Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Плосковолнобые решения уравнений янга-мшшса. постоянные потенциалы и проблема их устойчивости 17
1. Точные решения уравнений Янга-Миллса с током 18
2. Решение уравнений Янга-Миллса в мнимом времени 28
3. Стабильность постоянных калибровочных полей 31
ГЛАВА II. Нестабильность вакуума в неабелевои теории поля. квазиклассическое описание 39
4. Метод мнимого времени. Действие и уравнения движения классической частицы с изоспином 40
5. Нестабильность вакуума во внешних калибровочных полях, заданных линейными потенциалами 52
6. Неустойчивость вакуума в теории Янга-Миллса во внешнем хромоэлектрическом поле, заданном постоянными потенциалами 60
ГЛАВА III. Поляризация модельного непертуреативного вакуума в кхд. скалярные частицы 69
7. Температурный эффективный лагранжиан 72
8. Эффективный однопетлевой лагранжиан скалярных изоспинорных частиц 78
9. Поляризация вакуума в теории Янга-Миллса во внешних хромомагнитных полях за счет петли скал ярных изовекторных частиц 88
ГЛАВА ІV. Поляризация модельного непертуреативного вакуума в кхд. кварковый сектор . 92
10. Температзгрный эффективный лагранжиан кварков 92
11. Энергетический спектр кварка в симметричном хромомагнитном поле 97
12. Кварковый в плотность энергии непертурбативного основного состояния КХД 105
Заключение
Литература
- Решение уравнений Янга-Миллса в мнимом времени
- Нестабильность вакуума во внешних калибровочных полях, заданных линейными потенциалами
- Эффективный однопетлевой лагранжиан скалярных изоспинорных частиц
- Энергетический спектр кварка в симметричном хромомагнитном поле
Введение к работе
Квантовая теория калибровочных полей занимает доминирующее положение в физике элементарных частиц. С ней связаны надежды объединения всех фундаментальных взаимодействий в природе: описания гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий элементарных частиц в рамках единой теории.
Основой этих теорий служит принцип локальной калибровочной инвариантности взаимодействий относительно той или иной группы симметрии. Хорошо изученным примером квантовой калибровочной теории поля является квантовая электродинамика [і-з], в рамках которой была разработана теория возмущений, позволяющая вычислять процессы с участием электронов, позитронов и фотонов с любой степенью точности. Электромагнитное поле оказалось калибровочным полем принимающим значения в алгебре Ли абелевой группы U (1) , а уравнения Максвелла - уравнениями движения абелевого калибровочного поля [4].
Другое важное направление в развитии физики элементарных частиц охватывает сферу сильных взаимодействий и воплотилось в квантовой хромо динамике / КХД / [9], описывающей взаимодействие цветных кварков посредством обмена октетом векторных частиц - глюонов. Эта теория основана на точной локальной калибровочной цветовой группе о (J (з) и объясняет целый ряд экспериментов физики. Сюда, в первую очередь, следует отнести масштабную инвариантность сечения глубоко неупругих реакций. Причиной этому явилась асимптотическая свобода теории, т. е. уменьшение постоянной взаимодействия с увеличением величины переданного импульса. Это свойство КХД обеспечивает возможность применения теории возмущений для вычисления характеристик адронных реакций в области высоких энергий [ТО]. В КХД было предсказано образование, при высоких энергиях сталкивающихся Є Є - пучков, кварк-антикварковой пары и глюона, которые потом фрагментируются в адроны. Экспериментальное наблюдение этого процесса - трехструнных событий является одним из наиболее впечатляющих успехов КХД. Полученные из этих опытов данные говорят о том, что глюоны являются векторными частицами, что находится в согласии с КХД.
Адронная физика в области низких энергий, малых переданных импульсов, где асимптотическая свобода теряет силу и поэтому нельзя пользоваться теорией возмущений, представляет собой пока нерешенную проблему. Следует добавить, что в природе в свободном состоянии наблюдаются только "белые" адроны, т.е. цвет, как квантовое число кварков является ненаблюдаемым. Этот экспериментальный факт формулируется как свойство невылетания или "конфайнмента" кварков. Несмотря на многочисленные попытки, до сих пор не удалось вывести конфайнмент из общих принципов теории поля.
В последнее время интенсивно разрабатываются различные модели теории великого объединения / ТВО / и теорий, основанных на принципе суперсимметрии [II, 12] . Модели великого объединения претендуют на единое описание сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий и опираются на калибровочные группы, содер-жающие в себе стандартную $ (Дз)х§ (J (2) \J (і) модель. При таком подходе электрический заряд оказывается квантованным, при высоких энергиях все три взаимодействия описываются единой константой связи и т.д. К числу недостатков теории следует отнести рост числа промежуточных бозонов, хиггсовских скаляров. Теории великого объединения предсказывают нестабильность протона, возникающую из самого принципа объединения кварков и лептонов . в единый фермионный мультиплет калибровочной группы, объясняют барионную асимметрию Вселенной.
Многообещающими являются попытки включения гравитационного взаимодействия в общую схему калибровочных полей. Такие модели основываются на принципе локальной суперсимметрии и получили название супергравитации [12]. Суперсимметричные модели теории поля, супергравитация в частности, привлекательны тем, что в их рамках сокращаются характерные для квантовой теории поля расходимости.
Выше было отмечено, что поля Янга-Миллса характеризуются самодействием. Нелинейный характер уравнений Янга-Миллса приводит к многочисленным явлениям, которые выходят за рамки традиционной теории возмущений и требуют для своего объяснения разработку новых методов исследования, новых взглядов. Одним из важных и неожиданных свойств неабелевой калибровочной теории оказался топологически сложный характер ее вакуума. На это указали работы [13,14] , где была построена концепция топологически нетривиального вакуума. Оказалось, что он является суперпозицией вакуумных секторов с различными значениями топологического заряда Ц , именно 0/ =2 в \v\) » причем случай П = 0 со-ответствует пертурбативному вакууму. Толчком для этих работ послужило открытие инстантонных решений уравнений Янга-Миллса [15,16], так как они не только суть вакуумные флуктуации калибровочного поля с нулевой энергией, но и решения с топологическим зарядом и со свойством квантомеханического туннелирования между вакуумными секторами с различным значением VI . Инстан-тон обладает единичным топологическим зарядом, является несингулярным, самодуальным решением уравнений поля в евклидовом пространстве. Он связывает сектора \У\) И (И + 1 . Найденные позже в явном виде многоинстантонные решения [17] со значением топологического заряда, равным числу инстантонов Л/ , описывают процесс туннелирования из In) в п+Л/) . Таким образом, инстантоны снимают вырождение вакуума. Обсуждение проблемы туннелирования с точки зрения пространства Минковского можно найти в [18].
Сложная структура основного состояния теории существенно влияет на физические процессы и приводит к результатам, которые в принципе могут быть обнаружены экспериментально. В качестве примера следует указать на возможность нарушения законов сохранения барионного и лептонного чисел из-за инстантонов в теории электрослабого взаимодействия [19], что делает возможными реак-ции типа p + Y\- Q.+11, Амплитуды приведенных процессов в теории Байнберга-Салама малы. Однако, инстантонные эффекты в КХД могут быть значительными.
Известны меронные решения уравнений Янга-Миллса [20]. Мерены не самодуальны, сингулярны, их действие бесконечно. Они обладают топологическим зарядом і/2, . Оказалось, что мерон интерполирует между двумя вакуумными состояниями, одно из которых представляет собой обычный пертурбативный вакуум с нулевым топологическим зарядом, а другим является один из вакуумов Грибова с И = І у% [21] . Отметим, что туннелирование между вакуумами с И = V 2. и и = - і/% осуществляется инстантоном.
Повышенный интерес к инстантонам и меронам долгое время поддерживался надеждой доказать с их помощью конфайшлент [15,2. Предпринимались попытки [23] получить адронную структуру с помощью концепции наполненного инотантонами и меронными парами вакуума КХД. Согласно этим представлениям адрон является замкнутой системой / "мешком" / кварков и глюонов, внутри которой подавлены инстантонные и меронные эффекты. Стабилизация "мешка" достигается за счет осуществляемого внешним, по отношению к ад-рону, истинным основным состоянием КХД давлением. Однако, описанная картина является качественной, строго конфайнмент, как указывалось выше, не доказан. Тем"не менее, инстантонные и ме-ронные решения уравнений Янга-Миллса, вакуумы Грибова указали на богатую физическую структуру основного состояния в неабелевых калибровочных теориях поля, не охватываемую теорией возмущений. Они прояснили важность поисков новых решений классических уравнений движения, так как при квантовании теории они так или иначе проявляются в ее структуре. Б первом приближении ищутся решения классических уравнений, а квантовые эффекты учитываются квантованием найденных решений квазиклассическим методом [24] . • Смысл постоянных решений заключается в том, что они являются первым приближением к вакуумному среднему квантованных полей и часто сигнализируют о нарушении симметрии. Статичные решения при квантовании приводят к образованию нового вакуумного сектора, наполненного тяжелыми частицами - монополями. Монополи, например, в теориях великого объединения могут играть роль катализатора протонного распада [25]. Физическое значение решений в мнимом времени обсуждалось выше. Все сказанное подтверждает значимость для квантовой теории поля поиска новых решений классических уравнений, а также разработки новых или обобщения развитых в рамках КЭД методов исследования указанного круга проблем.
Сложная структура вакуума КХД не исчерпывается только его топологическими свойствами, она имеет и другой, не менее важный аспект. Им является наличие ненулевого глюонного и кваркового конденсатов в основном состоянии теории. Понимание этой ситуации возникло после работ [26, 27, 28], в которых в однопетлевом приближении был вычислен эффективный лагранжиан калибровочного поля во внешнем хромомагнитном поле, причем поляризация вакуума происходила за счет глюонной петли, т.е. за счет самодействия калибровочного поля. Оказалось, что взаимодействие глюонов с внешним полем указанного типа понижает энергию системы. Другими словами, состояние с ненулевым значением хромомагнитного поля является по отношению к вакууму теории возмущений энергетически более выгодгым. Поэтому однородное хромомагнитное поле, заданное линейно зависящими от координат потенциалами, выступает в роли "ферромагнитного" вакуума КХД. Это явление имеет своим аналогом бозе-конденсацию в теории конденсированных сред и механизм .Хиггса в квантовой теории поля [29] . Хорошо известно, что наличие ненулевого классического слагаемого в выражении оператора поля является признаком бозе-конденсации, а само слагаемое играет роль конденсатной волновой функции. Это же характерно и для механизма Хиггса, в котором ненулевое вакуумное значение скалярного поля сигнализирует о нарушении калибровочной симметрии рассматриваемой модели / теория Вайнберга-Салама, ТБО /. Применение теории возмущений около нового вакуума в моделях с хиггсовскими скалярами приводит к генерации масс промежуточных бозонов, кварков и т.д.
Точно так же можно считать, что квантовые флуктуации генерируют некоторые отличные от нуля характеристики вакуума /конденсат /, на фоне которых можно применять стандартную теорию возмущений. Наиболее простой реализацией глюонного конденсата является однородное, постоянное хромомагнитное поле. Изучение на его фоне различных процессов представляет большой интерес, так как приближенно учитывает непертурбативность основного состояния КХД, его влияние на адронную физику.
Однако "ферромагнитный" вакуум оказался нестабильным отно - II сительно глюонных флуктуации [30] , что послужило стимулом для его дальнейшего развития. Были предложены способы удаления найденных неустойчивостей, которые в конечном итоге привели к созданию картины "копенгагенского" вакуума [ЗІ-ЗЗ] . По этим представлениям вакуум КХД, для удаления нестабільностей разделяется на области - домены, внутри которых хромомагнитное поле направлено вдоль определенной оси или против нее. Образование доменной структуры понижает энергию основного состояния относительно "ферромагнитного" вакуума. Квантовые флуктуации самих доменов нарушая "кристаллическую" доменную структуру образуют квантовую жидкость / "спагетти"-вакуум /. Квантомеханическая суперпозиция хромомагнитного поля по всем направлениям в жидкостной модели завершает создание "копенгагенского" вакуума.
Очень важной является проблема согласования развиваемых моделей вакуума с экспериментальными данными адронной физики, или хотя бы, с успешными феноменологическими разработками, описывающими структуру адронов. Группа авторов [34, 35] рассматривая ад-рон в рамках модели мешков, предполагая существование внутри ад-рона пертурбативного,( а вне него "ферромагнитного" вакуумов, оценили разность энергий между первым и вторым. Полученный результат находится в удовлетворительном согласии с феноменологическим значением постоянной мешка.
Более плодотворным оказался развитый в [36] метод правил сумм, учитывающий в отсутствие полной теории КХД вакуума, информацию о структуре теории на больших расстояниях введением вакуумных средних глюонного и кваркового полей. Эти постоянные являются характеристиками основного состояния И с помощью правил сумм связаны с экспериментальными данными. Таким образом удалось вы - 12 числить некоторые характеристики адронного спектра, например, массы, лептонные ширины. Сравнивая выводы правил сумм с экспериментальными данными можно получить значения самих КХД парамат-ров. В частности, величина глюонного конденсата получается из анализа КХД правил сумм для кваркония, значение кваркового конденсата - из алгебры токов.
Из-за не абелевого характера калибровочной группы, в отличие от КЭД, для задания внешнего хромополя или глюонного конденсата открываются различные возможности [37]. Оно может быть реализо- . вано или зависящими линейно от координат потенциалами, или постоянными неабелевыми потенциалами. Первый из отмеченных методов оказывается неабелевым обобщением хорошо известной процедуры в КЭД. Второй способ, не шлея аналогов в КЭД, представляет особый интерес, так как даже на уровне классических уравнений получаются существенно отличные, по сравнению с линейными потенциалами, результаты [37] . Хромомагнитные поля, заданные постоянными потенциалами также являются хорошими претендентами на роль физического вакуума КХД: в однопетлевом приближении плотность энергии такого состояния отрицательна [38]. Однако изучение неабелевых постоянных потенциалов затруднено тем, что они не являются решениями свободных уравнений Янга-Миллса, требуют наличия в правой их части тока. Найти функциональную зависимость тока от потенциалов самого калибровочного поля и от кварковых волновых функций, исходя из общих принципов теории поля не удается. Дело в том, что в общем случае необходимо не только ввести ток кварков, но и найти дополнительное уравнение его взаимодействия с калибровочным полем, т.е. провести исследование самосогласованного, нелинейного взаимодействия калибровочного поля и кварков. Поэто -13-му приходится идти на некоторые упрощения, предполагать явный вид этого тока, считать, что он создается самим калибровочным полем и подбирать его из соображений аналогии между теорией конденсированных сред и теорией поля. Для этого можно использовать известные и введенные ранее для других целей лагранжианы.
Интенсивное изучение температурных явлений в неабелевых теориях началось с работы [зэ] , где было показано, что при определенной температуре происходит восстановление спонтанно нарушенной симметрии. Интерес -к данной тематике связан с возможностью существования при высоких температурах и плотностях фазового перехода адроны - кварк-глюонная плазма, что равносильно переходу конфайнмент - свободные кварки, глгаоны. Поэтому плазма свободных кварков, глюонов рассматривается как новое состояние материи [40] . Такое состояние может существовать в природе в недрах нейтронных звезд или образоваться в адронных столкновениях большой энергии. К фазовому переходу конфайнмент-плазма можно подойти с разных сторон: со стороны фазы конфайнмента, изучая в терминах кварковых полей структуру адронов, процессы протекающие внутри них, что в настоящее время из-за отсутствия точной теории вакуума КХД является затруднительным, или со стороны плазменной фазы. Последняя возможность, в силу свойства асимптотической свободы КХД при высоких температурах и плотностях [41] оказалась более плодотворной, так как такую плазму можно изучать с помощью обычной теории возмущений, вычислять ее характеристики [42] .
Предметом интенсивных исследований является термодинамика глюонного конденсата или непертзгрбативного вакуума КХД. Основная идея работ [43 - 46J заключается в изучении возможности фазового перехода из модельного непертурбативного вакуума в- вакуум теории
- 14 возмущений. Используя в роли основного состояния "ферромагнитный" вакуум и по разному трактуя значение нестабильной моды, разными авторами получены взаимоисключающие результаты. Так, в [44] утверждается существование такого перехода, тогда как авторы работы [4б] , проделав более точные вычисления, оставили этот вопрос открытым. Дело в том, что хотя действительная часть термодинамического потенциала при любых значениях температуры имеет отличный от нуля минимум, температурная зависимость его мнимой части не дает возможность говорить о наличии или отсутствии перехода. Б роли основного состояния, по-видимому, следует использовать стабилизированный вакуум. Здесь же дана критика статьи [43]-, в которой авторы для мнимой части - температурного эффективного потенциала приводят неверный результат.
Б работах [47, 48, 49] приведено решение модели адронного газа, которая позволяет показать возможность реализации фазового перехода между ним и кварк-глюонной плазмой, выяснить его характер, а также найти свойства высокотемпературной фазы. Здесь адроны рассматриваются как кварковые мешки с учетом их спектра и пространственных размеров. Непертурбативная структура вакуума КХД учитывается введением в соответствующие формулы постоянной мешка.
Диссертация посвящена изучению свойств вакуума в неабелевой калибровочной теории поля / группа J [) (2) /. Модельными ваку-умами в наших исследованиях являются хромомагнитные поля, заданные постоянными потенциалами.
Б главе I подробно изучены свойства неабелевых постоянных потенциалов. Показано, что они являются простыми решениями уравнений Янга-Миллса с током. Здесь же получены нелинейные плоско - 15 -волновые решения уравнений.
Глава II посвящена обобщению квазиклассического метода мнимого времени, ранее развитого в рамках КЭД. С его помощью вычислена вероятность распада вакуума неабелевой калибровочной теории во внешнем хромомагнитном поле.
Б главе III вычислены однопетлевые эффективные лагранжианы скалярных частиц / принадлежагощих к фундаментальному и присоединенному представлениям калибровочной группы $ U(2) / на фоне модельных вакуумов. Параллельно изучаются термодинамические свойства газа скалярных частиц.
В главе ІУ вычислен эффективный лагранжиан кварков во внешнем хромомагнитном поле. Получен энергетический спектр кварка во внешнем хромомагнитном поле, заданном симметричными постоянными потенциалами. Приведен вклад безмассовых кварков М ароматов в плотность энергии непертурбативного вакуума. Здесь же получены выражения для свободной энергии кварк-антикваркового газа.
Решение уравнений Янга-Миллса в мнимом времени
Решение уравнений Янга-Миллеа в мнимом времени Б 1 были найдены решения уравнений Янга-Миллса с током определенного вида [54] . Систему уравнений (I.I) можно получить с помощью вариационного принципа из 2 (1.3). В силу неоднозначности лагранжиана, к нему можно добавить постоянную величину.
Это не меняет уравнений движения, но приводит к сдвигу энергии системы на добавленную постоянную, Указанные изменения, по существу, на решениях (І.І8), (І.2І) не отражаются, хотя предельный переход (1.20) теряет силу.
Лагранжиан (2.1) введен для анализа постоянных решений (i.l) , а также для изучения связи решений (і.і) в мнимом времени с постоянными потенциалами. Очевидно, что (І.ІЗ) реализует решение (i.l)c нулевой энергией 8І=0. Хотя эти потенциалы и определяют одинаковое хромомагнитное поле, в силу фундаменталь-ной роли потенциалов в неабелевых теориях / /\„ входят в (І.І)/, состояния с различными Ф - Щ" отличаются. Известно, что в случае КЭД, в пространстве с нетривиальной топологией, физику явлений / эффект Ааронова-Бома [бЗ] / определяет не J-! v , а фазовый фактор, явно выражающийся с помощью потенциала электромагнитного поля /L. В; силу сказанного, представляется естественным рассмотрение ф , как различных состояний системы.
В евклидовом пространстве легко найти решение (I.I) в виде зависящих только от времени мнимого / потенциалов (l.7a) , связывающее состояния ф" при изменении мнимого времени Т [54] . Оно описывает процесс квантомеханического туннели-рования [б4] между различными постоянными потенциалами.
Переход в евклидовое пространство осуществляется следующим образом: Am - v» , До- 1А «=мл «г- ) Величины со шляпой относятся к евклидовому пространству. При этом тензор гму и V не меняют свой вид; в евклидовом простран-стве они определяются через Дц согласно (1.2). Тензор энергии-импульса в евклидовом пространстве имеет вид
Поэтому уравнение движения (і. 12) и плотность энергии (2.2) запишутся так: . „ я , « о - зо Соотношения (2.6) подробно исследованы в [64] , где они рассматриваются как энергия и уравнение движения бесспиновой частицы единичной массы в потенциале
Решение (2.6) с нулевой энергией ,- 0 и начальными условиями Т- ± оо , ф с)- » -(+) Дается формулой
Значение такого решения уравнений Янга-Миллса (І.і) в мнимом времени заключается в том, что оно в асимптотике выходит на простые постоянные потенциалы [54] АгЦЛ4o)i--(o,a±±f о),( щ [,), ».« которые ранее в [38] вводились в рассмотрение без выяснения их связи с уравнениями Янга-Миллса.
Выражение (2.8) напоминает кинковое решение в теории ф в двумерном пространстве-времени [э] . Там оно является решением / статическим / уравнений движения, функцией единственной пространственной переменной, характеризуется топологическим зарядом и связывает при Х-5»- с два вакуума теории.
Однако ф(т) , осуществляет процесс туннелирования между двумя вакуумами ф " , тогда как кинк сам является стабильным решением уравнений движения. Независимость ф(х) от пространственных координат при интегрировании по объему и V приводит к расходящимся выражениям для действия, топологического заряда. Таким образом, амплитуда перехода -f[rj eKp(-SE) Фо Ф при V- стремится к нулю. В реальной ситуации лишь конечная область пространства оказывается занятой конденсатом. Поэтому, целесробразно, учитывая однородный характер создаваемого
Выше было отмечено, что "ферромагнитный" вакуум, претендовавший на верное описание основного состояния КХД, в однопетле-вом приближении оказался нестабильным относительно глюонных флуктуации [30] . Это связано с наличием тахионной моды в энергетическом спектре векторных частиц / глгоонов / на фоне хромо-магнитного поля, заданного линейными потенциалами. Поэтому исследование стабильности предлагаемых на роль вакуума КХД полевых конфигураций, приобретает большое значение. Нелинейный характер уравнений Янга-Миллса делает эту задачу весьма сложной и приводит к неожиданным результатам.
Нестабильность вакуума во внешних калибровочных полях, заданных линейными потенциалами
Первое, из них суть уравнение движения в трехмерной форме, V-ТГ Ь + LY, Н J - аналог силы Лоренца в электродинамике [55]. Второе - закон изменения кинетической энергии частицы. Напряжен-ности хромоэлектрического С и хромомагнитного Н полей с h связаны стандартными формулами (i.Il)
Уравнения (4.15,16) впервые были получены Бонгом в работе [78] . Он исходил из лагранжиана взаимодействующего с калибровочным полем дираковского поля. Полученное для спинорного поля уравнение движения интерпретируется как одночастичное уравнение Дирака, которое после некоторых преобразований приводит к названной системе. Таким образом, система (4.15,16) была получена на основе квантовой теории, что является примечательным ее свойством. Автор рассмотрел и влияние создаваемого движущимся зарядом калибровочного поля на уравнения Янга-Миллса. Б этом смысле Дь зависит от траектории частиц.
Система (4.15,16) с дополнительным уравнением для векторных потенциалов калибровочного поля получены также в [79] . Здесь рассмотрена самосогласованная задача взаимодействующего друг с другом с помощью неабелевого поля цветных зарядов. Особенностью [79] является использование в роли X не стандартного лагранжиана постоянная размерности массы, V и К определены из (1.2). оо Эфф был получен при исследовании инфракрасной области квантовой хромодинамики 80] и описывает инфракрасное поведение полных глюонных функций Грина. В [во] показано, что при К - 0 , асимптотика глюонного пропагатора Э(Ю г осуществляется при определенном виде инфракрасной асимптотики трехглю-онной вершинной функции. Так как при выводе использовались уравнения Швингера-Дайсона и тождества Уорда-Славнова, то Хщ учитывает непертурбативное взаимодействие глюонов / проблегла больших расстояний / и, по-видимому, содержит определенную информацию о конфайнменте.
Аналогичный подход разрабатывается группой авторов \&І} . Учет непертурбативного взаимодействия глюонов позволяет строить модели вакуугла КХД 181,82] . Он рассматривается как сплошная среда с определенными диэлектрическими и магнитными свойствами.
Важным является учет обычного спина и расширение (4.15,16) за счет соответствующего уравнения. Этого можно добиться различными методами. Например, в [83] использован метод Вонга / вв-деление классических уравнений движения из квантовой теории /, где автор рассматривает классические величины как средние значе - 50 ния соответствующих операторов по волновому пакету, тогда как в [78] операторы просто заменялись С - числовыми функциями. Б итоге полученная система уравнений выглядит так: где I tf) - волновый пакет. Все операторы записаны в представлении Шредингера. Величины J смешивают спиновые и изоспиновые степени свободы. Однако, как отмечает сам автор [83] , при выводе сделаны сильные предположения о свойствах волнового пакета, считается, что средние от ДХ1=Х1-Х1({) » где %)- траектория частицы,обращаются в нуль. Невыполнение одного из этих допущений приводит к нарушению (4.19) . другой подход использован в [84], где для описания спина авторы применяют антикоммутирумцие грассмановые переменные. Б рамках КЭД данный метод развит в [85] . [84] получена следующая система уравнении здесь Ф1 грассмановы переменные, VK=0-fl Аь, Для простоты в [4.21) опущены другие уравнения системы, определяющие эволюцию vpr . Первые два уравнения (4.21) являются обобщением (4.15,16), третье определяет движение спина неабелевой частицы. На него можно смотреть, как на обобщение уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди в электродинамике [2]. Классическая теория спина хорошо изучена и всесторонне исследована / см. например, [86] /, однако, в наших работах [74,75] его вклад в действие S учтен чисто феноменологически, так же, как и в [71-73], в виде добавки где S - спиновый псевдовекторальный тензор поля, а - гиромагнитное отношение. Б системе покоя частицы =(О,V) вычисляется вдоль подбарьере ной траектории. Кинетическая часть спинового лагранжиана опускается, так как она не вносит вклада в вероятность рождения пар. Нестабильность вакуума во внешних калибровочных полях, заданных линейными потенциалами
Для применения метода мнимого времени нужно найти траекторию движения частицы в изучаемом поле. Оказывается, достаточно найти действительную траекторию движения, а подбарьерная траектория определяется выходом в конечных формулах на комплексную і плоскость.
Эффективный однопетлевой лагранжиан скалярных изоспинорных частиц
Полученные для t. явные выражения еще раз подтверждают наличие существенных различий между линейными и постоянными потенциалами. Действительно, если вернуться в КЭД, то найдем, что уровни энергии электрона во внешнем магнитном поле квантованы; они характеризуются непрерывным значением проекции импульса на направление магнитного поля и главным квантовым числом И , связанным с финитностью движения электрона в перпендикулярной магнитному полю плоскости [з]. Нетрудно видеть, что уровни энергии кварка в хромомагнитном поле, заданном линейными потенциалами, от уровней энергии электрона отличаются только удвоением их числа за счет цветовых степеней свободы. Б случае же постоянных потенциалов, энергетический спектр кварка становится непрерывным.
Как было отмечено выше / см. 3 /, изучение стабильности тех или иных конфигураций поля является задачей большой важности. При вычислении эффективного лагранжиана в глюонном секторе КХД авторы работы [зо] столкнулись с расходимостью в X (Н). Как известно, это связано с наличием тахионной, т.е. неустойчивой моды / 0 / в энергетическом спектре глюона во внешнем хромомагнитном поле, заданном линейными потенциалами. Ей соответствует низший энергетический уровень со спином глюона, направленным по хромомагнитному полю и Р2 5п . На появление нестабильных уровней в энергетическом спектре векторных частиц с аномальным магнитном моментом указывалось в работе
Для преодоления указанной трудности авторы [30] выделили нестабильную моду, изолировали ее и провели интегрирование по обычным способом. Неустойчивая мода явилась причиной появления мнимой части X (Н), или нестабильности "ферромагнитного" вакуума относительно флуктуации калибровочного поля.
Из (II.II) видно, что все собственные значения квадрата энергии кварка положительно определены. Это говорить о стабильности кваркового сектора теории на фоне модельного вакуума (8.2$; при любых значениях напряженности хромомагнитного поля Н тлеем Е 0 .
Сравним такое поведение энергетического спектра кварка со спектром электрона в КЭД. В наиболее общем случае обладающего аномальным / вакуумным / магнитным моментом / АММ / электрона, уровни его энергии определяются формулой где №, - АММ электрона, a =- - является проекцией спина на направление магнитного поля. Формула (II. 12) получена с помощью уравнения Дирака с паулиевским слагаемым, феноменологически учитывающим взаимодействие АММ с внешним полем
Если бы уравнение (II. 13) и следующая из него формула (II. 12) были бы справедливы при любых значениях Ц , то полагая Н = мы получили бы h=U другими словами, распространение этих результатов на случай очень сильного поля приводит к парадоксу іІ8І : вследствие понижения основного уровня энергии электрона, энергетическая "щель" между электронными и позитрон-ными состояниями исчезает и становится возможным процесс спонтанного образования электрон-позитронной пары. Однако, как показано в статье [119] / см. также ]JI8] , [120] / АММ электрона является сложной функцией как напряженности внешнего поля, так и энергии самого электрона. Там же приведены конкретные асимп тотические выражения для М/ =ЫИ, 54) при различных значениях аргументов.
Чтобы выяснить динамический характер АММ, а также найти поправку к энергии основного состояния электрона в постоянном магнитном поле, необходимо пользоваться уравнением Дирака с радиационными .поправками где MvMf\) - является массовым оператором электрона во внешнем поле. Подробный анализ показал {І2і, что энергия основного состояния электрона при п п оказывается больше w\ , т.е. "щель" между спектрами одночастичных состояний не только не уменьшается, а наоборот, увеличивается.
Заметим, что вычислению X (Н) во внешнем хромомагнитном поле, заданном потенциалами (8.28; посвящены работы [І22] , fl23JL Однако в этих работах не получен в явном виде энергетический спектр кварка и рассмотрение ограничивалось случаем безмассовых кварков.
Таким образом, несмотря на непрерывный характер энергетического спектра кварка в симметричном хромомагнитном поле, кварковый сектор КХД, также как и КЭД, оказывается стабильным относительно спонтанного рождения пары частица-античастица.
Кварковий вклад в плотность энергии непертурбативного основного состояния КХД Знание однопетлевого эффективного лагранжиана о(, поз 9 р р воляет найти плотность энергии модельного физического вакуума в теории Янга-Миллса. При этом нулевым уровнем служит энергия вакуума теории возмущений.
В случае безмассовых кварков необходимые вычисления заметно упрощаются. Допустим, что на фоне физического вакуума, заданного полем (8.2) , существуют безмассовые кварки М ароматов. Для одного кварка XJ (Н) выражается формулой [ЫЗ] ,
Таким образом, минимальное значение достигается при отличном от нуля значении хромомагнитного поля Н . Это говорит о выгодности перестройки пертурбативного вакуума КХД и образования глюонного конденсата.
В (12.7) III является точкой перенормировки, а -Ці в скобках введен для удовлетворения условия Матиняна-Саввиди (26, 27]
Во всех формулах: (12.6), (12.7) перенормированная постоянная взаимодействия определяется в точке IU, , т.е. везде надо понимать Qff . Каждому значению ILL соответствует, свое значение бегущей константы связи. Однако в КХД можно ввести размерный параметр Д , который не связан с произволом в выборе точки пере-нормирови к . Эта постоянная не определяется из теории в асимптотической области, а оценивается с помощью сравнения выводов КХД с экспериментальными данными. Известно, что о (р) связан с Д. соотношением
Энергетический спектр кварка в симметричном хромомагнитном поле
Статичные решения при квантовании приводят к образованию нового вакуумного сектора, наполненного тяжелыми частицами - монополями. Монополи, например, в теориях великого объединения могут играть роль катализатора протонного распада [25]. Физическое значение решений в мнимом времени обсуждалось выше. Все сказанное подтверждает значимость для квантовой теории поля поиска новых решений классических уравнений, а также разработки новых или обобщения развитых в рамках КЭД методов исследования указанного круга проблем.
Сложная структура вакуума КХД не исчерпывается только его топологическими свойствами, она имеет и другой, не менее важный аспект. Им является наличие ненулевого глюонного и кваркового конденсатов в основном состоянии теории. Понимание этой ситуации возникло после работ [26, 27, 28], в которых в однопетлевом приближении был вычислен эффективный лагранжиан калибровочного поля во внешнем хромомагнитном поле, причем поляризация вакуума происходила за счет глюонной петли, т.е. за счет самодействия калибровочного поля. Оказалось, что взаимодействие глюонов с внешним полем указанного типа понижает энергию системы. Другими словами, состояние с ненулевым значением хромомагнитного поля является по отношению к вакууму теории возмущений энергетически более выгодгым. Поэтому однородное хромомагнитное поле, заданное линейно зависящими от координат потенциалами, выступает в роли "ферромагнитного" вакуума КХД. Это явление имеет своим аналогом бозе-конденсацию в теории конденсированных сред и механизм .Хиггса в квантовой теории поля [29] . Хорошо известно, что наличие ненулевого классического слагаемого в выражении оператора поля является признаком бозе-конденсации, а само слагаемое играет роль конденсатной волновой функции. Это же характерно и для механизма Хиггса, в котором ненулевое вакуумное значение скалярного поля сигнализирует о нарушении калибровочной симметрии рассматриваемой модели / теория Вайнберга-Салама, ТБО /. Применение теории возмущений около нового вакуума в моделях с хиггсовскими скалярами приводит к генерации масс промежуточных бозонов, кварков и т.д.
Точно так же можно считать, что квантовые флуктуации генерируют некоторые отличные от нуля характеристики вакуума /конденсат /, на фоне которых можно применять стандартную теорию возмущений. Наиболее простой реализацией глюонного конденсата является однородное, постоянное хромомагнитное поле. Изучение на его фоне различных процессов представляет большой интерес, так как приближенно учитывает непертурбативность основного состояния КХД, его влияние на адронную физику.
Однако "ферромагнитный" вакуум оказался нестабильным отно - II сительно глюонных флуктуации [30] , что послужило стимулом для его дальнейшего развития. Были предложены способы удаления найденных неустойчивостей, которые в конечном итоге привели к созданию картины "копенгагенского" вакуума [ЗІ-ЗЗ] . По этим представлениям вакуум КХД, для удаления нестабільностей разделяется на области - домены, внутри которых хромомагнитное поле направлено вдоль определенной оси или против нее. Образование доменной структуры понижает энергию основного состояния относительно "ферромагнитного" вакуума. Квантовые флуктуации самих доменов нарушая "кристаллическую" доменную структуру образуют квантовую жидкость / "спагетти"-вакуум /. Квантомеханическая суперпозиция хромомагнитного поля по всем направлениям в жидкостной модели завершает создание "копенгагенского" вакуума.
Очень важной является проблема согласования развиваемых моделей вакуума с экспериментальными данными адронной физики, или хотя бы, с успешными феноменологическими разработками, описывающими структуру адронов. Группа авторов [34, 35] рассматривая ад-рон в рамках модели мешков, предполагая существование внутри ад-рона пертурбативного,( а вне него "ферромагнитного" вакуумов, оценили разность энергий между первым и вторым. Полученный результат находится в удовлетворительном согласии с феноменологическим значением постоянной мешка.
