Содержание к диссертации
Введение
Глава I: Некоммутативные теории поля 5
1 Введение 5
2 Теория Возмущений 8
3 Правила Фейнмана 9
4 Одна петля в скалярной теории 10
5 КЭД 14
6 Правила Фейнмана для НКЭД и неабелевьтй случай 16
7 Двухпетлевые операторы в НКТП 18
.8 Операторы с фотонами 19
.9 Двухпетлевой вклад в фермиоппый лагранжиан 21
.10 НКТП и Эксперимент. 27
Глава II: Бариогенезис в плоских направлениях, температурные эффекты, и Q-материя 31
1 Введение 31
2 Основные Элементы АД бариогенезиса 35
2.1 Плоские направления 36
2.2 Дополнительный вклад в потенциал, возникающий в ранней Вселенной 37
2.3 Нарушение суперсимметрии в ранней Вселенной 38
2.4 Эволюция АД конденсата 40
3 Эволюция АД конденсата в присутствии температурных эффектов . 42
3.1 Основные факты 42
3.2 Температурные эффекты 43
3.3 А-члеиы 46
3.4 Барнонная асимметрия; оценка и численные результаты 47
Q-объскты 52
4.1 Простейшая модель 52
4.2 Образование (5-объектов 55
4.3 Q-юбъекты как форма АД-конденсата . 56
4.4 Время жизни Q-объектов 58
4.5 Образование Q-обьектоті в МССМ 59
.5 Заключение 61
Глава III: Нарушение суперсимметрии в мире с D-бранами 63
.1 Введение 63
.2 Нарушение суперсимметрии в мире с бранами 65
.3 Структура потенциала Калера к лидирующем приближении 68
.4 Следующий порядок теории возмущений 73
5 Заключение 77
- Одна петля в скалярной теории
- Двухпетлевой вклад в фермиоппый лагранжиан
- Дополнительный вклад в потенциал, возникающий в ранней Вселенной
- Структура потенциала Калера к лидирующем приближении
Введение к работе
Начиная с работы Шнайдера (1947) несколькими авторами было осознано, что обычная квантовая теория поля может быть легко модифицирована если взять нскоммутируго-щие пространственные координатные переменные. Стартуя с обычного лагранжиана и интерпретируя поля как зависящие от некоммутативных координат, удовлетворяющими условию [х , xv\ гв , где в , антисимметричный тензор размерности (длина)2, можно пользоваться методом теорией возмущений квантовой теории поля (КТП) с незначительными изменениями, определяя таким образом большой класс так называемых некоммутативных теорий поля. До недавнего времени такие теории не рассматривались серьезно из-за их нелокального характера и Лоренц-неинвариантности. Теория определенная на некоммутирующем пространстве, может быть эффективно локальной на расстояниях много больших чем #, что вполне допустимо. Гораздо труднее себе представить, что нарушение Лоренц-инвариантности будет ненаблюдаемым на таких расстояниях.
Однако некоммутативность может быть постулирована по ряду причин. Возможно самая прозрачная причина это то, что это может улучшить перенормировочные свойства теории на малых расстояниях или даже сделать ее конечной. Нужно конечно отметить, что это не очевидно артіоті и некоммутативная теория может вполне вести себя также и даже хуже, чем обычная теория. Еще одна мотивация связана с тем, что на планков-ских масштабах пространство-время должно сильно менять свое поведение. Возникает вопрос возможно ли это как-Еіибудь смоделировать используя некоммутативную геометрию пространства?
Возможно наиболее сильная мотивация однако связана с тем фактом, что теория струн не является локальной ни в каком смысле, как теперь хорошо понятно. В недавней работе Зайберга и Виттена [1] такая НКТП появляется как низко энергетический предел теории струн в определенных частях пространства модулей. Некоммутативная портурба-тивная динамика НКТП обсуждалась в дальнейшем в [2. После этого несколько авторов [3, [4], [5, б], [7, [8] поставили вопрос о том, может ли такая пекоммутативность играть роль в физике, и в частности можно ли обнаружить ее на доступных сейчас энергиях.
В этой главе мы рассмотрим формализм теории возмущений в НКТП и рассмотрим операторы, которые возникают, в дополнение к стандартным операторам в коммутативном случае, а также ограничения на НКТП, которые следуют из наличия этих новых операторов и различных экспериментальных данных. Соответствующие правила Фей-нмана для скалярной теории, КЭД, а также неабелевых теорий были получены в [4], [8].
UV/IR перемешивание рассмотренное в [2] и [5 и исследованное более подробно в [б] и [7] по-видимому является главным качественным отличием между обычной и некоммутативной теориями возмущений. Вопрос о том, нарушает ли это свойства иеренорми-руемости теории или ведет к каким либо другим несоответствиям, не решен до конца. С другой стороны большая часть общей картины уже понятна, как это подчеркнуто в [9]. В основном, осторожность нужно проявлять из-за того, что нельзя слепо полагать, что общие методы перенормировок, которые лежат в основе большей части всего того, что мы знаем об обычных КТП, могут быть применены и здесь. IR/UV связь не является свойством теории возмущений в обычных КТП. Но и нельзя сказать заранее, что ТВ очевидно неприменима. Скорее необходимо быть осторожным, например, при вычислении высших порядков ТВ.
Естественно спросить, играет ли некоммутативная геометрия роль в четырехмерной физике. Прямыми вычислениями в различных моделях мы покажем, что квантовые эффекты ведут к нарушению Лоренц инвариантности на уровне операторов размерности три и четыре. В литературе можно найти вычисления, которые уже были проделаны на древесном и одно-петлевом уровнях. Полученные ограничения на НКТП очень серьезны [10]. Есть все причины полагать, что двух-петлевые вычислении налагают более существенные ограничения на НКТП. Последние две главы будут посвящены некоторым двух-петлевым операторам в НКТП. В Приложении можно найти правила Фейимана в общем случае не абелевой теории.
Одна петля в скалярной теории
Для любой некоммутативной теории квадратичная по полям часть действия та же, что и в коммутативной теории, так как f (ІАхф ф= f іАхфф (.3.1) J ІЇх дф дф = f ёхдфдф (ми опустили полные производные предполагая подходящие граничные условия на ф). Таким образом, пропагаторы имеют обычную форму, как и в коммутативной теории. Взаимодействия же будут модифицированы.
Рассмотрим, например, древесную диаграмму с тремя входящими линиями с импульсами к\, кї and &з- Закон сохранения импульса дает кх + к2 + к3 - 0. (.3.2)
Произведение фаз, однако, пе равно единице, и, используя (.3.2) получаем дополнительный вклад к обычному интегралу, что ведет к множителю р-гкілЬг Б соответствующем правиле Фейнмана (мы ввели новое обозначение к\ /\к-2 — к\ в1и/кчи). В более общем случае мы можем рассмотреть полиномиальное взаимодействие (возможно с производными) и 5 n /n-Vn, (-3.3) где степени константы связи g введены для удобства, коэффициенты ап являются про извольными, а произведения ф являются -произведениями. В импульсном пространстве вершина фп имеет дополнительную фазу по сравнению с коммутативной теорией V(kuk2...,kn)=e- Jk , (.3.4) где ki - момент, текущий в вершину через ф{. Это все, что модифицирует правила Фейн-мана. V не инвариантен относительно произвольной перестановки kj и по этому необходимо учитывать порядок линий, идущих в и из вершины. Используя закон сохранения импульса легко видеть, что V(k\,...kn) инвариантен относительно циклических перестановок kj. .4 Одна петля в скалярной теории В этом разделе мы приведем вычисление однопетленых планарлых и непланарных диаграмм. Начнем с фл теории в четырех измерениях с Евклидовым действием S = J dAx{ {d f + \m + д2ф ф ф ф). (.4.1) Рассмотрим однопетлсвую (1П) двухточечную функцию, которая в низшем порядке просто обратный пропагатор, if = р2 + т2. (.4.2) В некоммутативной теории к выражению (.4.2) есть 1П поправки от двух диаграмм, планарной и непланарной. Две, идентичные в пределе 0 = 0, диаграммы дают Г(2) - v\. Ґ - d4k (.4.3) тЧ2) — я2 f rf4 „йлр
Индекс p используется для обозначения вкладов от планарных диаграмм (planar), соответственно пр - для неплапарных (nonplanar). Планарная диаграмма пропорциональна 1П поправке к массе в коммутативной теории, и квадратично расходится при высоких энергиях. Для того, чтобы увидеть эффект от фазового множителя во втором интеграле мы перепишем выражения для обоих интегралов через параметр Швингера а: __ = Уо A W,. (.4.4) Интегралы по к теперь имеют гауссовскую форму, вычисляя которые получаем Г(2 — в2 f dae aw? 1 1 Р — 48тг J а Є (.4.5) где мы ввели обозначение р о q = -pptiLq,, = \Pp9 q„\ (.4.6) (заметим, что pop имеет размерность длины в квадрате) Для того, чтобы регуляризовать небольшую расходимость по а в этих интегралах, мы умножим их на ехр(—l/(A2cv)). После этого получим (.4.7) Г(2) _ _!_ Г А -от - L lnp — У(5тг2 J а2 с . Вычисляя интегралы, получаем Гїї=4&(Л2-т21п(;Й+0(1)) (.4.8) гСЛ, = 5&№/- m2ln( ) + O(l)), где Л = jo ! і Мы видим, что возникает интересный эффект. При Л — оо есть обычная квадратичная расходимость планарной диаграммы. Однако в этом пределе Леуу — —- является конечной при ненулевом значении р о р. С другой стороны, если Р стремится к пулю, нспланарная диаграмма опять расходится. Но это но ультрафиолетовая расходимость, а инфракрасная.
КТП на некоммутативных пространствах пс обладает тем свойством, что ультрафиолетовое и инфракрасное поведение теории независимы, что является основанием для обычной перенормировки. Вклад от высоких энергий влияет на поведение па больших расстояниях. Например, при рассояиии частицы с импульсом Р на покоящейся мишени, амплитуда рассеяния размазывается в пространстве на расстояниях \&Р\. Также существует довольно странный эффект при вычислении фейнмановского петлевого интеграла. А именно, когда частица с импульсом Р циркулирует в петле, она может индуцировать эффект на расстояниях \0Р\. Это дало бы начало далыюдействующим силам, которых нет в классической теории. Авторы [5] называют этот эффект "аномалией", хотя подчеркивают, что это не является сигналом того, что теория несостоятельна, а просто указывает на то, что наивные ожидания неверны. Эти аномалии связаны с неаналитическим поведением параметра некоммутативности 9.
Двухпетлевой вклад в фермиоппый лагранжиан
Здесь важно, что ф - дираковский фермион, иначе коэффициент оператора 0\ был бы равен нулю 2. Фейнмаповские правила приведены в Приложении. Для изучения оператора 0\, рассмотрим собственную энергию фермиона вычисленную на массовой поверхности. В одной петле существует одна (планарная) диаграмма, которая не зависит от 9. Однако в двух петлях есть пеплапарпая диаграмма, которая нетривиально зависит от в. В пределе вА2 -С 1 можно разложить интеграл по соответствующим степеням в. Есть вклад, пропорциональный а , квадратично расходится 3: dAk _d4_ (2тг)4 f"f k\k+ ) {) /d к ui, і Упрощая, получаем: Чтобы вычислить интеграл проще скомбинировать первые два члена, используя фейн-2 Это связано с тем, что вершина содержит cos(p;Ap/) для майораповского фермиона, в то время как для дираковского в вершине стоит экспонента соответствующего аргумента. 3С этого момента мы не будем различать оператор Ох и такие операторы как 6 " фаГІ„ВІІ }І ф, так как они эквивалентны если использовать уравнения движения. Здесь мы хотим сосредоточится на вычислениях на массовой поверхности. мановский параметр. Тогда получаем г)" [к2 + 4(1 - х)]Ч Теперь берем интеграл по А:, оставляя (.9.5) т 1 в о 2тг2 (16тг2)2 F Вводя простое обрезание по импульсам Л2 на І2, получаем е//=\тА2(-Л Л в фа ф. (.9.6)
Главный результат здесь, что коэффициент при операторе не нулевой и, с точностью до множителей порядка единицы, именно такой, который наивно можно было бы ожидать из соображений размерности.
В пределе 9 А2 3 1, также легко можно получить лидирующий вклад в интеграл. В этом случае необходимо учитывать полный экспоненциальный фактор еіклі. Однако во многом вычисление проще. Нужно вычислить интеграл
Несмотря на то, что из простого степенного анализа этот интеграл одновременно UV и IR расходящийся, зависимость от 0 конечна. Чтобы это увидеть, сначала регуляризуем инфракрасную расходимость временно вводи обрезание на малых энергиях. Затем разложим экспоненциальный множитель по степеням в. Лидирующий член не зависит от в и расходится. Однако интегралы при соответствующих степенях 9 сходятся благодаря дополнительным степеням импульса. Для этих членов обрезание можно удалить. В ультрафиолетовой области фазовый множитель смягчает логарифмическую расходимость, и , снова, зависимость от в конечна.
Интеграл (-9.7) интересен тем, что он не зависит от общей шкалы 8 . Чтобы это увидеть, напишем 6 = вЬ ш где Ь - матрица чисел, описывающих ориентацию 8 относительно фиксированной координатной системы. Переопределением импульсов в интеграле зависимость от в молено убрать. Отмстим то, что наш результат в пределе высоких энергий зависит только от направления Gfil, но не от его величины.
Теперь вычисляя интеграл примерно таким же образом, как и ранее, можно получить явное выражение всего в несколько строк. Вначале упростим интеграл выбирая плоскость в которой мы имеем некоммутативность, например, Х\,х2. Потом вводим фейнма-новский параметр для первых двух множителей в знаменателе. Затем обычным способом делаем сдвиг по к и получаем AimJ [к + Рх{і-х)]
Несмотря па сдвиг, знаменатель имеет тот же вид, что и раньше, так как и и в антисимметричны. Интегралы, которые содержат компоненты а , но не стіг, зануляются, и интеграл сводится к выражению
Теперь можно переопределить , чтобы избавиться от х(х — 1) в знаменателе и скомби нировать два оставшихся множителя, введя еще один параметр Фейнмана. Тогда можно проинтегрировать но к и і параметрам в 0,3 направлениях. Вводя швингеровский параметр, чтобы экспоненциировать оставшийся числитель, можно последовательно проинтегрировать но компонентам 1 и 2. Все рассмотренные интегралы являются элементарными, и в результате имеем 4 ( а2 \2 ттв — ЭТИ результаты можно леїко распространить на U{\) и U(N) калибровочные теории содержащие материю в фундаментальном представлении. В случае 7(1) теории, есть две двухпетлевые диаграммы 4. Можно показать, что обе диаграммы дают один и тот же вклад в обоих пределах.
В случае калибровочной U(N) теории имеются опять две диаграммы. Результат не зависит от JV, так что U(N) и U(l) теории дают оператор с одним и тем же коэффициентом. В пределе 9А2 «С 1 эффективный лагранжиан для амплитуды на массовой поверхности имеет вид „ тЛ ОУ В фа ф, (.9.11) где генератор U(X) огнормироваи па 1/2. В пределе в А2 3 1 этот лагранжиан равен
Дополнительный вклад в потенциал, возникающий в ранней Вселенной
В первой части мы представим детально классическую картину АД бариогенезиса [22] и его основные особенности.
В суперсимметричных теориях существует множество, так называемых, "плоских направлений", т.е. направлений в пространстве полей, вдоль которых потенциал зануля-ется. Это происходит, когда F и D члены одновременно обращаются в ноль. Такие направления появляются во многих суперсимметричных теориях, и, в частности, присутствуют в МССМ,15 где их насчитывается 37 [23]. Наличие таких плоских направлений на перенормируемом уровне может иметь важные последствия. Представим себе, что есть иеперенормируемые члены со шкалы гравитации или ТВО шкалы. Также могут быть добавки к потенциалу на ранней стадии Вселенной благодаря нарушению суперсимметрии. С другой стороны, известно, что существует барионная асимметрия, наблюдаемая во Вселенной, без каких либо очевидных причин. Условия, необходимые для возникновения такой асимметрии, были сформулированы в давней работе А.Д.Сахарова7. Первая часть будет посвящена обсуждению модели, в которой все эти условия выполняются, и возникает реалистичная картина, приводящая к разумным значениям отношения бари-онной плотности к плотности излучения (энтропии). Эта модель впервые была предложена Я.Аффлеком и М.Дайном в 1985 и мы будем ссылаться на нее как на "бариогенезис Аффлека-Дайна в плоских направлениях". Эта модель была разработана более детально в [23].
В настоящий момент известно, что значение Q h2 равно 0.019 ± 0.002 нз данных по нуклеосинтезу и 0.031 і 0.005 из данных коллаборации BOOMERANG[24j. Это дает пв/п-у 5-1 х Ю-э и пв/пу у 8.3 х Ю-9 соответственно. Эти результаты являются серьезным аргументом в пользу АД бармогенезиса, также как и хорошей проверкой ее состоятельности. Поэтому основной целью первой части будет ознакомить читателя с основными положениями АД барио генезиса. Далее мы рассмотрим более сложные модели, которые, однако, являются близкими по сути к классической АД картине.
Во второй части мы рассмотрим влияние эффектов, связанных с температурой, на классическую картину. Недавно было подмечено, что благодаря тому, что АД-конденсат существует на фоне продуктов распада инфлатопа, которые дают вклады, зависящие от температуры, что может привести к изменению классической картины. Например, известно, что поля взаимодействующие с полями плоских направлений приобретают массы, пропорциональные вакуумному среднему плоского направления. Если эти массы достаточно малы, то такие поля могут прийти к температурному равновесию с про дуктами распада инфлатона. В этом случае плоское направление начнет осцилировать раньше, чем полагалось до этого, так как оно приобретает эффективно массу у2Т 2, которая уменьшается со временем как l/t. Поскольку —Н2 падает со временем быстрее, разность у2Т2 — И2 в конце концов становится положительной величиной. Как правило, это происходит раньше, чем при t т \2. Также утверждалось, что главным источником для бариошюй асимметрии в этом случае являются А-члены, пропорциональные температуре Т. В [26] было однако показано, что такие Л-члены в основном подавлены симметриями, так что пет температурного усиления Л-членов. Существует другой дополнительный источник Л-члепов, который может быть достаточно эффективным в определенных случаях.
Мы покажем, что существует еіце один вклад в потенциал, индуцированный конечной температурой, а именно, T4log(0a). В некоторых случаях, которые мы рассмотрим ниже, этот член определяет время начала осцилляции, доминируя над у2Т2 членом найденным в [25].
Ниже мы детально проанализируем пространство параметров модели и область возможных значений отношения по/п7. В пашей модели эти параметры - юкавская константа связи, калибровочная константа, относительная фаза Л-членов, коэффициент при А-членах, и, наконец, размерность нсперенормируемой добавки в потенциал 02"+4/Л4?л или, проще, значения п.
В случае п = 1 мы покажем, что возникающая асимметрия Пв/п7 недостаточно ве лика, но в случаях п = 2, 3 можно легко получить разумное значение для большого диапазона рассматриваемых параметров.
Для простоты мы будем полагать, что отношение массы инфлатона То/ к уменьшенной планковской массе Мщ = Мрі/у/Ет: порядка Ю-5, т.е. тпг 1013Gev8 и М„ « 1018Gev. От значения nij и М зависит оценка TR9 а также оценка величины членов, нарушающих барионпое число, и, следовательно отношение пъ/п .
Третья часть будет посвящена образованию Q-материи (Q-balls) и ее влиянию па механизм АД бариогепезиса. Возможность существования петопологических солитонов была показана в [28[ and [29]. Однако мы качнем обсуждение с еще более ранней работы Сидни Кулмаиа [30]. Б МССМ существуют объекты, чье поведение очень близко к тем объектам, которые обсуждаются в модели Кулмаиа.
Существует небольшая разница между Q-объектами10, описанными Кулманом и точным численным решением, полученным в МССМ в [31]. Мы обсудим условия стабильности Q-объектов, следуя работам [31], [32], [33] и покажем как они могут влиять на эволюцию АД-конденсата. Очевидно, что если АД-конденсат эволюционирует, в конце концов, в ансамбль таких объектов, то картина бариогенезиса сильно меняется.
Структура потенциала Калера к лидирующем приближении
Для возникновения барионной асимметрии нам нужны члены, нарушающие СР симметрию, члены, которые поднимают плоские направления, и члены нарушающие суперсимметрию в ранней Вселенной, дающие отрицательный массовый член, пропорциональный II2, где //-постоянная Хаббла.
На перспормируемом уровне, как уже говорилось, в МССМ существует несколько плоских направлений. Простейшим примером является плоское направление HUL. Эти плоские направления могут быть приподняты иеперенормируемыми членами, которые, например, связаны с плапковской шкалой, т.е. подавлены степенями Л/ 14. В этом случае, в результате балансирования между мягкими членами, возникающими при нарушении суперсимметрии, и иеперенормируемыми членами поле приобретает большое вакуумное среднее, которое ведет себя степенным по t образом. В конце концов, отрицательный 11 Под ЛГ. мы обозначим уменьшенную планковскую массу, М, = 1018Gev. массовый член, который падает со временем как l/t2, становится сравнимым с членом mg/2 и скалярное иоле начинает осцилировать. В этот момент барионный.(лептонный) заряд, который генерируется моментом, возникающим из-за разности фаз А-членов и их разной зависимости от времени, "замораживается" на каком-то значении. Члены, поднимающие плоское направление, имеют форму 2—. Мы будем рассматривать п = 1, 2,3 и будем ссылаться на них как п = 1,2, 3 случаи. Можно проделать простые вычисления, чтобы получить оценку отношения пв/п7. Например, в случае п — 1 case, пв/пу порядка (тпз/2/M+y sm ) i-v 10_8sin(). 15 Основным вопросом теперь является как классическая картина изменится при включении температурных эффектов.
Как было показано в [25] и [26] есть два типа зависящих от температуры вкладов в потенциал. Первый возникает благодаря следующему механизму. Рассмотрим некоторое поле X, которое взаимодействует с плоским направлением via суперпотепциал W уххФ а также взаимодействует с горячей плазмой, возникшей в результате инфлатона. Поле х очевидно приобретает массу mx = уф из-за взаимодействия с плоским направлением. Это легко видеть, так как у2(х2[ 2- Если эта масса меньше чем температура продуктов распада инфлатона, эхо поле приходит в состояние термодинамического равновесия, и дает эффективную, зависящую от температуры массу плоскому направлению, 15 Под 5 мы обозначим СР-нарушающую фазу. mx = yT.
Можно сделать оценку, чтобы увидеть, когда этот эффект важен. Рассмотрим случай п = 1. Так как Т = {HYdMl) и ф = (ЯМ,)1/г, условие уф Т ведет к Т2 Htherm Щ , (-3.1) где Я"(/,егт-значение постоянной Хаббла, когда устанавливается термодинамическое равновесие для поля х- Беря М 1018Gev и TR = 1010Gev получаем: И (—)41010Gev. (.3.2) У
С другой стороны, если ф приобретает массу, зависящую от температуры, осцилляции начинаются при уТ Н, что дает Нж уЧ 1% МФ = ( )4/31010Gev. (.3.3)
Для того, чтобы этот температурный эффект был важен, осцилляции должны начаться после того как поле х приходит к термодинамическому равновесию, так что H0SC/HtheTm 1, что требует у 0.01. При условии, что у достаточно мало, вклад у2Т2\ф\2 должен быть включен в потенциал. Это влияет на время начала осцилляции ноля ф.
Похожие диссертации на Некоторые вопросы квантовой теории поля
