Введение к работе
Актуальность проблемы. Развитие физики элементарных частиц за последнее время в значительной степени связано с исследованием непер-турбативных свойств квантовополевых моделей. Широкий класс непер-турбативных явлений связан с процессами туннельных переходов между состояниями, разделенными потенциальными барьерами; к таким процессам относятся распад ложного вакуума в теориях скалярного поля и переход с изменением топологического числа в калибровочных теориях. Известно, что характерный масштаб энергий для туннельных переходов задается высотой Е, потенциального барьера, разделяющего начальные и конечные состояния. При Е <С Еь туннелирование в теории со слабой связью описывается действительным евклидовым решением уравнений ноля, которое называется «отскоком» и «инстантоном» в случаях скалярных и калибровочных теорий, соответственно. Вероятность перехода в этом случае подавлена фактором вида ехр(—Sg/g ), где д- - малая константа связи, a S^/g — евклидово действие инстантона или отскокового решения. Ясно, что процессы вакуумного туннелирования происходят с малой вероятностью и не играют сколько-нибудь существенной роли в теориях со слабой связью. Таким образом, имеет смысл искать ситуации, в которых переходы полевой системы через потенциальный барьер не подавлены.
Квантовомеханическая интуиция подсказывает, что экспоненциальное подавление процесса перехода исчезает, как только полевая система приобретает энергию, сравнимую с высотой потенциального барьера. Так действительно происходит в процессах при высокой температуре, при большой плотности фермионов, или при наличии тяжелых частиц в
начальном состоянии Имеется, однако, ситуация, которая являвтся исключением из этого правила Это — туннелирование индуцированное столкновениями высокоэнергичных частиц
Вопрос об индуцированном туннелировании возник около пятнадца ти лет назад в контексте задачи о нарушении фермионною (бариопно-го и леи тонного) числа в электрослабой теории Стандартная модель элекфослабых взаимодействий — это калибровочная [еория с группой SU(2) х U(l) которая, как и любая неабелева калибровочная теория обладает дискретным набором физически эквивалентных вакуумов Известно, чш переходы между различными вакуумами сопровождаются несохрапеиием фермионных чисел явлением, которое может бьпь в принципе обнаружено экспериментально Достижимые на современных ускорителях энергии сравнимы с высоюи потенциального барьера в электрослабой теории Еъ ~ 4лМцг/д ~ 8 ТэВ, поэтому интересен вопрос о том, можно ли обнаружить явление несохранения фермионных чисел экспериментально в сюлкновениях высоких энер!ий
В работах А Рингвальда, О Эспинозы (1990 г) с помощью теории возмущений на фоне инстантона было показано, чю верояшосіь процесса туннелироваиия индуцированного столкновением частиц, растет экспоненциально с ростом энергии столкновения по крайней мере при малых значениях последней
Здесь экспонента подавления F — убывающая функция энергии столкновения Е Теория возмущений на фоне инстантона становится непри менимои, однако в наиболее интересной об мсти энергий Е > Es
В работах А Н Кузнецова, В А Рубакова, П Г Тинякова, Д Т Шо-
на (КРТШ) 1990-95 п был предложен и реализован численно квазиклас-
сическии метод, позволяющий вычислять вероятность процесса индуцированного туннелирования при энергиях, сравнимых с высотой потенциального барьера1 Основным препятствием на пути квазиклассического описания индуцированного туннелирования служит то, что начальное состояние процесса, содержащее лишь две частицы, не является квазиклассическим Поэтому квазиклассический метод необходимо дополнить удобным способом регуляризации начального состояния Центральной величиной метода КРТШ является инклюзивная вероятность туннелирования из состояний с фиксированными энергией Е и начальным числом частиц N
ВДЛ'} = |ЕРдф}|2 (2)
',/
Здесь S обозначает 5-ма]рицу, d Ре, Ру — проекторы на состояния с фиксированными энергией и числом частиц Предполагается, что состояния |г) и |/) являются пертурбативными возмущениями над различными вакуумами теории Если энергия и начальное число частиц велики, Е = Е/д , N — N/д , вероятность многочастичного туннелирования (2) может быть вычислена квазнклассически Ответ имеет экспоненциальный вид
Р(,Л')ссе"П^№ (3)
Можно предположить, что предел N —) 0 многочастичной экспоненты F(E, N) совпадает с экспонентой подавления процесса индуцированного
'Следует отметить, что подобные методы применитесь задолго до работ 90-х годов по теории поля К примеру, еще в 30-х годах Л Д Ландау использовал похожий квазиклассический метод для вычисления матричных элементов операторов между высоко возбужденными уровнями В 60-х годах нестационарный вариант метода применялся А М Переломовым, В С Поповым, М В Терен-тьеным и В Т Кузнецовым для вычисления вероятности ионизации атомов в неременном электромагнитном поле В работах В Миллера, Т Джорджа (1970-72 гг) подобные методы использовались для расчета вероятностей химических реакций
туннелирования:
F{E)= lira F{E,N). (4)
Л--.0 Предположение (4) подтверждено вычислениями в нескольких порядках теории возмущений на фоне инстантона в калибровочной теории, а также при всех энергиях в кваптовомеханической модели с двумя степенями свободы.
Квазиклассическое вычис-
ке;
ление многочастичной вероят- _ ности (2) основано на нахождении комплексных класси-
ческих решений уравнений по- Рис. 1. Контур в комплексном времени ля вдоль контура ABCD в комплексном времени (рис. 1), которые удовлетворяют определенным краевым условиям в асимптотических прошлом и будущем (части Л и D контура). Описанная краевая задача называется «Т/в задачей», а ее решения «Q инетантонами». Многочастичная экспонента подавления F{E, N) определяется из значения функционала действия, вычисленного на решении.
За последние годы были разработаны и апробированы численные методы решения Т/в задачи, которые позволили получить функцию F{E, N) при Е ~ Es для нескольких моделей, включая Стандартную модель электрослабых взаимодействий. Однако, при энергиях, превышающих некоторую критическую энергию Ес > ErJ встречается проблема, которая оказывается общей для задач, решаемых с помощью квазиклассического метода.
Известно, что в общем случае квазиклассическая краевая задача обладает бесконечным дискретным набором решений, только одно из ко-
торых является физически значимым. В одномерной квантовой механике все решения могут быть легко расклассифицированы. Однако, уже в квантовомеханических системах с несколькими степенями свободы такая классификация оказывается трудна, если вообще возможна, и поиск физически значимого решения представляет серьезную проблему.
Проблема выбора правильного решения стоит наиболее остро вблизи точек бифуркации, где ветвь физически значимых решений пересекается с ветвью нефизических решений. Именно такая ситуация возникает в задачах индуцированного туннелирования при Е и Ес, благодаря чему становится невозможным получать правильные решения в наиболее интересной области Е > Ес.
Одной из задач диссертации является разработка и проверка метода, позволяющего автоматически выбирать физически значимую ветвь квазиклассических решений при Е > Ес.
Следует отметить недостаток прямых численных методов поиска решений квазиклассичсской краевой задачи. Дело в том. что характерная частота изменения решения быстро растет с ростом энергии столкновения, поэтому область значений энергии, в которой возможно применение численных методов, ограничена шагом доступной решетки. К примеру, в задаче о нарушении барионного числа в электрослабой теории найденные решения покрывают область 0 < Е < 2.5.. Таким образом, численные методы не позволяют исследовать процессы индуцированного туннелирования при энергиях, значительно превышающих высоту потенциального барьера, не говоря уж о пределе Е — +оо. Для получения надежных результатов в этой области необходимо рассмотрение простых моделей, в которых задача может быть решена при всех энергиях.
В диссертации приведено квазиклассическое исследование процесса индуцированного туннелирования при высоких энергиях [Е > Ч) Е 3> Es) на примере упрощенной теоретике -полевой модели с целью разработки метода вычисления экспоненты подавления при высоких энергиях в других моделях.
В экзотических случаях динамические эффекты могут быть существенны уже при описании вакуумного туннелирования. Такая ситуация возникает в моделях квантовой космологии при изучении процесса туннельного рождения замкнутой вселенной из «ничто», предложенного в работах А. Виленкииа (1982 г.). Отличительной чертой тупнелирования в квантовой космологии служит то, что кинетический член масштабного фактора а и туннельный потенциал V(a) входят в полный гамильтониан системы с отрицательным знаком. В связи с сохранением полной энергии, возбуждение материальных степеней свободы (рождение частиц) приводит к увеличению вероятности туннелирования. Таким образом, динамика туннельного процесса зависит от параметров модели: если подавление процесса рождения частиц оказывается слабее туннельного подавления, системе оказывается выгодно произвести достаточное количество частиц материи, полная энергия которых равна высоте потенциального барьера, и возобновить классическую эволюцию в области вблизи вершины барьера. Такая возможность обсуждалась на качественном уровне в работе В. А. Рубакова (1984 г.)
Одной из целей диссертации является последовательное численное исследование процесса рождения частиц в квантовой космологии посредством решения уравнения Уилера-Де Витта в приближении минисупер-пространства для вселенной, наполненной массивным скалярным полем
с конформной связью.
Цель работы состоит в разработке квазиклассических методов описания процессов индуцированного туннелирования в теоретико-полевых моделях при высоких энергиях, а также в исследовании процесса катастрофического рождения частиц при туннелировании в моделях квантовой космологии.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые предложен метод регуляризации квазиклассической краевой задачи, позволяющий автоматически выбирать правильное решение вблизи точек бифуркации, где ветвь физически значимых решений пересекается с ветвью отражающихся решений. Метод применен для вычисления вероятности перехода связанной системы через потенциальный барьер в квантовой механике и проверен явным сравнением вычисленной квазиклас-сически экспоненты подавления процесса с экспонентои, полученной в результате численного решения уравнения Шредингера.
Впервые в теоретике полевой модели вычислена квазиклассически экспонента подавления процесса индуцированного туннелирования при всех энергиях. Для рассмотренной модели показано, что процесс индуцированного туннелирования остается экспоненциально подавлен при Е -» +оо.
Новым является метод инстантонов действительного времени, который позволяет для любой конкретной модели вычислить экспоненту подавления процесса индуцированного туннелирования при высоких энергиях, вплоть до бесконечных энергий. Метод применен для расчета экспоненты подавления в простой теоретико-полевой модели.
Впервые показано квазиклассически, что при энергиях, превышаю-
щих некоторое оптимальное значение Е0_ процесс индуцированного тун-нелирования происходит следующим образом: система излучает избыток энергии (Е — Е), а затем туннелирует с энергией, эффективно равной Ео.
Впервые проведено численное непертурбативиое исследование рождения частиц материи при туннелировании вселенной, наполненной массивным скалярным нолем с конформной связью. Показано, что катастрофическое рождение частиц происходит в широком диапазоне значений параметров модели.
Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах ИЯИ РАН, Бостонского университета, университета Тафтса г. Кембридж (США), Брюссельского университета, на Международных семинарах «Кварки-2002» (Валдай), «Кварки -2004» (Пушкинские горы), на Международной школе «Частицы и космология» (Приэльбрусье, 2003 г.), на Международной конференции «Квантовая гравитация и еуперструны-2002» (Дубна).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 работ.
Объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста, Заключения и двух приложений, содержит 137 страниц машинописного текста, в том числе 22 рисунка и список литературы из 109 наименований.
