Содержание к диссертации
Введение
1 Коррелятор петель Вильсона - 'т Хоофта 29
1.1 Доминирующая конфигурация при нулевой температуре 29
1.2 Конечно-температурный анализ 35
1.3 Результаты 39
2 Киральный конденсат в магнитном поле 41
2.1 Мотивация 41
2.1.1 Киральный конденсат 42
2.1.2 Ограничения стандартного подхода 43
2.2 Модель D3/D7 в метрике Констебля-Майерса с полем Кальба-Рамона 44
2.3 Конденсат и спектры 47
2.3.1 Конденсат 47
2.3.2 Мезоиныс спектры 50
2.4 Результаты 51
3 Квазиклассическая динамика электрических и магнитных степеней свободы во внешних условиях 53
3.1 Введение 54
3.1.1 Монополи: непертурбативные и нелокальные объекты 54
3.1.2 Индуцированные и спонтанные распады 56
3.2 Распад магнитного монополя в переменном внешнем поле 57
3.2.1 Спонтанные и индуцированные процессы в переменных полях 57
3.2.2 Квазиклассическое приближение для континуального интеграла 58
3.2.3 Экспоненциальный фактор 61
3.2.4 Экстремальные условия в природе 65
3.2.5 Результаты 66
3.3 Префактор для индуцированного распада 66
3.3.1 Монополь в четырехмерии 67
3.3.2 Связанное состояние в двумерии 77
3.3.3 Результаты 79
3.4 Электрические и магнитные степени свободы при конечной температуре. 79
3.4.1 Мотивация 79
3.4.2 Швингеровские процессы при конечной температуре 81
3.4.3 Результаты 90
Заключение 9
- Конечно-температурный анализ
- Мезоиныс спектры
- Связанное состояние в двумерии
- Швингеровские процессы при конечной температуре
Введение к работе
0.1 Мотивация
Взаимодействие электрических и магнитных степеней свободы в КХД представляет огромный интерес для современной физики в связи с развитием экспериментальных установок, в- частности LHC, которые позволят уже в ближайшем будущем выяснить свойства кварк-глюонной-плазмы при экстремальных условиях, сравнительно недавно казавшихся за пределами,возможного. С одной стороны, кварк-глюонная плазма при высоких температурах станет "окном" в монополь-доминированную фазу КХД. При этом актуален вопрос, является ли она жидкостью, ионной жидкостью или газом. Для теоретического предсказания поведения'кварк-глюонной плазмы требуется понимать, как устроены корреляции между электрическими и магнитными степенями свободы. С другой стороны, получение кварк-глюонной плазмы при столкновениях тяжелых ионов предполагает возможность наличия в ней сильных (сверхкритических) магнитных полей, которые проявляют себя через швингеровские эффекты. Поэтому необходимо также понимать, как меняется фазовая диаграмма КХД в зависимости от наличия внешнего магнитного поля. Попыткой ответа на эти вопросы является настоящая работа. Несомненно, обычная теория возмущений по природе своей не может описать интересующую нас КХД в режиме сильной связи. Поэтому в данной работе в качестве рабочих инструментов применяется ряд непертурбативных методов, к которым относятся метод AdS/CFT соответствия (дуальности между калибровочными теориями и гравитацией) и метод эффективных действий Гейзенберга-Эйлера [1]. Эти методы, несмотря на кажущееся их различие, обладают общей типологической чертой — и тот, и другой, в том пределе, который используется здесь, основаны на квазиклассическом приближении; впервые на общность между ними указано в [2].
Структура работы
Работа состоит из вводной главы и трех глав, содержащие оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во вводной главе в разделе 0.2 я делаю общий обзор существующих непертурбативных методов и результатов. В разделе 0.3 я провожу обзор спонтанных и индуцированных процессов рождения пар во внешних полях и методов получения эффективных действий типа Гейзенберга-Эйлера-Швингера. В разделе 0.4 я привожу основы метода AdS/CFT соответствия. Далее, в разделе 0.5 рассматриваются основные свойства эффективного магнитного монополя в КХД, и обсуждается его важность для описания КХД в ее различных фазах. В последующих главах, составляющих оригинальную часть работы, описанные методы применяются к анализу конкретных физических ситуаций. В главе 1 исследуется коррелятор петель Вильсона-'т Хоофта (т.е. электрического и магнитного зарядов) с точки зрения метода дуальности. В главе 2 устанавливается поведение кваркового конденсата во внешнем магнитном ноле. Затем в главе 3 изучается смещение равновесия между электрическими и магнитными степенями свободы во внешнем поле и при конечной температуре.
0.2 Разнообразие непертурбативных методов и результатов
Теория возмущений в квантовой теории поля является мощным инструментом познания объективного мира. Проверка пертурбативной КЭД для таких величин как лэмбовский сдвиг или аномальный магнитный момент [3] дает рекордную на нынешний день точность согласования теории с экспериментом. Стандартная модель электрослабых взаимодействий физики элементарных частиц также демонстрирует удивительное совпадение вычислений, сделанных в рамках теории возмущений, с экспериментальными результатами.
Однако, несмотря на всю свою эффективность, теория возмущений ограничена в области своей применимости. Эти ограничения связаны как с ростом сложности петлевых вычислений в каждом следующем порядке теории возмущений, так и с принципиальным отличием пертурбативного и непертурбативного спектров теории. В КХД не представляется
возможным обойтись одними пертурбативными вычислениями в силу наличия явления конфайнмента и большой величины, константы связи в инфракрасной области. Тот факт, что а(0) ^> 1, не позволяет придать смысл разложению в ряд по а. Отсутствие цветных степеней свободы в фазе конфайнмента делает и вовсе бессмысленным всякое описание в терминах кварков и глюонов.
Некоторые явления в КХД в области высоких энергий все же допускают пертурбативный анализ. Например, подтверждаются экспериментом пертурбативные предсказания для распадов связанных состояний, бьоркеновского скейлинга в процессах глубоко-неупругого рассеяния электронов, аннигиляции е+е_ в адроны.
В то же время, принципиально не находят объяснения в рамках традиционной фейнмановской диаграммной техники такие физические явления как конфайнмент зарядов [4], линейное поведение межкваркового потенциала на больших расстояниях [5], спектр адронов [6], вид партонных функций распределения. Не имеет также адекватного описания и поведение бегущей константы связи КХД в низкоэнергетической области. В целом, подавляющая часть феноменов в низкоэнергетической области должны быть отнесены к категории непертурбативных.
Если рассмотреть суперсимметричные теории, то в их динамике также оказываются важными непертурбативные эффекты. Так, в JV = 2 суперсимметричной теории имеет место 51/(2, Z) симметрия между обычными калибровочными бозонами, присутствующими на уровне теории возмущений, и непертурбативными объектами - монополями; это позволяет вычислять геометрию пространства модулей теории и полное эффективное действие [7]. Другим замечательным свойством [8] суперсимметричных теорий является возможность выписать точную (в известном смысле неиертурбативную) /^-функцию.
Разнообразные феноменологические подходы позволяют извлечь частичную непертурбативную информацию о процессах рассеяния в КХД с использованием партонных функций распределения, известных из эксперимента. Правила сумм [9] и уравнения эволюции, которым удовлетворяют партонные функции распределения (например, уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи[10, 11, 12]) -примеры такого подхода. Другой пример частичного восстановления
непертурбативной информации о поведении теории - пересуммирование асимптотических рядов в теории поля, развивавшееся в работах Д.В. Ширкова и соавторов [13, 14]; сходные идеи высказывались в [15, 16]. Попыткой обойти полюс Ландау в инфракрасной области является так называемая "аналитическая теория возмущений", в которой строится альтернативный подход к пертурбативному разложению [17].
Один из возможных способов выхода за рамки стандартной теории возмущений в калибровочных теориях — переход к пределу Nc = со, предложенный 'т Хоофтом [18]. В этом пределе неиланарные диаграммы подавлены как s*_a> гДе X ~~ РОД поверхности, в которую вкладывается диаграмма. Этот подход позволяет выделить ведущие вклады по новому параметру малости. Данная идея привела в конечном итоге к появлению такого мощного инструмента, как соответствие между калибровочной теорией в пределе ЛГС —> оо и теорией струн в режиме слабой связи, которую можно изучать квазиклассически.
Гипотеза об AdS/CFT соответствии является важным современным примером развития непертурбативных идей [19, 20], и формулируется (в слабой форме) как утверждение об эквивалентности квантовой (суперсимметричной) калибровочной теории на границе многообразия и классической теории (супер)гравитации на данном многообразии. Сильная форма гипотезы о соответствии состоит в том, что полная квантовая теория jV = 4 суперсимметричного Янга-Миллса на границе эквивалентна полной квантовой теории струн типа ИВ в объеме многообразия. Хотя в настоящее время данное отождествление носит статус гипотезы и имеет отношение преимущественно к суперсимметричным теориям, есть основания предполагать, что именно AdS/CFT соответствие станет надежным источником информации о непертурбативной КХД [21].
Решеточные расчеты также являются источником полноценной непертурбативной информации о низкоэнергетической КХД. Численные расчеты полей внутри барионных конфигураций [22], поведения вильсоновских петель [23], энергетической зависимости константы связи в недоступной для уравнения ренормгруппы области [24], нарушения киральной симметрии [25], энтропии перепутывания [26], образования кластеров магнитных монополей [27] - все это демонстрируют нам расчеты на решетках.
Одно из наиболее общих утверждений, которое можно сделать
относительно непертурбативной физики — утверждение о ее связи с квазиклассическим приближением.
В классической динамике чрезвычайно интересно и важно изучить точные решения нелинейных полевых уравнений. Общим свойством нетривиальных классических решений в теории поля является то, что на квантовом уровне они соответствуют непертурбативной физике. Это бывает связано либо с нетривиальным спектром возбуждений вблизи классического фона, либо со свойствами самого решения, рассматриваемого как состояние в гильбертовом пространстве теории.
Например, Ъч дуальность Монтонена-Олива [28] между монополями и калибровочными бозонами в неабелевых теориях есть явление существенно непертурбативной природы. Взаимодействия монополей, рождение дионов в столкновении монополей [29, 30] - эти явления не находят объяснения в стандартной теории возмущений. Все явления богатой инстантонной физики: снятие вырождения с классически вырожденных вакуумных состояний [31], образование инстантонного газа [32], взаимодействия инстантонов — возможны только вне рамок теории* возмущений. В более общем плане, динамика систем вблизи нетривиальных классических решений (солитоны, монополи, вихри, кинки, инстантоны, мероны) и их связанных состояний, проявляют свойства, не имеющие объяснения в теории возмущений.
Важно сознавать, что выявление указанных свойств достаточно часто становится возможным благодаря применению квазиклассического приближения к квантово-полевым задачам. Поэтому можно говорить о том, что в каком-то смысле теория возмущений по степеням константы связи и квазиклассическое приближение, дающее результат в виде суммы по всем возможным классическим решениям, "двойственны" : область применимости первого д —> 0, второго - д —> со. Поэтому квазиклассические методы являются естественными для получения непертурбативных результатов. Условие д —> со можно воспринимать как условие применимости метода перевала (в разных его аспектах), что делает метод перевала естественным формализмом для получения результатов, недоступных для теории возмущений. Мы убедимся неоднократно и в обзорной, и в оригинальной частях работы, что это утверждение находит самое непосредственное применение в расчетах.
0.3 Эффективные действия Гейзенберга-Эйлера
Исторически первым результатом в теории поля, выходящим за пределы теории возмущений, стало получение эффективного действия Гейзенберга-Эйлера [33]. Первый вывод для вероятности рождения электрон-позитронных пар был произведен Эйлером и Гейзенбергом в [1]. Для монополей подобная работа была проделана существенно позже [34]. Описание рождения пар в терминах континуального интеграла и квазикласической динамики было дано в работе Швингера [35]. Основная концептуальная новизна работы Швингера легла в основу развития многих направлений в квантовой теории поля — именно, в ней было описано соответствие между теоретико-полевой динамикой эффективного действия и одночастичной динамикой в пространстве на единицу большей размерности. Квазиклассическое описание одночастичной динамики открыло огромные возможности сравнительно простого получения результатов для рождения пар. Вместе с тем, задачи о рождении пар изучались с успехом и без применения квазиклассического подхода, как было сделано Никишовым и Нарожным для импульса поля специфической формы [36]. Тем не менее, этот результат еще раз показывает, что точная разрешимость задачи есть, как правило, уникальное явление, и что правильное направление развития данной области состоит в создании хорошо контролируемых квазиклассических методов. Для разнообразных форм внешнего электромагнитного поля, представляющих интерес с точки зрения их реализации в лазерной физике это было проделано B.C. Поповым в [37, 38]. Общий формализм для полуклассического описания распадов нестабильных состояний был разработан в [39]. Существенное развитие получила квазиклассическая техника в работах [40, 41] в рамках так называемого метода инстантонов на мировых линиях. Сходным образом связь эффективных действий и формализма Бериа-Штрасслера была успешно продемонстрирована в работе [42]. Квазиклассическое описание нестабильности вакуума во внешнем хромомагнитном поле было достигнуто в [43].
Сходной, а в двумерии — тождественной областью исследований является изучение распада ложного вакуума. Первое общее систематическое описание подобного рода явлений было произведено в [44]. Далее поведение ложного вакуума и его спонтанный распад было
в деталях изучено в работах [45, 46]. Индуцированный распад впервые привлек к себе внимание в [47]; далее идея индуцированного распада развивалась в [48]. Понятие индуцированного распада предполагает наличие возбуждений в начальном состоянии системы. На квантово-полевом языке это означает, что мы изучаем теперь не вакуум-вакуумные процессы, а процессы с реальными частицами в начальном и конечном состоянии. Соответствующее индуцированным процессам описание собственных энергий и поляризации вакуума во внешних полях было дано в [49, 50, 51]; радиационный сдвиг массы кварка во внешнем хромомагнитном поле был посчитан в [52]; расширение данной техники на случай конечной температуры было проделано в [53].
0.4 Соответствие между калибровочными теориями и гравитацией
Дуальность как феноменологическая модель
Одной из наиболее бурно обсуждаемых в последние 10 лет теоретических гипотез является гипотеза о соответствии между (суперсимметричными) неабелевыми калибровочными теориями и (супер)гравитацией/теорией суперструн, также известном как "AdS/CFT соответствие" [19, 54, 55]. В главах 1, 2 эта гипотеза будет нашим основным рабочим инструментом. В данной работе я не стремлюсь вынести суждение относительно того, справедлива эта гипотеза или нет. Я исследую гипотезу в том виде, как она существует, и применяю ее к калибровочной теории при сильной связи, где обычные пертурбативные методы теории поля перестают работать. Сравнение предсказаний модели AdS/CFT с предсказаниями обычных теоретико-полевых моделей (киральной теории возмущений, КХД) и их обеих с экспериментом позволит в долгосрочной перспективе разрешить этот волнующий всех вопрос. В этом смысле можно сказать, что в данной работе AdS/CFT соответствие - рабочая феноменологическая модель.
Полный обзор состояния данной гипотезы можно найти в [56, 57], в качестве краткого обзора можно рекомендовать [58]. Здесь будут изложены основные элементы AdS/CFT соответствия, следуя, в частности, этим обзорам. Возьмем для начала теорию замкнутых суперструн в десятимерии. Низкоэнергётическим пределом этой теории
будет Af = 8 супергравитация с действием
Ssugra = Sns + Sr + Sch em—Simons t" >fermionsi (1)
где сектор Неве-Шварца содержит метрику, дилатон и 3-форму, и устроен
SNS=2^0f ^Ле~2Ф {R + 4|^Ф|2 - ^|Яз|2|' (2)
рамоновский сектор содержит 1-,3- и 5-формы и устроен как
Sr = -4^/dwxVG {l^l2 + |F3|2 + |F5|2} , (3)
h = F3-C0AH3, (4)
F5 = F5 - C2 A F3 - B2 A F3. (5)
Черн-саймоновский вклад в действие, как правило, неважен, поскольку он является граничным членом, он приводится ниже для полноты
^Chern-
Simons
--^- J d10xC4 А Яз Л Fs. (6)
Кроме того, необходимым элементом описания динамики IIB супергравитации является условие самодуальности, наложенное на 5-форму
*F = F5. (7)
Это условие необходимо наложить уже на уровне решений, а не уровне полей в действии. Поэтому, строго говоря, динамика теории IIВ не является в строгом смысле слова лагранжевой. Спектр теорий типа НА, IIВ показан в таблице 1, в ней же разъяснены обозначения Ф, Hz,F\,F3,Fb,Co,C2,B2. Связь вектор-потенциалов и напряженностей имеет вид
#3 = dB2
Fi = dCo /яч
F, = dA2 (8)
F5 = dAA
Таблица 1: Спектр теорий типа IIA,IIB.
Поле ПА ПВ
Скаляры (дилатон или дилатон и аксион) Ф Ф + гСо
Вектор (гравифотон) А^ А^
Метрика (гравитон) G^ G^
NS-NS антисимметричный тензор ранга 2 В2ци В2/и, + iA2llv
Антисимметричный тензор ранга 3 А-ци,р —
Антисимметричный тензор ранга 4 — А\ -^
Гравитино V*a Ф%
Дилатино А* А±
У уравнений движения для действия (1) имеются нетривиальные решения, устроенные как
ds2 = f-Wda? + fll\dr2 + r2dQ2)
(1 + *)dtdxidx2dx?,df
-і
9s = еф
А = В = 0
f = 1 + S
R4 = AitgsariN
Со = const
F1 = dC0-=0
#з = dB2 = 0
F3 = dA2 = 0
4 _ л~„ „,'2 лт (9)
Можно заметить, что в такой геометрии ди ф const, поэтому энергия
Рис. 1: Геометрия решения (9) .
Е, измеренная при г —* со и Ег — энергия, измеренная наблюдателем с координатой г, связаны соотношением
Е = Г*Ег. (10)
Это означает, что один и тот же объект, по приближении его к границе г —> 0, для наблюдателя на бесконечности кажется имеющим все меньшую энергию.
Геометрия
Вид этого решения показан на рис. 1. Очевидно, что при г —» со это решение описывает плоскую геометрию, в то время как при г —» 0 оно описывает в точности AdS х 55. Данное решение известно как D3-брана (точнее, совокупность Nc штук І23-бран, расположение которых тождественно совпадает). Отметим, что D3-6paHa существует не только как решение низкоэнергетического сектора теории струн, но и как непертурбативный объект в полной теории струн, необходимый в силу сохранения унитарности теории при совершении над ней преобразования Т-дуальности; на .D-бране могут заканчиваться открытые струны, отсюда название (обозначение "D" указывает на граничное условие Дирихле). Стоит отметить и другое свойство Ир-браны — она является |-BPS объектом, то есть нарушает ровно половину суперсимметрий. Другим классом бран, не рассматриваемых здесь, являются Fp-браны, которые соответствуют граничным условиям Неймана. Dp-браны
Рис. 2: Пространство AdS как универсальная накрывающая гиперболоида.
являются магнитно-заряженными объектами, ,Рр-браны — электрически-заряженными.
Опишем вкратце, что представляет из себя геометрия пространства AdS$, метрика которого совпадает с метрикой D3—браны, указанной в 9, в пределе г — со. Его можно изобразить как 5-мерный гиперболоид с сигнатурой (—Н + Л—), задаваемый уравнением
X2 + X2 - X2 - X2 -X2-X2 = R2 (11)
вложенный в плоское 6-мерное пространство с метрикой
ds2 = -dXl - dXl + dX\ + dX\ + dX\ + dXl (12)
схематически изображенный на рис. 2. Очевидно, что AdS$ является симметричным по отношению к группе движений 50(2,4). Удобным координатами на AdS$ являются так называемые глобальные координаты
Хо = R cosh р sin г
Xi = R sinh р sin в cos ф
I Х2 = R sinh р sin в sin ф , .
Хз = R sinh р cos 0 cos ip
Х4 = R sinh p cos # sin ip ^ X5 = R cosh /? sin t
В них метрика данного пространства устроена как
ds2 = R2{- cosh2 pdr2 + d/>2 + sinh2 pdQ2). (14)
Взяв г в пределах (0,27г), мы покроем гиперболоид ровно один раз полностью, поэтому данные координаты и называются глобальными. Чтобы получить пространство, в котором имеет место принцип
причинности, следует избежать замкнутых во времени геодезических, поэтому мы рассматриваем универсальную накрывающую гиперболоида —оо < г < +оо, в которой не проводится отождествления точек, разнесенных друг от друга на один период.
Также полезной в дальнейшем будет следующая система координат на AdS5:
Л ~ 2й
Л-і = гСиХі, І = 1, Z: о ,^ -4
Y Dl-u2(fi2-^+xg) Vi0J
A4- H Ъ1
X — Ruxq В ней метрика устроена как
ds2 = R2f^- + u\-dxl + dx2)\ . (16)
В такой форме записи удобно видеть, что сечением AdS при и = const является плоское пространство с метрикой Минковского R3'1. Также будет использоваться форма метрики, получаемая после преобразования z = -:
ds2 = R2dz2-dx20 + dx2^ zl
Наконец, форма метрики, которая наилучшим образом выявляет место пространства анти-де Ситтера в классификации космологических решений, устроена как
ds2 = -^ (-dr2 + d92 + sin2 0dfi) , (18)
costr v J
получаемую путем преобразования
tg0 = sinhp, Є Є (0,тг/2). (19)
Эта метрика аналогична, после преобразования Вейля к виду ds2 —> —dr2 + d02 +sin2Odti2,, метрике статической вселенной Эйнштейна, в 3+1-мерии устроенной как
ds2 = -dr2 + d92 + sin2 9дП\, (20)
при этом AdSs имеет на единицу большую размерность, а сферический угол 9 живет в интервале (0,7г). Тот факт, что в пространстве AdS 9 пробегает вполовину меньший интервал, делает пространство анти-де Ситтера незамкнутым, следовательно, у него имеется граница. Эта граница и является "местом" , где живет конформная теория, т.е. конформной компактфикацией R3'1.
Формулировка гипотезы о дуальности
БЗ-браны выступает в роли источника для (магнитного) поля F$ = dA^ и его поток через S5 поэтому фиксируется параметрами браны-
/
*^5 = Nc. (21)
ИВ теория допускает также решения типа D5 и D7, а также двойственные к ним .D1 и D{—1) решения. Они отличаются формой функции /, а также дилатона. Ниже из них нам понадобится, помимо 1)3-браны, только D7 брана, поэтому мы не выписываем наиболее общий вид решения.
Теория открытых струн, заканчивающихся на стопке Nc D3-бран, в низкоэнергетическом пределе эквивалентна теории JV = 4 суперсимметричного SU(NC) Янга-Миллса. Это легко понять интуитивно вспомнив, что брана нарушает половину генераторов суперсимметрии. Действие этой теории устроено как
+ f [Ф«, Ч* + 9CfXa [Ф, Аб] + дбіаьК [Ф*. Ль]] ,
где коэффициенты Cfb, Ciab приходят из теории представлений SO(6) (они сворачивают два спинорных и одно векторное представление 50(6) в скаляр). Этот спектр содержит векторное поле (глюон) Ам, 4 вейлевских спинора (глюипо) Аа, а = 1... 4, и 6 скалярных полей Фг, г = 1... 6. Такой спектр является единственно возможным в секторе со спином s < 1. Его можно также понимать как Л/" = 2 теорию с одним гипермультиплетом материи в присоединенном представлении, или JV = 1 теорию с тремя гипермультиплетами материи в присоединенном представлении. Полная группа симметрии теории устроена как 5/7(2,214), она включает в себя группу сдвигов и вращений Пуанкаре, дилатации, специальные
Таблица 2: Генераторы алгебры SU(2,2|4)
Генератор Физический смысл
конформные преобразования, суперсимметричные и суперконформные преобразования, флейворную R-симметрию.
Все операторы данной теории принадлежат мультиплетам 577(2, 214). Ее представления характеризуются шестью квантовыми числами: двумя лоренцевскими SO(S, 1) вращениями si, S2, размерностью А и флейворными квантовыми числами гі,Г2,гз, соответствующими изотопическим S77(4) ~ SO(Q) вращениям четырех спиноров или шести скаляров. Важным фактом является то, что эта же симметрия является симметрией решения супергравитации типа AdS х 55. Оказывается, что классификация операторов по представлениям SU(2,2|4) в J\f = 4і теории совпадает с классификацией решений в теории струн в фоновой геометрии AdS х S. При этом на струнной стороне si,S2, А,гі,Г2,гз становятся интегралами движения для струнных решений: А, становится полной энергией Е, лоренцевы спины отождествляются с моментами количества движения Ji, J2 в гиперплоскости М3'1, ограничивающей AdS$, а г*і,Г2,гз соответствуют угловым моментам количества движения на сфере.
Ниже приводится краткое описание того, как именно устроены представления алгебры 77(2,2|4) (т.е. операторы в Af = 4), и, соответственно, струнные решения в изучаемой метрике. Полный набор генераторов алгебры SU(2, 2|4) перечислен в табл. 2. Нет необходимости выписывать структурные соотношения между бозонными генераторами P,L,D,K конформной группы 50(2,4), так как они общеизвестны. Имеет смысл выписать лишь бозон-фермионные и фермион-фермионные
соотношения (анти)коммутации:
{Qaa,Qp} = {Sa,a,Qb,p}={Qaa,Sl}
{«'<Ц = КёРЛ . (24)
{<%%} = eafiWD + Щ) + ffiL^p
Полезно записать размерности генераторов симметрии и полей:
їй = [зд = [да = о
[Р»\ = 1
[К>\ = -1
[Q]
[S] = -
[ф*] = 1
1 = 2
5 ! (25)
[AJ = |
В конформно-инвариантной теории отсутствуют асимптотические состояния и S—матрица, поэтому единственно интересным объектом изучения в них являются операторы. Произвольный калибровочно-инвариантный оператор в теории строится из полей Фг, Аа, F^u и ковариантной производной )д. Отсюда очевидно, что операторов с отрицательной размерностью быть не может. Следовательно, число операторов с размерностью, не превышающей некоего заданного числа, всегда конечно. Последовательно коммутируя любой оператор с генератором S, всегда можно прийти к нулевому оператору, ибо операторов отрицательной размерности нет, a S размерность понижает:
[S, О] = 0. (26)
Оператор О в данном построении играет роль оператора старшего веса для некоего мультиплета операторов. Очевидно, начиная с этого оператора можно построить весь мультиплет, неприводимый под действием 5С/(2,2|4), действуя на него операторами Q. Такой оператор О называют суперконформным примарным оператором. Всякий оператор О', полученный путем действия на него Q или Р
& = [Р,0], [ ]
будем именовать суперконформным оператором-потомком (descendant). Суперконформный примарный оператор никогда не является коммутатором Q с другими полями. Очевидно, что суперконформными примарными операторами могут быть только комбинации скалярных полей, потому что напряженность векторного поля и поле глюино могут быть получены путем коммутации Q с глюино, скаляром или глюоном. Наиболее простой для анализа класс суперконформных примарных операторов — операторы с одним следом. Простейшие известные суперконформные примарные операторы с одним трейсом — это мультиплет Кониши
Ок = іїгФ'Ф* (28)
и мультиплет супергравитации
Osugra = Ъ${г&} (29)
Другим классом суперконформных примарных операторов являются операторы с множественными следами. Изучение их сводится к изучению тензорных произведений операторов с одним следом. Операторы с одним следом в калибровочной теории соответствуют одночастичным состояниям в гравитации, с многими спинами — многочастичным. Состояния с многими следами оказываются подавленными по -^-, поэтому их изучение не столь важно, как изучение операторов с одним следом.
Классификация унитарных неприводимых представлений группы SU(2,2|4) полностью эквивалентна классификации суперконформных примарных операторов. Рассмотрим более подробно классификацию примарных суперконформных операторов. Оказывается, что они распадаются на четыре серии в зависимости от значений квантовых чисел гх,Г2,гз,Д. Первые три серии являются дискретными. Они называются (1, |, |, |)-BPS состояниями (киральными), в зависимости от соотношений между квантовыми числами гі,Г2,гз,А. Мультиплеты, построенные на этих суперконформных примарных операторах, не получают квантовых поправок. Четвертая серия является непрерывной. Она называется не-BPS (некиральной). Такие операторы нетривиально преобразуются под действием преобразований ренормгруппы. Наиболее общее примарное представление суперконформной алгебры имеет 216 примарных операторов (имеется 16 независимых действительных
зарядов Q), над каждым из которых построена башня представления конформной алгебры. При этом если спиральность исходного состояния (некирального суперконформного примарного вектора) есть А, то спиральности остальных примарных векторов представления будут пробегать диапазон от А — 4 до А + 4. Представления, в которых живут BPS-операторы являются "укороченными" . Это означает, что вместо 16 независимых зарядов, только 8 будут действовать на исходный (киральный суперконформный примарный) вектор ненулевым образом. Поэтому в таком мультиплете будет находиться только 28 примарных операторов, над каждым из которых строится соответствующая башня. Спиральности примарных состояний такого мультиплета пробегают значения от А — 2 до А + 2.
Из рассмотренных нами суперконформных операторов мультиплет супергравитации является 1/2 BPS, оператор Кониши — не-BPS. Можно показать, что 1/2 BPS мультиплет супергравитации в точности соответствует мультиплету полей из спектра ІІВ супергравитации, откуда и получает свое название. Общий киральный примарный суперконформный вектор строится как
0ІІ-^=Ьг(ф^...фІпЛ (30)
где її пробегают значения 1... 6 в фундаментальном мультиплете скаляров SO(6), скобки {...} означают симметризацию и вычитание следа по любой данной паре Ij, Ik- По отношению к группе SO(6) такой оператор является вектором представления с весами (0, п, 0). Такое представление содержит, как правило, ~оП2(п2 — 1) примарных векторов, половина из которых - бозоны, половина - фермионы. Для п = 2, 3 эти представления еще короче. Например, для п = 2 примарными операторами являются токи суперконформной алгебры. Вес п может пробегать значения от п = 2 до п — Nc, так как для более высоких п оператор 0і1"1" можно выразить в терминах других операторов. Тем самым расклассифицированы все возможные короткие представления операторов в N = 4 суперсимметричной калибровочной теории.
Чтобы сделать любое конкретное вычисление в AdS/CFT, надо знать, как именно связаны операторы (точнее, вакуумные средние их произведений) в 4-мерии и поля (точнее, коэффициенты перед модами классических решений) в 10-мерии. Возьмем какое-то поле Ф в 10-мерии.
Разложим его по сферическим гармоникам на сфере Sb:
* = $>д(я,г)Уд(!/). ' (31)
где подразумевается, что сферические гармоники Y снабжены индексами Гь^2>?~з; х — (х, х1, х2, ж3) — координата на границе, г = \ — координата AdS, у — координаты на сфере. В свою очередь, вблизи границы верно:
фб(х, г) = фо(х)г4~А + Аф(х)г~А (32)
Теперь имеется необходимый инструментарий, чтобы сформулировать гипотезу об AdS/CFT соответствии. Она выглядит так:
Zym[Ja] = "string [ФА ] (33)
где статсумма калибровочной теории вычисляется в присутствии четырехмерных токов 7д, являющихся источниками для неких операторов Од размерности Д.
Zym[Ja] = (е-<5+/'д(*)Од(*))). (34)
При этом ток J и оператор О принадлежат одному и тому же мультиплету 5f/(2,2|4) и снабжены одними и теми же индексами; для краткости мы не выписываем весь набор индексов. Статсумма теории струн/супергравитации Zstring$A(x, z)\dAds] считается с граничными условиями
Фа(х^)\2-*о = JA{x). (35)
Мода поля Фа(х, z) на стороне супергравитации в своем супермультиплете полей занимает такое же место, как ток /д(гс, z) — в своем мультиплете токов. Масса т скалярного поля ф и полная(нормальная+аномальная) размерность А оператора О связаны соотношением
А = 2 + у/A + m2R2 (36)
Для вакуумных ожиданий (конденсатов) операторов имеем выражения через регулярные (нормируемые) моды полей в AdS:
< 0(х) >= Аф(х). (37)
Корреляторы полей связаны с ненормируемыми модами полей в AdS:
<о(Г1)...оы>=ы,7'шту <38)
дф0{х1)...дфо{хп)
AdS/CFT соответствие относится к максимально суперсимметричной калибровочной теории. Каким образом можно распространить результаты дуального рассмотрения на реальный несуперсимметричньтй мир?
Одной из наиболее ранних идей в этом направлении было рассмотреть (2,0) суперконформную теорию в шести измерениях, реализованную на N штуках параллельных М5-бран [59]. Компактификация этой теории на окружность приводит к пятимерной теории, чьим низкоэнергетическим пределом является максимально суперсимметричная калибровочная теория. Для того, чтобы нарушить суперсимметрию, мы производим дальнейшую компактификацию на окружность, и налагаем антипериодические условия на фермионы. Также следует потребовать, чтобы типичный масштаб масс полученной КХД был существенно меньше, чем соответствующие масштабы компактификации.
Другой способ получить КХД заключается в том, что в конструкцию вводятся дополнительные элементы — браны. В известном смысле описанный выше процесс может быть также интерпретирован на языке бран. Именно, можно сказать сказать, что имеется картина со стопкой D4 бран. нагретой до температуры, соответствующей радиусу компактификации [60]. Заметим, что пока что это есть чистая глюодинамика. В такой КХД можно предсказать массы glue-ЬаП'ов, глюонный конденсат, топологическую восприимчивость вакуума, конфайнмент-деконфайнмент. Понятно, что для предсказания спектров барионов, мезонов, кирального конденсата, необходимо ввести степени свободы, соответствующие кваркам и монополям. В этой модели это делается с помощью М2 и D2 бран соответственно, концы которых закреплены на границе D4 браны, а другие концы объединены в тройной вертекс.
Другим вариантом дуальной КХД является теория типа 0А, ОВ на 1)3-бранах [61]. Она возникает благодаря некиральной проекции Льоцци-Шерка-Олива (Gliozzi-Scherk-Olive). Состав полей такой теории такой же, как в теории типа ПА, IIВ соответственно, притом, что фермионы в спектре отсутствуют, а рамон-рамоновские формы присутствуют
в удвоенном количестве. Удвоение числа рамон-рамоновских форм приводит к тому, что теперь брана несет двойной заряд, электрический и магнитный. Наличие шести скалярных полей позволяет с определенной свободой ввести параметры теории.
Почему гипотеза об AdS/CFT соответствии может оказаться верной?
Результаты, получаемые в теории поля, устроены как ряд по константе 'т Хоофта Л = g~Nc, в то время, как в дуальности в пределе 'т Хоофта мы имеем разложение по -4= при Л —» со. Поэтому, даже если можно соединить гладкой кривой два этих режима, отсюда не следует, что дуальность тем самым обоснована. Однако в теории есть ряд свойств, которые не зависят от константы связи. Совпадение их еще не означает полной квантово-механичсской идентичности теорий, однако является сильным аргументом в ее пользу. К таким свойствам относятся:
1. Глобальная симметрия теории [/(2,2|4) совпадает на обеих сторонах
соответствия. Также совпадает симметрия дуальности SL(2, Z),
действующая на комплексной константе связи г = Щ- + 9 как г —>
ат+Ь ст+d'
Некоторые корреляционные функции не получают квантовых поправок и поэтому не зависят от константы связи.
Спектр киральных операторов не зависит от константы связи и может также быть сопоставлен на обеих сторонах соответствия.
Структура пространства модулей теории также не зависит от константы связи.
0.5 Электрические и магнитные степени свободы в кварк-глюонной плазме
Начнем с того, что определим, что мы имеем в виду, когда говорим о монополях в КХД. Очевидно, что явное решение типа 'т Хоофта -Полякова [62, 63] в буквальном смысле слова в КХД отсутствует, так как оно требует наличия скалярного поля с потенциалом типа Хиггса. Однако решеточные вычисления однозначно указывают на то [64], что в КХД
присутствуют вихреобразные конфигурации, соединяющие электрические заряды. Эти конфигурации удивительно хорошо описываются трубками тока типа решения Абрикосова [65, 66] для действия Гинзбурга - Ландау абелевой модели Хиггса. Вокруг таких трубок тока вращаются монополи. Это соответствует конфайнменту зарядов и конденсации монополей. Мы можем определить монополь на решетке как положение концов сингулярных струн Дирака путем расчета полного магнитного потока через через замкнутую поверхность:
m = ^r/6/iI/Q/?i?^V/?- (39)
Эти объекты широко наблюдаются в решеточных вычислениях [67, 68]. Монополи и вихри являются хорошо изученными на решетке объектами [69]. Известны решеточные результаты по связи монополей и конфайнмента [70, 71], образованию конденсата монополей [72], кластеризации, монополей [73, 74], взаимодействию монополь-антимонополь [75, 76]'.
Дираковская струна [77], безусловно, является объектом, зависящим от калибровки, поэтому какое-то время существовало мнение, что наблюдение подобного рода монопольных конфигураций является артефактом решетки. Однако независимость наблюдаемой, плотности монополей и их корреляций от параметров решетки убеждает в том, что мы имеем дело, с физической реальностью, а не с артефактом.
При высоких температурах кварк-глюонной плазмы мы можно дать еще одно интуитивно ясное объяснение понятию "монополь в КХД" . Именно, при высокой температуре можно редуцировать теорию до 2+1 измерений, при этом мы получим модель Джорджи-Глэшоу, в которой место скалярного потенциала ф займет Aq.
В последнее время в связи с успешными экспериментами по соударениям тяжелых ионов значительный интерес представляет динамика магнитных монополей в кварк-глюонной плазме. Монополи, наряду с кварками, оказываются важнейшими элементами динамической картины вблизи фазового перехода. Широко известна картина дуальной сверхпроводимости, также наблюдаемая на решетках [78]. Фаза конфайнмента в ней характеризуется конденсацией монополей и образованием трубок тока хромоэлектрического поля между
кварками [79]. Обычная сверхпроводимость предполагает наличие трубок тока магнитного тока между монополями/вихрями и конденсацию зарядов, отсюда понятно, почему происходящее в КХД носит название дуальной сверхпроводимости. Последнее время активно исследовался вопрос о влиянии внешних абелевых и неабелевых полей [80], внешних полей и химического потенциала [81, 82], внешних полей и температуры [83] и метрики пространства [84] на дуальную сверхпроводимость и переходы между ее фазами.
Фаза деконфайнмента устроена как газ свободных кварков, монополей и глюонов. Большой интерес представляет вопрос, является ли газ/конденсат монополей действительно газом или взаимодействие между отдельными монополями и зарядами достаточно сильно, чтобы считать его жидкостью [85]?
На этот вопрос в настоящее время нет однозначного ответа. Существует ряд частных ответов, как модельных, так и решеточных [86, 87].
Аналогично, концентрация монополей в кварк-глюонной плазме является также интересной физической величиной, которая не вполне хорошо изучена [88]. Также представляет большой- интерес взаимоотношение абелевых/неабелевых монополей в КХД [89], в том числе в ее суперсимметричных обобщениях [90, 91]
Все эти факты свидетельствуют о необходимости более глубокого понимания сложного взаимодействия магнитных и электрических степеней свободы в кварк-глюонной плазме.
На сегодняшни» день принято говорить о кварк-глюонной плазме вблизи точки фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент [92] в режиме сильной связи. Безусловный интерес представляет выяснение того, на какой диапазон можно распространить представление о подобной картине плазмы с большой константой связи. Феноменологически этот режим представляет большой интерес, так как в режиме сильной связи кварк-глюонная плазма ведет себя как идеальная жидкость [93], т.е. соотношение вязкости к энтропии ^ достигает минимума [94]. Важным является то, что, как предполагается, это минимальное значение, и, соответственно, наибольшее сходство кварк-глюонной плазмы с жидкостью, достигается не в точности на Г = Тс, т.е. не в точке перехода конфайнмент-деконфайнмент, а в точке перехода между так называемой монополь-доминированной и кварк-доминированной
1.4 Т.
q доминируют
m в фазе конфайнменіа
кпарк-глюонная плазма
Рис. 3: Фазовая диаграмма КХД и монополи.
степенями свободы [85].
Обычно, говоря о фазах КХД, основное внимание уделяется переходу конфайнмент-деконфайнмент. Однако существует широко обсуждающийся в настоящее время подход, в котором ключевую роль для различения между различными, фазами КХД играет взаимная динамика монополей и зарядов [85], как показано на рис. 3. Малые температуры Т и малые химические потенциалы \і соответствуют фазе, в которой доминируют монополи, т.е. они являются основным типом частиц, образующих плазму. При больших температурах или больших химических потенциалах имеет место кварк-доминированная фаза, т.е. основной объект в плазме — кварки. В случае монополь-доминированной фазы ее можно разделить на (низкотемпературную) фазу, в которой кварки подвергнуты конфайнменту, и (высокотемпературную) фазу, в которой кварки сильно скоррелированы. Аналогично, в кварк-доминированной фазе имеют место две фазы: (низкотемпературная) фаза в которой монополи находятся в состоянии конфайнмента, и (высокотемпературная) фаза, в которой монополи сильно скоррелированы. Сильно-скоррелированная фаза предполагает, что конфайимент уже отсутствует, но частицы все еще соединены трубками тока (хромоэлектрическими для зарядов, хромомагнитными для монополей). Границу между монопольно-доминированной и зарядово-доминированной фазами можно определить по равенству электрической и магнитной констант связи:
2 о л
(40)
_ = *L = I he he 2'
Эта граница в известном смысле является аналогом кривой маргинальной стабильности, при всей условности применения этого понятия к несуперсимметричной теории. Напомним, что в Л/" = 2 теории кривая маргинальной стабильности описывает равновесие в следующем процессе
Глюон ^ дион + монополь (41)
По одну сторону от кривой маргинальной стабильности глюоны отсутствуют как частица, поэтому описание системы следует проводить в терминах магнитных степеней свободы. По другую сторону кривой маргинальной стабильности имеют место глюоны и кварки, т.е. мы имеем дело с кварк-гюонной плазмой. В главе 3 мы описываем влияние внешнего поля на упрощенную систему (абелевых) зарядов, монополей и дионов, которая призвана моделировать сходные процессы, происходящие в кварк-глюонной плазме. Находясь вне фазы конфайнмента, т.е. когда монополи и дионы отсутствуют, мы можем привнести в систему некоторое количество монополей и дионов за счет внешнего поля. Это будет модифицировать вид фазовой кривой.
Физический смысл кривой перехода между зарядово-доминированной и монополь-доминированной фазами состоит в том, что на данной кривой монополи и кварки вносят одинаковый вклад в термодинамические коэффициенты переноса.
Следующий аргумент может быть приведен в пользу применения методов и результатов J\f — 2 теории для описания реальной КХД. Зайберг и Виттен описали [7], как меняется физическое содержание теории в зависимости от вакуумного ожидания абелевой проекции скалярного поля, множество значений которого образует пространство модулей. Ими рассчитан точный вид препотенциала, что позволяет показать, как в одних областях пространства модулей в спектре теории доминируют монополи и заряды, а в других — дионы. Симметрия между монополями, зарядами и дионами в N = 2 теории известна как дуальность Зайберга-Виттена. В пространстве модулей имеется точка, вблизи которой масса монополя стремится к нулю. Это позволяет для магнитных степеней свободы написать и решить уравнение безмассовой ренормгруппы. Решение его будет точным, ибо известно, что /^-функция в N = 2 состоит только из однопетлевого вклада. Как следствие, возникает полюс Ландау, и электрический сектор теории становится сильно-связанным, е —> со, в то
время как магнитный сектор становится свободным т —> 0 в силу условия квантования Дирака
При сравнении ситуации с несуперсимметричной КХД, видно, что в ней присутствуют все упомянутые в этом параграфе элементы конструкции. Монополи в КХД наблюдаются как эффективные объекты на решетке; условие квантования Дирака и полюс Ландау также наличествуют. Сам факт того, что рассматривается суперсимметричная теория, не отразился на предшествующих рассуждениях. Поэтому можно считать, что суперсимметричную теорию вполне разумно использовать для описания КХД.
Все разделы данной работы посвящены разным аспектам настоящей проблемы: вычислению коррелятора электрической и магнитной петель, выяснению поведения кваркового конденсата в магнитном поле, квазиклассической динамике распада монополя на заряд и дион.
Конечно-температурный анализ
Рассуждения предыдущего раздела обобщаются ниже на случай конечной температуры. Возьмем конечно-температурную метрику, устроенную как и 2о = , где Г — температура. Эта метрика соответствует либо компактифицированной геометрии анти-де Ситтера (-2 2/3), либо черной дыре в пространстве анти-де Ситтера (zo 2/3). Тип конфигурации, которую мы хотим изучать, остается таким же, как и в предыдущем разделе: зарядовый и монопольный сегменты, соединенные дионным сегментом. Для простоты мы рассматриваем случай д — оо, что совместимо с гипотезой дуальности. Поэтому натяжение монопольной поверхности стремится к нулю. Следовательно, дионный и зарядовый сегменты образуют практически гладкую поверхность, к которой по нормали крепится монопольный сегмент, как показано на рис. 1.5. Альтернативно, как и ранее при Т = 0, может существовать несвязная конфигурация, состоящая из монопольной и зарядовой Как мы увидим ниже, эти две конфигурации будут соревноваться за то, чтобы давать ведущий вклад. Будет установлен критерий, различающий ведущие конфигурации при тех или иных внешних параметрах. В пределе д — оо единственное различие между действиями на связной и несвязной конфигурациями приходит от монопольного сегмента, обозначенного (2) на рис. 1.5. При нулевой температуре однопараметрическое семейство поверхностей, ограниченных одной вильсоновской петлей, было изучено в работе Gross, Drukker и Ooguri [98], а также Maldacena и др. [99]. Двухпараметрическое семейство, ограниченное двумя вильсоновскими петлями, было построено в [96]. Эти решения были обобщены в [100] на случай конечной температуры. Исследования коррелятора круглых петель Вильсона и т Хоофта еще не проводились, что является мотивацией настоящей главы. Уравнения движения далее решаются численно и строится семейство решений {zi{r; Ri,R,2iZo,g)}, і = 1,2,3, которое должно удовлетворять граничным условиям z[(0) = 0 (регулярность в начале координат) 22(-) = 0 (петля т Хоофта является границей) z {R\) — 0 (петля Вильсона является границей) zi(f) = Z2(f) — 23(f) (присутствует точка пересечения) , Tit\Ti(r) + Годт (f) + TiflT r) — 0 (точка пересечения — в равновесии) где f есть координата точки пересечения г, т? суть касательные векторы к соответствующим кривым 2j(r), т? — . xi2 (l)2f) индексы і = 1,2,3 относятся к частям конфигурациям, показанной на рис. 1.5. Введение предела сильной связи упрощает численное решение условия равновесия, которое теперь устроено как Хотя приведенным методом можно изучить любой диапазон (Ді,і?2), для определенности всюду ниже фиксируется радиус петли Вильсона Ri = 1, что разумно, так как интересно увидеть что-нибудь нетривиальное в районе температур масштаба ZQ = 2/3 (переход Хокинга-Пейджа).
При нулевой температуре вся динамика, зависит только от отношения R2/R1. При конечной температуре это уже не так, поскольку конформная инвариантность нарушена. Поэтому действие сейчас будет зависеть от двух независимых величин — i?i и 1. Тем не менее, представляется разумным изучать эффекты вблизи Ri — 1 по следующей причине: очень маленькая конфигурация почувствует только очень высокие температуры; если что-либо интересное и случится вблизи перехода Хокипга - Пейджа, это явление должно затрагивать конфигурации с R\ 1. Решая уравнения можно заметить, что опять присутствуют две ветви действия на монопольной конфигурации, 5(), стабильная и нестабильная, показанные на рис. 1.7. Заметим, что численным рецептом для получения конечного перенормированного действия было применение постоянного обрезания. Нестабильная ветвь не представляет для нас интереса, поскольку она никогда не пересекает стабильной ветви. Диапазон . здесь выглядит как (jR2nm(zo), R\). При нулевой температуре мы видели, что R m = Rie z w 0.6065. При конечной температуре минимальное допустимое Яг будет некоей функцией R m{zo). На рис. 1.8 показано, что наиболее узкий допустимый диапазон для конфигурации с петлями Вильсона - т Хоофта достигается на ZQ « 1.1, где K2m(zo) — 0.631. Гладкая асимптотика при ZQ — оо воспроизводит аналитический результат при нулевой температуре. При температурах, при которых метрика с черной дырой доминирует, с высокой точностью можно утверждать, что Щ1гп(г0) — ZQ. Связная конфигурация имеет несвязный аналог, как и в сходном контексте [96], показанный на рис. 1.6. Действие на нем следует сравнить с действием на стабильной ветви связного решения, что и делается на рис. 1.9.
Можно наблюдать критическую точку ip , отличную от дтгп gC5f карТИна напоминает ситуацию, наблюдавшуюся Клебановым, Кутасовым и Муруганом в вычислении энтропии перепутывания, проведенном на основе гипотезы дуальности в работе [101]: верхняя Поведение вакуума КХД в сильных электромагнитных полях недавно привлекло серьезное внимание к этой проблеме [102, 103], изучение которой было начато в свое время в работах Б.Л. Иоффе [104]. Решеточные симуляции поведения конденсата КХД [105] во внешних полях — лишь один из многих примеров недавних исследований вакуума КХД, о которых можно упомянуть здесь. В настоящей главе я делаю попытку описать поведение конденсата и мезонных спектров с точки зрения дуальности между калибровочной теорией и гравитацией. Глава организована следующим образом: в разделе 2.1 делается обзор методов исследования мезонных спектров и конденсата методами дуальности. Далее в разделе 2.2 дается описание конкретной модели, которую мы собираемся применять. В последующем разделе 2.3 представлены численные вычисления. В разделе 2.4 подводятся итоги главы. Вакуум КХД количественно может быть описан киральным конденсатом, константой распада пиона и другими физическими величинами, в частности, конденсатами операторов высших размерностей. Ниже мы проанализируем свойства некоторых из этих объектов на электромагнитном фоне. Киральный конденсат КХД (qq) является параметром порядка нарушения киральной симметрии. В теории поля идеи катализа нарушения киральной симметрии развивались в свое время Гусыниным, Миранским и Шовковым. В работе [103,106,107] ими изучалось, в частности, усиление кирального конденсата в 2 +1 и 3 + 1-мерных моделях типа Намбу-Йона-Лазинио. Вопрос о поведении кирального конденсата во внешнем поле был решен Смилгой и Шушпановым [108] в рамках киральной теории возмущений [109]. Для малых магнитных полей Н в точном киральном пределе имеет место соотношение Заметим, что линейный член по Н имеет фактор, устроенный как - -, так как / NCl что понадобится нам в дальнейшем. Двухпетлевая поправка к этому результату была посчитана Шушпановым и Агасяном [110]. Поучительно сравнить это низкоэнергетическое вычисление в КХД с вычислением в модели Намбу-Иона-Лазинио [111] где с — некоторый модельно-зависимый коэффициент. Линейная зависимость (2.1), полученная Смилгой и Шушпановым, неаналитична (имеет разрез) по инвариантам внешнего поля, т.е. устроена как Л/F . ЭТО может показаться странным на первый взгляд. Однако эта неаналитичность как раз и является главной характерной чертой рассматриваемого явления. Она означает, что в низко-энергетической области, где только и является применимой киральная теория возмущений, отсутствуют другие массивные параметры. Неаналитичность выражения (2.1) является указанием на то, что 7Г-мезон является голдстоуновской частицей. Если нарушить киральный предел, эта зависимость была бы аналитической. Следует работать в точном киральном пределе, так как иначе будет необходимо включить в петли все вышележащие адронные состояния.
Мезоиныс спектры
Малые флуктуации над классическими решениями уравнений движения определяют мезонные спектры. Имеется два типа таки флуктуации: соответствующие голдстоуновским (в пределе больших Nc) мезонам 7/, и неголдстоуновским. Первые являются флуктуациями угловой координаты в плоскости Ох хд, вторые — флуктуациями радиальной координаты. Для голдстоуновской части спектра уравнения на малые флуктуации /(р) устроены как следующих граничных условиях: Функцию w в решении (2.20) надлежит заимствовать из предшествующего раздела. Эти уравнения решались в компьютерной математической среде Mathematica методом стрельбы. Метод заключается в том, что при их решении следует начать с решений, ведущих себя как \ на бесконечности, и шаг за шагом находим такое значение М, которое обеспечивает искомое поведение в нуле. Собственно искомое регулярное в нуле решение можно достичь лишь асимптотически, но его можно приблизить сепаратрисой сингулярных в нуле решений с любой точностью. В наших вычислениях мы получали М2 с четырьмя десятичными знаками. Результаты для голдстоуновских мод показаны на рис. 2.4, где На основании аналогии с материалом, изложенном выше, была предпринята попытка аппроксимировать полученную зависимость 5т от поля либо линейным 5т2 В, либо квадратичным образом 5т2 В2. Однако, наш численный анализ показывает, что ни то, ни другое не является достаточно хорошим приближением, что показано на рис. 2.4. Сравнивая изображенную на этом графике зависимость с линейным поведением масс по полю в киральном пределе киральной теории возмущений, и с квадратичным поведением в чистом AdS [120], мы заключаем, что динамика масс в нашей модели отлична как от киральной теории возмущений, так и от модели со строго конформной фоновой метрикой. Проанализировав численные данные, можно сделать вывод, что линейная зависимость конденсата от поля в дуальной модели не воспроизводится вовсе.
Вместо этого, имеет место квадратичная зависимость. Возможно предложить очень простое объяснение этому феномену. Киральная теория возмущений не воспроизводит члены порядка ( 4-) , как было объяснено Рис. 2.4: Спектры масс т\ как функции поля В. Тонкие линии слева (т = 1) и справа (т = 0.1) показывают интерполяции 5т2 = аВ и 5т\ = аВ2. выше. Результат киральной теории начинается с ( jf) .С другой стороны, дуальность воспроизводит эффект как раз ведущего (нулевого) порядка по jj-. Такой эффект может быть описан и киральной теорией возмущений, если в нее включить член аномального пион-фотонного взаимодействия. Поиск удовлетворительной дуальной модели КХД должен быть, безусловно, продолжен, так как поведение масс мезонов пока что не находит никакого разумного объяснения. Возможным способом улучшения предсказаний рассмотренной модели был бы учет действия пробной брапы на фоновую метрику, что позволило бы принять во Nf внимание следующие поправки по jf-. Квазиклассическая динамика электрических и магнитных степеней свободы во внешних условиях Выше было сказано о важности монопольного сектора для динамики фазовых переходов в КХД. Монополь, как известно, является стабильным как BPS-состояние; его распад возможен не иначе как в присутствии внешних полей, или иных факторов. Например, в N = 2 теории монополь может стать нестабильным при адиабатическом изменении параметров в пространстве модулей [129]. С другой стороны, в силу интенсивного прогресса в экспериментальной физике соударения тяжелых ионов существует возрастающий интерес к спонтанным и индуцированным швингеровским процессам в сильных внешних полях, равно как и к спонтанным и индуцированным процессам распада ложного вакуума. Поэтому представляется совершенно естественным изучить нєпертурбативно разрешенный распад монополя в рамках швингеровского формализма, чтобы выяснить, как модифицируют внешние поля фазовую диаграмму КХД. Данная глава организована следующим образом. В вводном разделе 3.1 представлены некоторые обзорные основные сведения о магнитных монополях и обсуждается сама возможность их теоретико-полевого описания. Далее, в разделе 3.2 описывается распад монополя в непостоянном внешнем поле с экспоненциальной точностью. В разделе 3.3 вычисляется предэкспоненциальный фактор для распада в постоянном ноле. В разделе 3.4 изучается влияние конечной температуры на данный процесс. В данном разделе обсуждаются общие основы формализма, в котором будут вестись дальнейшие рассуждения и выясняются условия, при которых полуклассическое рассмотрение является допустимым для данной проблемы. Начиная с исторической работы Дирака [130] вопрос о том, как включить магнитные монополи в структуру стандартной квантово-полевой парадигмы, был нетривиальным. Работа с монополями в рамках общих принципов КТП затрудняется двумя препятствиями: неприменимостью теории возмущений и нелокальностью. В силу дираковского условия квантования заряда [131] заряд д монополя имеет величину д2 137, так что никакого разумного ряда теории возмущений по этому параметру построить нельзя, в отличие от стандартного ряда по степеням а в КЭД. В разное время было предпринято несколько попыток построить самосогласованную КЭД с монополями [132, 133]. Две упомянутые фундаментальные проблемы, неизбежные для дираковского монополя, также имеют место и в неабелевом случае.
Монопольная конфигурация является нетривиальным решением классических уравнений движения. Она проявляет некоторые свойства точечной частицы, но в то же время не может быть порождена локальным квантово-полевым оператором1. Монополь т Хоофта-Полякова следует воспринимать как некий квазиклассический объект нежели чем как квантовую частицу, поскольку его характерный размер, грубо говоря, в 1/а больше, чем его де Бройлевская длина. В дуальной теории [28] монополи соответствуют калибровочным бозонам, которые имеют локальное описание, тем не менее, в исходной теории никакое локальное описание невозможно. Непертурбативные аспекты монопольной динамики могут быть изучены геометрическими и топологическими методами, которыедопускают описание динамики монополей и дионов в терминах геодезических на пространстве модулей решений уравнений Богомольного [30, 29]. Этими методами было показано, что имеют место процессы, которые можно проинтерпретировать как рассеяние монополей и/или превращение их в дионы. Тем не менее, явной теоретико-полевой модели этих процессов до сих пор не предложено. Теория струн предлагает описывать дионы как (р, д)-струны, концы которых зафиксированы на неких D-бранах [136]. Недавно было предложено в терминах данного описания представлять индуцированный процесс "калибровочный бозон — монополь, дион" или "монополь —» дион, заряженный фермион" во внешнем поле [137]. Существование соответствующей вершины на уровне теории струн служит для того, чтобы эвристически объяснить введение "эффективной константы связи" , которая отсутствует на уровне теории возмущений. В теории поля существует широкий класс процессов, которые становятся непертурбативно-разрешенными, если в действие вступает внешнее поле. Очевидным примером является швингеровское рождение е+е пар во внешнем поле (в качестве обзора см. [138]), или аналогичный процесс рождения монополей в магнитном поле [34]. Другой класс непертурбативных процессов состоит из процессов распада ложного вакуума. Общий случай распада ложного вакуума в искаженном хиггеовском потенциале изначально рассматривался в работах [139, 45].
Связанное состояние в двумерии
Если редуцировать предыдущие рассуждения в двумерие, то ситуация технически упрощается. Вместо монополя мы теперь можем рассматривать мезон в модели Тирринга, и фермион-антифермионную пару вместо диона и заряженного фермиона в петле. Поэтому описанная выше проблема будет в известном смысле эквивалентна проблеме распада мезона на фермион-антифермион в модели Тирринга. Такой процесс, опять же, запрещен, поэтому вполне осмыслена задача изучения его в швингеровской парадигме. С другой стороны, мы имеем также некоторую дополнительную информацию об этом процессе благодаря тому, что в двумерии. как уже упоминалось, швингеровские процессы тождественны распаду вакуума. А для распада вакуума в (дуальной модели Тирринга) модели синус-Гордона уже проведено вычисление вплоть до сублидирующего предэкспоненциального фактора Горским и Волошиным [141]. Сравнивая вычисление для распада вакуума и швингеровское вычисление с неизвестным вершинным фактором, мы можем извлечь Л для этого распада. . Следует здесь также заметить, что первое связанное состояние модели Тирринга следует, скорее, представить как псевдоскаляр. В силу дуальности, связанное состояние в модели Тирринга соответствует особой солитон-антисолитонной конфигурации (так называемому дублету) в модели синус-Гордона. Фермионный ток j 1 соответствует в дуальной картине топологическому току в модели синус-Гордона , который можно представить по-другому как Это предполагает, что матричный элемент (0\фа3ф\7г) является ненулевым, причем сг3 играет ту же роль, что 75 в четырехмерны. Таким образом, "эффективная вершина" для рассмотренного двумерного случая должна содержать матрицу Паули сг3 = — го а2. Приведем заключительный результат вычислений. Здесь ці и Д2 массы фермиопов, которые мы полагаем пока что произвольными ради общности Заметим, что Л является существенным параметром здесь, имеющим размерность массы.
Вычисления в модели Тирринга для распада связанного состояния массы т в два фермиона с массами ц проводят нас к С другой стороны, вероятность распада в модели Тирринга в пределе сильной связи (предел слабой связи для синус-Гордона) дается выражением [141] где д — константа связи в модели Тирринга, д $ 1; fi — масса тирринговских фермионов, So — классическое действие. Предположим, что внешний мезон является самым легким связанным состоянием, для которого верно т — Ц . Нами было получено Г = 21т5т = Я е So в терминах модели Швингера. Сравнение этих двух формул дает что восстанавливает константу связи Л для наиболее легкого мезона в модели Тирринга. Получена предэкспоненциальная сублидирующая асимптотика для ширины непертурбативного распада монополя в заряженный фермион и дион в 3+1 измерениях, а также для распада связанного состояния в фермион-антифермионную пару в модели Тирринга в 1+1 измерениях. До сих пор предэкспоненциальные факторы в этих процессах не были известны. В двумерном случае восстановлена "эффективная вершина" Л -Ц=. В предыдущем разделе мы показали, как можно вычислить предэкспоненциальный фактор распада диона при нулевой температуре. Ниже мы обобщаем это вычисление на случай конечной температуры. Изучение спонтанных швингеровских процессов при конечных температурах имеет длинную историю. Не претендуя на то, чтобы сделать полный обзор этих работ, упомянем здесь лишь некоторые из них, в частности [156, 157, 158]. Современное состояние однопетлевых швингеровских процессов подробно освещено в работе [159]. Имеются также и двухпетлевые результаты [160]. Со стороны распада ложного вакуума конечно-температурные эффекты тщательно изучены в [161] для спонтанного случая, где получены как экспоненциальные, так и предэкспоненциальные вклады в ширину распада. Для индуцированных распадов предэкспоненциальный фактор был найден в [141]. При конечной температуре и плотности во внешних полях также рассматривались индуцированные процессы в (2+1)-мерной КЭД, [162]. Близкая по идеологии к данному разделу работа [163] как раз посвящена мнимой части оператора собственной энергии во внешнем поле при конечной температуре и химическом потенциале. Аналогичные расчеты в поле и конечной температуре проводились для нейтрино в [164, 165]. Мы не пытаемся описать полную физическую картину термального ансамбля во внешнем поле, что потребовало бы учета нестационарных процессов рассеяния рожденных пар на всем ансамбле, экранирования поля и установления равновесия в системе. Кроме того, будет иметь место вклад спонтанного рождения пар, так что ситуация становится весьма сложной. Физически разумной наблюдаемой для столь сложного объекта была бы равновесная концентрация, нежели распад единичной частицы. Это было бы следующим шагом, который необходимо предпринять, и выходило бы за рамки настоящей главы. Наша цель гораздо более скромная.
Мы хотим понять, как устроены однопетлевые поправки к функции Грина скалярной частицы во внешнем поле при конечной температуре. Это определяет, грубо говоря, непертурбативную ширину распада, и является первым шагом к физически осмысленной проблеме нестационарного процесса рождения пар с учетом обратного воздействия, упомянутого выше. Для получения выражения для простейшей однопетлевой поправки к пропагатору в зависимости от температуры и внешнего поля применяется полуклассическое приближение, которое очень близко к технике инстантонов на мировых линиях Dunne et al. [40, 41]. Полуклассическое приближение к швингеровским процессам развивается начиная с работ B.C. Попова [38]. Раздел организован следующим образом. В подразделе 3.4.2 дается короткое напоминание о технике гриновских функций в конечно-температурной теории, и рассчитывается поправка к функции Грина, которая верна при любых значениях температуры, (любой режим по /3 = 55). В подразделе (3.4.2) изучаются ее асимптотики при /3 — оо, а в следующем подразделе 3.4.2 — при (3 —» 0. В разделе 3.4.2 кратко обсуждается проблема ведущей и субведущей асимптотик в полуклассических вычислениях. Мы подводим итоги в подразделе (3.4.3). Рассматривается взаимодействие заряженного скаляра ф и нейтрального скаляра х в двухмерной теории во внешнем электромагнитном поле, где ковариантная производная определена как D = д + геА . Массы полей /І и m сначала произвольны, но после перехода к полу классическому приближению будет положено - С 1. Эта ситуация известна в терминах вакуумного распада как "почти сферический пузырь" и применяется, например, в [141]. Заряженное поле взаимодействует с электромагнитным полем Ац. В координатном представлении функция Грина [35] для поля х с нулевым зарядом есть где мы опустили прескрипцию обхода полюса is. Для заряженных частиц ф в постоянном внешнем поле с вектор-потенциалом Ац = (0, EXQ) функция Грина устроена как где є = еЕ; считается, что поле лежит ниже Швингеровского предела tj- 1. Мы будем ссылаться на (3.34) как на "Швингеровскую параметризацию" , и на переменную а — как на "Швингеровский параметр".
Швингеровские процессы при конечной температуре
Суммирование по п появляется вполне естественно, так как следует учесть все эквивалентные позиции, разделенные промежутком (3 по евклидову времени. Рассмотрим однопетлевую поправку к функции Грина незаряженной частицы Поправка происходит от диаграммы, изображенной на рис. 3.6. Наттта приверженность здесь диаграммам в конфигурационном пространстве является не случайной или технической деталью вычисления, но, напротив, имеет концептуальный смысл. Именно, как показано нами в предыдущем разделе настоящей главы, точки перевала по переменной щ соответствуют классическим подбарьерным траекториям в конфигурационном пространстве. Другая причина работать в конфигурационном пространстве состоит в прямом соотнесении пространственной конфигурации, показанной на рис. 3.6 с вакуумным пузырем, к которому прикреплены внешние струны [141], описывающие индуцированный распад вакуума на компактифицированном многообразии. Поправка к функции Грина нейтрального поля х становится тогда А22 f da.\ dai das Заметим, что Лоренц-инвариантность явно нарушена благодаря температуре в этом выражении. Мы можем соотнести координатное представление для поправки к функции Грина, как обычно, с импульсным где ujn = Щ1. Вычисление этой поправки соответствует, как всегда, сдвигу полюса функции Грина вместе с тем теперь этот сдвиг не Лоренц-инвариантен, но зависит как от п, так и от к по отдельности. Сколь бы сложные выражения для функции Грина мы не получали, физически релевантная информация содержится в изменении полюса и амплитуды волновой функции. Далее мы рассматриваем только сдвиг полюса. Массовый сдвиг — это значение М2, вычисленное на полюсе. Для теории при нулевой температуре это означает, что сдвиг определяется только голой массой (и масштабом). Поскольку в этом случае М2{к2) зависит только от к — kr\ А/і следует выбрать к2 = га2. В теории на компактифицированном Евклидовом пространстве, очевидно, сдвиг должен зависеть от п как М2{п, к{), где п и кі таковы, что ш2 + к2 + га2 = 0. Для n-й Мацубаровской моды сдвиг полюса связан с Гриновской функцией приблизительно как Более того, массовое условие не имеет решения для произвольных kf: поскольку ип определяется дискретным п. Заметим снова, что теперь каждая мода перенормируется своим особенным способом.
Легко также понять, что в силу нарушения Лоренц-инвариаптости из-за компактификации понятие инвариантной массы теперь отсутствует. Вместо нее скорее интерес представляют статсумма Z{fi, fx,...) при тех или иных значениях химического потенциала /J, и других внешних потенциалов. Затем отсюда могут быть извлечены статистические средние от физических величин, таких, как концентрация частиц г-го типа щ — р-и т.д. Поэтому уравнение (3.40) надлежит понимать просто как удобный способ записи вариации пропагатора. Тем не менее, существует диапазон параметров, в рамках которого все еще возможно сохранить значение этой величины как массового сдвига частицы. Это есть диапазон либо малых, либо больших /3. В этом случае массовое условие можно определить как Л;і = 0, поскольку для достаточно большого (3 значение незначительно отличается от целого числа. Итак, можно относиться к мнимой части массы для таких п и ki = 0 как к вероятности распада частицы во внешнем поле с ненулевой температурой. Вычисляя элементарные интегралы, получаем формальное выражение для массового сдвига Используя приблизительное массовое условие п л! и формулу суммирования Пуассона это выражение можно записать в двух эквивалентных представлениях. Здесь и далее мы сохраняем только его мнимую часть, а не полный пропагатор. Эти два представления суть 27Г tanh(o;2) coth(ai) + 1 Суммы, приведенные выше, можно преобразовать к тэта-функциям Якоби, однако это не особенно полезно, поскольку тогда интегралы по швингеровским параметрам станет невозможно взять квазиклассически. Поэтому мы поступаем наоборот: мы возьмем с помощью метода перевала интеграл по швингеровскому параметру, в случае, если метод перевала в принципе применим. Уже после этого можно пытаться вычислить сумму ряда. Когда мы работаем таким образом с одномерными интегралами по швингеровскому параметру будет необходимо ограничить область применимости этого приближения путем наложения условий на перевальное значение z — zn для п-й функции fn [166]: Условие (3.44) обеспечивает возможность применения перевального приближения для нулевой моды. Оно проверяет, можно ли пренебречь сублидирующими членами в разложении /о. Условие (3.45) обеспечивает такую же проверку для первой моды. Чтобы обеспечить доминирование нулевой моды над первой, мы налагаем условие (3.46). Для многомерных интегралов критерии применимости метода перевала становятся более сложными. Именно, вместо условия (3.44) или (3.45) следует потребовать, чтобы где Af суть собственные значения матрицы вторых производных, dzgz., а Pij — матрица диагонализации для 9ZQZ , предполагается суммирование по г, j, fc, Z, т, п. Далее будет проверено, удовлетворяются ли эти условия для конкретного перевального значения, находящегося под рассмотрением. Выражение (3.43) является уместным представлением для Г в случае (3 — оо, поскольку для (3.42) условие применимости метода перевала не удовлетворяется, именно, фактор в экспоненте jm становится малым.
Поэтому мы возьмем (3.43) и проверим, что это выражение действительно соответствует низкотемпературному пределу. Предполагается, что перевал достигается в симметричной точке а.\ — а — а.. Это возможно в силу того, что во внутренних линиях бегают частицы одинаковой массы. Поскольку седловые точки швингеровских параметров соответствуют, как показано в предыдущем разделе, геометрическим параметрам классического евклидового решения, только симметричная комбинация может быть физически оправданной. Полная ширина распада есть сумма по мацубаровским модам Ожидается, что чем выше мода, тем более она подавлена. Ниже будет показано, с помощью перевального интеграла, что это действительно так для нулевой и первой мод. Можно легко видеть, что вклад в экспоненту от нулевой мацубаровской моды есть что идентично полученному в предыдущем разделе. Эта функция минимизируется при значении швингеровского параметра а = йо, которое дается выражением Для простоты мы рассмотрим случай очень легкой внешней частицы ("почти сферический пузырь" ), т.е. 2 С 1. Это действительно есть случай, представляющий интерес, так как для частицы с т 2/і процесс станет пертурбативно разрешенным. Проверяя условия применимость перевала (3.47), получаем Это условие удовлетворяется в нашей ситуации, в силу условия достаточной малости самого поля - 1, наложенного с самого начала. Тогда ведущий вклад нулевой моды (двойственная нулевая мацубаровская мода) в сумму (3.43) есть В ведущем порядке по обоим малым параметрам — и - получаем согласно предыдущему разделу. Сублидирующий член дается модами s = ±1. В пределе є/З2 Это эквивалентно уравнениям точки перевала которые разрешаются в названном приближении. Собирая все члены, получаем первую поправку Можно видеть, что ее зависимость от температуры существенно непертурбативна. При вычислении второй и третьей производной /±i, можно получить следующее неравенство в качестве условия применимости метода перевала из (3.47) что может быть записано как Очевидно, что это условие выполнено, если температура достаточно велика.
