Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обобщенные алгебры операторов рождения-уничтожения в квантовой теории . 14
1. Место постулата о перестановочных соотношениях в общей схеме построения квантовой теории 14
2. О классификации обобщенных перестановочных соотношений 18
3. Паракоммутационные соотношения в квантовой теории поля 23
4. У - коммутационные соотношения в квантовой теории поля 29
5. Применение fl - коммутационных соотношений в некоторых задачах квантовой теории 33
6. Основные выводы 40
Глава 2. Билинейные обобщенные перестановочные соотношения для операторов рождения-уничтожения A3
1. Общая формулировка билинейных обобщенных пере становочных соотношений 43
2. Условия алгебраической совместности обобщенных билинейных перестановочных соотношений. Ф -, М -Квантование 47
3. Примеры конкретной математической реализации билинейных обобщенных перестановочных соотношений..52
4. Основные выводы 57
Глава 3. Билинейные обобщенные перестановочные соотношения в общей схеме квантования полевых систем 59
1. Исходные положения рассматриваемой схемы квантования полевых систем 60
2. Свободные поля. Операторы динамических величин и физический смысл операторов рождения-уничтожения 63
3. Коммутаторы полевых функций в случае обобщенных билинейных перестановочных соотношений 69
4. Взаимодействующие поля. Совместность требований к матрице рассеяния с параметрами билинейных обобщенных перестановочных соотношений 74
5. Операторы динамических величин системы взаимодействующих полей .89
6. Основные выводы 94
Глава 4. Квантование конкретных моделей систем взаимодействующих полей на основе билинейных обобщенных перестановочных соотношений
1. Ф - квантование в модели взаимодействия безмассового действительного векторного и спинорного полей 96
2. М - квантование в модели взаимодействия без массового действительного векторного и спинорного полей 102
3. Применение матричньсс перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия
4. Операторные волновые шункщш взашодейотвующих полей в случае использования обобщенных перестановочных соотношений 120
5. Основные выводы .122
Заключение 1Z4
Литература
- Паракоммутационные соотношения в квантовой теории поля
- Условия алгебраической совместности обобщенных билинейных перестановочных соотношений. Ф -, М -Квантование
- Коммутаторы полевых функций в случае обобщенных билинейных перестановочных соотношений
- Применение матричньсс перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия
Введение к работе
Формализм квантовой теории поля, детально разработанный и последовательно изложенный в ряде работ (см., например, [і - ю]) в настоящее время весьма успешно используется в самых различных областях физики и является основой при описании явлений микромира. Следует, однако, отметить, что квантовая теория поля постоянно развивается и совершенствуется, что связано с необходимостью введенияновых типов полей и их взаимодействий, открытием или теоретическим предсказанием новых частиц и т.п. При этом может частично изменяться совокупность постулатов и принципов, на которых базируется теория.
Наиболее важными и присущими любой модификации теории принципами являются принципы релятивистской ковариантности и причинности, не являющиеся, вообще говоря, специфически квантовыми. При этом математически однозначно формулируется лишь первый из вышеупомянутых двух принципов. Что же касается, например, принципа причинности в квантовой теории поля, то здесь возможны различные варианты его формулировки [і - 4, ioj
Говоря о специфически квантовых принципах, заметим, что тип квантования и алгебра операторов физических величин той или иной рассматриваемой системы задаются совокупностью перестановочных соотношений между операторами, образующими полный неприводимый набор [2] , функциональная связь которых со всеми операторами физических величин определяется принципом соответствия между классической и квантовой теориями. Здесь также физрхчески допустимыми являются различные варианты формулировки как принципа соответствия, так и перестановочных соотношений, задающих алгебру операторов квантовой теории [4, 9, 13-25, 36,93] .
Важно отметить, что совокупность постулатов (математически корректно сформулированных и обеспечивающих выполнение физических принципов, являющихся отражением экспериментальных наблюдений) на которой строится теория [і - 10J , не являются системой независимых утверждений относительно исходных объектов теории и их свойств.
Подтверждением сказанного выше о взаимной связи постулатов квантовой теории поля может служить то известное обстоятельство, что в теории, содержащей в качестве полного неприводшлого набора лишь локально коммутативные [і -9] операторы полей, реализующих конечномерные неприводимые представления релятивистской группы, имеет место теорема Паули о связи трансформационных свойств операторов полей с их алгебраическими свойствами (теорема о связи спина со статистикой) [і - з] , устанавливающая перестановочные соотношения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полей с полуцелым и целым спином соответственно.
Б настоящее время создан ряд моделей систем взаимодействующих полей, основанных на тех или иных группах симметрии, и которые позволяют рассматривать различные типы взаимодействий еди-
ншл образом в рамках данной модели [4, 8 - 10, 88, 90] . Указанные модели (электрослабого взаимодействия, хромодинаміка и т.п.) предсказывают существование новых частиц (кварки, глюоны, промежуточные бозоны, тахионы и т.п.) обладающих, возможно, необычными свойствами. В частности, статистика для таких частиц может в принципе не совпадать со статистикой Ферми-Дирака или Бозе-Эйн-штейна. Поэтому приобрели актуальность исследования проблем, связанных с допустимыми обобщениями перестановочных соотношений в квантовой теории поля [13 - 25, 37 - 67, 92, ТОО] , то есть, в конечном счете, обобщениями самой схемы квантования.
Следует отметить, что в исследовании и применении иных, не стандартных алгебр операторов теории поля необходимо различать два аспекта.
Первый состоит в том, что те или иные типы алгебр, порождаемые различными перестановочными соотношениями, формально можно применять в теории, поскольку пршленение их не противоречит основным физическим требованиям, которые обычно к ней предъявляются
[і - io] , однако такое пршленение не приводит к каким-либо новым физическим следствиям, и поэтому представляет лишь общетеоретический интерес [2] .
Второй случай - когда пршленение нестандартных перестановочных соотношений не только формально допустимо, но и приводит к каким-либо физически нетривиальным следствиям. Однако априорно неясно, какое из допустимых обобщений алгебры полевых операторов будет физически существенно, поэтому в настоящий момент ситуация такова, что интерес вызывает всякая попытка обобщения стандартных перестановочных соотношений.
В настоящее время проблемы, связанные с такими обобщениями, исследуются достаточно интенсивно.
Так, например, в работах [12 - 14] оыли предприняты попытки
' - 8 -
использовать в квантовой теории поля перестановочные соотношения, отличные от упомянутых выше перестановочных соотношений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, и названные паракоммутационными. Затем парастатистики, тій порождаемые, достаточно подробно исследовались в работах [і5-23] и [37-67J .
Было установлено, что в теории поля, квантованной на основе паракоммутационных соотношений какого-либо типа, естественно возникает новый параметр, принимающий целочисленные и большие нуля значения и называемый порядком парастатистики. В этом смысле обычные ферми- и бозе-статистики являются частными случаями па-раферми- и парабозе-статистик с порядком, равным единице.
Следует отметить, что в рамках аксиоматического подхода в теории поля было предложено обобщенное понятие статистики [62] , включающее в себя и все возможные ее пара-обобщения.
Общетеоретические вопросы, связанные с совместностью основных физических принципов с паракоммутационными соотношениями были рассмотрены уже в работах [12-23] . Была показана допустимость применения их в квантовой теории поля.
К некоторой модификации пара-статистики следует отнести и так называемую модулярную статистику [29] .
Другими примерами обобщенных перестановочных соотношений (пока еще недостаточно исследованными) являются суперстатистика [92] , jU. - коммутационные соотношения, предложенные в работе [36] , а также f - коммутационные соотношения [іоо] .
Относительно последних необходимо заметить, что применение их в квантовой теории поля требует переформулировки принципа причинности, однако в ряде случаев позволяет устранить из теории расходимости, не прибегая к перенормировкам.
В целом же ситуация такова, что за исключением пара-коммутационных, У - коммутационных, а также ряда примеров "аномального" [2] применения обычных перестановочных соотношений, вопрос
о возможности применения обобщенных перестановочных соотношений в квантовой теории поля почти не исследовался. Некоторые из предложенных обобщенных коммутационных соотношении исследовались лишь на алгебраическую совместность.
Таким образом, в настоящее время невыясненными являются как ряд общетеоретических аспектов,так, в большинстве случаев, и фи-зически существенные, допускающие экспериментальную проверку следствия применения в квантовой теории поля обобщенных перестановочных соотношении.
Наиболее целесообразно на данном этапе представляется изучение прежде всего билинейных обобщенных перестановочных соотношений, поскольку именно таїсие обобщения обеспечивают возможность прямого предельного перехода к стандартным случаям, то есть к перестановочным соотношениям Ферш-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Данное обстоятельство ваяно как для проверки получающихся результатов путем сравнения их со стандартными, так и с точки зрения общего принципа преемственности физических теорий.
Поэтому основной целью исследований, включенных в настоящую дне с ертацию, являє тся:
Установить совокупность допустимых обобщенных билинейных перестановочных соотношений, совместных с основными положениями квантовой теории поля: принципом соответствия с классической теорией, ковариантностью, унитарностью, микропрпчинностью.
Выявить возможности и физически существенные следствия применения допустимых обобщенных билинейных перестановочных соотношений при квантовании конкретных моделей систем взаимодействующих полей.
Дервая глава диссертации является в основном обзорной.
Здесь проводится обсуждение роли и места постулата о перестановочных соотношениях в общей схеме построения квантовой теории. Дается возможная классификация известных в настоящее время перестановочных соотношений на основе понятий билинейности, пропорциональности и бинарности. Данная глава содержит в себе информацию о проведенных к настоящему времени исследованиях различных обобщений алгебры операторов квантовой теории, краткий анализ достигнутых здесь результатов и тлеющихся трудностей. На этой основе делается вывод о принципиальной допустимости применения, в квантовой теории поля различных обобщенных перестановочных соотношений и необходимость дальнейших исследований с целью выявления физически существенных следствий такого применения. Указывается, что на данном этапе наиболее целесообразным представляется изучение билинейных обобщенных перестановочных соотношений .
Во второй главе дается общее определение билинейных обобщенных перестановочных соотношений, сформулированное в термітах операторов рождения и уничтожения, и выявляются условия их взаимной алгебраической совместности.
Устанавливается, что наиболее общая запись билинейных перестановочных соотношений содержит в себе три типа параметров, что позволяет выделить среди всей совокупности билинейных перестановочных соотношений три существенно различающихся между собой класса: Ф - , М - , ft - перестановочные соотношения.
В заключительных параграфах данной главы приводятся примеры конкретной математической реализации операторов, удовлетворяющих перестановочным соотношениям из указанных выше классов.
В третьей главе рассматривается общая схема квантования полевых систем на основе предложенных во второй главе билиней-
ных обобщенных перестановочных соотношений.
Показано, что операторы рождения-уничтожения, им удовлетворяющие, имеют обычный физический смысл операторов рождения-уничтожения частиц (античастиц) поля, обладающих определенным 4-им-пульсом, зарядом, поляризацией и т.п.
Коммутаторы (антикоммутаторы) полевых функций в рассматриваемом случае, вообще говоря, не являются с-числами. Кроме того, коммутаторы (антикоммутаторы) полевых функций не обращаются в нуль в пространственно-подобных точках, то есть, в получаемой теории не имеет место локальная коммутативность для операторов поля. Тем не менее средние значения коммутаторов (антикоммутаторов) операторов поля в любом состоянии с фиксированным числом частиц пропорциональны соответствующим перестановочным функциям, как это имеет место и в стандартной схеме квантования.
Более того, доказано, что несмотря на локальную некоммутативность операторов поля, лагранжиан взаимодействия может быть локально коммутативной комбинацией функций поля. Это достигается наложением дополнительных условий на параметры билинейных обобщений.
Далее обсуждается метод построения операторов динамических величин системы взаимодействующих полей и утверждается, что зависимость этих величин от лагранжиана взаимодействия совпадает с имеющей место в обычной теории, отличие же от результатов общепринятой квантовой теории поля проявляется лишь при вычислении средних значений и матричных элементов.
В четвертой главе на основании полученных в предыдущих главах результатов проводится квантование конкретных моделей систем взаимодействующих полей, в частности, взаимодействия безмассового векторного и спинорного полей, электрослабого взаимодействия.
Проведены расчеты амплитуд вероятности и сечений рассеяния некоторых процессов в случае использования предложенных билинейных обобщенных перестановочных соотношений. Показано, что во всех полученных конечных выражениях существует возможность предельного перехода к соответствующим стандартным выражениям.
При рассмотрении модели взаимодействующих безмассового векторного и спинорного массивного полей выявлена возможность путем специального задания параметров билинейных обобщенных перестановочных соотношений обеспечить равенство нулю вероятности перехода из физически реализуемого состояния в нереализуемое (то есть содержащее безмассовые частицы с не-поперечной поляризацией) и обратно.
На примере применения одного из предложенных билинейных обобщений перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия показана возможность использования подобного обобщения в широком классе моделей, основанных на неабелевых калибровочных группах. Б рамках модели Вайнберга-Салама получено соотношение для массы промежуточных заряженных бозонов, констант теории электрослабого взаимодействия и параметров обобщенных перестановочных соотношений.
В Заключении резюмируются и обсуждаются основные результаты, полученные в данной диссертации.
Указывается, что применение рассмотренных в работе билинейных обобщенных перестановочных соотношений в квантовой теории поля оказывается возможным при сохранении основных ее постулатов и приводит к физически существенным результатам.
Результаты глав 2-4 носят оригинальный характер и опубликованы в Ц работах [102 - 112] . Работы автора [l02 - 105] , связанные с jU. - квантованием [iOl], включены в первую обзорную главу (см. 5).
По материалам диссертации были сделаны доклады: на конференциях молодых ученых УДН им. П.Лумумбы (1980,1981,1982 г.г.), на научных конференциях УДН им. П.Лумумбы (1980, 1981,1982 г.г.) на 1-м (Киев, 1981 г.) и П-м (Киев, 1982 г.) Всесоюзных рабочих совещаниях "Гравитация и объединение фундаментальных полей", на Сессии Отделения ядерной физики АН СССР (Москва, 1982 г.).
Паракоммутационные соотношения в квантовой теории поля
В работах [43-49] , а также [53-60] рассматривались различные математические аспекты применения паракоммутапионных соотношении, в частности, подробно исследовалась структура алгебр, шли порождаемых. Здесь следует отметить, что весьма интересными представляются попытки развить на базе пара-операторов алгебраический формализм, который мозшо полошіть в основу суперсимметричных теорий [41-42, 64-65] .
Паракоммутационные соотношения, как отмечалось выше, допускают представление в форме анзатцев Грина, когда используется разложение образующих одной алгебры по образующим другой. Аналогичная идея использовалась для иного обобщения алгебр полевых операторов [68-86] , но здесь разложение не имело вида конечного ряда ("бозонизация" фермионов).
Другім примером применения небилинейных перестановочных соотношений является суперстатистика [92] , допускающая, подобно парафермионной статистике порядка , не более $ частиц в каждом квантовом состоянии, однако не эквивалентная ей. Супер-коммутационные соотношения тлеют вид:
Согласно предлагаемой классификации суперкоммутационные соотношения, являясь небилинемньми и пропорциональньміі, в отличие от паракоммутационных соотношений бинарны.
В работе [Зб] были предложены обобщенные перестановочные соотношения, названные /и -коммутационными. Для системы с одной степенью свободы ju -коммутационные соотношения порядка имеют вид:
В работе [100"J исследовались алгебраичесіше свойства fT -коммутационных соотношений, при этом было показано, при каких значениях параметров обобщения jtf»ci j эти, вообще говоря, небилинейные, непропорциональные, бинарные соотношения являются пропорциональными.
При этом, исходя из общих алгебраических соображений, было показано, что данные соотношения могут быть приведены к виду: В работах [І00Д0ІІ рассматривались перестановочные соотношения вида (1.10), которые при этом были разбиты на два класса. К первому относятся соотношения, для которых выполнено:
Данные соотношения получили название и -коммутационных [101J Было показано, что оператор УпІ( а)іак не может быть интерпретирован, как оператор числа частиц, в силу невыполнения при иФ - і условия 1.8. Перестановочные соотношения данного класса являются, таким образом, билинейными, непропорциональными, бинарными.
Соответственно, для соотношений, относящихся ко второму классу, выполнено Исследованию соотношении этого типа посвящены работы [89,94-100] . Согласно предлагаемой классификации данные соотношения являются билинейными, пропорциональными, бинарными.
Перейдем теперь к рассмотрению вопросов конкретного применения различных обобщенных перестановочных соотношений в квантовой ТеорИИ, ОТМеТИВ Прежде ВСеГО, ЧТО ЭТИ ВОПРОСЫ ДетаЛЬНО ИС следовались лишь для паракоммутационных (1.4) и ряда частных случаев перестановочных соотношений вида (1.10).
Паракоммутационные соотношения в квантовой теории поля. Начиная с работ [13,14] и затем в работах [15,41,42,54, 64] предпринимались попытке паракоммутационные соотношения вида (1.4).в квантовой теории поля. Так, например, в работах рассматривался формализм -матрицы для взаимодействующих электромагнитного .поля и поля частиц со спином 1/2. Здесь было показано, что основные понятия обычной теории взаимодействующих полей (нормальное произведение, теорема Вика, Фейнмановские диаграммы) допускают обобщение в рамках рассматриваемой схемы квантования. При этом предполагалось, что матрица рассеяния имеет вид операторы поля частиц спина 1/2 , удовлетворяющие уравнению Дирака без взаимодействия, Ар (х) - операторы электромагнитного поля, удовлетворяющие обычным правилам коммутации, а перестановочные соотношения для У(х) , W ) , в соответствии с (1.2), имеют вид (парастатистика ранга 2), здесь S С - известная перестановочная функция спинорного поля [3,4]
В данном случае благодаря коммутативности операторов (х) и (х ) вне светового конуса (локальном коммутативности) Т-произведение в формуле (I.I3) определяется однозначньм, релятивистски инвариантным образом.
Операторы электромагнитного поля и спинорного поля коммутируют друг с другом, поэтому Т-произведение в формуле (I.I3) можно представить в виде произведения двух независимых Т-произ-ведений, одно из которых содержит только операторы спинорного ПОЛЯ, а другое - только операторы электромагнитного поля. Последнее из этих Т-произведений имеет тот же вид, что и в обычной теории.
Отсутствие в рассматриваемом способе квантования просты правил коммутации между двумя операторами затрудняет выделение вакуумных эффектов в Т-произведении, зависящем от операторов спинорного поля, и требует обобщения понятия нормального произведения, В работе [14] дается пример такого обобщения, а именно: нормальное произведение N(0.4 & к ) операторов ct , ак , принадлежащих алгебре, определяемой параферли-коммутанионными соотношениями ранга 2 определяется посредством действия t/(Qi ( / ) на произвольный базисный вектор
Условия алгебраической совместности обобщенных билинейных перестановочных соотношений. Ф -, М -Квантование
Нетрудно видеть, что структура более общих, чем (2.4), перестановочных соотношений (2.5) весьма, тем не менее, напоминает структуру соотношений (2.4), уже рассматривавшихся ранее с алгебраической точки зрения. Однако их нетривиальные матричные свойства (когда M..I не пропорциональна ..". /) требуют рассмотрения вопроса об их алгебраической совместности более подробно. При этом для упрощения рассуждений и не в ущерб общности рассмотрения будем исследовать те случаи, которые в дальнейшем можно будет использовать в конкретных физических задачах.
Итак, пусть вся совокупность степеней свободы в некоторой модельной квантовой системе может быть разбита на два непересекающихся множества [i J и LJ (тем самым мы автоматически удовлетворяем требованию і =fict в соотношениях (2.5) при рассмотрении их нетривиальной матричной структуры). Совокупность операторов рождения и уничтожения, отвечающих первому множеству степеней свободы, обозначим /ft"; j , а второму - [b l .
Предположим, что поотдельности для наборов операторов 1оГ-\ и [b j выполнены перестановочные соотношения вида (2.4), и кроме того, заданы перестановочные соотношения между операторами из различных наборов:
Здесь матрицы Ч и М- / , вообще говоря, совершенно различны .
В случае нетривиальности матрицы Мц1 мы будем употреблять следующий термин: набор операторов /ft] f вовлечен в матричные перестановочные соотношения относительно набора операторов ! (Г г . Аналогичный термин для набора [Ьы1 ш будем употреблять и в случае нетривиальности oW
Далее, заметим, что в рассматриваемом случае матрица Mfa id, задающая самый общий вид перестановочных соотношений в (2.5), факторизована: MU ,i = Л U OL Если М і & не можетбыть факторизована в указанном виде, то весь набор ІСГ- ,6 f мы будем называть самововлеченным в матричные перестановочные соотношения.
Для того, чтобы показать алгебраическую непротиворечивость всей совокупности заданных в данном параграфе перестановочных соотношений, достаточно, очевидно, показать, что коммутатор любого из операторов рассматриваемой системы с левой частью любого из тождественных соотношений совпадает с коммутатором его с правой частью того лее соотношения.
Теперь легко видеть, что третье соотношение в (2.4) также будет совместно с (2.6) при условии выполнения (2.8).
Совершенно аналогично можно провести рассмотрения совместности (2.6) с тождественными соотношениями типа (2.4) для операторов [Ь j , и условие совместности будет аналогичным условию (2,8).
Если же отказаться, например, от нетривиальности матрицы Иц , то (2.7) уже не будет задавать условия на рц и Ф;к , а выполниться тождественно, и все последущие рассуждения останутся справедливыми.
В данном случае обобщение на случай системы с непрерывно изменяющимся набором степеней свободы вполне очевидно, поскольку матричная структура перестановочных соотношений, согласно (2.2), связана именно с дискретными, а не непрерывными наборами индексов. Ясно, что случай, рассмотренный нами в данном параграфе, после перехода к непрерывному пределу будет соответствовать рассмотрению двух различных физических полей, хотя бы одно из которых должно быть многокомпонентным.
Коммутаторы полевых функций в случае обобщенных билинейных перестановочных соотношений
Вычисления, аналогичные вышеприведенным для действительного скалярного поля, показывают, что V (р) и (р) имеют здесь смысл операторов рождения и уничтожения частицы с 4-импулъсом р11 и зарядом + 1 , а операторы р+(р) и р"(р) операторов рождения и уничтожения частицы с 4-импульсом рк и зарядом - 1 .
Подобные же вычисления можно провести и для любого другого поля, всякий раз конкретизируя вид обобщенных перестановочных соотношений (3.1). Отметим, что для любого действительного ПОЛЯ обобщенные перестановочные соотношения , рассматриваемые в данной главе, будут в принципе однотипны с (3.4).. Для остальных полей вид перестановочных соотношений будет аналогичен (3.14), учитывать необходимо лишь знаки в правой части соотношений для спинорных полей, в соответствии с (3.1). При этом для многокомпонентных полей аналогишше рассуждения мозшо провести и для оператора спина и его проекции на направление импульса частицы, определенных с помощью принципа соответствия обычным образом.
Итак, мы приходим к выводу о том, что операторы рождения-уничтожения, удовлетворяющие тождественным соотношениям, ШЛЄКЩЙМ вид (3.1), являются по физическому смыслу операторами рождения и уничтожения частиц (античастиц) поля, обладающих определенным 4-импулъсом, зарядом и поляризацией.
Теперь, основываясь на результатах данного параграфа, мы мсшем утверждать, что условие спектральности в данном случае также будет выполнено, то есть, будет справедливо соотношение если 4-вектор р не принадлежит физическому спектру, то есть, если рг О . Здесь V(о.) оператор конечных трансляций на 4-вектор а , являющийся элементом унитарного представления группы трансляций пространства-времени, / и /у? - векторы, описыващие некоторые физически допустимые состояния полевой системы.
Действительно, в силу сказанного выше об операторе энергии л импульса р , построенном на рассматриваемых обобщенных операторах рождения-уничтожения и на основе принципа соответствия 1.4, он является генератором группы трансляций, и, следовательно, оператор 1/(я) представим в виде
Предположим теперь для упрощения выкладок, что векторы состояния 1 - и jp описывают состояния с фиксированным числом частиц, обладающих 4-импульсами ( р р / \ , используя явный вид оператора и свойство (3.10), получил:
Но все 4-ипульсы ptg ,1=4,..., к , принадлежат физическому спектру, поэтому ясно, что р не монет быть равно ZlPtfi » если 92 О , следовательно, правая часть последнего соотношения равна в этом случае пулю, что и требовалось доказать.
Заметим, что предположения, сделанные относительно векторов состояния jot и !р , не нарушают общности рассмотрения, поскольку, в силу (3.10), эти векторы являются собственными век-торами оператора энергии-импульса Р , а совокупность всех собственных векторов указанного оператора образует полный набор в пространстве состояний.
Применение матричньсс перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия
Естественно, что в случае ff=0 , j = і»2 , оператор есть просто единица. Тагам образом, условия (3.53), (3.58) оказываются достаточными для выполнения (3.37), а значит, лагранжиан вида (3.36) удовлетворяет в этом случае всем условиям, налагаемым на него основными физическими требованиями к иатрице рассеяния, указанными выше.
Отметим, что после непринципиальных изменений приведенные здесь рассуждения могут быть использованы при рассмотрении лагранжианов взаимодействия любых других полей, и вывод о возможности квантования действительного векторного поля только по Бозе-Эйнштейну при выполнении принципа причинности в формулировке (3.28) оказывается справедливым, как это видно из структуры доказательства, для любого действительного поля, для всех же других полей на наборы функций ( Ф } » определяющих тождественные соотношения, накладываются условия, аналогичные сформулированным в данном параграфе.
Необходимо отметить, что в целом ряде физически интересных случаев для упрощения конкретных расчетов наиболее целесообразным представляется рассматривать перестановочные соотношения вида (3.53), полагая fj О . При этом выполнение условия (3.56) очевидно, и тогда из (3.53) следует, что коммутаторы любых эрмитовых комбинаций функций рассматриваемых полей совпадают с теми же коммутаторами, вычисленными с применением соотношений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна (здесь, естественно, предполагается, что если указанные комбинации есть суммы некоторых членов, то все члены также эрмитовы).
Важно также указать следующее обстоятельство: условия типа (3.52) и (3.58), обеспечивающие выполнение принципа причинности для матрицы рассеяния в случае применения Ф -коммутационных соотношений имеют соответствующие аналоги и в случае использования матричных перестановочных соотношений, что видно из сравнения (2.15) и (2.18). При этом с формальной точки зрения функции (3.52), (3.53), (3.58) следует заменить на эрмитовы линейные операторы, которые действуют в пространстве поляризационных (спиновых) состояний, и сами эти соотношения в этом случае получаются способом, совершенно аналогичным вышеприведенному для Ф -коммутационных соотношений , поэтому специального рассмотрения этого случая перестановочных соотношений в рамках данного параграфа не требуется.
Следует лишь отметить, что в силу соотношений, аналогичных (3.53) и (3.58), поле І//ц( ) не может быть самововлеченным в матричные перестановочные соотношения, поскольку это противоречило бы принципу причинности (микропричинности) (3.28)
Из результатов, полученных в предыдущем параграфе непосред-свенно следует, что для выполнения принципа микропричинности в квантовой теории взаимодействующих полей требование локальной кої.шутативности полевых операторов, являясь достаточншл, не является необходимым.
Похожие диссертации на Билинейные обобщения перестановочных соотношений в квантовой теории поля
