Содержание к диссертации
Введение
2. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ВАКУУМНЫХ КВАНТОВЫХ 8ФФЕКТ0В В СИЛЬНЫХ ВНЕШНИХ ПОЛЯХ И В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 15
2.1. Поляризация вакуума и рождение частиц во внешнем электромагнитном поле 15
2.2. Перестройка вакуума в сильном поле 18
2.3. Эффект Казимира и квантовая теория в пространствах с неевклидовой топологией 21
2.4. Теория квантованных полей во внешнем гравитационном поле 25
3. ТЕОРИИ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 37
3.1. Формализм квантования и наблюдаемые 37
3.2. Перенормировка вакуумных средних тензора энергии-импульса 39
3.3. Регуляризация многомерных сумм 49
4. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПРОСТРАНСТВАХ С НЕЕВКЛИДОВОЙ ТОПОЛОГИЕЙ 55
4.1. Скалярное поле на двумерных плоских многообразиях 55
4.2. Скалярное, спинорное и электромагнитное поля на трехмерных плоских многообразиях 64
4.3. Вакуумный тензор энергии-импульса на замкнутых многообразиях постоянной кривизны 69
5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ОБЛАСТЯХ С ГРАНИЦАМИ 76
5.1. Одномерная задача для массивного скалярного поля 7
6 5.И. Эффект Казимира для массивного скалярного поля в трехмерном пространстве 83
5.3. Эффект Казимира для массивного спинорного поля 88
5.4. Вакуумная энергия в замкнутых областях: скалярное поле 95
5.5. Вакуумная.энергия в замкнутых областях: электромагнитное поле 101
6. ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ВАКУУМА КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ 105
6.1. Общая методика определения эффективной температуры вакуума 105
6.2. Эффективная температура вакуума в пространствах с нетривиальной топологией 109
6.3. Эффективная температура вакуума в пространствах с горизонтами 112
7. ШАШОДЕЙСТБИЕ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 118
7.1. Формализм квантования и перенормировка 118
7.2. Сосредоточенный потенциал на оси 121
7.3. Сферически-сиїлметричньїй потенциал нулевого радиуса в трехмерном пространстве 126
7.4. Образование и свойства конденсата 129
7.5. Моделирование эффекта Казимира сосредоточенными потенциалами 132
7.6. Рождение частиц нестационарным потенциалом 137
8. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА И РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НЕСТАЩОНАРНЬМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 144
8.1. Квантование полей и перенормировка вакуумных средних локальных наблюдаемых в однородном электрическом поле 144
8.2. Поляризация вакуума в слабом поле 154
8.3. Поляризация вакуума и рождение частиц в сильном электромагнитном поле 158
- 4 -
8.4. Эффективный лагранжиан для переменного
электромагнитного поля 161
9. ТЕОРИЯ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ В ОДНОРОДНОМ ИЗОТРОПНОМ
ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 166
9.1. Квантование скалярного и спинорного полей в однородной изотропной метрике 166
9.2. Корпускулярная интерпретация и рождение частиц гравитационным полем 173
9.3. Пространственно-временное описание рождения частиц 178
9.4. Перенормировка вакуумных средних тензора энергии-импульса 183
9.5. Вакуумный тензор энергии-импульса безмассовыхполей 197
10. РОВДЕНИЕ ЧАСТИЦ В МОДЕЛЬНЫХ МЕТРИКАХ 201
10.1. Малые изотропные возмущения плоской метрики 201
10.2. Скачкообразное изменение масштабного фактора 207
10.3. Асимптотически статическая метрика, допускающая точное решение 211
10.4. Метрика с начальной и конечной сингулярносттш 216
11. КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ 223
11.1. Вакуумный тензор энергии-импульса массивных скалярного и спинорного полей во фридмановских моделях Вселенной 223
11.2. Рождение частиц во фридмановских моделях 231
11.3. Метрика Милна 239
11.4. Пространство де Ситтера 244
11.5. Влияние вакуумных квантовых эффектов на эволюцию космологических моделей 248
12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 256
ПРИЛОЖЕНИЕ I. Свойства функций 262
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сводка геометрических величин в однородной изотропной метрике 265
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Собственные функции оператора Лапласа на 3-пространстве постоянной кривизны 267
ЛИТЕРАТУРА 270
- Поляризация вакуума и рождение частиц во внешнем электромагнитном поле
- Формализм квантования и наблюдаемые
- Скалярное поле на двумерных плоских многообразиях
- Одномерная задача для массивного скалярного поля
- Общая методика определения эффективной температуры вакуума
Поляризация вакуума и рождение частиц во внешнем электромагнитном поле
Исследования влияния внешнего электромагнитного поля на вакуум квантованных полей начались вскоре после создания основ квантовой теории. Так, в работе ]16 \ была вычислена поляризация вакуума в постоянном однородном электромагнитном поле и показано, что соответствующий эффективный лагранжиан приводит к нелинейным поправкам к уравнениям Максвелла. Впоследствии этот результат был получен Швингером [і?"] в рамках формализма эффективного действия с применением метода собственного времени Фока [is]. При этом расходимости, которые возникают в теории, устраняются перенормировкой внешнего поля в затравочном лагранжиане электромагнитного поля.
Исследованию эффектов поляризации вакуума во внешних электромагнитных полях различных конфигураций посвящены многочисленные работы, в частности [19 - 24]. Ряд принципиальных проблем квантовой электродинамики в сильных полях рассмотрен в работах [25 - 28].
Нестабильность вакуума по отношению к рождению пар отражается в появлении мнимой части у эффективного лагранжиана с еЦ которая, в отличие от вещественной части, всегда конечна, [29] и определяет вероятность перехода вакуум - вакуум. В Гіб] найдено точное выражение для ±т &е.Ы в слУчае постоянного однородного поля; тот же результат был получен другими методами в работах [30, 31J и обобщен на случай полей с произвольным спином в JJ32, ЗЗ]. Вычисление для постоянного поля, действующего в течение конечного времени, проведено в L34J.
Несмотря на такие достоинства, как ковариантность и калибровочная инвариантность, метод Швингера недостаточно эффективен при конкретных расчетах. Поэтому в последние годы развивались другие подходы к исследованию рождения частиц и поляризации вакуума во внешних полях.
Так, в работах [7,31,35-37 рождение частиц изучалось на основе фейнмановского метода с использованием точных пропага-торов. Впоследствии было показано [38,39J, что матричные элементы, описывающие рождение пар, могут быть выражены непосредственно через асимптотики решений классических волновых уравнений во внешнем поле. Подход, основанный на решении гейзенберговских уравнений, развивался в работах [40,4і]. В [42-44Q использовался близкий метод диагонализации гамильтониана квантованного поля. В рамках обоих методов спектральная плотность рожденных частиц выражается через решения классических осцил-ляторных уравнений с переменной частотой. Исследование рождения частиц с помощью квазиклассического метода мнимого времени было проведено в [45J. Наконец, общий подход, основанный на свойствах группы динамической симметрии задачи, был предложен в [46,4?[. В J481 построено описание рожденных частиц с помощью матрицы плотности.
Формализм квантования и наблюдаемые
В настоящей главе рассматривается теория свободных квантованных полей в (Vi-v-d.) -мерном пространстве-времени V = = М R \ которое отличается от пространства-времени Минков-ского тем, что имеет неевклидовы пространственные сечения М . Отличие И от евклидова пространства может быть как топологическим, так и геометрическим (ненулевая кривизна), а также может состоять в существовании границ, на которых поля удовлетворяют тем или иным граничным условиям. Изложение основано на принадлежащих автору результатах работ Г95,102-105J.
Рассмотрим задачу квантования свободного поля jOty , которое пока не будем конкретизировать. Неевклидовость пространства И может быть учтена использованием ковариантных обобщений уравнений поля в случае ненулевой кривизны и наложением на Ф(У) соответствующих условий, определяемых топологией пространства или наличием границ.
Пусть у _. (X) - полная ортонормированная система положительно- и отрицательно-частотных решений уравнения поля, удовлетворяющих заданным граничным условиям; J - коллективный индекс квантовых чисел. Оператор квантованного поля можно представить в виде где подразумевается суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным составляющим VJ;
Скалярное поле на двумерных плоских многообразиях
Как уже отмечалось, в работе [41] построены асимптотические ешения уравнений неоднородной изотропной теории упругости, сосре-эточенные в окрестности данного луча. При этом построены не толь-э главные члены (при со -» = ) таких решений, но целые формальне асимптотические разложения. Техника, использованная в этой ра-эте, основана на методе "параболического" уравнения, точнее урав-энии Шредингера, получаемого в окрестности рассматриваемого луча, эзднее в статье [l5j такого типа сосредоточенные решения («для ска-їрного уравнения Гельмгольца) получены как лучевые решения с ком-яексным эйконалом без использования параболического уравнения. Ре-риьтаты этой статьи устанавливают более близкую связь между луче-ами и сосредоточенными в окрестности данного луча решениями, и зхника ее легко обобщается на случай уравнений упругости. Нам в . альнейшем потребуются простейшие из этих сосредоточенных решений, зачем мы ограничимся рассмотрением только главных членов (при jj - со ) этих решений (или собственно гауссовых пучков). При гаком условии нужные нам формулы мы получим непосредственно из эрмул, установленных в 2 главы І в связи с задачей о геометри- эском расхождении. В этом проявляется связь между лучевыми и сос-эдоточенными решениями.
Действительно, в главе I, 2 по некоторым двум вещественным эшениям уравнений в вариациях построено приближенное решение луче-ш. уравнений, а значит и уравнений упругости, в окрестности исход юго луча, см. формулы (2.6), (2.7) и далее главы I. Это прибли-;енное решение имеет вещественный эйконал ( ir - вещественная метода) и становится сингулярным на каустиках, т.е. имеет лучевой ;арактер. Если, однако, использовать некоторые два комплексных ре-юния уравнении в вариациях, то мы придем к гауссовому пучку, рас-ространящемуся вдоль данного лзгча, сосредоточенному в окресности того луча и не имещему сингулярно с т ей на каустиках.
Одномерная задача для массивного скалярного поля
Настоящая глава посвящена свойствам вакуума квантованных полей в плоском пространстве при наличии границ, на которых выполняются определенные граничные условия. Как и в случае неевклидовой топологии, здесь возникают отличные от нуля вакуумные средние оператора ТЭИ квантованного поля, что приводит к появлению сил, действующих на границы. Впервые явление такого типа было обнаружено в работе \У& \ и получило название эффекта Казимира.
Поскольку эффект Казимира нас интересует как задача квантования полей в сильном классическом поле, мы не будем предполагать никакой модификации граничных условий в области больших частот (импульсов), которая имела бы место, скажем, для электромагнитного поля в резонаторе с реальными проводящими стенками. Предположение об идеальности граничных условий приводит к тому, что перенормированные по вакууму пустого пространства средние . i\ вблизи границ, как правило, имеют неинтегрируемые особенности [92,98,104,108\.
Причина возникновения подобных сингулярностей очевидна из известных результатов об асимптотике собственных значений оператора Лапласа в ограниченной области [1093. Так» Для ВНУ тренней задачи Дирихле плотность распределения собственных частот есть где "V" - объем области, - площадь ее границы, К - 77 -средняя кривизна границы, усредненная по поверхности. Перенормировка (3.7) фактически соответствует вычитанию первого члена в (5.1), так что перенормированная плотность асимптотически ведет себя как
Очевидно, что полная энергия при этом будет расходиться. Подчеркнем, что перенормированные локальные величины С У вне границ всегда конечны.
Сингулярности такого типа являются следствием идеальности граничных условий. Например, для реальных проводников необходимо учитывать их проницаемость на высоких частотах; при этом результат может существенно зависеть от соответствующей глубины проникания I I08,II0J. Если на граничные условия смотреть как на предельный случай задачи с внешним полем (стенки моделируют конечный потенциальный барьер), то устранение особенностей мокет быть достигнуто соответствующей перенормировкой внешнего поля III,25IJ (см. подробнее в главе 7).
Имеется и другой подход к устранению подобных особенностей ГіІ2,ІІз]. В рамках этого подхода, не отказываясь от идеальности граничных условий, в функционал действия квантованного поля вводят сосредоточенные на границах поверхностные контрчлены так, чтобы в результате получалась конечная полная энергия поля.
Общая методика определения эффективной температуры вакуума
Настоящая глава посвящена исследованию поляризации вакуума квантованных полей на многообразиях с неевклидовой топологией без границ; она основана на результатах автора, опубликованных в работах [97,102,103,105].
Вещественное скалярное поле с массой VTU В произвольном псевдоримановом пространстве-времени V с метрическим тензором CL ,. описывается лагранжианом где rL - скалярная кривизна, а Т - коэффициент связи. Значение О соответствует минимальной связи, а
- конформной; последнее значение "Т обеспечивает конформную инвариантность классической теории для безмассового поля Гі35-І3т]. Лагранжиан (4.1) приводит к обобщенному уравнению Клейна - Фока где \/ означает ковариантную производную.
Вариация действия по Q ъ дает метрический ТЭЙ [135,138 56 -іСїЛЛї]++1 і4«?ЛЧ«+. (4.4)
Здесь Й к - тензор Риччи, а [5ЧЧ+ - СХІ-Ь Ссь . При " =0 (4.4) совпадает с каноническим ТЭИ т. - і с wfc« V c-af V я. «
В отличие от канонического, след метрического ТЭИ Т. 1 = ГУ? у Ь (4.6) обращается в нуль для безмассового поля.
На множестве решений уравнения (4.3) можно определить скалярное произведение которое не зависит от выбора пространственноподобной гиперпо верхности д . Если , где _г\_ - многообразие со статической метрикой, то метрический тензор можно представить в виде Q. - L Ф (- CV 3 jO гДе З в - метрика на jyi . Скалярное произведение (4.7) тогда принимает вид .
Похожие диссертации на Теория квантованных полей в сильных внешних полях и в пространствах с неевклидовой геометрией и топологией
