется как БРСТ свойство экранирующих операторов. Для доказательства этих предложений мы приготовим некоторые леммы. В общем случае рассмотрим выражение вида Симметризуя подынтегральное выражение и используя коммутационное соотношение переписать 5(F) в виде 5(SymF), где Доказательство предложений основывается на следующем тождестве для тета функций Лемма 4.2.4. Это тождество для квазипериодических функций может быть легко доказано в простейших случаях рассмотрением нулей левой и правой частей и использованием теоремы Лиувилля. В общем случае оно было доказано в работе [112]. Предполагается в (Ь), что F{v\, , 1) не имеет полюсов при и = Vj.
