Содержание к диссертации
Введение
Часть I. Высокие порядки теории возмущений в квантовой механике и в квантовой теории поля 28
Глава I. Системы с единственным минимумом потенциальной энергии 28
1. Обыкновенный интеграл.. 28
2. Ангармонический осциллятор 33
3. Скалярная теория поля.. 36
4. Суммирование рядов теории возмущений... ...39
Глава 2. Системы с несколькими минимумами потенциальной энергии. 46
1. Обыкновенный интеграл47
2. Ангармонический осциллятор с двумя минимумами.53
3. Неабелевы калибровочные теории 62
4. Связь инстантон-антиинстантонных конфигураций с суммированием рядов теории возмущений 73
Глава 3. Квантовая электродинамика 86
1. Введение .86
2. Поведение детерминанта оператора Дирака при большом комплексном заряде для определенного класса полей 87
3. Перевальные конфигурации полей 92
4. Асимптотика детерминанта оператора Дирака в комплексной плоскости заряда для полей общего вида ..-96
5. Ренормалонные диаграммы 104
6. Асимптотические оценки для диаграмм с фиксированным числом фермионных петель 106
а)Введение (106); б) Общий формализм (НО); в)Выбор формы решения (117); г) Разделение переменных для прямого вложения (121); д) Разделение переменных для последовательного вложения (122); е) Численное решение перевальных уравнений (124)
Глава 4. Квазиклассическое разложение в квантовой механике...129
1. Общие свойства квазиклассического разложения...130
2. Аналитическое продолжение по постоянной Планка..133
3. Вычисление изменения вронскиана при аналитическом продолжении 137
4. Дисперсионное соотношение по постоянной Планка..141
Часть II. Высокие порядки теории возмущений в классической механике 144
Рлава 5. Сохраняющие площадь отображения ..144
1. Общие свойства двумерных сохраняющих площадь отображений 145
2. Матрица монодромии для периодических точек с большим периодом 153
3. Определение формального интеграла... ...172
4. Вид сингулярности формального интеграла в окрестности периодических точек 174
5. Асимптотика коэффициентов теории возмущений для формального интеграла 178
Глава 6. Гамилътоновые системы с несколькими степенями свободы .190
1. Общие свойства модели Хенона-Хейлеса 190
2. Матрица монодромии для долгопериодических точек197
3. Определение дополнительного интеграла...,. 208
4. Сингулярность дополнительного интеграла в окрестности периодических траекторий 210
5. Асимптотические оценки коэффициентов теории возмущений для дополнительного интеграла ...215
Глава 7. Решение солитоноподобных уравнений 225
1. Понижение порядка солитонных уравнений для
определенного класса теорий... ...225
2. Решение классических уравнений для быстро осциллирующих функций. Определение главного члена асимптотики .228
3. Теория возмущений для уравнения Гамильтона-Якоби234
4. Сшивка с точным решением 240
Заключение 247
Список работ по теме диссертации ...249
Приложения
- Связь инстантон-антиинстантонных конфигураций с суммированием рядов теории возмущений
- Асимптотика детерминанта оператора Дирака в комплексной плоскости заряда для полей общего вида
- Вид сингулярности формального интеграла в окрестности периодических точек
- Сингулярность дополнительного интеграла в окрестности периодических траекторий
Введение к работе
Для большого числа физических задач точное решение в виде комбинации известных (простых) функций или невозможно из-за внутренней сложности, или очень громоздко. При количественном изучении таких систем приходится применять различные приближенные методы как численные, так и аналитические. Среда разнообразных приближенных методов метод теории возмущений по малому параметру является одним из наиболее универсальных, надежных и популярных.
Для применимости этого метода достаточно, чтобы гамильтониан рассматриваемой задачи можно было разбить на две части , для которого решения уравнений движения считаются известными, ЛНЛ {? %!%) - гамильтониан возмущения, X - параметр разложения (константа связи). При Х- О любая (или почти любая) интересующая нас величина J может быть представлена в виде формального ряда теории возмущений по и в каждом конкретном случае можно указать алгоритм последовательного вычисления коэффициентов 1 . (В квантовой теории поля подобный алгоритм носит название правил Фейнмана). Когда константа связи Л мала, несколько первых членов этого ряда позволяют получить достаточно точное значение величины 1 . Одним из лучших примеров такого рода является вычисление аномального магнитного момента электрона в квантовой электродинамике (см. работу [і] и ссылки в ней):
(Первая ошибка в теоретическом значении (І43) связана с погрешностью численного интегрирования, а вторая ( 128) возникает из-за неточности в определении постоянной тонкой структуры). Однако, если параметр разложения не столь мал как в этом случае и (или) нас интересует очень точное значение искомой величины, возникают задачи о вычислении большого числа коэффициентов теории возмущений и о суммировании всего ряда теории возмущений.
Особое развитие это направление получило в последнее де-сятиление, когда электронно-вычислительные машины сделали возможным вычисление высоких порядков теории возмущений в нетривиальных случаях (см., например, обзор JVJ). Главная трудность при таком подходе состоит в том, что в большинстве интересных задач ряды теории возмущений являются асимптотическими рядами. Это означает, что коэффициенты теории возмущений 1 с ростом а растут быстрее ( с любым фиксированным СИ и ряд теории возмущений (2) не определен без задания способа суммирования. (Дополнительные трудности в некоторых теориях возникают из-за существования неаналитических по X поправок типа X ехр(-о/Я) [3,4]).
Связь инстантон-антиинстантонных конфигураций с суммированием рядов теории возмущений
Поведение коэффициентов ц , как, видно из (4.8), определяется классическим решением с минимальным действием. Т.о., мы еще раз воспроизвели общую схему применения метода перевала для вычисления асимптотики коэффициентов теории возмущений.
Подчеркнем, что основное достоинство метода суммирования по Борелю в том, что с его помощью расходящийся ряд (4.6) преобразуется в ряд (4.7), сходящийся в некоторой области. Для улучшения сходимости последнего ряда применимы стандартные методы типа Паде-приближений и комформных преобразований.
Во всех использованных методах суммирования строится функция, первые коэффициенты разложения которой в ряд теории возмущений совпадают с точными, а асимптотика высоких коэффициентов совпадает с вычисленной методом перевала. Простой метод одновременного учета высоких и низких порядков теории возмущений был предложен в работе [_76]. Пусть lh - точные значения коэффициентов теории возмущений, а 1Ь - асимптотическая формула для них, взятая в некотором определенном виде. Построим функцию где для второй суммы применен какой-нибудь метод суммирования, обычно метод Бореля. Очевидно, что у функции XN (Л) впервые N коэффициентов и асимптотика высоких порядков совпадают с точными значениями. На ряде примеров в работе (7б] было показано,что применение такой улучшенной теории возмущений намного лучше ап-роксимирует точное решение, чем просто конечные полиномы теории возмущений и позволяет восстановить точную функцию в более широком диапазоне константы связи. В другом методе приближенного суммирования рядов теории возмущений сначала выполняют преобразование Бореля типа (4.7), а затем для улучшения сходимости получена ного ряда используют либо Паде-апроксимацию, либо соответствующим образом выбранное компормное преобразование. Обсудим подробнее выбор комформного преобразования /24]. Как мы видели при факториальном характере коэффициентов теории возмущений Борелев-ский ряд (4.7) сходится в некотором круге, радиус которого равен расстоянию от точки 2=0 до ближайшей особой точки функции
Подчеркнем, что знание асимптотики коэффициентов теории возмущений фиксирует положение и характер ближайшей особой точки функции В(ъ) (см. (4.12)). Пусть эта точка есть точка S--1 . Тогда ряд для Вґг) (4.7) будет сходится в круге единичного радиуса, хотя область аналитичности составляет всю плоскость разрезом f-w,-i) . Поэтому удобно отобразить разрезанную плоскость во внутренность единичного крута, а. затем разложить полученную функцию по расстоянию от центра круга. Для этого можно выполнить сначала преобразование а затем переразложить функцию В(г) по wte) , удерживая такое же число членов как и в начальной фуніщии и используя знание нескольких первых коэффициентов ряда теории возмущений. Учитывая определенную свободу в выборе преобразования Бореля, в работе [24], было получено хорошее согласие с результатами численного счета, для энергии основного состояния ангармонического осциллятора во всем диапазоне изменения 1 . Аналогичные вычисления, но с учетом 20 первых коэффициентов ряда теории возмущений, были выполнены в работе [І2і], где была найдена асимптотика энергии основного состояния ангармонического осциллятора при Я-»00 в хорошем согласии с известным результатом.
В целом многочисленные примеры показывают [21-24,36,76,79-811, что знание асимптотических формул позволяет значительно расширить область применимости теории возмущений. Особенно стоит отметить работы [80-81], в которых вышеописанные методы были применены для вычисления критических индексов, причем было получено хорошее согласие с экспериментальными данными.
Эта глава, основанная на результатах работ [25,26,85] , посвящена обсуждению высоких порядков теории возмущения для систем с несколькими минимумами потенциальной энергии. Вблизи каждого из таких минимумов, или как мы иногда будем говорить классических вакуумных состояний, можно развить теорию возмущений по отклонениям от них. Существование многих теорий возмущений есть характерная особенность таких систем. Кроме того, теории, которые мы ниже будем рассматривать, обладают еще одним важным свойством - возможностью туннельного перехода из одного классического вакуумного состояния в другое, что проявляется в существовании решений классических уравнений поля с конечным действием типа инстантонов при обычном выборе константы связи. Так как стандартная теория возмущений предполагает разложение вблизи одного фиксированного минимума, то в таких теориях возможен иной вид неустойчивости, чем в теориях с одним основным состоянием -именно неустойчивость по отношению к уходу системы за счет туннельных переходов в другие вакуумные состояния.
Как и главу I, мы начнем в I с обсуждения самого простого примера. - обыкновенного интеграла, с несколькими минимумами, на. котором можно легко увидеть особенности систем с неединственным вакуумным состоянием. В 2 будет рассмотрен ангармонический осциллятор с двумя минимумами, причем основное внимание уделено симметричному двухямному осциллятору. Пользуясь аналогией с этим осциллятором, в 3 найдена асимптотика, коэффициентов теории возмущений для теории Янга-Миллса. В 4 обсуждаются вопросы, связанные с суммированием рядов теории возмущений для этих моделей.
Асимптотика детерминанта оператора Дирака в комплексной плоскости заряда для полей общего вида
Суммируя вышесказанное, мы приходим к следующей схеме вычисления флуктуации в квадратичном приближении вблизи сшитых конфигураций типа инстантона-антиинстантона. Первый шаг состоит в вычислении энергии взаимодействия, такой конфигурации,начиная с произвольно выбранного начального приближения и устраняя линейный по отклонениям член, как описывалось выше. Второй шаг заключается в вычислении интеграла по параметрам, описывающим рассматриваемую конфигурацию. В области, где энергия взаимодействия отвечает притяжению, необходимо изменить её знак путем выбора фазы константы связи или путем деформации контура, интегрирования. В области отталкивания соответствующие интегралы вычисляются прямо в том виде, в котором они получены.
Зная вклад флуктуации вблизи данной конфигурации в квадратичном приближении, в принципе, нетрудно вычислить вклады членов более высоких степеней по отклонениям по стандартной теории возмущений. Как обычно, это приводит к умножению вклада в квадратичном приближении на. некоторый ряд теории возмущений (ср. с I). Для симметричного двухямного осциллятора. (2.17) ряд (4.29) для однопетлевого вклада приводит к общему выражению для энергии основного состояния [94]:
Первый член представляет собой вклад обычной теории возмущений около "тривиального" вакуумного состояния -х.-о . Член в фигурных скобках и есть вклад флуктуации около конфигурации с 1р кинками и антикинками. Первые члены Eokf могут быть получены из разложения (4.28) в ряд (4.29). Между различными коэффициентами EhKp существует ряд соотношений, которые подробно обсуждаются в работах [94]. В них показано, что достаточно знать коэффициенты обычной теории возмущений Еп и коэффициенты теории возмущений возле одноинстантонного решения ЁПо1 , чтобы получить весь ряд (4.37). Для того, чтобы ряд (4.37) имел смысл, необходимо задать . способ суммирования всех рядов по Я в этом выражении. Учитывая вышеприведенные аргументы, легко понять, что каждый из рядов по 1 в (4.37) определен так, что он описывает функцию аналитическую в комплексной плоскости Х с разрезом вдоль правой или левой полуоси, так что для каждого из этих функций справедливо одно из дисперсионных соотношений (I.I2) или (I.I5). Поэтому каждый из рядов теории возмущений может быть просуммирован методом Бореля (см. 4 главы I), и лишь затем надо суммировать рдц (4.37). Мнимые части, возникающие при суммировании рядов, для которых справедливо дисперсионное соотношение (I.I2), сокращаются с мнимыми частями из логарифмических членов в (4.37). В 2 мы использовали этот факт для вычисления асимптотики высоких порядков Е .
Выражение (4.37) задает некоторый метод суммирования рядов теории возмущений. Сложность этого метода связана с тем, что функция Е(ії) на первом листе переменной А должна иметь сложную систему сингулярностей. Для обычного осциллятора типа (І.2І) в работах [ъ \ показано, что бесконечное число особенностей, связанных с пересечением разных уровней энергии при комплексных значениях константы связи, возникает только на втором листе. На первом листе константы связи в этом случае Е(д) есть аналитическая функция с разрезом вдоль отрицательной полуоси. Поэтому для суглглирования рядов теории возмущений можно было применять простые методы типа метода Бореля. Для двухямного симметричного осциллятора система особенностей, связанная с пересечением уровней, лежит прямо на первом листе римановой поверхности f [27]. Эти особенности при \ІЇ\ о лежат в области ЬП(А/А1) » Re.(i/f) и описываются уравнением (4.28). Ряд (4.37) устроен таким образом, что в этой области для -о он приводит к (4.28).
Метод, которым мы вычисляли вклады флуктуации вблизи инстан-тон-антиинстантонных конфигураций практически не связан со спецификой " ангармонического осциллятора и может быть применен в квантовой теории поля, хотя вычисления более сложны. В 3 этой главы мы его использовали для вычисления вкладов конфигурации типа инстантон-антиинстантон в неабелевых калибровочных теориях. Из-за существования в этих теориях к -инстантонных решений ряд теории возмущений для функций Грина в этих теориях, представляющий собой обобщение (4.37), будет еще более сложный и включает сумму вкладов от конфигураций с к инстантонами и т антиинстан-тонами. Суммирование этого ряда в комплексной плоскости константы связи, по-видамому, приведет к воспроизведению картины сингуй лярностей, связанных с истинным спектром этой теории Гзб]. Эти сингулярности связаны с тем, что функции Грина зависят от заряда и импульса только в виде комбинации инвариантного заряда
Рассматриваем теорию в эвклидовом пространстве) точные функции Грина должны иметь сингулярности, связанные со спектром рассматриваемой теории. Переходя на достаточно большой лист по переменной kz , мы видим, что эти сингулярности проявляют себя как сингулярности при L /9г60 - A/Jvcjb . но это условие означает,что вклады всех инстантон-антиинстантонных конфигураций одного порядка (так как они пропорциональны socp (-гхгп/ ) ), Кроме того,суммирование подобных рядов представляет интерес для проблемы конфайнмента и проблемы инстантонного газа L89J.
Вид сингулярности формального интеграла в окрестности периодических точек
Таким образом, при аналитическом продолжении по постоянной Планка меняются граничные уоловия для %±) (ъ с-) , что, в конечном счете, приводит к изменению интересующих нас величин.
Для получения асимптотических формул для квазиклассического разложения условия квантования энергии (I.I6), нам необходимо вычислить изменение вронскиана (1.2) при указанных аналитических предложениях. Заметим, что согласно (1.8) вронскиан (1.2) является суммой двух членов, каждый из которых имеет существенную особенность. Легко видеть, что на всем пути аналитиче-ского продолжения - е" б первый член экспоненциально велик по отношению ко второму и, так как квазиклассическое разложение имеет только степенную тоность, на этом пути второй член должен Сот быть отброшен. Аналогично, при - г е- доминирующим являет ся второй член. Поэтому нам нужно изучить изменение каждого из вронскианов (6) и WD (є) в сумме (1.8), по отдельности. Для этого прежде всего учтем, что при комплексных значениях -ос в области, содержащей точку осс на рис.7, асимптотика дункции пр (х ) при б о дается функцией (э е) в (1.4), а функции "Y( (-хус) - функцией 1 Ыл) . Поэтому выражение для вронскиана \X/0L в (1.8) может быть переписано в следующем виде:Рассмотрим равенство (2.4а). \%Се б) дается выражением (2.3), в котором вместо функций п (±) С ) надо подставить соответствующие функции Y fee"1!) , полученные при аналитическом продолжении по , асимптотика которых приведена в (2.2). Для вычисления v/B(e .) нам надо знать поведение функ-ции _ ( е е-") в точке с0 , а функции 7 +) (х;е -) в точке ос0 (І 0 ) . Учитывая, что обе эти точки при-надлежат областям, в которых функции ( ,е 6) убывают и в которых для них справедлива асимптотика, (2.2), нетрудно доказать справедливость (2.4а). При доказательстве надо учесть, что функция $(осуе) , определенная в (1.4), при М- оо убывает не только в секторе, в котором имеет место указанная асшлптотика, но и в примыкающих к нему секторах. Б действительности, равенство (2.4а) может быть получено почти без вычислений, если учесть, что вронскиан (1.2) должен быть четной функцией . Так как, как уже отмечалось выше, при аналитическом продолжении 4 первый член в сумме (1.8) экспоненциально велик по сравнению со вторым, именно он должен перейти во второй член, что и приводит к (2.4а). Для выводы второго соотношения (2.46) заметим, что в этом случае нам необходимо знать асимптотику функций ІГ(±) (зс,е -) в областях, где они возрастают (см. рис.7) и где асимптотики (2.2) непосредственно не применимы. Согласно обычным правилам б8,47] продолжение функции из области, где она убывает, в область, где она. возрастает, необходимо выполнить всеми возможными способами, обходя доступные точки поворота (ср. с вычислением коэффициента надбарьерного отражения в [lI0,68,47]). Рассмот-рим сначала функцию _} (ос,е с-) . Согласно (2.2) она убы-вает в секторе 2, а для вычисления W0(& є) нам необходимо знать её поведение в точке сс0 , расположенной выше действительной оси. Существуют три возможности продолжения этой функции в точку CCQ : 1) Непосредственное продолжение через отрезок действительной оси. 2) Обход точек остановки х и ос, . 3) Обход точек остановки х3и -Учитывая все эти возможности, получаем: где КЛ и R2 - это изменение функции Ж(_) (-х}ъ &) при обходе по контурам Сл и Cz , охватывающим точки остановки ( з и аі4 ) и ( 3Cj, ) соответственно (см. рис.8а и 86). Так как функция T foe е) убывает в нижней полуплоскости, величины К )2. экспоненциально малы. Аналогичные рассуждения для функции +)( е 6) дают: Соотношение (3.5) означает, что функция $() при малых Q является аналитической функцией 6 в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси. Для определения скачка на этом разрезе необходимо вычислить величину К (О . Если уравнение причем контур с1 (ССР)) охватывает комплексную точку остановки ее и точку остановки -хл ( х ) на действительной оси, а суммирование в (3.6) ведется по всем точкам остановки в нижней полуплоскости. В общем случае, как обычно, в число точек, за которые зацепляется контур интегрирования, надо включать не только точки остановки, но и особые точки потенциала. Из всех вкладов, как мы увидим ниже, надо выбрать такие, для которых модуль показателя в (3.6) наименьший.
Сингулярность дополнительного интеграла в окрестности периодических траекторий
Как ясно из вывода формул (4.10), (4.II), вычет в полюсе при 1-Тр должен вычисляться на ближайшей к данной точке периодической траектории. Условия, определяющие периодическую траекторию E eetvit. , ї=Ір (или R — Rj» ) и Л$1 /\11(%=2хк, где к - целое число, в низшем порядке фиксируют j , jp (и Гр , В ) и дают соотношения между и : HZ% HA%J=2JT - . Для выполнения последнего соотношения мы должны добавить к if» и Ч«_ некоторые члены порядка с 4//у« а . Так как зависимость от if», возникает только в старших членах разложения R и по теории возмущений, добавочные члены будут более высокого порядка малости, чем удержанные в (5.5) и (5.6) и ими можно пренебречь для получения главного члена асимптотических формул (см. ниже). Поэтому под р. в (5.5) и (5.6) можно понимать заданные у
Из (5.5) следует, что (Х является настоящим параметром разложения для периодических траекторий. Для того, чтобы си был мал необходимо выполнение двух условий: 1) При фиксированной величине разности AL- А/а сумма M-M2 должна быть велика. 2) СЙЪ29 не должен быть очень мал.
Второе условие исключает области фазового пространства около периодических траекторий 3 -3 . (см. рис.9), что естественно, т.к. глы не учитывали периодические траектории, окружающие эллиптические точки Щ - JT . Кроме того заметим, что третьи члены разложения переменных действия-утол (Б6)-(Б7) содержат члены, возрастающие при приближении к траекториям ЗГі и X . Поэтому нижеприведенная формула (5.7) для X. применима во всем фазовом пространстве за исключением малых (при малых dp ) областей вблизи периодических траекторий Xj-JJg . Для получения асимптотической формулы для дополнительного интеграла в этих областях необходимо использовать другие параметры разложения. Так. для описания областей около траекторий Щ- Щ ( Jfy ) нужно считать сго2Э Сш29) малой величиной и вместо ряда (1.4) рассматривать ряды по этим параметрам. Отметим, что, зная периодическую траекторию с некоторыми / , Ц _ и используя преобразвание 3 )- -3 / , Xz(i) я21і) (ср. с (1.7), глы всегда можем построить новую периодическую траекторию с перестав ленными значениями Д/yj и Hz . Этим двум типам тра-екторий отвечают (Хр в (5.5) разного знака. Кроме того, для каждой из этих траекторий существуют два значения Гр , соответствующие двум возможным знакам &р . Итого, для траекторий с фиксированными Н , Nz (без учета их порядка) сріествуют 4 значения Гр1 (i- 2,3 ) , причем два из них действительны, а два комплексны. Для определенности условимся, что Q 1 = \&р] » Q -hpl , Q ilQpl , Q l-i/tyj и будем использовать обозначение -f 6 для любой величины 4(г) , вычисленной при где с - постоянные, связанные с неоднозначностью дополнительного интеграла (для упрощения формул мы изменили их опреде-ление по сравнению с (4.12)), Ф, (ф. р)- это переменные типа угол, определенные по теории возмущений. Первые члены разложения их в ряд по т приведены в (Б6). В (5.7) указана явная зависимость Д от энергии. Именно при резонансных значениях Ё: v , определенных в (5.6), долины быть вычислены следа матрицы монодромии в (5.7). При вычислениях надо учесть, что согласно (2.21), (2.20) и(Б7) Др пропорционально ((\Л ,г г, и принять во внимание соответствующее изменение фазы Д.р при разных ь . В частности, А (Ер )= -0 l Д(рР ) Для траектории, удовлетворяющим условиям (2.6), (2.8), сумма Н Щг равна нечетному числу и два значения Гр и \уа в этом случае отвечают эллиптической и гиперболической траекториям.
В принципе, формула. (5.7) решает поставленную задачу вычисления высоких порядков теории возмущении для дополнительного интеграла. Однако сумма в (5.7) берется по всем периодическим траекториям, поэтому нам нужно обсудить, какие траектории вносят главный вклад при больших N » N . (и малых Qp ).
Для оценки воспользуемся формулой (2.21) для А . Опус- Из выражения для (N ) ясно, что главный вклад при фиксированной сумме fy + ft вносят траектории с минимальной разностью MpN il . Как обсуждалось в 3, это условие означает, что соответствующая траектория один раз обходит точку dr (или 3 ).(Конечно, должно быть также выполнено соотношение (2.8), т.к. только в .этом случае справедлива формула (2.21) для Л ).
Из этих же оценок ясно, сколько коэффициентов теории возмущений надо удержать для получения главного члена асимптотичес - 222 кой формулы. Так как К г ь]/{[ , то в 4 и ф2 надо учесть три первых члена, а так как. ц N , то в Гр существенны также три коэффициента теории возмущений. Во всех остальных величинах достаточно низшего порядка теории возмущений . Формула (5.7) связывает параметры периодических траекторий с высокими коэффициентами теории возмущений для дополнительного интеграла. Одни из этих величин, такие как. Ц, , ф , _ могут быть получены по обычной теории возмущений. Другие такие как А. , либо должны быть вычислены численно, либо оценены с помощью формул типа (2.21).
Грубая оценка для Хп при больших Yv может быть получена объединением (5.10) и (5.7): где х М некоторая осциллирующая функция. В этой формуле учтена только одна периодическая траектория, для которой № +N2 2./» , (и, конечно, At, и Н удовлетворяют (2.6), (2.8)).
Похожие диссертации на Высокие порядки теории возмущений в классической механике и в квантовой теории поля
