Содержание к диссертации
Введение
1 Низкоэнергетическая теория вблизи инфракрасной (ИК) стабильной точки 19
1.1 Многомерная теория в подходе Калуцы-Клейна 19
1.2 Кварк-антикварковое рассеяние на бране 24
1.3 Низкоэнергетическая эффективная теория в дополнительных измерениях 29
1.4 Кварк-антикварковое рассеяние в низкоэнергетической эффективной теории 37
1.5 Выводы 41
2 Ренорм-групповой подход для НепереНОрМИруеМЫХ Теорий 44
2.1 Перенормировка в локальной квантовой теории поля 44
2.2 Примеры вычислений для непернормируемых теорий 50
2.2.1 D=6, ф^6) 51
2.2.2 4)5 ^10), & ф*в) 58
2.3 Выводы 61
3 l/Nf разложение в многомерных теориях 63
3.1 1/N разложение. Скалярная теория 63
3.2 Свойства 1/N разложения 69
3.3 1/Nf разложение. КЭД 74
3.4 1/Nf разложение. КХД 80
3.5 Ренормализационная группа в 1/iV/ разложении 92
3.6 Аналитические свойства и унитарность 96
3.7 Выводы 106
4 Феноменология 1/iV/ разложения 108
4.1 Дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния 109
4.2 Объединение констант связи 114
4.3 Выводы 117
Заключение 119
- Кварк-антикварковое рассеяние на бране
- Примеры вычислений для непернормируемых теорий
- 1/Nf разложение. КЭД
- Аналитические свойства и унитарность
Введение к работе
Основу современных представлений о физике микромира составляет так называемая Стандартная модель (СМ). Стандартная модель описывает три типа взаимодействия- электромагнитное, слабое и сильное- полей материи- кварков и лептонов. Однако, существует четвертый тип взаимодействия- гравитация, которая не входит в Стандартную модель, что говорит о том, что СМ нуждается в обобщении. Помимо этой проблемы существует расхождение некоторых результатов на уровне двух стандартных отклонений, получаемых из теоретических расчетов в СМ, и экспериментальных результатов. На данный момент существует несколько теорий, содержащих Стандартную модель в качестве низкоэнергетической эффективной теории, включающих гравитацию и приводящих к теоретическим расчетам, которые лучше согласуются с экспериментом.
Одна из таких теорий- суперсимметричная теория, позволяющая получить гравитацию, появилась около сорока лет назад. В данной теории имеется дополнительная симметрия между бозонами и фермионами. Именно эта симметрия помогает объединить гравитацию с другими типами взаимодействия. Наиболее популярной феноменологической моделью в суперсимметричных теориях
является Минимальное Суперсимметричное расширение Стандартной модели (МССМ), теоретические расчеты в которой согласуются с экспериментальными данными лучше чем в СМ.
Можно пойти и другим путем: пытаться добавлять не дополнительные симметрии, а дополнительные пространственные измерения. Однако, тут же возникает следующий вопрос: мы знаем, что пространство, в котором мы живем, геометрически трехмерное, а координата времени представляет собой еще одно измерение. То есть паше - макроскопическое - пространство четырехмерно, и, следовательно, мы должны ограничиться четырьмя измерениями. Однако, если представить, что четырехмерное пространство есть всего лишь некоторая гиперповерхность в многомерном пространстве, которая называется браной, а все частицы и переносчики взаимодействия кроме гравитонов локализованы на этой бране, то такая модель может быть реализована. К тому же если только гравитация является единственным взаимодействием, которое может распространяться в многомерном пространстве, то это является объяснением малой четырехмерной константы связи для гравитации по сравнению с другими константами взаимодействий, так как константа связи обратно пропорциональна сфере в многомерном пространстве с характерным размером дополнительных измерений. Можно попытаться представить и другое объяснение того, что мы не наблюдаем многомерного пространства. Представим, что частица находится в потенциальной яме, тогда при малых энергиях она будет двигаться внутри ямы. Но как только мы придадим частице большую энергию, она может покинуть потенциальную яму, и нужно
рассматривать движение частицы уже в многомерном пространстве. Аргументом в пользу многомерного пространства может служить теория струн [1], которая претендует на роль фундаментальной "теории всего", и в которой пространство имеет 26 размерностей в случае бозонных струн или 10 в случае суперструи. Таким образом, теории в дополнительных измерениях являются также хорошим кандидатом на роль новой физики за пределами Стандартной модели. В последние годы такие теории привлекают большое внимание многих ученых [2, 3, 4, 5]. В работах [2, 3] предполагается наличие произвольного числа дополнительных компактифицированных измерений, в которых могут распространяться гравитоны, в то время как частицы СМ локализованы на четырехмерной бране в многомерном пространстве. Данная модель дает объяснение для проблемы иерархии, связанной с большим значением для четырехмерной Планковской энергии, которая не является фундаментальной с точки зрения многомерного пространства, а также приводит к измененному закону Ньютона на малых расстояниях. В работах [4, 5], наоборот, предполагается наличие единственного дополнительного измерения, что приводит к пятимерному пространству, которое имеет метрику анти-де-Ситтера. В данной модели существует две браны, одна из которых называется "Планковской", а другая называется "тэвной". Поля СМ локализованы на "тэвной"бране, в то время как гравитоны распространяются во всем пятимерном пространстве. За счет экспоненциального фактора в метрика пространства анти-де-Ситтера четырехмерное Планковское значение для энергии, которое более не является фундаментальным для пятимерного пространства, дает
фундаментальную пятимерную шкалу порядка энергии в несколько ТэВ.
Различные модели, основанные на понятии локализации на бране, представляют широкие возможности для феноменологических приложений (см., например, [6, 7, 8]). Однако, отсутствие непротиворечивой теории поля в дополнительных измерениях вынуждает придерживаться подхода Калуцы-Клейна (КК) на древесном уровне и предполагать, что некоторая фундаментальная теория, например, выше упомянутая теория струн, решает все проблемы с расходимостями при высоких энергиях. Ниже обсуждаются основные идеи подхода КК, которые заключаются в представлении многомерной теории в виде эффективной четырехмерной теории за счет разложения поля, распространяющегося в многомерном пространстве, на бесконечное число эффективных четырехмерных полей, которые называются КК модами, распространяющиеся уже только в четырехмерном пространстве. Однако, при правильной перенормировке эффективная четырехмерная теория никогда не забывает о своей многомерной природе [9, 10, 11].
Одним из наиболее ярких следствий КК подхода является рост дифференциального сечения с энергией за счет обмена бесконечным числом КК мод [12]. Для того, чтобы получить конечный результат, нужно ввести некоторое обрезание, что делает амплитуду, зависящей от параметра обрезания. Этот параметр может иметь физическое происхождение, например, он может представлять толщину браны, но это однако не уменьшает степени произвола. Предполагая, что в полной теории эта зависимость исчезает, можно попытаться посмотреть
на качественную картину. Так, в первой главе рассматривается пример дифференциального рассеяния кварка на антикварке при высоких энергиях через одноглюоныый обмен в пространстве с дополнительными измерениями. Дифференциальное сечение рассеяния этого процесса растет с увеличением энергии, что является привлекательным с точки зрения наблюдений. Однако, этот рост не может длиться до бесконечности из-за нарушения унитарности, так что на некотором масштабе энергий это поведение должно изменяться. Желательно получить такую низкоэнергетическую теорию, в которой сечение убывает с энергией.
В первой главе анализируются теории с дополнительными измерениями, следуя концепции низкоэнергетической теории, основанной на подходе Вильсона к ренормализациошюй группе [13, 14, 15]. Хотя это и не позволяет получить непротиворечивую теорию, такой подход имеет преимущество в том, что эффективная низкоэнергетическая теория не содержит параметра обрезания, а также имеет замечательные свойства в фиксированной точке (ФТ) [16, 17], которая получается из условия равенства нулю бета-функции. В отличие от скалярной теории, которая имеет нетривиальную ультрафиолетовую (УФ) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства меньшим 4, калибровочная теория, наоборот, имеет нетривиальную инфракрасную (ИК) фиксированную точку Вильсона-Фишера в размерности пространства большим 4. Как известно в фиксированной точке теория не имеет масштаба, а единственным характерным масштабом является энергия, и, следовательно, поведение дифференциального сечения в
фиксированной точке в пространстве с дополнительными измерениями похоже на четырехмерное поведение дифференциального сечения. Вблизи же фиксированной точки учет радиационных поправок в теориях с дополнительными измерениями ведет к изменению поведения дифференциального сечения и приводит к падающей зависимости от энергии. Однако, эта теория также справедлива до некоторого масштаба энергий вследствие того, что фиксированная точка калибровочной теории является инфракрасной.
Таким образом, дифференциальное сечение кварк-антикваркового рассеяния, рассмотренное в первой главе, иллюстрирует основные свойства эффективной теории и показывает основные различия с результатами в подходе КК [18].
Одной из главной проблем теорий в пространстве с дополнительными измерениями является неперенормируемость теории по константе связи, которая в многомерном пространстве является размерной. Принято, что вне древесного приближения нельзя использовать неперенормируемые взаимодействия из-за неконтролируемых ультрафиолетовых расходимостей. Можно, конечно, придерживаться идеологии эффективных теорий [19, 20], предполагая, что все проблемы с ультрафиолетовыми расходимостями решаются в более фундаментальной теории. В этом случае различают так называемые "существенные", "граничные", и "несущественные"операторы, следуя подходу Вильсона к ренормализационной группе [13, 14, 15], так что при низких энергиях можно избавиться от вкладов, получаемых от несущественных операторов, которые степенным образом подавлены по отношению
к существенным и граничным операторам, которые являются перенормируемыми. Однако, это не подходит для многомерных теорий, так как в этих теориях нет существенных и граничных операторов. Все операторы являются несущественными или неперенормируемыми, и от них нельзя избавиться. Следовательно, нужно найти способ для того, чтобы можно было работать с такими теориями и получать физически осмысленные результаты.
Очевидно, что на древесном уровне нет никаких проблем, потому что можно не учитывать вклад от неперенормируемых операторов, которые имеют отрицательную массовую размерность, и, следовательно, при больших энергиях они степенным образом подавлены. Однако, при пертурбативном разложении сталкиваемся с проблемой, характерной для всех неперенормируемых взаимодействий, а именно появление бесконечного числа операторов нового типа, которые не повторяют изначальные члены лагранжиана.
Иногда говорят о "переиормируемости при низких энергиях"для неперенормируемых теорий, предполагая, что можно пренебречь вкладами от несущественных операторов. Используя эту точку зрения, можно получить степенной бег констант связи [21, 22], который приводит к раннему объединению констант связи в многомерных теориях. В работах [21, 22] было также предложено решение для проблемы, связанной с иерархией масс для частиц СМ, которое связано со степенным поведением для констант перенормировок юкавских констант.
Здесь естественным образом приходим к понятию эволюции констант связи с энергией, а, следовательно, и к понятию
ренормализационной группы.
Буквально эволюция констант связи означает суммирование ведущих асимптотик, то есть суммирование ведущих логарифмов или ведущих степеней. Следовательно, если эти соображения верны, то можно просуммировать ведущие вклады бесконечного числа диаграмм в эволюционирующие величины. Если эта идеология справедлива, хотя бы при низких энергиях, то можно явным образом проверить суммирование ведущих асимптотик путем явного вычисления диаграмм в пертурбативном разложении. Это также означает, что ведущие асимптотики в старших порядках по теории возмущения можно предсказать еще до явного вычисления диаграмм, используя методы ренормализационной группы.
Во второй главе показывается, что для квантовой теории поля даже в неперенормируемом случае ведущие асимптотики могут быть вычислены из однопетлевых диаграмм, несмотря на то, что не получается простой замкнутой формулы для ведущих асимптотик как в перенормируемом случае. Вычисления, приведенные во второй главе, в некоторых неперенормируемых теориях не согласуются с идеей наивного степенного бега констант связи и ведет к сложным выражениям. Во второй главе приведены явные вычисления для скалярных теорий с взаимодействием без производных.
В третьей главе построено перенормируемое разложение для формально нерепенормируемых теорий, используя известную технику 1/N разложения [23, 24, 25, 26, 27], где для случая скалярной теории N является числом компонент скалярного поля, а в случае калибровочных теорий является числом фермионных полей Nf. Число
же калибровочных полей Nc фиксировано. Этот подход был успешно применен к нелинейной сигма-модели в трех измерениях [28, 29, 30], где показано, что неперенормируемая по размерной константе связи нелинейная сигма-модель в размерности пространства равной трем, оказывается перенормируемой в рамках 1/N разложения, где N является числом компонент данной сигма-модели. В случае квантовой гравитации в четырех измерениях в работах [31, 32, 33, 34] показано, что І/Nf разложение приводит к перенормируемой квантовой гравитации. Обе эти теории являются неперенормируемыми по наивному подсчету степеней, и, следовательно, при пертурбативном разложении возникает бесконечное число новых размерных операторов. При 1/JV разложении в данных теориях меняется пропагатор, а получаемый эффективный пропагатор, убывающий быстрее в области больших квадратов импульса, приводит к логарифмическим расходимостям вместо степеннных расходимостей. Эффективно, этот подход сводится к теориям с высшими производными, что приводит к проблемам унитарности, причинности и локальности, характерным для теорий с высшими производными. Эти проблемы все же могут быть преодолены, хотя данный анализ был проведен только в лидирующем порядке по 1/N разложению для нелинейной сигма-модели в работе [28, 29, 30] в случае сильной связи и для квантовой гравитации в работе [31, 32, 33, 34].
Помимо упомянутых работ [31, 32, 33, 34], существует также несколько других попыток для построения перенормируемой квантовой гравитации при использовании аналога 1/N разложения [35, 36, 37, 38], где роль параметра разложения 1/N играет число пространственно-
временных измерений. Предел большого D похож на планарный предел, рассмотренный в работе [39]. Техника схожая с І/Nf разложением была применена в работах [40], где автор просуммировал все вклады от мягких гравитонов в пропагатор скалярного поля, а улучшаются ульрафиолетовые свойства эффективного пропагатора. Хотя и данное разложение немного напоминает І/iV/ разложение, но в данном случае при отсутствии параметра разложения, отсутствует стратегия для частичного пересуммирования.
В работах [41, 42, 43, 44] была рассмотрена перенормировка безмассовой нелинейной сигма-модели для произвольного числа измерений 2 < D < 4 при помощи аналога размерной регуляризации в подходе 1/N разложения. Введение аналитической регуляризации позволило посчитать константы перенормировки и аномальные размерности в трех первых порядках 1/N разложения. Схожие вычисления, но для случая калибровочной теории были проделаны в работах [45, 46, 47, 48], в которых были посчитаны лидирующие коэффициенты бета-функции в КЭД и в КХД в пределе большого числа фермионов Nf. Данные вычисления в КХД находятся в согласии с трехпетлевыми вычислениями [49] при использовании минимальной схемы вычитаний в размерной регуляризации.
В работах [50, 51, 52, 53] были рассмотрены трехмерная четырехфермионная теория и пятимерная КЭД, которые являются неперенормируемыми по начальной константе связи, и было показано, что при 1/N разложении данные модели являются перенормируемыми. Для пятимерной КЭД было показано, что при физических ограничениях на константу связи в теории имеется
полюс Ландау, что делает теорию нефизической, а при комплексных значениях константы связи, в теории появляются госты, то есть состояния с отрицательной нормой, и только при бесконечном значении константы связи теория остается унитарной.
Следуя подходу [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34], в третьей главе этот метод применяется к многомерным теориям для построения перенормируемого и унитарного 1/N разложения, которое можно использовать для пертурбативных вычислений. Вначале в качестве примера и демонстрации основных идей 1/N разложения для многомерных теорий рассматривается многомерная скалярная теория с взаимодействием без производных [54, 55], а затем показывается как можно построить перенормируемое І/Nf разложение для калибровочных теорий, взаимодействующих с Nj фермионами [56, 57]. В результате полученная теория для любого числа измерений пространства D переиормируема и имеет только логарифмические расходимости, и в этом случае появляется безразмерная константа связи. Результирующая бета-функция неполиномиальна по эффективной константе связи, но полиномиальна по 1/N. Полученная теория может быть ультрафиолетово (УФ) свободной или инфракрасно (ИК) свободной в зависимости от числа измерений многомерного пространства D. Начальная размерная костанста больше не является параметром разложения, а играет роль массы, который также логарифмически перенормируется.
Используя размерную регуляризацию [58] в третьей главе также проведена перенормировка в скалярной и калибровочной теориях в произвольном пространстве с нечетным число измерений и посчитаны
15'
первые члены 1/N разложения для аномальных размерностей полей материи, а также первые члены для бета-функции эффективной безразмерной константы связи. Для четного числа измерений, в принципе,работает точно такая же схема, но с единственным различием, проявляющееся в технической сложности, связанной с появлением логарифмических членов.
Эффективно 1/N разложение для многомерных теорий с нечетным числом измерений приводит к пропагатору с полуцелой зависимостью от квадрата импульса, что похоже на идею так называемой "un-particle physics", предложенной в работах [59, 60]. В этих моделях пропагаторы с нецелой зависимостью от импульса появляются при низкоэнергетическом рассмотрении теории, в которой имеется ИК точка Банкса-Закса.
Широко известно, что основной проблемой при использовании І/iV разложения является проблема унитарности полученной теории, вследствие того, что эффективный пропагатор меняется, и как следствие меняются его аналитические свойства. При суммировании вакуумных поляризационных диаграмм, дающееся геометрической прогрессией, вакуумная поляризационная диаграмма появится в знаменателе, при этом появляется дополнительная мнимая часть и, в частности, возникаут дополнительные комплексные полюса в комплексной плоскости квадрата импульса. Эти полюса отвечают за появление в теории состояний с отрицательной нормой и отрицательными или комплексными массами. Эта общая проблема, с которой сталкиваются при использовании 1/N разложения [31, 32, 33, 34, 50, 51, 52, 53, 62]. Эффективно 1/N разложение ведет
к теориям с высшими производными и, как следствие, может привести к динамической нестабильности [63]. Заметим, однако, что существуют так называемые "смирные"(в англоязычной литературе "benign") квантово-механические системы с высшими производными со стабильным вакуумом на классическом уровне по отношению к малым возмущениям, и все проблемы возникают на непертурбативном уровне; пример таких систем был рассмотрен в работах [64, 65]. Вопрос унитарности для гравитации в членами, содержащие высшие производные, которые получаются при 1/N разложении, был рассмотрен в работах [31, 32, 33, 34], в которых роль полюсных членов была явно выделена. Однако, как было показано в работах [66] не всегда операторы с высшими производными приводят к улучшенному ультрафиолетовому поведению из-за неоднозначности в аналитическом продолжении из пространства Миньковского в пространства Евклида. В третьей главе вопрос унитарности для 1/N разложения в многомерных теорий рассмотрен более подробно, а также продемонстрировано возможное решение проблемы унитарности для теорий с высшими производными. Показано [57], что в пространстве с числом измерений D = 7,11,... дополнительные полюса, которые появляются в эффективном пропагаторе после пересуммирования диаграмм поляризации вакуума, комплексно сопряженными и нет полюсов лежащих на действительной оси квадрата импульса. Ключевую роль в сохранении унитарности в теориях с высшими производными играют дополнительные комплексно сопряженные полюса, вклады от которых в физические амплитуды компенсируются. В теориях с числом измерений D = 5,9,... появляется полюса на
действительной оси, что приводит к нарушению унитарности.
В четвертой главе разобраны несколько примеров применения построенного перенормируемого 1/N разложения для многомерных теориях [67]. Рассматривается модель многомерного пространства с бесконечными дополнительными измерениями. В этой модели считается дифференциальное сечения упругого рассеяния электрона на кварке и проводится аналогия между получаемыми результатами в подходе 1/N разложения и подходе низкоэнергетической теории, которая получается из Вильсоновского подхода к ренормализационной группе, приведенной в первой главе. Также анализируется объединение констант связи для электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий при высоких энергиях. Показано, что в отличие от Стандартной модели, в которой объединение не происходит в пределах трех стандартных отклонений, в подходе 1/N разложения для многомерных теорий объединение констант связи существует, и масштаб объединения на несколько порядков ниже масштаба энергии Планка. В случае МССМ 1/N разложение в многомерном пространстве приводит к более раннему объединению констант связи, нежели чем в четырехмерном пространстве [68].
Кварк-антикварковое рассеяние на бране
Рассмотрим кварк-антикварковое рассеяние при высоких энергиях в многомерных моделях. Предположим, что кварки локализованы на 3-мерной бране с нулевой толщиной [71], тем самым кварки распространяются только в четырехмерном пространстве Миньковского, в то время как глюоны могут также распространяться в пространстве с d дополнительными измерениями. Рассмотрим процесс рассеяния с одноглюонным обменом в пространстве с двумя дополнительными размерностями, то есть возьмем d = 2. Схематично данная ситуация изображена на Рис. 1.1. Лагранжиан взаимодействия на бране принимает следующий вид [2, 3] где константа связи g +d 1/Мс , а Мс является некоторым характерным масштабом (который может быть принят за масштаб компактификации дополнительных измерений, масштаб локализации и т.д.). На древесном уровне есть 2 диаграммы, дающие вклад в амплитуду рассеяния: диаграмма в s- и t- каналах: Соответствующая амплитуда рассеяния на древесном уровне в s-канале может быть записана как где (72) Ч2-, 7ъ Ці соответствующие операторы рождения или уничтожения кварка и антикварка. Записывая лагранжианы взаимодействия через операторы рождения, уничтожения и, производя спаривания, получаем следующее выражение для амплитуды рассеяния Евклидовый интеграл по дополнительным импульсам в (1.10) может быть дискретным, если дополнительные измерения компактифицированы. Тогда получаем сумму по модам Калуцы- Клейиа с растущими массами. Если d 1, то интеграл (или сумма) в (1.10) расходятся. Обычно вводят ультрафиолетовое обрезание Л, которое может быть интерпретировано как ненулевая толщина браны или каким-нибудь другим образом. Это приводит к произволу в предсказаниях и зависимости от неизвестных параметров локализации. Интеграл с обрезанием в пространстве с четным числом размерностей принимает вид [12] В пространстве с нечетным числом размерностей имеем следующее поведение пропагатора для пространства с четным числом и нечетным числом размерностей соответственно. Предполагается, что при энергиях ниже масштаба компактификации, имеем стандартную четырехмерную теорию, которая на масштабе компактификации непрерывно переходит в многомерную теорию.
Для сшивания yp.(l.ll) с низкоэнсргетичной четырехмерной теорией при s = М2 подстраиваем масштаб fi и окончательно получаем для пространств с четным числом размерностей, а для пространств с нечетным числом размерностей, сшивая также на энергии s = Mt получаем следующее поведение пропагатора Легко видеть, что ур. (1.13) и ур. (1.14) при d 1 ведут к росту сечения с энергией. Действительно, дифференциальное сечение, которое в четырехмерном случае записывается через Мандельштамовские переменные как где М2 = М2 ехр[— (47r)d//2r( i/2)] и принимаем во внимание знак t. В системе центра масс имеем t = —s/2(l — cos 9), и = —s/2(l + cos#) и, соответственно, для четырехмерного дифференциального сечения получаем выражение а для многомерной теории с 4+d измерениями в подходе КК получается Можно увидеть, сравнивая выражения (1.17) и (1.18), что дифференциальное сечение в КК подходе растет с энергией и имеет отличную от четырехмерного случая угловую зависимость. Заметим, что ур. (1.18) является верным только в диапозоне энергий Мс Е Л и должно быть заменено дальше некоторой падающей функцией. 1.3 Низкоэнергетическая эффективная теория в дополнительных измерениях Рассмотрим теперь низкоэнергетическую эффективную теорию в D 4. Будем следовать так называемому подходу Вильсона к ренормализационной группе [13, 14, 15]. Рассмотрим вначале обычную калибровочную теорию в D измерениях Поля и константы связи имеют следующие канонические размерности Таким образом, для I? 4 константа связи имеет отрицательную размерность, которая определяет некоторый характерный масштаб М, и теория является неперенормируемой в обычном смысле. Это означает, что в петлевом разложении будут генерироваться операторы более высоких размерностей. Следуя подходу Вильсона, нужно написать уравнения ренормализационной группы, которые в принципе включают бесконечное число операторов вида где константа связи д \jMdl2 является константой связи в (4 + с?)-мерной теории, а операторы (DF)2 символично обозначают калибровочно инвариантные операторы размерности 6, то есть Соответственно (DDF)2- калибровочно инвариантные операторы размерности 8. Их влияние на полную теорию является существенным, так как они генерируют бесконечную серию контрчленов с произвольными коэффициентами.
Примеры вычислений для непернормируемых теорий
Для простоты вычислений будет использоваться раннее упомянутая размерная регуляризация. Когда константа связи д имеет отрицательную массовую размерность в пространстве с D измерениями, то теория неперенормируема в обычном смысле. Возьмем скалярную теорию с лагранжианом в пространстве с D = 6 — 2є измерениями. Константа связи Л имеет отрицательную массовую размерность [Л] = — 2 + 2є, что приводит к бесконечному числу контрчленов, имеющих операторы с разными массовыми размерностями, которые генерируются в петлевом разложении. Согласно формуле (2.9) имеем следующее выражение для однопетлевого контрчлена в котором согласно выше упомянутому соглашению, все нелокальные члены уже опущены. Здесь и далее используются следующие обозначения Два члена в разложении (2.11) соответствуют однопетлевым двухточечной и трехточечной диаграммам. После подстановки выражения для однопетлевого контрчлена (2.9) где АЦ выражается формулой (2.11). Подставляя (2.11) в (2.12) и выполняя разложение геометрической прогрессии можно получить окончательное выражение для двухпетлевого контрчлена А22 Важным моментом здесь является интерференция вариационной производной по полю ф и обычной пространственно-временной производной. Вначале вычислим пространственно-временные производные, а затем возьмем вариационные производные Когда пространственно-временные производные стоят без полей, то они понимаются как действующие на пропагатор соответствующей однопетлевой диаграммы. Схематично это можно изобразить в виде рисунка где перечеркнутые линии обозначают соответствующие производные. Следующий шаг в получении ответа заключается в избавлении от диаграмм с производными и приведении их к диаграмм без производных. Обычно этот шаг выполняется путем анализа соответствующего однопетлевого интеграла. В частном случае расчета для А22 получается где р есть входящий в петлю импульс, a pi и рч являются импульсами каждой ноги.
Для удобства расчетов выбрана так называемая симметричная точка, в которой р2 = pf = р2, Теперь учтем третий член в (2.13), в этом случае имеем трехточечные диаграммы Снова, теперь избавляясь от диаграмм с производными и сводя их к диаграмм без производных, получаем где pi и р2 являются импульсами каждой ноги, а ри является импульсом входящим в одну из вершин. В данном случае симметричная точка задается условиями pip2 = — \р\ и р\2 = Осталось рассмотреть и упростить только последний член из (2.13), который дается диаграммой типа "квадрат", которая не имеет расходимостей в пространстве с D — 6 измерениями. Это означает, что только второй и последний члены из уравнения (2.14) дают вклады в расходимости Первая диаграмм есть просто трехточечная треугольная диаграмма, а вторую можно просто привести к ней. Окончательно получаем для последнего члена из (2.13) где знак — в последнем члене возник из-за приведения диаграммы "квадрат"к диаграмме "треугольник. Суммируя все члены из (2.13) получаем двухпетлевой коитрчлеи Можно повторить выше описанную процедуру и получить выражение для трехпетлевого контрчлена в котором сохранены только члены четвертой степени по полям. Для сравнения полученных результатов с диаграммным счетом удобно перейти к импульсному представлению. Тогда наличие пространственных производных будет означать наличие импульса с правильной симметризацией, которая зависит от числа ног. Таким образом, уравнения (2.11,2.18) и (2.19) переходят в уравнения Рис. 2.1: Однопетлевая диаграмма в теории р , дающая вклад в контрчлен для оператора с четырьмя внешними ногами Прямым счетом диаграмм показано, что уравнения (2.21) являются действительно верными. Вклады в контрчлены для оператора с четырьмя внешними ногами даются диаграммами, приведенными на Рис.(2.1,2.2,2.3). Видно, что число диаграмм и сложность их вычисления растет очень быстро с увеличением порядка теории возмущения. Помимо счета Фейнмановских диаграмм, нужно также учитывать симметрийные множители для диаграмм, другими словами нужно для каждой диаграммы писать теорему Вика и смотреть сколькими способами может получиться данная диаграмма. Только в сумме всех Фейнмановских интегралов в данном порядке теории возмущения по константе связи вместе с симметрийными множителями восстанавливается ответ для ведущих контрчленов (2.21).
1/Nf разложение. КЭД
Возьмем теперь случай квантовой электродинамики (КЭД), взаимодействующей с Nf фермионными полями в D измерениях, где D снова принимает произвольное нечетное число, лагранжиан имеет вид (3.20) Согласно основной стратегии рассмотрим пропагатор для фотона. Так как поляризационный оператор поперечен вследствие калибровочной инвариантности, удобно вычисления производить в поперечной калибровке Ландау. Это не обязательно, но сильно упрощает вычисления. В лидирующем порядке 1/JV разложения имеется бесконечная серия однопетлевых диаграмм (см. Рис. (3.8)) которая суммируется в геометрическую прогрессию. Это не что и 771 = 0 было взято для существенного облегчения вычислений без изменения всяких выводов, связанных с ультрафиолетовым поведением теории. Меняя нормировку поля Ац — А /е и вводя новую безразмерную константу связи h для вершины тройного взаимодействия фотона и полей материи точно также как и в скалярной теории, эффективный лагранжиан принимает вид Новая константа связи h входит в калибровочное преобразование и играет роль заряда. Старая размерная константа связи играет роль массы в пропагаторе для калибровочного поля. Так как константа связи h является безразмерной, то если в эффективном лагрнажиане (3.22) опустить первый член, то получающаяся теория является конформной, и такая теория была рассмотрена в работе [83] в пространстве D = 3. Снова имеем модифицированные правила Фейнмана с пропагатором для калибровочного поля, который в пространстве Евклида имеет поведение l/(p2)D 2 1, таким образом ультрафиолетовое поведение теории улучшается. Единственными расходимостями являются диаграммы для пропагатора фермионов и тройной вершины. Оба типа этих диаграмм имеют логарифмические расходимости для произвольного нечетного числа измерений D. Пропагатор фотона не имеет собственных расходимостей, а может содержать расходимости только в подграфах. Для пропагатора фотона имеются теже самые диаграммы, что и в скалярном случае, в которых сплошные линии заменены на фермионпые, а штрихованные линии нужно поменять на пропогаторы фотонов.
Единственное различие приходит при применении теоремы Фарри и калибровочной инвариантности. А именно, все треугольные диаграммы с тремя внешними фотонными ногами исчезают как следствие теоремы Фарри, а калибровочная инвариантность, объединяющая пропагатор для фермиона и тройной вершины, дает соотношение Z\ — Z2. Это соотношение выполняется в 1/Nf разложении, как и в обычной теории возмущения. Используя обозначения принятые в скалярном случае, в лидирующем порядке 1/N разложения получаем Аналогичные результаты были получены в работах [45, 46], где автор посчитал аномальные размерности в D-мерной критической точке, в которой поля подчиняются масштабным преобразованиям, а теория является конформной. В лидирующем порядке І/Nf разложения имеем следующие константы перенормировок и, следовательно, то есть в квантовой электродинамике в пространстве с нечетным числом измерений в лидирующем порядке І/Nf разложения перенормировки константы связи не требуется; остаются только константы перенормировки для волновых функций. Это означает, что константа связи не эволюционирует с изменением энергии. Во втором порядке І/Nf разложения имеются те же диаграммы, что и в скалярном случае, но в которых все треугольные диаграммы с внешними фотонными ногами равны нулю. Константы перенормировки во втором порядке І/Nf разложения также сильно упрощаются Как и в скалярном случае начальная размерная константа связи е более не является параметром разложения, а играет роль массы и также мультипликативно логарифмически перенормируется. Диаграммы в лидирующем порядке приведены на Рис. (3.9). Эти диаграммы дают Рис. 3.9: Диаграммы дающие вклад в перенормировку 1/е2 в лидирующем порядке І/Nf разложения следующие вклады Рассмотрим теперь неабелеву теорию с Nf фермионами. Заметим, что в КХД, в отличие от КЭД, все диаграммы Фейнмана содержат групповые факторы, таким образом настоящим параметром разложения является отношение Nc/Nf, и для того чтобы данное разложение было пертурбативным, нужно чтобы это отношение было малым.
Но в тоже время чтобы сохранить асимптотическую свободу в четырехмерном пространстве требуется следующее соотношение Nc/Nf 2/11. Таким образом, получаем интервал, в котором Nc/Nf разложение может быть пертурбативным. Конечно, для неабелевых теорий требуется 1/NC разложение, так как оно содержит информацию о взаимодействии калибровочных полей, хотя в низшем порядке 1/NC разложения нужно учесть все планарные диаграммы, ответ для которых неизвестен [39]. В неабелевом случае появляются отличия от скалярного случая, а именно появляются тройные и четверные вершины самодействия калибровочных полей, а также поля духов. Аналогично (3.20) запишем лагранжиан для неабелевой калибровочной теории, взаимодействующей с Nf фермионами диаграммы типа "бублики"в знаменатель пропагатор для калибровочного поля и снова был взят предел т = 0 для упрощения вычислений. В неабелевом случае, как было уже замечено, в отличие от абелева случая, есть тройные и четверные вершины самодействия. Эти вершины, подавленные факторами 1/y/Nj и І/Nf соответственно, приобретают петлевые поправки в том же порядке І/Nf разложения. Эффективные вершины в лидирующем порядке І/Nf разложения задаются диаграммами, изображенными на Рис. (3.10) и (3.11). Таким образом, помимо изменения пропагатора для калибровочного поля имеются также и измененные вершины. Эффективный лагранжиан для вершин не может быть записан в простой форме из-за сложности петлевых диаграмм, которые дают вклад в нулевой порядок 1/iV/ разложения.
Аналитические свойства и унитарность
Рассмотрим теперь аналитические свойства пропагатора и связанный с этим вопрос унитарности. Проблема унитарности является общей для скалярной и калибровочной теорий, поэтому для простоты возьмем только пропагатор для вспомогательного поля а (3.3). Помимо разреза, начинающегося в точке 4т2, пропагатор содержит также полюса в комплексной плоскости р2. Таким образом, зная аналитические свойства пропагатора, можно написать спектральное представление Челлена-Лемана [84, 85]. Посмотрим вначале на безмассовый случай (3.4) В зависимости от знака коэффициента f(D) имеются две возможности: либо существует полюс на действительной оси и, возможно, пара комплексно сопряженных полюсов ( неравенство f(D) 0 выполняется при числе измерений D — 5,9,...) или имеются только пары комплексно сопряженных полюсов ( неравенство f(D) 0 выполняется при числе измерений D = 7,11,...), а все остальные полюса возникают на втором нефизическом Римановом листе комплексной плоскости р2. Рассмотрим далее более подробно случаи D = 5 и D = 7, так как все остальные случаи будут иметь схожую структуру. Для пятимерного пространства имеем а для семимерного пространства получаем Заметим, что непрерывный спектр имеет положительную спектральную плотность и соответствует рождению реальной пары полей ф (или пары фермионов в калибровочном случае). Эти состояния присутствуют в начальном спектре теории и не создают никаких проблем с унитарностью. Этот анализ был проведен на древесном уровне в работе [28, 29] и может быть распространен на произвольное число петель. Можно показать, что все разрезы диаграмм при применении правил Каткосского [86] в любом порядке теории возмущения ведут к асимптотическим состояниям на массовой поверхности и не возникает новых состояний. Проблема приходит от полюсов в эффективных пропагаторах.
Можно заметить, что полюсные члены идут с отрицательным знаком, и, следовательно, соответствуют духовым состояним, то есть состояниям с отрицательной нормой [50, 51, 52]. Для D = 5 имеется только один полюс на положительной действительной оси, в то время как для D = 7 имеется пара комплексно сопряженных полюсов, показанных на Рис. (3.19). Рис. 3.19: Аналитическая структура пропагатора для вспомогательного поля Наличие духовых состояний в теории является ее недостатком. Эти состояния сигнализируют о неустойчивости вакуума в теории. Действительно, как было показано в [87], вакуум может быть нестабилен по отношению к появлению конденсатов. Это приведет к дополнительным диаграммам, как в КХД. Однако, все же даже это не позволит улучшить ситуацию. Следовательно, либо нужно избавляться от духовых состояний, либо показать, что их вклад в физические амплитуды равен нулю. Посмотрим, что происходит если взять ненулевую массу для поля ф. Поляризационный оператор принимает вид где а = 2. Так как наличие полюса диктуется наличием корня в уравнении то можно проверить найдется ли всегда корень для этого уравнения во всей комплексной плоскости р2. Напомним, что в безмассовом случае полюс существовал в точке р2 — — (25б7г/А)2. На Рис. (3.20) показана зависимость И {р2) для действительных р2 (слева) и абсолютная величина в комплексной плоскости (справа). Можно увидеть, что для отрицательных значений р2 поляризационный оператор все время больше 1 (в единицах З2 т ) для положительных значений р2 он больше 1/2, а затем становится комплексным. Абсолютное значение в комплексной плоскости всегда больше 1/2. Это означает, что в зависимости от безразмерного параметра — Х2т имеются следующие возможности: для 327Г2 существует полюс при отрицательном значение р2, для 327Г2 64л"2 существует полюс при положительном р2 Am2. И, наконец, для 64я"2 вообще нет полюса ни при каком значении р2. В этой фазе теория свободна от нефизических состояний. Схожая картина была, но в четырехмерном пространстве, была рассмотрена в работе [62]. Таким образом, кажется, что путем выбора параметра можно избавиться от проблемы унитарности. Однако, она возникает в другом месте. Очевидно, что в этой фазе знаменатель в пропагаторе становится отрицательным, также он отрицательный при р2 = 0. В скалярном случае значение пропагатора для поля а в точке р2 — 0 определяет эффективный потенциал поля ф после отынтегрирования вспомогательных полей а. Так отрицательное значение пропагатора ведет к эффективному потенциалу с отрицательной четверной константой связи, неограниченному снизу. В случае калибровочной теории значение пропагатора в точке р2 = 0 определяет знак вычета калибровочного поля в точке р2 = 0, то есть задает метрику калибровочного поля. Отрицательный знак, очевидно, приводит к неправильной метрике. Таким образом, заключаем, что наличие полюса на действительной оси является проблемой. Противоположную ситуацию получаем в D = 7-мерном пространстве, в данном случае имеем Заметим, что в D = 7 знак отличается от знака в D — 5, что означает отсутствие полюса в Евклидовой области, а наличие полюсов только в комплексной плоскости. На Рис. (3.21), представлены теже самые графики, что и выше, но для D = 7. Видно, что в данном случае поляризационный оператор принимает все значения, а также и отрицательные. Это означает существование комплексно сопряженных полюсов для произвольного значения = Am3/2. Как было сказано уже выше, эти полюса говорят о наличии духовых состояний, что может привести к несохранению унитарности. Согласно анализу работы [31, 32, 33, 34] в лидирующем порядке І/Nf разложения вклад комплексно сопряженных полюсов в физические амплитуды сокращается, тем самым сохраняя унитарность в физическом подпространстве. Для того чтобы проверить это, рассмотрим случай D = 7 и посчитаем вклад комплексно сопряженных духовых полей в мнимую часть диаграмм Фейнмана.
