Введение к работе
Актуальность темы
Тонкопленочные проводники и резисторы являются важными элементами современных электронных устройств. В частности, они используются в интегральных микросхемах, без которых немыслимо существование большинства современных приборов. Все большее распространение получают так называемые лаборатории на чипе (lab-on-a-chip) — миниатюрные приборы, позволяющие осуществлять несколько стадий биохимических процессов на одном чипе площадью порядка нескольких квадратных миллиметров. Все манипуляции в таких устройствах, как правило, ведутся с помощью электрических или магнитных полей, создаваемых миниатюрными проводами или магнитами.
Обладая активным сопротивлением, проводники и резисторы неизбежно нагреваются, причем нагрев может происходить неравномерно по поверхности проводника. Повышение температуры может приводить к размягчению поверхности проводника и нарушению его формы или к ускорению роста оксидных пленок на его поверхности и, как следствие, к изменению его свойств [Wang, Xu, 2007]. Знание распределения плотности тока и температуры по поверхности проводника крайне важно также и при работе с проводниками наноразмеров, в которых большие плотности тока и высокие температуры могут приводить к электромиграции материала проводников и, как следствие, к их разрушению и сбоям в работе схемы [Lai, Као, 2006].
Отсюда вытекает естественная необходимость детального исследования некоторых свойств проводников, которые в силу их малой по сравнению с линейными размерами толщиной можно считать двумерными.
На сегодняшний день такие задачи решаются в первую очередь численно с помощью универсальных программных пакетов. Такой подход при всех своих несомненных преимуществах обладает и рядом недостатков. В силу своей универсальности готовые программные пакеты не всегда дают оптимальное и, более того, верное решение поставленной задачи [Petersen, Carpenter, May, 2009]. Кроме того, решение полученное численным методом несет с собой только информацию, ограниченную набором исходных данных, что создает трудности при его анализе. В частности, анализ и устранение сингулярностеи решения при численном расчете представляет собой целую проблему [Lai, Као, 2006].
В то же время, аналитическое решение уже в силу своей аналитичности относительно свободно от задания конкретных значений параметров
исследуемой системы и потому описывает ситуацию в целом, что делает его более доступным для анализа. Результат численного расчета будет сопоставим по эффективности с аналитическим решением только в том случае, если он будет произведен многократно, что может привести к существенным трудозатратам.
Все это приводит к тому, что развитие аналитических методов и получение новых аналитических решений остается важной и актуальной задачей.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является развитие аналитических методов решения задач электродинамики о распределении токов в двумерных проводниках различной формы и применение полученных результатов к расчетам температур и магнитных полей этих проводников.
Научная новизна
В диссертационной работе впервые предложен способ построения приближенных аналитических решений задачи о распределении комплексного потенциала в двумерных проводниках сложной формы с различными расширениями, сужениями и изгибами. Получены в аналитическом виде отображения, переводящие верхнюю комплексную полуплоскость в полосы, изогнутые под углами 30, 60 и 120 градусов и посчитаны распределения токов в соответствующих проводниках. Разработан способ скруглення внутреннего угла проводника, позволяющий получить скругляющую дугу близкую по форме к дуге окружности.
На основе полученных решений создан оптимальный алгоритм расчета распределений температур в указанных проводниках и впервые найдены критерии физического подобия распределений температуры в геометрически подобных двумерных проводниках, нагреваемых постоянным током равной плотности.
На основе полученных аналитических формул для распределений токов разработан новый эффективный способ расчета магнитных полей рассмотренных проводников. Это позволило рассчитать пондеромоторные силы, действующие на магнитную микрогранулу в поле прямоугольного витка с током и определить вклад, который вносит в магнитное поле проводника печатной платы дефект прямоугольной формы.
Научная и практическая значимость работы
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных практических приложениях, таких как расчет сопротивлений
тонкопленочных резисторов, оценка времени работы микросхем, расчет пондеромоторных сил при работе с магнитными микро- и наногранулами, задачи о тестировании печатных плат и т.д.
Полученные аналитические решения могут быть также использованы и в чистом виде, к примеру для тестирования численных алгоритмов. Они позволяют делать выводы об общих закономерностях решения в проводниках более сложной формы, к примеру, предположить наличие сингулярно-стей.
Кроме того, аналитические решения для распределений комплексного потенциала могут быть использованы и в задачах гидродинамики при рассмотрении плоского безвихревого течения идеальной жидкости.
Апробация работы
Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2006» (МГУ, Москва, 2006), «Ломо-носов-2007» (МГУ, Москва, 2007),«Ломоносов-2009» (МГУ, Москва, 2009); на XV и XVI международных конференциях «Гадиолокация и связь» (Фир-сановка, Московская обл., 2007, 2008); на XVII международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие» (Фирсановка, Московская обл., 2009); на XVII, XIX и XX международных конференциях «Электромагнитное поле и материалы» (Фирсановка, Московская обл., 2010, 2011, 2012) на российских конференциях с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ'Ю и УКИ'12 (ИПУ ГАН, Москва, 2010, 2012): на 4-й международной научной конференции FMNS 2011 (South-West University «Neofit Rilski», Blagoevgrad, Bulgaria, 2011).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 18 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 144 страницы. Диссертация содержит 76 рисунков. Список литературы включает 115 ссылок.
