Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
2 D—браны как пробники 13
2.1 Гравитационные солитоны и D-браны 13
2.1.1 D-инстантон на фоне БЗ-браны 14
2.1.2 Эффективное действие для D-инстантонов 17
2.1.3 Выводы 19
2.2 Солитоны в теории Янга-Миллса и D-браны 19
2.2.1 Твисторная формулировка действия для пробнике и «симметрия 20
2.2.2 Решение условий «-инвариантности 23
2.2.3 Выводы 27
2.3 Связь между перенормировками в теориях в разных размерностях 28
2.3.1 Ультрафиолетовое отрубание и / -функция 30
2.3.2 Теоремы о неперенормируемости 34
2.3.3 Эффективное действие в размерности (1-Ы) 35
3 Попытки выйти за пределы массовой поверхности и неабелевы структуры в теории струн 37
3.1 Попытки выйти за пределы массовой поверхности в формализме граничного состояния 37
3.1.1 Вычисление в формализме граничного состояния 39
3.1.2 Объяснение и устранение разногласия 41
3.1.3 Модификация граничного состояния вне массовой поверхности 42
3.1.4 Выводы 45
3.2 Струны вне массовой поверхности в ультрафиолетовом пределе 45
3.2.1 Струны и алгебра дифференциальных операторов 47
3.2.2 Аннигиляция D-бран и неабелевы структуры 48
3.3 К объединению RR-взаимодействий на бранах разной размерности 51
3.3.1 D-инстантоны из D9-D9-6paH 51
3.3.2 Dp-браны из Б9-09-системы 54
3.3.3 Общая конфигурация D-бран разных коразмерностей 55
3.3.4 Б5-браны внутри D9-6paH 56
3.4 Неабелевы структуры и взаимодействия D-бран с RR-полями 58
3.4.1 DO-брана как результат аннигиляции 58
3.4.2 К общей ситуации 60
3.5 Выводы 62
4 Голографическая ренормализационная группа и соответствие между от крытыми и замкнутыми струнами 62
4.1 Голографическая ренормализационная группа 62
4.1.1 Соответствие для s-компоненты дилатона 62
4.1.2 Ренормализационная группа для дилатона 64
4.2 Ренормализационная группа и предел больших N 66
4.2.1 Общие замечания 67
4.2.2 Уравнения Каллана-Симанчика-Польчинского как уравнения Гамиль тона 68
4.2.3 Обратно к АдС/КТП-соответствию 71
4.3 О связи между корреляционными функциями в соответствии между теорией Янга-Миллса и теорией струн на рр-волне 73
4.3.1 Вертексные операторы и корреляционные функции на стороне теории струн 74
4.3.2 Связь с корреляционными функциями в теориями Янга-Миллса 76
5 Точно—решаемые некоммутативные модели 78
5.1 Некоммутативная O(N) модель Гросса-Неве 83
5.1.1 Эффективное действие 85
5.1.2 Большие значения N 86
5.1.3 Фермионный детерминант в некоммутативном случае 88
5.1.4 Эффективное четырехфермионное взаимодействие 88
5.2 Результаты в двух измерениях 89
5.2.1 Коммутативная модель 90
5.2.2 Некоммутативная модель 91
5.2.3 Что, если мы выберем такое значение 1/А, что обрезание сократится? 92
5.2.4 Двойной скейлинговый предел 93
5.3 Результаты в трех измерениях 93
5.3.1 Коммутативная модель 94
5.3.2 Некоммутативная модель 95
5.4 Выводы 98
6 Симплициальная теория струн 99
6.1 От теории поля к симплициальной теории струн 100
6.2 Независимое определение симплициальной теории струн 104
6.3 Релятивистская частица 106
6.4 Петлевые уравнения как уравнения Уиллера-ДеВитта 110
6.5 Вычисление диаграмм и двумерный дискретный оператор Лапласа 113
6.6 Выводы 115
7 Гамильтонов формализм для неточечных объектов или к теории неабелевых тензорных полей 117
7.1 Упорядочение по поверхности и триангуляции 119
7.2 Экспоненциирование матрицы с тремя индексами 123
7.3 Явные примеры матриц I и к 132
7.4 Дифференциальное уравнение для поверхностной экспоненты 134
7.5 Новый способ экспоненциирования квадратных матриц и поверхностная экспонента 136
7.6 К представлению поверхностной экспоненты посредством матричного интеграла 137
7.7 Голономия вдоль поверхности (калибровочные преобразования и кривизна неабелевых тензорных форм) 138
7.8 Выводы и задачи для будущего 143
7.9 Приложение144
8 Излучение Хокинга и эффект Унру 146
8.1 Квазиклассическое приближение 147
8.1.1 Эффект Хокинга 149
8.1.2 Эффект Унру 154
8.2 О связи эффектов Унру и Соколова-Тернова 156
8.2.1 Покоящийся детектор в термальной бане 164
8.2.2 Детектор, двигающийся с постоянной скоростью в вакууме 166
8.2.3 Детектор, ускоряющийся вдоль линии в вакууме 168
8.2.4 Детектор, двигающийся по окружности в вакууме 170
8.2.5 Электрон в магнитном поле в качестве детектора 171
8.2.6 Синхротронное излучение из-за заряда электрона 172
8.2.7 Синхротронное излучение из-за переворота спина 174
Выводы 177
- Солитоны в теории Янга-Миллса и D-браны
- Струны вне массовой поверхности в ультрафиолетовом пределе
- Ренормализационная группа и предел больших N
- Результаты в двух измерениях
Введение к работе
Перед современной фундаментальной физикой стоят, на наш взгляд, две основных задачи —- проблема инфракрасного заточения цвета в квантовой хромодинамике и квантование гравитации. В рамках некоторых подходов к решению этих проблем возникают квантовые струны, мембраны и/или многомерные динамические гиперповерхности (или просто бра-ны). Мы считаем, что углубление нашего понимания обсуждаемых явлений упирается в отсутствие адекватного формализма для работы с такими неточечными объектами. Хотя очевидно, что описание природы в терминах теорий частиц определяется уровнем наших знаний на данный момент, а не свойством природы, мы начнем наше изложение с того, что уже достоверно известно в локальной теории поля, а не с академического рассмотрения бран. Объясним здесь то, как мы понимаем постановку вышеупомянутых проблем и пути возможного их решения с использованием нелокальных (неточечных) объектов — струн и бран.
Начнем с проблемы невылетания/заточения цвета. В математическом описании любого явления необходимо найти какую-нибудь приближенную модель, допускающую точное решение, и малую величину, по степеням которой можно провести разложение, чтобы приблизить аналитически вычисляемые величины к экспериментально наблюдаемым. В случае сильных взаимодействий хорошим приближением при высоких энергиях является описание в терминах свободных векторных и фермионньтх частиц — глюонов и кварков, соответственно. Они несут три квантовых числа, которые называются цветами и принимают значения в различных представлениях неабелевой калибровочной группы SU(3).
Основу такого описания природы- сильных взаимодействий составляет SU(3) теория Янга-Миллса (см., например, [1]). Именно в такой ситуации возникает необходимая малая величина — константа связи д2. Это отлично согласуется с экспериментом, где на малых расстояниях видны асимптотически свободные цветные кварки и глюоны. Однако на больших расстояниях экспериментально мы наблюдаем бесцветные мезоны и барио-ны в качестве асимптотических состояний. Это называется явлением невылетания или инфракрасного заточения цвета.
Считается, что основные свойства этого явления сохраняются, если исключить кварки из рассмотрения, т.е. иметь дело только с чистой калибровочной теорией Янга-Миллса, описывающей при высоких энергиях свободные векторные частицы — глюоны. Тогда на больших расстояниях в качестве асимптотических состояний ожидаются бесцветные глю-болы — коллективные возбуждения, составленные из глюонов. Проблема невылетания, в этом случае проявляется следующим образом. Из-за квантовых эффектов константа связи д2 растет при удалении на большие расстояния или при переходе к малым энергиям, и глюоны уже нельзя считать свободными. Это проявляется в том, что на некотором масштабе энергий описание сильных взаимодействий в терминах глюонов становится несостоятельным из-за сингулярностей, возникающих в теории возмущений (см., например, [1]). В результате неизвестно как перейти к низким энергиям в теории Янга-Миллса. Поэтому возникает вопрос: какое приближение к сильным взаимодействиям может быть применимо при любых энергиях?
На наш взгляд, наиболее многообещающий подход к задаче состоит в рассмотрении SU(iV) теории Янга-Миллса, при N —> оо [1], когда теория возмущений существенно упрощается [2], и единственные диаграммы, которые остаются, выглядят как "триангуляции" сферы. Диаграммы, дающие вклад в эти "триангуляции", представляют собой разложение
в ряд по степеням параметра g2N, который полагается конечным в пределе N —* оо [2]. При этом вклады от диаграмм с топологией тора и сферы с несколькими, ручками подавлены по степеням величины 1/N2, играющей роль малого параметра, при разложении по которому мы могли бы приблизиться к реальной ситуации (N = 3). Эти факты показывают, что в пределе N —> оо теория Янга-Миллса может быть эквивалентна теории струн, описывающей суммирование по рассматриваемым "триангуляциям" [1]. Основным достоинством этой теории является то, что она может быть применима при любых энергиях. Однако к сожалению, на данный момент имеется крайне мало прямых подтверждений такому соответствию между теорией Янга-Миллса и теорией струн. Наиболее достоверные наблюдения сделаны в очень специальных ситуациях и обсуждаются в обзорах [3, 4] и далее в диссертации. В любом случае мы полагаем, что теория струн может помочь в понимании динамики сильных взаимодействий.
Теперь объясним какого сорта проблемы возникают в гравитации. Классическая гравитация описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют второй порядок по производным. Это есть уравнения Эйнтптейна-Гильберта. Их решения как в задаче с начальными, так и с граничными условиями имеют сингулярности, по крайней мере, если они становятся стационарными в итоге эволюции. Это — сингулярности кривизны в решениях, отвечающих разного сорта черным дырам и космологическим моделям. Нередко, чтобы исключить подобного сорта особенности из задачи, рассматривают пространства с нетривиальными топологиями, выкидывая те их части, на которых расположены сингулярности. Но таким образом не поменять сути проблемы, т.к. у дифференциального уравнения второго порядка по производным необходимо фиксировать либо источник и граничное условие на переменную уравнения (метрику), либо же — граничные условия на метрику как на асимптотической бесконечности, так и вблизи устраненной части пространства, т.е. там, где должна быть сингулярность. Или же необходимо фиксировать граничные условия как на саму метрику, так и на ее первую производную.
Итак, первая сложность в гравитации возникает еще в классической теории и. заключается в том, что приходится иметь дело с разного сорта сингулярностямп, которые, как известно, природа не терпит. Во всяком случае неизвестно какие из сингулярных решений имеют отношение к природе, а какие — просто артефакты рассматриваемого нами приближенного описания природы. В результате в гравитации неизвестно правильное фазовое пространство (его топология и геометрия), т.к. оно находится во взаимно однозначном соответствии с решениями классических уравнений движения. А это уже создает первые сложности и для квантования теории, т.к. неизвестно, какие метрики надо учитывать в "функциональном интеграле" квантовой гравитации, а какие — нет. По сути дела, это все та же проблема классической теории поля, связанная с наличием гармоник полей с бесконечными частотами — проблема, встающая во весь рост только после квантования теории поля. Действительно, в теории гравитации естественно, что возбуждение с достаточно большой частотой приводит к такому искривлению метрики, что образуется черная дыра. Т.е. проблема обрезания больших частот в данном случае связана с разрешением проблемы сингулярностей в кривизне классических решений гравитации. При квантовании гравитации она усугубляется (по сравнению с обычной теорией поля) еще и тем, что нет хорошего способа регуляризации, не нарушающего либо общей ковариантности, либо унитарности. Итак, в полной теории, описывающей гравитацию при любых энергиях, должен быть заложен естественный способ обрезания рассматриваемых расходимостей и, соответственно, бесконечных частот.
\
)
l Хотя сейчас уже практически ни у кого нет сомнений, что для описания природы гра-
витацию необходимо квантовать, давайте объясним нашу точку зрения на то, зачем это нужно делать. (Дело в том, что в случае гравитации, в отличие от других взаимодействий, нет прямых экспериментальных наблюдений, подтверждающих необходимость ее квантования.) Сначала мы дадим достаточно наивное объяснение, используя параллели между различными теориями. Классическая нерелятивистская или релятивистская частица полностью описывается соответствующим уравнением Гамильтона-Якоби (или же уравнением эйконала, в случае света). Эти уравнения являются классическими пределами уравнений Шредингера, Клейна-Гордона (Дирака, если вспомнить о спине) и Максвелла, соответственно. Т.е. первичное квантование — это, по сути дела, есть переход от уравнений Гамильтона-Якоби для частиц к уравнениям, описывающим волны. В этом смысле уравнения Эйнштейна-Гильберта, будучи волновыми уравнениями, представляют собой уже первичное квантование. Поэтому вторичное квантование — переход от квантования отдельных частиц к квантованию полей ("наборов частиц") — является естественным следующим шагом как для электромагнитных (и слабых с сильными) взаимодействий, так и для гравитации.
Другой, менее наивный аргумент заключается в следующем. Если гравитацию рассматривать как классический фон для других квантованных полей, то возникают разного сорта проблемы. Наиболее известный пример — это нарушение унитарности в присутствии черных дыр [5] (см. также обзор [6] о современном состоянии дел на эту тему).
Черная дыра является стабильным стационарным решением уравнений Эйнштейна-Гильберта. Она задает некоторое подмногообразие меры ноль фазового пространства теории, определяемое несколькими параметрами решения — массой, моментом вратцения и зарядом относительно калибровочной группы. Поясним в чем заключается это явление.
Излучение из под горизонта черной дыры претерпевает бесконечно большое инфракрасное смещение. При этом для возникновения гравитационного излучения необходимо наличие квадрупольного момента, т.е. моменты до квадрупольного создают стационарные гравитационные поля. В силу этих фактов решение типа черной дыры (стационарное решение с сингулярностью и горизонтом) не может зависеть от мультипольных моментов. В результате черная дыра, с точки зрения стороннего наблюдателя, выглядит как стационарный объект с однородным распределением массы, момента вращения и заряда по ее горизонту. Эти факты составляют основу так называемой теоремы об "отсутствии волос" у черной дыры [7].
Учет квантовых полей на фоне черной дыры приводит к рождению частиц в ее сильном гравитационном поле. Мы обсуждаем подробно это явление в последней главе диссертации. Сильным стационарным гравитационным полем является как раз такое, которое имеет так называемый apparent горизонт1. Дело в том, что в процессе коллапса (образования apparent горизонта) происходит изменение вакуума для квантовой теории поля на фоне гравитирующего объекта. В результате вакуумные флуктуации по отношению к исходному вакууму становится физическими возбуждениями по отношению к новому вакууму. Это связано с тем, что наличие горизонта приводит к отсутствию глобально определенного времени-подобного вектора Киллинга, а он необходим для определения того, что мы называем положительной энергией — возбуждением над вакуумом. Последнее и определяет наш вакуум.
1Appaxent горизонт — это граница такой области пространства-времени, внутри которой, из-за ее кривизны, световые конусы направлены внутрь ее же самой.
В силу этого черная дыра теряет энергию, излучая ее на пространственную бесконечность. В рассматриваемом приближении такое излучение имеет тепловой спектр [8], т.е. кванты излучения с равной вероятностью могут нести любое квантовое число, помимо энергии. Это означает, что если черная дыра поглотила какую-то частицу, несущую информацию, скажем, о СРТ квантовых числах участников какой-то реакции, то потом она может полностью испариться, и мы потеряем информацию о рассматриваемом числе. Это и ведет к нарушению унитарности, т.к. сохранение СРТ числа следует однозначно из унитарности S-матрицы теории. Однако подчеркнем, что вышесказанное верно в приближении, в котором гравитация рассматривается как классический фон, т.е. когда амплитуда отклика гравитационного фона на квантовые флуктуации полей мала по сравнению с собственными размерами черной дыры. Иными словами, мы предполагаем, что черная дыра теряет энергию адиабатически, что ведет к медленному изменению фона.
По сути дела, утверждается, что мы должны выкинуть из рассмотрения любое квантовое число, если оно попало (со своим носителем) в черную дыру, а сама черная дыра не может его нести2. Квантование гравитации приводит к детальному учету ее отклика на квантовые флуктуации других полей. На нага взгляд, нет никаких причин думать, что после квантования черная дыра будет нести только те квантовые числа, которые позволяет теорема об "отсутствии волос" [б]. Действительно, после квантования необходимо будет работать не с подмножеством меры ноль в фазовом пространстве гравитации — стационарной классической- черной дырой, а с существенной частью всего фазового объема: с дырой и всевозможными флуктуациями вокруг нее. Помимо этого, там, где удается проверить все эти факты явно (в теории струн), получается совершенно унитарное поведение излучения черной дыры [9] (см. также обзор [6]).
Итак, ясно, что гравитация Эйнштейна-Гильберта — это некоторая эффективная низкоэнергетическая теория, которая должна быть квантована и модифицирована при достаточно больших энергиях или малых расстояниях. В качестве дополнительного аргумента заметим, что теория неперенормируема вне массовой поверхности, если при квантовании наивно использовать действие Эйнштейна-Гильберта. Какая же теория перенормируема, несингулярна и квантует гравитацию? Наиболее изученный кандидат на данный момент
— это теория струн. Таким образом, теория струн может оказаться также полезной и в
случае решения проблем гравитации.
Теория струн описывает динамику двумерных поверхностей, заметаемых струнами (одномерными объектами) во время их эволюции. Известно несколько самосогласованных теорий струн, обладающих суперсимметрией в объемлющем пространстве (target space)
— пространстве, в котором распространяются струны. Последнее обычно выбирается де
сятимерным, поскольку в другом случае не существует хорошо разработанных методов
вычисления суперструнных амплитуд [1, 10,11]. Не смотря на то, что при этом получается
конечная согласованная теория, все это выглядит не очень привлекательно с феноменоло
гической точки зрения, т.к. приводит к огромному количеству лишних (не наблюдаемых
в природе) возбуждений. Однако нас пока интересует вопрос о способе квантования гра
витации в принципе.
В теории на мировой поверхности струн существует бесконечно много возбуждений, которые соответствуют разным квантовым их состояниям. Струна в некотором квантовом состоянии выглядит как частица, если смотреть на нее с достаточно больших расстояний
2Т.е. любое квантовое число кроме энергии, момента вращения и заряда относительно калибровочной группы.
в объемлющем пространстве. Среди возбуждений струны существует конечное число безмассовых, тогда как остальные имеют массы по порядку величины пропорциональные квадратному корню из струнного натяжения. Натяжение обычно считается величиной порядка квадрата планковекой энергии: Следовательно, на расстояниях, больших по сравнению со струнным масштабом длин (как раз тогда, когда струны можно считать точечными объектами), выживают только безмассовые частицы. Последние можно описывать теорией поля в объемлющем пространстве, а не теорией струн.-
Среди безмассовых возбуждений замкнутых струн есть частица, соответствующая симметричному тензорному полю. В силу свойств симметрии струнной теории эта частица имеет в точности такое же число физических степеней свободы, как и гравитон. Единственной теорией на больших расстояниях, которая может описывать гравитон, является, теория гравитации Эйнштейна-Гильберта. Она-то, взаимодействующая с остальными безмассовыми струнными возмущениями, и возникает в объемлющем пространстве [1,10,11] в классическом приближении к теории суперструн.
Теорию, описывающую взаимодействие полей суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями супергравитации, можно получить, если наряду с замкнутыми струнами включить в рассмотрение открытые, поскольку в теории открытых струн легчайшее возбуждение является векторной частицей с числом физических степеней свободы, как у калибровочного векторного бозона. Как мы объясняем в приложении к диссертации, открытые струны не могут существовать без замкнутых, иначе будет нарушена унитарность.
Концы открытых струн могут лежать на многомерных гиперповерхностях в объемлющем десятимерном пространстве — на так называемых D-бранах. В приложении к диссертации мы показываем, что динамика этих гиперповерхностей описывается возбуждениями открытых струн. Как мы уже заметили, при низких энергиях теория для легчайших возбуждений открытых струн — это теория Янга-Миллса, содержащая как векторные бозоны, так и скалярные поля (и фермионы в суперсимметричном случае). Таким образом, квантовая теория,Янга-Миллса, взаимодействующая со скалярными полями, приобретает ясный геометрический смысл как теория, описывающая первично-квантованную теорию бран, содержащую суммирование по вложениям (скалярным полям) многомерных гиперповерхностей в объемлющее пространство.
В силу всего вышесказанного теория струн выглядит очень привлекательно, т.к. помимо квантования гравитации, в рамках этой теории мы имеем единый подход к гравитационным и калибровочным теориям, что является важным шагом на пути объединения всех экспериментально открытых взаимодействий. Помимо этого, с этой точки зрения теория струн также помогает при решении задачи квантования многомерных бран, т.к. просто описывает их квантовые флуктуации. Задача квантования бран возникает, во-первых, по той причине, что не следует ограничиваться рассмотрением только линейных объектов (струн), раз уж мы пошли дальше частиц. Во-вторых, в последнее время стало популярным феноменологически рассматривать наш мир как четырехмерный мировой объем некоторой браны, вложенной в многомерное объемлющее пространство [12], что, на наш взгляд, выглядит естественным со многих точек зрения. В частности, общая ковариантность нашего мира в этом случае приобретает совершенно ясный смысл — физические процессы не должны зависеть от координатной сетки, выбранной на мировом объеме браны.
Однако в отличие от струн, теории на бранах достаточно больших размерностей явля-
ются настолько сложными, что с ними неизвестно как работать3, за исключением простейших ситуаций. Поэтому описание таких теорий в терминах теории струн выглядит очень привлекательно. Струны выглядят привлекательнее, во-первых, по той причине, что двумерная теория на их мировой поверхности значительно проще многомерных теорий на мировых объемах бран. Во-вторых, на массовой поверхности (с точки зрения объемлющего пространства) струнная теория инвариантна относительно группы конформных преобразований, которая имеет бесконечную размерность как раз в двух измерениях. Другим существенным фактом, который отличает браны от струн, является то, что неизвестна четкая градуировка, по которой одни возбуждения бран отщеплялись бы от других (как безмассовые возбуждения струн от массивных). И в конце концов именно в случае критической размерности объемлющего пространства можно полностью избавиться от метрики на мировой поверхности струн, чего обычно нельзя достичь в случае бран достаточно большой размерности. Соответственно, рассмотрение открытых струн некоторым образом улучшает ситуацию с квантованием бран, т.к. в таком случае можно иметь дело с двумерной конформной теорией с границей, а не с многомерной теорией на бране.
После того как мы пояснили полезность теории струн и бран, перейдем теперь к описанию структуры диссертации. В приложении к диссертации мы объясняем, что, в сущности, струны в современной формулировке используются как пробники для фоновых полей, составленных из их же собственных возбуждений. В случае, если фоновые поля находятся на массовой поверхности, т.е. если они решают уравнения гравитации и/или Янга-Миллса, теория на мировой поверхности струн является конформно-инвариантной. Практически только в таком случае удается посчитать корреляционные функции в теории струн. Существенную роль также играет присутствие суперсимметрии на мировой поверхности струны и в объемлющем пространстве, иначе приходится иметь дело с тахионом. Более того, меняя фон в теории струн, необходимо заново пересчитывать спектр и корреляционные функции в ней. Это называется фоновой зависимостью в теории струн. Именно эти проблемы и составляют основной интерес для первой части диссертации.
Вторая глава посвящена изучению возможности использования D-бран вместо струн в качестве пробников для различных фонов и процессов в теории струн. Во всяком случае, здесь нет никаких оснований ожидать, что все вычисления можно проделать только для фоновых полей на массовой поверхности. В первой части этой главы мы показываем, как можно восстановить метрику фоновой БЗ-браны из редуцированной теории Янга-Миллса с гипермультиплетами. Во второй части сделана попытка выйти за пределы массовой поверхности и показано, как D-брана может пробовать аннигиляцию Б-анти-Б-системы. Аннигиляция видна на пробнике как ренормализационно-групповой поток. При этом из некоторых симметрийных соображений для теории на мировом объеме пробника можно восстановить вакуумное значение фонового тахионного поля после аннигиляции. В третьей части этой главы мы показываем, каким образом связаны перенормировки в четырехмерных калибровочных теориях и в теориях, полученных из них редукцией в меньшее число измерений. Мы используем это наблюдение для альтернативного доказательства теорем о неперенормируемости в четырехмерных теориях с большим числом суперсим-метрий. Во всех этих вычислениях существенным является наличие суперсимметрии в вакууме теории. Формализм для фоновых полей, существенно не уважающих суперсимметрию, к сожалению пока не разработан.
3В сущности, эта проблема эквивалентна квантованию многомерной общекопариантной теории, либо с нелинейным действием, либо же содержащей динамическую гравитацию.
Во третьей главе показано в чем заключается проблема теории струн вне массовой поверхности. Мы рассматриваем эту теорию на фоне квадратичного профиля тахионного поля, который нарушает конформную инвариантность, и показываем расхождение, в силу такого нарушения, между вычислениями некоторых струнных амплитуд в разных формализмах. Затем мы объясняем, каким образом необходимо модифицировать один из формализмов, чтобы добиться согласия с результатом вычисления в другом. Однако это удается сделать только в простейшей ситуации — квадратичного профиля тахионного поля.
Далее в третьей главе мы находим приближение и регуляризацию, при которых можно сформулировать теорию открытых струн вне массовой поверхности. Используя это приближение, мы приводим формулу, описывающую взаимодействие RR-полей с произвольной конфигурацией D-бран. Явные формулы написаны только для произвольной конфигурации параллельных бран, однако легко обобщаются. К сожалению, такого прогресса удается достичь только для аномального типа взаимодействий бран с фоновыми полями закрытых струн.
В четвертой главе мы рассматриваем АдС/КТП-соответствие. Оно задает связь между четырехмерной конформной калибровочной теорией поля (КТП) и гравитацией на пространстве Анти-ДеСиттера (АдС). В приложении к диссертации мы приводим краткий обзор АдС/КТП-соответствия в рамках обзора современного состояния теории струн. Простейший случай этого соответствия описывает связь между Af = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса и десятимерной супергравитацией типа ИВ на пространстве AdSs х S5. Используя его, мы формулируем голографическую ренормализационную* группу. В такой формулировке ренормализационная группа приобретает ясный геометрический смысл и естественно вкладывается в теорию струн. Помимо этого, АдС/КТП-соответствие полезно для обоих сторон соответствия. Во-первых, оно дает первый пример теории струн, описывающей динамику калибровочных полей. Во-вторых, по сути дела, оно устанавливает, что квантовая гравитация в сильной связи описывается калибровочными полями. Однако все эти факты можно обнаружить только при наличии конформной симметрии. При этом не имеется явного доказательства АдС/КТП-соответствия даже в-простейших ситуациях. Все это усложняет продвижение на пути понимания общего соответствия между калибровочными и общековариантными теориями. По крайней мере, остается неясным, важна ли конформная инвариантность для этого соответствия или нет.
Четвертая глава заканчивается рассмотрением некоторого предела АдС/КТП-соответствия, который устанавливает связь между суперсимметричной теорией Янга-Миллса, в некотором двойном скейлинговом пределе, и теорией струн на фоне метрики рр-волны. Есть надежда [13], что рассмотрение этого предела АдС/КТП-соответствия позволит точно решить как саму суперсимметричную теорию Янга-Миллса в пределе большого числа цветов, так и дуальную ей нелинейную сигма модель на фоне пространства Анти-Де-Ситтера. Мы же приводим формулу, которая устанавливает явную связь между корреляционными функциями на обеих сторонах соответствия в рассматриваемом двойном скейлинговом пределе.
В пятой главе мы излагаем точное решение некоторых некоммутативных моделей. Некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн на фоне постоянного антисимметричного 2-тензорного поля. Предполагается, что они являются самосогласованными пределами теории струн. Если это верно, то некомутативные теории являют собой первый пример самосогласованных нелокальных теорий поля. Действи-
тельно, если некомутативными являются пространственные координаты, а время остается коммутативным, то соответствующие теории имеют лишь нетривиальные дисперсионные соотношения, но при этом унитарны. Остается вопрос их перенормируемости. Он возникает по причине наличия в этих теориях инфракрасных расходимостей специального вида. Как мы обсуждаем в пятой главе, имеются аргументы в рамках теории возмущений в пользу того, что некоммутативные теории перенормируемы. Однако мы увидим, что в случае некоммутативных точно-решаемых моделей не удается избавиться от обрезания в эффективной константе связи. Ситуация выглядит таким образом, что если некоммутативная теория вообще имеет инфракрасные расходимости, то она неперенормируема.
На этом заканчивается наше обсуждение стандартной теории струн. Мы надеемся, что достаточно ясно показали некоторые из проблем этой теории. Причиной большинства этих проблем является отсутствие вторично квантованной формулировки теории замкнутых струн: на данный момент ясно сформулирована только вторично квантованная теория открытых струн на плоском фоне. Иными словами, та формулировка струнной теории поля, которая известна на данный момент, существенным образом зависит от фона задаваемого замкнутыми струнами. Именно поэтому мы не умеем описывать процессы в теории струн вне массовой поверхности. Т.е. основной задачей теории струн на данный момент мы считаем поиск адекватного формализма вторичного квантования.
В главе шесть мы излагаем альтернативный подход к квантованию гравитации. В обычном подходе к квантованию гравитации (или бран) рассматривается функциональный интеграл по всем гладким метрикам (дважды дифференцируемым, чтобы можно было определить детерминант оператора Лапласа на их пространстве). В этой ситуации необходимо поделить меру интегрирования по метрикам на объем группы диффеоморфизмов, чтобы в результате получилась сумма по физически не эквивалентным метрикам.
Как известно, проблемы в рассматриваемом формализме начинаются уже в размерности два, т.к. не удается квантовать двумерную гравитацию, взаимодействующую с произвольной материей, когда не отщепляется интегрирование по конформному фактору метрики. В связи с этим мы предлагаем альтернативный подход. Вместо суммирования по гладким метрикам, мы суммируем по всем кусочно постоянным. Последние плотны в пространстве всех двумерных метрик, т.е. любую метрику можно достаточно хорошо приблизить при помощи кусочно постоянной. В одном и двух измерениях мы предлагаем выражения, которые содержат суммирования по всем кусочно постоянным метрикам, и показываем, что они равны функциональным интегралам для релятивистской частицы и струны соответственно.
В главе семь мы формулируем теорию неабелевых тензорных полей. Она, как мы надеемся, помимо всего прочего должна помочь в квантовании струн и, в более общем случае, бран. Идея заключается в том, что квантовомеханическую амплитуду
можно рассматривать как голономию для связности Н : Ті —> Ті в расслоении, базой которого является множество значений Т, а слоем — гильбертово пространство Ті, т.е. пространство векторов (х\. Тогда, как мы показываем, струнную амплитуду следует рассматривать, как голономию вдоль поверхности для некоторой связности В : Ц} —> С на расслоении нового типа. В этом расслоении базой является пространство петель на мировом листе струн Е (множестве всех значений а и г). Точкой такого пространства является
набор замкнутых кривых, вложенных в . Слоем рассматриваемого расслоения является континуальное произведение квантовомеханических гильбертовых пространств Н вдоль петель, Yls %а, гДе s ~ это параметризация вдоль соответствующего набора путей. Т.е. элементом такого слоя является вектор (x(s)\ = П^Ія- Таким образом, мы надеемся представить струнную амплитуду в виде:
<2/(1)(ii)| <2/(2)(*2)|... {у^Ы\ АЕ~]уЫтй^ |^)(в1)> \о?>Ы) .. - |*<»>(Яя)> ,
где АЕ — это упорядоченная вдоль поверхности Е экспонента от кубического оператора В : ?i3 —> С — матрицы (тензора) с тремя индексами. В седьмой главе мы определяем такую экспоненту и находим ее связь с топологиями двумерных поверхностей. Как мы надеемся, такой подход поможет нам сформулировать струнную теорию поля, не зависящую от фона.
Нередко бывает полезным возвращаться к обсуждению простых и фундаментальных вопросов. Поэтому в последней главе мы обсуждаем стабильность различных гравитационных фонов в контексте эффектов Хокинга и Унру. Понимание этих явлений является первым шагом на пути квантования гравитации. Мы устанавливаем связь между эффектами Унру и Соколова-Тернова. Т.к. последний подтвержден экспериментально, то мы, надеемся, что эта связь прольет свет на физическую природу эффекта Унру и излучения Хокинга. В заключении мы перечисляем основные результаты диссертации.
Чтобы сделать текст диссертации как можно более самодостаточным и нашу мотивацию более предметной, мы приводим в приложении к диссертации краткий обзор теории струн и АдС/КТП-соответетвия.
Благодарности
Мне приятно выразить благодарность Ф.Губареву, М.Чернодубу, К.Зарембо, М.Зубкову, Ю.Макеенко, А.Рослому, С.Харчеву, А.Миронову, В.Захарову, А.Хорогакину, С.Хорогакину, Т.Пилингу, Д.Синглетону, А.Маргаакову, С.Локтеву, Ю.Неретину, Ю.Чернякову, А.Червову, Т.Панову, Д.Талалаеву, А.Горскому, Г.Семенову, М.Лейдлоу, Ф.ДеБуру, И.Полюбину, А.Забродину, А.Лосеву, Г.Шарыгину, Д.Васильеву, Н.Амбург, А.Александрову, В.Побережному, А.Городенцеву, А.Левину, А.Рудакову, Е.Крейнес, А.Морозову, В.Долотину, В.Пестуну, А.Дымарскому, Д.Мельникову, С.Ландо, С.Дужину, Ш.Тайсону, И.Артамкину, М.Казаряну, В.Бухштаберу, А.Смилге и Д.Звонкину за интерес к моей работе, многочисленные научные споры и обсуждения. Без обсуждений и совместной работы с А.Герасимовым не было бы существенной части этой диссертации. Мне хотелось бы поблагодарить своих соавторов за совместную работу над статьями, на основе которых написана эта диссертация. Особенно мне хотелось бы поблагодарить К.А.Тер-Мартиросяна, К.Зарембо, Сейфа Ранджбар-Даеми, Гордона Семенова, Германа Николаи, Тада Тсукаса, М.Поликарпова, Е.Суслову, М.Данилова, М.Олыпанецкого, А.Маршакова, А.Рослого, Дугласа Синглето-на, Б.Агаева и ученого секретаря ИТЭФ В.В.Васильева за постоянную поддержку с их стороны. Я так же хотел бы поблагодарить свою супругу В.Ахмедову, брата Э.Ахмедова и родителей за поддержку всех моих начинаний. Так же я хочу поблагодарить Е.Суслову, И.Вахматова, Т.Миронову, Н.Пирменова, Э.Мусаева, В.Ахмедову и особенно А.Рослого за чтение, корректуру текста и критические замечания к диссертации.
2 D-браны как пробники
Вместо конформных теорий на мировой поверхности струн в качестве пробников можно использовать теории Янга-Миллса на мировых объемах D-бран. Это открывает новые возможности в исследовании связи между гравитацией и теорией Янга-Миллса. Действительно, D-браны могут "чувствовать" искривление внешнего пространства через метрику на собственном вакуумном пространстве модулей. Мы увидим, как эта метрика связана с решениями уравнений гравитации. Однако ситуация этим не ограничивается, т.к. D-браны могут пробовать также и солитоны в теории Янга-Миллса и фоны, не уважающие суперсимметрию, что позволяет выйти за пределы массовой поверхности в теории струн. Эта глава посвящена изучению всех перечисленых здесь явлений.
Солитоны в теории Янга-Миллса и D-браны
В этой части мы хотим посмотреть как D-брана пробует фон, не уважающий суперсимметрию, а именно аннигиляцию D-D-системы. Как мы показываем в приложении, вакуумное состояние струн, перетянутых между D- и D-бранами является тахионом, когда последние совмещены. Основной проблемой, стоящей на пути понимания этой ситуации, является то, что в присутствии тахиона высшие струнные возбуждения не отщепляются от безмассовых. В результате неизвестен полный функционал энергии для тахиона в рамках приближения теории струн теорией поля. Вместо того, чтобы искать тахионный функционал энергии, мы хотим здесь применить другой подход [34] и найти способ независимого определения вакуумного среднего тахиона. Известно, что во многих ситуациях D-браны дают хорошее микроскопическое описание различных низкоэнергетических явлений. В частности, пример, ближайший по содержанию к содержанию этой главы, представлен в статье [35]. В этой статье дано описание инстантонов в суперсимметричной теории Янга-Миллса при помощи D-бран. А именно, калибровочная связность, отвечающая инстантону, получена из низкоэнергетической теории, описывающей Dl-брану на фоне Б5-браны в теории суперструн типа I. Наиболее важным для нас в этом контексте является то, что теория для Dl-браны абсолютно однозначно фиксируется инвариантностью относительно (4,0) суперсимметрии [36]. Воодушевленные этими наблюдениями, мы хотим рассмотреть в теории струн типа I, как будет меняться действие для Dl-браны, помещенной на фоне О9-09-системы, если последняя начнет аннигилировать. В этом случае Dl-брана является пробником. Для того, чтобы рассматриваемая теория была безаномальна, необходимо, чтобы число D9-бран превосходило число Б9-бран на 32, а группа симметрии на О9-09-системе была не ориентируема [37, 38, 39]. Процесс аннигиляции Б9-09-системы выглядит, с точки зрения теории для Dl-браны, как поток ренормализационной группы [40]. Действительно, как мы увидим, после аннигиляции некоторые из струн, перетянутых между Dl-браной и ОЭ-БЭ-системой, станут массивными и выпадают из спектра низкоэнергетической теории на пробнике.
Эта теория описывает Dl-брану на фоне уже только 32 D9-6paH и, возможно, с некоторой нетривиальной калибровочной связанностью на них, что является вакуумом в теории струн типа I. Здесь мы стартуем с теории на пробнике, которая сама уже является низкоэнергетическим промежуточным состоянием в ренормализационно-групповой эволюции. Она является приближением к пока еще неизвестной микроскопической теории. Поэтому мы не ожидаем, что в этой картине нам удастся восстановить явный вид того, как. тахионное поле эволюционирует в минимум собственного функционала энергии. Однако мы можем надеяться, что нам удастся восстановить явные значения тахионного поля, которые уважают суперсимметрию и являются значениями, минимизирующими соответствующий функционал энергии. В частности, можно надеяться, что существует некоторая симметрия в теории на пробнике, которая ограничивает возможные значения тахионного поля после аннигиляции. Действительно, перед аннигиляцией теория на пробнике не инвариантна относительно какой-либо суперсимметрии. Однако по ренормализационной группе эта теория эволюционирует в суперконформно инвариантную точку — некоторый вакуум в теории суперструн типа I. Мы думаем, что должна существовать некоторая скрытая (возможно, нелинейно реализованная) симметрия, которая вынуждает эволюционировать теорию таким специальным образом. В этой части мы предложим кандидата на роль такой симметрии. Мы рассматриваем теорию струн типа I, содержащую 32 + Ак БЭ-бран и Ак D9-6paH. Мировые объемы этих бран заполняют все десятимерное пространство-время. Мы будем пробовать аннигиляцию Б9-09-системы при помощи Dl-браны. Такой специальный набор D9- и БЭ-бран объясняется тем, что мы хотим изучить минимальную ситуацию, в которой в результате аннигиляции появляются к Б5-бран. В формулировке Грина-Шварца, или в твисторном формализме, теория на пробнике содержит при низких энергиях следующие поля (см. рис. 2). Во-первых, имеются легчайшие возбуждения струн, оканчивающихся обоими своими концами на Dl-бране. Эти моды — бозоны.Хц, ((j, = 0, ..,9) и десятимерные Майорана-Вейлевские фермионы Флі («4 = 1, ) 16) [41, 42]. Во-вторых, имеются легчайшие возбуждения струн, перетянутых между D1- и Б9-бранами. Эти возбуждения — двумерные Майорана-Вейлевские фермионы Л [42]. В-третьих, имеются возбуждения струн, перетянутых между D1- № D9-бранами. Соответственно, эти возбуждения — двумерные Майорана-Вейлевские фермионы х противоположной киральности по отношению к Л [194, 195]. Если бы не присутствие X, то Dl-брана несла бы теже квантовые числа, что и гетеротическая 0(32) струна [42] . Мы будем работать в твисторной формулировке теории на пробнике [43, 44]: Здесь Р" и р_ являются внешними полями. Их точное определение не важно для нашего дальнейшего изложения и может быть найдено в статье [43].
Эти внешние поля должны Рис. 2: Состав легчайших возбуждений открытых струн с различными граничными условиями в присутствии Dl-браны и D9-D9-CHCTeMbi. D9- и D9-6paHbi заполняют все пространство-время. удовлетворять условию Картана-Пенроуза [43]: P!t_ — eZ L fi-cr f-. При выполнении этого условия легко увидеть, как после интегрирования по полю Рм в соответствующем функциональном интеграле восстанавливается стандартное действие для Dl-браны на фоне БЭ-БЭ-системы. Также в формуле (2.10) еа, а = 1,2 — это двумерный репер; р = 1,...,32 + Ак и р = 1,..., Ак — индексы нумерующие D9- и D9- браны, соответственно; а — десятимерные сг-матрицы (а — [&! , av))\ Т — это поле тахиона, которое описывает низшее возбуждение струны, перетянутой между D9- и БЭ-бранами [194]. Тахионное поле присутствует в формуле (2.10) в качестве параметра теории и преобразуется в би-фундаментальном представлении групп USp(Ak) х 50(32) и USp(Ak). Именно при таком выборе группы симметрии теория (2.10) безаномальна. Калибровочные поля а и Щ[1 на D9- и Б9-бранах (с напряженностями J и fj%, соответственно) также присутствуют в уравнении (2.10) в качестве параметров и взаимодействуют с полями Лих таким же образом, каким фоновые калибровочные поля взаимодействуют с фермионами в гетеротической струне [42]. Все другие поля на D9- и Б9-бранах положены равными нулю. Таким образом, теория, с которой мы стартуем, представляет собой неинвариантную относительно суперсимметрии двумерную cr-модель. При правильном выборе тахионного поля в (2.10), эта теория должна посредством ренормализационной группы эволюционировать в инфракрасном пределе в суперконформную точку [40]. Действительно, некоторые из D9- и Б9-бран должны анигилировать, оставив Dl-брану в вакууме теории струн типа I. Полученная таким образом Dl-брана несет квантовые числа гетеротической струны [42], и ее теория суперконформная. В любом случае, можно быть уверенным, что если при каком-то значении поля Т теория эволюционирует в результате в суперконформную точку, то это значение поля действительно является (локальным) минимумом соответствующего функционала энергии. Мы считаем, что должна быть глубокая причина для столь жесткой эволюции по ренормализационной группе. Такой причиной может быть наличие некоторой скрытой симметрии в теории (2.10). Хорошим кандидатом на такую симметрию может быть к-инвариантность.
Струны вне массовой поверхности в ультрафиолетовом пределе
В качестве заключения мы выскажем гипотезу, что усреднение по группе PSL(2,R) преобразованного граничного состояния будет иметь правильные матричные элементы с любым состоянием замкнутой струны на массовой поверхности. Здесь мы проверили это для случая тахиона и гравитона в замкнутой струне. Легко обобщить это на случай антисимметричного тензорного поля, которое имеет ненулевое вакуумное значение, когда включено фоновое калибровочное поле. Интересно проверить эту гипотезу в случае корреляционных функций более высокого порядка. Наши результаты можно легко обобщить на случай граничных состояний в теории суперструн с линейным тахионным фоном. Мы продолжим изучение ситуации вне массовой поверхности в некотором простейшем приближении, рассмотренном в статьях [67] и [68]. В этом приближении мы приведем общий взгляд на природу матричных координат D-бран. Поняв ее, нам удастся объединить взаимодействия RR-полей со всеми возможными конфигурациями параллельных D-бран и не только. В этом параграфе мы объясняем, как можно описать некоммутативные структуры в граничной струнной теории поля при помощи алгебры дифференциальных операторов на пространстве-времени в классическом приближении и при некоторой ультрафиолетовой регуляризации. В качестве простейшего примера мы рассмотрим бозонную сг-модель15 на диске: 15Bce наши выкладки легко обобщить на случай суперструн. Это действие принимает экстремальные значения на конфигурациях вида: где дп — это производная вдоль направления, перпендикулярного к границе. Т.е. мы накладываем граничные условия типа Неймана в рассматриваемой теории. На классических решениях рассматриваемое действие S d эквивалентно следующему: и 0 — это некоторая параметризация границы. Здесь — это ядро оператора ортогональной производной дп, действующего на гармонические функции на диске.
Очевидно, что теория (3.96) эквивалентна следующей теории с дополнительными полями Чтобы была полная тождественность между теориями (3.96) и (3.97), не следует интегрировать по нулевым модам полей р в соответствующем функциональном интеграле (этого можно достигнуть, введя в рассматриваемый интеграл 5-функцию вида [рД0)]). Если рассматривать жир как динамические переменные в квантовой механике с лагранжианом (3.97), то получаются следующие двух-точечные корреляционные функции полей: Несимметричная часть этих корреляторов приводит к некоммутативности операторов р и и сингулярна в совпадающих точках. Поэтому рассматриваемую теорию следует регу-ляризовать. Введем такую регуляризацию, которая модифицирует метрику на границе следующим образом: где IR — это характерная шкала регуляризации. В такой схеме мы получаем следующее равенство для модифицированной функции Грина: GR(0) — 0. Заметим, что такая схема регуляризации не затрагивает "некоммутативную" часть корреляторов. Можно сказать, что если нас интересуют корреляционные функции на малых расстояниях, то нам важна только "некоммутативная" часть. Другими словами, в схеме регуляризации (3.101) в корреляционные функции доминирует вклад от первого члена в лагранжиане (3.97). Мы хотим показать, что именно таким образом появляются матричные степени свободы в а— модельном подходе. Чтобы явно это показать, необходимо выявить релевантные степени свободы в рассматриваемом режиме. Именно это мы и делаем далее. В этом параграфе мы показываем, что в нашем приближении струнные вертексные операторы могут быть представлены как дифференциальные операторы на некотором дополнительном пространстве, что есть первый шаг на пути понимания того, как координаты D-бран становятся матрицами. Чтобы это увидеть, начнем с граничных условий типа Дирихле х\оо = х(в) = Y1. Легко построить граничный оператор в конформной теории поля, который сдвигает граничное значение X\QD = У1 в новое граничное значение Для того, чтобы представить процесс, когда в начале струна заканчивается на D-бране X\OD = У1, потом перепрыгивает на D-брану X\QD = У2 и, в конце концов, возвращается обратно на D-брану X\QD = Y1, мы берем "функцию сдвига" в следующей форме: После этого, используя разбиение скалярного поля х = х+ + ж_ (на границе диска) на моды с положительными и отрицательными частотами мы можем представить оператор Vsx как произведение двух "операторов сдвига": В этом выражении мы использовали классические уравнения движения. Поэтому получается следующее выражение для "оператора сдвига" из Y в У : Этот оператор отвечает возбуждению с массой, определяемой его конформной размерностью: которая совпадает с массой (т? ос length2) основного состояния струны, перетянутой между а-й и /5-й D-бранами. Для того, чтобы получить оператор, описывающий состояние общего вида из спектра, следует умножить оператор (3.106) на полином от производных от X и на стандартный экспоненциальный фактор е1рх, отвечающий за ненулевой момент импульса вдоль D-браны.
Наиболее важным для нас является тот факт, что такие операторы как (3.106) уважают D-бранное состояние, заданное в струнном функциональном интеграле в виде композиции J-функций S(X — У ), где а = 1,...,к, если мы имеем дело с к D-бранами (см. обсуждение ниже). Также операторы Vap генерируют алгебру gl{k), когда они действуют на рассматриваемую систему -функций [19]. В этом параграфе мы показываем, как неабелевы степени свободы на D-бранах возникают в результате аннигиляции D-D-системы, если мы приблизим струнные вертексные операторы дифференциальными операторами на некотором дополнительном пространстве. Конкретнее, мы явно увидим, что безмассовые возбуждения открытых струн возникают как голдстоуновские моды в результате некоторого нарушения симметрии. Рассмотрим аннигиляцию бесконечного числа D25-6paH в к Dp-бран (р 25). В нашем приближении динамика легчайших возбуждений D25-6paH описывается следующим функциональным интегралом: где усреднение (...)BS проделано при помощи бозонного струнного функционального интеграла с действием (3.94). В этой формуле мы подчеркнули, что струнные поля — это 48 параметризованном координатами?/ . В итоге мы положим X = У. Эта ситуация, описывает бесконечное число Б25-бран. Действительно, рассматриваемые граничные условия отвечают Б25-бранам. В то же самое время, пространство, на котором действуют "Чан-Патоновские индексы" — это гильбертово пространство функций на некотором многообразии Y, т.е. бесконечномерное векторное пространство. Формула (3.108) корректно описывает след на пространстве T Y. Она содержит интеграл по фермионам сие, который дает детерминант симплектической формы на T Y [69]. Когда X = Y, такие фермионы-имеют естественное происхождение в рамках теории суперструн: они возникают как, граничные значения фермионов Навье-Шварца-Рамона (суперпартнеров х) и сопряженных к ним (суперпартнеров р). В то же самое время, в бозонной струне мы вынуждены ввести их руками в соответствии с наблюдениями сделанными в статье [69]. Для описания процесса аннигиляции Б25-бран в, к Dp-бран следует рассмотреть следующую форму для. тахионного поля вне массовой поверхности [67, 19]: где W(if) — это полином от уг, г = р -- 1, , 25 степени к + 1, на экстремумах которого мы собираемся локализовать Dp-браны; t, si и s2 — это некоторые константы. Как показано в статье [20], константа t эволюционирует в ноль по ренормализационной группе в инфракрасном пределе (см. также обсуждение во второй главе). Следовательно, первый член в формуле (3.109) описывает локализацию пространства Y на пространстве-времени X. Второй член в (3.109) описывает локализацию на Dp-бранах, т.к. в итоге мы возьмем предел sx — 0. Объясним теперь причины, наличия третьего члена в этой формуле.
Ренормализационная группа и предел больших N
Здесь мы ответим на несколько вопросов, которые могут возникнуть при прочтении предыдущей части этой главы. Заметим, что АдС/КТП-соответствие является частным случаем более общего соотношения: где в левой стороне усреднение взято с весом exp{i 5 (0]} в некоторой .D-мерной квантовой теории поля на границе (boundary QFT — bQFT). Набор полей в bQFT для простоты обозначен ф, Оп[ф] — это базис локальных калибровочно инвариантных операторов в рассматриваемой теории. В то же самое время, на правой стороне уравнения (4.173) Ф — это волновая функция в (D + 1)-мерной квантовой теории в объемлющем пространстве (Bulk QFT — BQFT), которая отвечает некоторому квантовому числу ЛА. Помимо АдС/КТП-соответствия известны еще несколько примеров такого соответствия: Связь между трехмерной теорией Черна-Саймонса и двумерной моделью Весса-Зюмино-Новикова-Виттена [88]; 23Например, из высших топологий могут возникать такие члены как Sn ос CN„ [Тг (/ ,n + ...)] , п 3, которые ведут себя как №, когда N — со. - Связь между двумерными конформными топологическими моделями с гравитацией и старыми матричными моделями (см., например, [89]). Связь теории суперструн на рр-волновом фоне и теории Янга-Миллса в некото ром двойном скейлинговом пределе [135], [80] (см. ниже). Это есть некоторое точно решаемое вырождение АдС/КТП-соответствия. В этих примерах получается так, что оснащение полей в bQFT матричными индексами (N х N) дает естественный параметр в (D + 1) мерной BQFT. Действительно, фазовое пространство в BQFT задается функционалами на пространстве калибровочно инвариантных операторов Оп и соответствующими-источниками дп в bQFT. Это пространство имеет естественную симплектическую структуру.
В частности, в случае когда D — 0 имеется дуальность между константами связи {дп} и следами степеней фундаментальных полей Оп — {- Тгф71}. В пределе N — оо они составляют дуальные наборы переменных, связанные Фурье-преобразованием (преобразованием Лежандра в произвольном числе измерений D), которое определяется ядром интегрального оператора: Заметим, что если не брать предел N — оо, то имеется конечный набор независимых Оп и бесконечный — дп. В силу такого простого вида для ядра, конфигурационное пространство {дп} является линейным векторным пространством, а симплектическая структура имеет вид и не вырождена только в пределе N —» оо. Точнее, имеются три режима. Первый режим — это когда N конечно. Тогда всегда можно выбрать конечный набор дп и симплектическая структура (4.175) будет невырожденной. Однако скорее всего, в такой ситуации конфигурационное пространство не является линейным, т.к. вышеупомянутое ядро Фурье-преобразования не задано в столь простой форме как (4.174). Второй режим — это когда N — оо и конфигурационное пространство становится линейным с хорошо определенным ядром Фурье-преобразования в форме (4.174). Более того, в этом случае мы получаем классическое приближение для BQFT [77]. Третий режим — это когда мы разлагаем вокруг N = оо по степеням 1/JV2. В этом случае мы получаем квантование второго режима. Что наиболее важно для нас, так это то, что формула (4.173) приводит к глубокой связи между эволюцией во "времени" (с евклидовой сигнатурой) в BQFT и конформными свойствами в bQFT [77]. Другими словами, имеется связь между уравнениями движения в BQFT и потоком ренормализационной группы в bQFT [78], как мы это и видели на конкретном примере в предыдущем параграфе. Эта связь между квантовыми теориями в различных размерностях приводит к следующим естественным вопросам: каких onepaTopoBtBbQFT подходит для соответствия (4.173)? Как уравнения ренормализационной группы в bQFT, которые обычно являются дифференциальными уравнениями первого порядка по производным, становятся уравнения движения в BQFT, которые имеют второй порядок? Как ренормализационно-групповой поток становится обратимым? Какой смысл квантового- числа N с точки зрения bQFT? Или, более общо, какой-смысл произвольной волновой функции в BQFT с точки зрения bQFT? 4.2.2 "Уравнения Каллана—Симанчика—Польчинского как уравнения Гамильтона В этом параграфе мы пытаемся дать ответы на вышеупомянутые вопросы при рассмотрении конкретного примера bQFT. А именно, мы хотим показать, как увидеть правую часть соотношения. (4.173) для произвольной (в очевидных рамках) теории в левой части. Мы начнем с простых замечаний по поводу ренормализационной группы в теории поля. Для определенности мы рассмотрим матричную теорию поля где ф — это поле принимающее значение в присоединенном представлении группы SU(N). Рассмотрим ренормализационно-групповой поток в этой-теории в картине Вильсона [91]. Основным ингредиентом вильсоновского подхода является эффективное -действие, определенное на некоторой шкале. Для получения последнего, обычно поле ф разделяется на медленные классические моды ф0, зависящие от импульсов, удовлетворяющих условию р2 и2, и на квантовые флуктуации р, зависящие от импульсов р2 и2: ф = ф0 -\- ip. После этого берется функциональный интеграл по ip.
Таким образом, получается эффективное действие, которое является линейной комбинацией всех возможных операторов в теории [92]: где К(х, у и) —это регуляризованный пропагатор в теории (4.176). Заметим, что индекс п в этой формуле — это мульти-индекс и может включать в себя также .D-мерные тензорные индексы. Таким образом, теория на шкале нормировки р2 и2 характеризуется "константами связи" дп, зависящими от импульсов р2 и2 и классическими полями, зависящими от гармоник, отвечающих импульсам, удовлетворяющим условию р2 и2. Можно изменить точку нормировки, интегрируя по некоторым высоким гармоникам фоновых полей ф0. Заметим, что сохраняя все бесконечное множество источников дп(х), можно сохранить информацию про все высшие гармоники р, т.е. сделать ренормализационно-групповой поток обратимым. Кстати, как мы покажем ниже, достаточно сохранить некоторое бесконечное подмножество всех» возможных источников дп. Имея ввиду, что дп и Оп — это координаты на некотором фазовом пространстве, естественно установить соотношение вроде (4.173). Действительно, экспонента действия в теории с данным набором затравочных источников и набором фоновых полей, усредненных по флуктуациям с импульсами UQ р2 и2, может интерпретироваться как амплитуда перехода в BQFT с направлением времени вдоль и: где 7i(u) — это гамильтониан в (_0+1)-мерной (х, и) теории с динамическими переменными дп и 0„, а ({#"} и \{Оп(фо)}) — квантовые состояния в соответствующем гильбертовом пространстве. Как мы видим, волновая функция (D+1) может быть разложена по базису волновых функций: которые возникают из (4.178), когда и — и0. В этот момент можно легко установить смысл квантового числа N в (4.173). Беря предел и — 0, мы видим, что ( +1) характеризуется квантовыми числами Af = {(Оп)}, т.е — обобщенными импульсами в BQFT или вакуумными средними операторов Оп в bQFT. Наиболее явно поток ренормализационной группы в подходе Вильсона может быть представлен в форме уравнений Каллана-Симачика-Польчинского [92]. Мы покажем, что эти уравнения могут быть представлены как уравнения Гамильтона в теории с фазовым пространством с координатами {дп}, {Оп(ф0)}- Для рассматриваемой теории уравнения Польчинского выглядят следующим образом [92]: по (р с весом exp{i 1%}. Используя разложение по калибровочно инвариантным операторам, мы получаем: идидпОп(ф0) - (Зп(д)Оп(ф0)- Здесь рп(д) и Упт(д) — это некоторые ненулевые, модельно зависящие функции. Легко видеть, что Р в (4.181) — это /3-функции для соответствующих источников.
Результаты в двух измерениях
Этот потенциал подходит как для коммутативного, так и для некоммутативного вариантов теории. Его следует минимизировать для того, чтобы найти физическое значение М. В двух измерениях потенциал всегда имеет двояковырожденный глобальный минимум при ненулевых значениях М, которые появляются как решения уравнения на энергетическую щель Как М, таки — Мявляются решениями этого уравнения отражая киральную симметрию. Уравнение (5.249) приводит к размерностной трансмутации: когда (5.249) подставлено-в качестве значения константы связи в любое физическое выражение в перенормируемой теории,.зависимость от обрезания Л сокращается и оставшимся параметром является. масса М — в этом случае динамически возникшая фермионная масса. Таким образом, затравочная, безразмерная константа связи Л и ультрафиолетовое обрезание Л заменяются на размерный параметр М. Рассматриваемая теория не имеет константы связи. Вместо этого она имеет массовую шкалу. Эта теория слабо связана для процессов с импульсами, которые больше, чем М и сильно связана для импульсов меньше, чем М. Мы/увидим этот факт явно в выражении для.эффективной константы связи для коммутативной теории. В последнем случае Л и Л выпадают из эффективной константы связи, если уравнение на энергетическую щель решено. Они заменяются на.шкалу масс М. Хотя мы и не будем это использовать в дальнейшем, мы могли бы ввести перенормированную константу связи, таким образом, что подставив в (5.248) и (5.249), можно было бы убрать ультрафиолетовые расходимости Тогда, заметим, что если, мы фиксируем Are„(/i) при стремлении обрезания Л в бесконечность, то затравочная константа связи Л стремится к нулю. Это является еще одним проявлением асимптотической свободы. С другой стороны, если мы фиксируем затравочную константу связи Л и обрезание Л, то когда ренормализационная шкала fi уменьшается, тогда-перенормированная константа связи Агеп( ) растет и стремится к бесконечности при некоторой маленькой шкале. Это является, инфракрасным заточением и инфракрасным полюсом Ландау. Конечно же, реальный бег эффективной константы связи обрезается динамическим возникновением массы. Для начала, рассмотрим коммутативную теорию.
Мы можем сделать это, положив матрицу в и равной нулю, что означает, что все -произведения в вышеуказанных формулах просто становятся обычными. В этом случае где индекс "с" означает, что теория коммутативная, 7 — это константа Эйлера. Здесь и далее мы используем ту же регуляризацию, что и в статьях [121] и [122]. Тогда, в этом случае эффективная константа связи равна Здесь мы использовали уравнение на энергетическую щель (5.249) для того, чтобы избавиться от константы связи. Заметим, что при этом также пропадает зависимость от ультрафиолетового обрезания и остается только массовый параметр М. При больших импульсах р » М, эффективная константа связи мала, как мы и ожидали. При уменьшении импульса до малых значений, р «С М, константа связи увеличивается и останавливается, когда импульс доходит до шкалы М, где она замерзает на значении Xf(p) « 2тг/7- Теперь исследуем некоммутативную теорию. В этом случае имеются как планарные, так и непланарные вклады в т(р). Вклад планарной диаграммы следующий Этот вклад нечувствителен к наличию некоммутативности. Результат для него равен половине от коммутативного (5.250). Имеется также непланарная диаграмма. Ее вклад зависит от параметра некоммутативности нетривиальным образом планарный вклад расходится, непланарный вклад имеет конечное предельное значение при стремлении обрезания в бесконечность, при ненулевых значениях внешнего импульса. Коррелятор тпс(р) в некоммутативной теории является суммой рассматриваемых двух вкладов Эффективная четырехфермионная константа связи при переданном импульсе р равна Когда мы подставляем зависящее от обрезания выражение (5.249) для 1/Л в (5.252), зависимость от ультрафиолетового обрезания не сокращается. Если импульс принимает значения р 1/0Л, то эффективная константа связи Aeg(p) стремится к нулю при стремлении Л к бесконечности. Давайте найдем ультрафиолетовое поведение (5.252). В пределе когда р2 : AM2, р2 » \/(9М)2 (мы всегда предполагаем, что р2 С Л2 и М2 С Л2), мы имеем Таким образом, где зависимость от Л устранена с использованием (5.249). С другой стороны, когда р2 С 1/(в2М2), р2 С AM2 и р2 ; 1/(0Л)2, можно приблизить вышеуказанные выражения следующим образом: Для импульсов выше р 1/0Л это выражение зависит от обрезания и для конечного, ненулевого импульса оно стремится к нулю при стремлении обрезания к бесконечности. Таким образом, мы видим, что в некоммутативной теории перенормировка не устраняет зависимость от обрезания в эффективном четырехфермионном взаимодействии. Взаимодействие подавлено обратной степенью логарифма ультрафиолетового обрезания и стремится к нулю, когда обрезание стремится к бесконечности, что делает теорию тривиальной. Именно решение уравнения на энергетическую щель (5.249) диктует зависимость Л от обрезания. Если мы выберем другую зависимость 1/Л от обрезания, то уравнение на энергетическую щель не будет удовлетворено. Это означает, что система не будет стабильной. Мы заметим это сразу же в эффективной константе связи (5.252).
Действительно, условием стабильности для квадратичных флуктуации поля ф(х) в действии является положительность обратной эффективной константы связи. Например, мы можем избавиться от обрезания, выбрав После этого можно устремить обрезание к бесконечности. Мы находим, что при очень маленьких значениях импульса Моды поля ф(х) с импульсами меньше этого значения являются тахионами, что является результатом нестабильности, вызванной использованием неправильного решения уравнения на энергетическую щель. Достаточно интересные вещи происходят в двойном скейлинговом пределе, когда Л — оо и 0 — 0 таким образом, что АО = С/М с произвольной константой С. Физический смысл этого предела заключается в том, что мы "регуляризуем" обычную модель Гросса-Неве некоммутативной на шкале обрезания. Эта теория некоммутативна только на расстояниях меньше, чем ультрафиолетовое обрезание. Однако ультрафиолетовое/инфракрасное смешивание больших и малых шкал импульсов означает, что такая некоммутативность все равно влияет на рассматриваемую теорию. В рассматриваемом пределе мы получаем точное выражение: Второй вклад в знаменателе содержит разрез квадратного корня, начинающийся в точке q = 2Мі на комплексной плоскости q, что отвечает рождению пар фермионов. Это совпадает с ситуацией в коммутативной модели Гросса-Неве. Новым в рассматриваемом выражении является первый вклад в знаменателе. Он имеет логарифмический разрез, начинающийся в точке q = і М/С. Этот разрез отсутствует в коммутативной модели. Мы предполагаем, что он отвечает рождению некоторых нелокальных солитонов, присутствующих в некоммутативной теории, и которые выживают в рассматриваемом двойном скейлинговом пределе. Однако пока нам не удалось найти явный вид объектов, которые рождаются, если действительно они солитоны. Мы видим, что пределы Л— оо и # — 0 не коммутируют и что, даже если некоммутативность важна на шкале обрезания, она все равно модифицирует поведение теории на всех шкалах энергии. В трехмерной модели Гросса-Неве константа связи Л имеет размерность длины. Поэтому эта модель неперенормируема в теории возмущений по константе связи. Однако при разложении по большим значениям N в коммутативной модели, контрчлены, необходимые для сокращения возникающих расходимостей имеют только ту же форму, что и операторы, уже присутствующие в действии. Таким образом, в силу обычного определения, коммутативная теория является перенормируемой моделью при разложении по 1/iV.
Похожие диссертации на Квантование бран или к геометризации теории поля
