Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование нелинейного уравнения, возникающего в р-адической теории струн 23
1.1 Эффективное действие 7>-адичсской струны 23
1.2 Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных 24
1.3 Интегральная форма уравнения 26
1.3.1 Лемма об интегральном представлении дифференциального оператора ехр(52) 27
1.3.2 Интегральная форма уравнений движения 28
1.4 Построение решения методом итераций для случая р = 3 . 28
1.5 Сходимость итерационной процедуры 31
Глава 2. Краевые задачи для ограниченных решений уравнения р-адической струны 35
2.1 Постановка задачи 35
2.1.1 Свойства ограниченных решений 37
2.2 Теорема о существовании решения при нечетных р 40
2.3 Многомерные уравнения движения 4G
Глава 3. Исследование нелинейного уравнения, приближенно описывающего тахион на неэкстремальной бране 48
3.1 Тахион в бозошюй нолевой теории 48
3.2 Тахион на неэкстремальной бране 49
3.3 Дифференциальная и интегральная формы уравнения . 52
3.4 Приближение для вспомогательного поля 54
3.4.1 Результаты численного анализа решения уравнения движения при малых q 54
3.4.2 Два режима поведения решения 58
3.4.3 Результаты анализа решения уравнений движения при больших q 60
3.5 Итерации для двух нолей 63
3.5.1 Случай гауссова ядра 63
3.5.2 Учет кинетического члена 66
3.5.3 Линеаризация системы на больших временах 68
3.5.4 Асимптотика решения уравнения при больших q . 70
Глава 4. Модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн 71
4.1 Эффективный механический потенциал 72
4.2 Интерполяция между пертурбативным и непертурбативным вакуумамп 74
4.3 Интерполяция между двумя пепертурбатпвным вакуума мп через пертурбативный 76
Заключение
- Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных
- Построение решения методом итераций для случая р = 3
- Теорема о существовании решения при нечетных р
- Результаты численного анализа решения уравнения движения при малых q
Введение к работе
В локальной теории поля имеется хорошо известное соответствие между частицами и полями. Каждой частице, которая характеризуется неприводимым представлением алгебры Пуанкаре, соответствует квантовое поле. Это поле удовлетворяет классическим уравнением движения. Для скалярной частицы соответствующее уравнение является уравнением второго порядка. Начальные данные задачи Кошп подвергаются квантованию, и на этой основе строится квантовая теория ноля [1|-[5]. Заметим, что в последние десятилетия получило развитие представление о том, что, используя классические решения тина солитонных, можно получить описание нескольких типов частиц при помощи одного поля [4, 5, 6].
В 1960-х годах при изучении спектра адропов было обнаружено большое число частиц с линейной зависимостью массы от спина - так называемый реджевский спектр. Вводить повое поле для каждой из таких частиц представлялось нецелесообразным. Была предложена идея получать весь этот спектр как результат квантования единого объекта -струны, которая описывалась действием Ыамбу-Гато |7, 8]. Последовательная процедура квантования приводила к известным трудностям -теорию не удавалось сформулировать в четырехмерном пространстве-времени и в спектре струны (замкнутой струны) содержалось безмассовое иоле спина 2, а соответствующее возбуждение отсутствовало в спектре адронов.
Шерком и Шварцем [7, 8] была высказана идея рассматривать струну как фундаментальную теорию, из которой следовало получать все известные взаимодействия, при этом безмассовое поле спина 2 отождествлялось с гравитоном. Одна из основных мотивировок такого рассмотрения была связана с тем, что среди известных элементарных частиц, как отмечалось выше, не было безмассовой или очень легкой частицы со спином 2. Другой важной мотивировкой было то, что квантовая гравитация не является в обычном смысле |1| перенормирусмой теорией. Предполагалось, что включение дополнительных нолей, соответствующих другим струнным возбуждениям, а также появление специфических форм-факторов во взаимодействии, отражающих нелокальность теории струн, поможет решить проблему построения квантовой теории свободной от ультра-фиолетовых расходимостей и включающей квантовую гравитацию. В дальнейшем это и было реализовано для суперструн [7, 8].
Одна из первых трудностей, которая возникает на пути построения теории струн, связана с тем, что в спектре бозонной струны имеется возбуждение, соответствующее "частице" с отрицательным квадратом массы, т.е. бозонная струпа содержит тахион. Это утверждение относится как к открытым, так и к замкнутым бозоппым струнам. Поскольку тахион приводит к неустойчивости, то, в свое время, это рассматривалось как существенный недостаток бозонной струпной теории.
Для борьбы с этой неустойчивостью было предложено рассматривать ферммонную струпу и брать в пространстве ее возбуждений сектор, в
котором нет тахиона (аналог такого сектора нельзя выделить в бозоп-ной струпе). Это так называемый GSO+ (Глиозп, Олив, Шерк) сектор. В этом секторе струнные возбуждения, упорядоченные по массе, начинаются с безмассового векторного ноля и безмассового спннорного поля. В GSO~ секторе возбуждения начинаются с тахионного поля с квадратом массы равным (—1/2) (в единицах натяжения струны а'), т.е. тахиона.
В рамках как бозонной, так и фермионной теории струн, была предложена схема вычисления амплитуды рассеяния струнных возбуждений. Однако заметим, что эта схема не следовала напрямую из лагранжиана, как это имеет место в обычной квантовой теории поля [1]. Эта схема использовала интуитивные представления, которые в дальнейшем оформились в так называемый первичный подход к теории струн, о распространении струны как мирового листа. Амплитуда перехода в этом подходе, в соответствии с принципами квантовой теории, определялась суммированием по всем возможным конфигурациям мирового листа с весом пропорциональным экспоненте от действия струны. При этом амплитуды, соответствующие различным возбуждениям струны, задавались с помощью так называемых вершинных операторов.
В дальнейшем была предложена полевая теория струны в специальной калибровке, так называемой калибровке светового конуса, в которой задавался исходный лагранжиан, и по нему, но правилам, аналогичным правилам Фейнмана, вычислялась амплитуда рассеяния [7].
В полевой теории струн обычное соответствие частіща«-щолс замепя-
ется соответствием струна*->бескопечиый набор нолеіі. Этот набор полей образуют поля с массами и спинами, получающимися в результате квантования исходной струны. Другими словами, действие S в струнной теории поля зависит от бесконечного набора локальных полей А — {0п(х)}, т.е. S[A] = S[{(f>n(x)}]. Отметим, что формализм струнной теории строится так, что координаты ж, от которых зависят локальные поля в действии S являются координатами центра масс струны.
В конце 1980-х годов Виттеном [9] из общего принципа калибровочной инвариантности было предложено ковариаитное нолевое бозонное струнное действие S[A], в котором полевой переменной является произвольный вектор состояния первично-квантованной струны. Отметим, что это действие было предложено для открытой бозонной струны. Из действия S[A] автоматически получаются действия для всех полей фп(х). Тахиону в этом наборе соответствует скалярное поле ф с квадратом массы
(-!)
Действие открытой бозонной струнной полевой теории в подходе Вит-
тена имеет вид
S = — < A, QD А » +— « Л, Л, А »
2#о 3«7о
здесь струпное поле А = А[Х(а);с(а),Ь(а)] зависит от координат струны Х(1(а) и гостовского с{а) и антигостовского Ь{а) нолей, д$ - безразмерная постоянная описывающая взаимодействие струн, Qb - БРСТ заряд вида
Qb = j*
где Тх{о) и Тьс{а) - тензоры энергии-импульса для координат струны и гостов. Здесь используется конформное представление для полилинейных функционалов <С , ,... ;>. Если ограничиться только тахионными модами ф(к) в разложении струнного поля, то имеем
A = A(w) = J —
где вершинный оператор имеет вид
V{k,w)=:c(iv)e2ik»x^w) :
Здесь w - комплексная переменная. Можно показать, что в этом случае виттеновское действие сводится к виду
здесь ф{х) - Фурье образ ф{к), а' - натяжение струны, 7 ~ число (7 = 77ч)> характерное для описания взаимодействия локальных мод в полевой теории [10] и
Ф{х) = еа'н~*)аф{х)
Оператор Даламбера определяется
о2 -~)2
где А = 4^2 + + -т^р оператор Лапласа.
По аналогии с ситуацией с TV-образным потенциалом в локальной теории поля естественно предположить, что в теории бозонной струны, в которой имеется тахион, приводящий, как указывалось выше, к
нестабильности, может существовать другой вакуум отличный от пер-турбативного, в окрестности которого тахион отсутствует. Вопрос о существовании такого вакуума в теории струны связан с существованием специальных вакуумных решений. Это предположение высказали в 1987 году Костелецкии и Самуэль [10] и проверили его численными вычислениями, ограничиваясь простейшим приближением.
В последние несколько лет велась активная работа по исследованию нетривиальных (ненулевых) вакуумных, т.е. не зависящих от времени п пространственных координат, решений в струнной теории поля. К настоящему времени гипотеза о существовании стабильного вакуума подтверждена многочисленными вычислениями [11| - показано, что в кова-риантной теории открытых бозопных струн имеется непертурбативный стабильный вакуум и, естественно, спектр струны меняется в окрестности нового вакуума. Это явление аналогично хорошо известному явлению Хиггса [2]. Интересно отмстить, что большинство таких исследований проводится с помощью существенного использования численных вычислений [11, 12, 13, 14].
Представляет интерес нахождение классических решений, интерполирующих между различными вакуумными решениями. Подчеркнем, что в отличие от аналогичной задачи по изучению решений солитоппого или кинкового типа в локальной теории поля, где обычно рассматривается интерполяция по пространственным переменным [4, 5], в струнах в связи с задачей о распаде D-бран рассматривается интерполяция по
времени [15].
При исследовании непсртурбатпвных свойств струны оказалось, что существуют решения, в которых ноля сосредоточены на гиперповерхностях, т.е. решения типа солптонов в обычной локальной теории поля. Такие решения были названы .D-брапаміі. Имеется аналогия между доменными стенками [16, 17] и D-бранами. Выяснилось, что поскольку D-браны - объекты теории струны, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струп, то одним из способов описания динамики таких бран является рассмотрение струны с граничными условиями, заданными па этих гиперповерхностях. Точнее, если рассматривать струну, на (р + 1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, то Дирихлс-брана (jD-брана) будет той самой (р + 1) мерной гиперповерхностью, на которой находятся концы струны. При этом обычные струнные возбуждения, например тахион, находятся на бране. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле по (d— \р+ 1]) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому в действии S[A] возникают ноля, зависящие только от первых (р + 1) координат х.
Задача нахождения решений, интерполирующих между различными вакуумамп, в струнной теории поля имеет две существенные специфики но сравнению с аналогичной задачей локальной теории поля. Прежде всего, как отмечалось выше, полевая теория струн соответству-
ет бесконечному набору локальных полей {ipn(x)}. Во-вторых, взаимодействие, получающееся для этих полей, нелокально в том смысле, что соответствующие уравнения движения содержат бесконечное число производных. Заметим, что в отличие от некоммутативной теории поля, где имеется бесконечное число пространственных производных, в струнной теории поля присутствуют пространственные, временные и смешанные производные {18].
Интерполяция между различными вакуумами изучалась в [19] в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда (20]. Однако, получение этого действия непосредственно из струнной теории поля является трудной задачей. По-видимому, это действие получается интегрированием исходного струнного полевого действия по бесконечному набору нолей с высшими спинами [21].
Переходы между различными вакуумами в струнной теории, т.е. между вакуумами с которыми связана определенная картина бран, можно изучать также со стороны гравитации. При таком подходе эти переходы описываются специальными решениями, так называемыми s-брапами [22, 23]. Локализация полей на брапах в рамках гравитационного подхода активно изучается в современной литературе [17]. Соответствующие квантовые эффекты рассматривались, например в [24].
Задача о построении решений описывающих переходы между различными вакуумами непосредственно в струнной теории поля в рамках
специальной итерационной процедуры недавно рассматривалась в работе А. Сена [25]. В этом рассмотрении учитывалось, что у вакуумных решений несколько компонент локальных полей {ірп} могут быть отличны от нуля.
Если ограничиться случаем одного скалярного тахионного поля ф(х) получаются уравнения вида
(а'П + 1) е-2«'1»(7)а ф = 1 ф2 (оЛ)
здесь как и выше а' - натяжение струны, 7 _ число (7 = v^)- Переменная Ф связана с исходным тахионным полем ф нелокальным преобразованием
0 = е-«'1»(7)Оф
Если оператор в правой части понимается в виде формального ряда
п.
то приведенное выше уравнение движения является дифференциальным уравнениям с бесконечным числом производных. Оно описывает динамику пространственно-однородного тахионного поля в теории струи в пренебрежении вкладом остальных полей. Для определенного класса интегрируемых функций оно записывается как нелинейное интегральное уравнение. Это уравнение удобно привести к каноническому виду, сосредоточив все имеющиеся в теории параметры в одном параметре q,
(cfn + 1) є'0 Ф = Ф2 (0.3)
Оказывается это уравнение в пренебрежении кинетическим слагаемым, сводится к нелинейному уравнению, возникающему в р-адической теории струн [26]. Напомним, как получается р-адпческая струна. Хорошо известно, что если с струпной теории рассмотреть рассеяние тахиона, то получается амплитуда Вспсцпапо [7, 8], которая представима в виде бета функции. Если эту бета функцию заменить р-адичсской бета функцией, то получится амплитуда рассеяния тахиона в /;-адичсской струне [26, 27]. Эту амплитуду можно получить также из эффективного действия, которое называется эффективным действием 7>адической струны [28].
Уравнение р-адической струны в приближении одного скалярного ноля ф(х) имеет вид [27, 28]
р-^ф = ф>\
где как и выше - оператор Даламбера. Оператор р~*а как и оператор е-а in(7) появившейся выше в струнной теории поля можно представить в виде ряда, аналогичного (0.2)
00 1 п«
Z 71.
Как видно из приведенного выше соотношения рассматриваемое уравнение движение содержит производные всех четных порядков. Получаемые уравнения являются уравнениями нового класса, они отличаются от уравнений, ранее рассматривавшихся в математической физике [29], и их исследование представляет большой интерес.
Полевые теории с бесконечным числом производных естественным образом связаны с нелокальными квантовыми теориями поля, изучающимися в связи с попытками избежать ультрафиолетовых расходимо-степ, а также в связи с теорией струн [30, 31].
Проблема постановки задачи Коиш для таких уравнений недавно исследовалась Мюллером и Цвибахом [18]. Было показано, что наличие бесконечного числа производных приводит к ограничениям на возможное множество начальных условий.
Отметим, что несмотря на наличие бесконечного числа производных, решение соответствующего линейного уравнения, в классе функций, допускающих преобразование Фурье, зависит не от бесконечного числа произвольных функций (или констант, для решений зависящих от одной переменной), а только от двух произвольных функций пространственных переменных, как это имеет место для обычного уравнения Клейна-Гордона [4]. Действительно, если решать линейное уравнение
/(0)^ = 0
при помощи преобразование Фурье,
ф) = ^еікх8(П-к2))ф{к)Оік1
то число произвольных функций пространственных переменных равно числу корней уравнения }'{~к2) = 0. В частности, при
f(x) = е~х - Л
л 0 < A < 1 имеем два корня
kQ = ±yJk2-]n\
При А > 1 получаем тахион.
Заметим однако, что для пространственно-однородных конфигурации, т.е. случая, когда полевые функции зависят только от времени, исходное уравнение движения можно переписать в виде свертки с гауссовым ядром |18, 27, 42], которая после нерерастяжки
/W-
e-('-T)V(r)dr =
Таким образом на пространственно-однородных конфигурациях исходное уравнение переписывается в интегральной форме, которая удобна как для анализа так и для численных вычислений. Численный анализ дифференциальной формы уравнения как правило основывается на пренебрежении вкладом высших производных [18], в то время как анализ интегральной формы уравнения основывается на стандартных методах вычисления квадратур [49, 50]. Сравнение динамики подчиняющейся соответствующим дифференциальным уравнениям в пренебрежении вкладом высших производных и тем же уравнениям, записанным в интегральной форме, недавно проводилось в серии работ, в частности в [18, 39, 40, 43]. Заметим также, что интегральное уравнение допускает вообще говоря более широкий класс функции.
Интерес к задаче о построении нестационарного, пространственно-однородного классического решения, интерполирующего между различ-
ными вакуумами [67]-[80], связан с возможными применениями в космологии. Л именно, А. Сен [19] предложил отождествлять тахион в бозон-нон струпной теории с космологическим скалярным полем.
Попеку и исследованию решений нелинейных уравнений такого типа посвящено много работ. В частности, Беккн, Фрейдом, Олсеном и Впттеном [27] было численно построено зависящее от времени решение типа кинка, интерполирующее между двумя нетривиальными вакуумами теории р-адической струны
р ътиф = ф* (0.4)
для случая р = 3. В дальнейшем эти вычисления были проверены с более высокой точностью в работе [18]. В работе [41] с использованием было численных оценок была продемонстрирована сходимость соответствующего итерационного процесса. Наконец, в [42] было проведено полное теоретическое доказательство существования решения для любого нечетного р, что окончательно подтвердило гипотезу, выдвинутую первоначально в [27].
Уравнение (0.3) имеет два вакуумных решения: пертурбатпвный вакуум фо = 0 и нетривиальный вакуум фц — 1. В недавней работе Мюллера и Цвибаха [18] проведено исследование существования решения уравнения (0.3), интерполирующего между вакуумами фо = 0 и фо = 1. Показано, что таких монотонных решений не существует. Этот результат связан с кубическим характером взаимодействия. Было естественно рассмотреть аналогичную задачу для тахиона фермионпой струны, в
которой тахионный потенциал является потенциалом 4-ой степени [13]. В настоящей работе проведено исследование существования решений тахионных уравнений, интерполирующих между вакуумами фермиоп-пой струны. Как отмечалось выше, в фермионной струне существует тахион в GSO~ секторе. Смысл рассмотрения такого сектора состоит в том, что именно фермионная струпа без выделения GSO+ сектора, описывает так называемое неэкстремальные .D-браны [15]. А именно фермионная струна, на (р+ 1) координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, и описывает неэкстремальную /?-брану (иои-BPS брану), на которой находятся концы струны. Если в этой теории ограничиться только тахионным полями (их теперь два, хотя второе поле является вспомогательным и не содержит кинетического члена), то соответствующий лагранжиан для пространственно-однородных конфигураций имеет вид
U = е-а'1пЫ2и, Ф - е-а'1пЬ)2ф,
знак д здесь и далее обозначает производную по времени, остальные обозначения описаны в главе 3. Это действие приводит к уравнениям движения типа
/ Л 2 2 (-5)
В приближении слабо меняющегося поля и эти уравнения можно заменить уравнением (после перерастяжки, сосредоточивающей все параметры в q, подробнее 3.3-3.4)
(-q2d2 + 1) є^2Ф(і) = Ф(і)3 (0.6)
При q = 0 это уравнение переходит в уравнение р-адической струны при р = 3.
Другой интересный аспект настоящего развития исследований физического процесса распада нестабильной D-браны связан с учетом взаимодействия открытой и замкнутой струи. В настоящее время имеется проблема отсутствия согласованности результатов относительно энергии нестабильной D-браиы, полученных в рамках процедуры обрезания по уровням для кубической открытой струны и рассмотрения методами конформной теории поля. Это повлекло за собой исследования системы взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Предполагается, что необходимо учитывать диссипацию энергии D-браны в сектор закрытой струны в процессе скатывания в стабильный вакуум полной теории.
Мы будем исследовать модель с двумя взаимодействующими тахионными полями, которая недавно была предложена Омури в [33]. Эту модель можно рассматривать как упрощенную модель теории взаимодействующих открытой и замкнутой струп в которой выполнено приближение обрезания по уровням, при чем часть членов отброшена даже па первом нетривиальном уровне. Несмотря на то, что эта модель может рассматриваться лишь как упрощенная модель полной открыто-замкнутой
струїшоіі теории, она допускает интересные роллипговые решения. Пер-турбативный вакуум теории интерпретируется как фон нестабильной D-браны, а стабильный вакуум отвечает вакууму открытой струны вблизи которого отсутствуют возбуждения /}-браны.
Исследуемая модель [33, 45] взаимодействующих открытой и замкнутой струн, описывается действием
S = / dDx
-фПф + -ф2 + -фПф + 2ф2 - -Ф3 + 2Ф ,
где Ф = ехр(№)0, Ф = ехр(гаП), к и т - некоторые постоянные, для численного анализа мы согласно [33] кладем к = rn = In 2. Здесь д -некоторая константа, величина которой обсуждается ниже.
Для пространственно-однородных конфигураций Ф = Ф(), Ф = Ф() уравнения движения имеют вид
(-<92 + 1)е2^2ф - Ф2 + рФ - 2ФФ = О
{-д2 + 4)е2ш^Ф + дФ - Ф2 = О
Мы исследуем свойства системы и указываем на наличие решений при значениях параметра g = г- и g = -^ [45]. Решения для случая g = -^ были численно построены в [33].
План работы следующий. В главе 1 проведено исследование уравнений р-аднческои струны при р — 3. Уравнение представлено в интегральной форме. Для этого уравнения построена итерационная процедура нахождения решения, интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, и доказана ее сходимость.
В главе 2 проведено исследование краевых задач для ограниченных решений уравнения р-адичсской струны. Соответствующему уравнению движения придается точный смысл в терминах обобщенного преобразования Фурье. Исследуются свойства ограниченных решений. Для почетных р доказана экспоненциально быстрая сходимость итерационной процедуры к непрерывному нечетному решению, выходящему па ±1 при t —> ±00.
В главе 3 проведено исследование существования решения приближенного уравнения (0.6), интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, в зависимости от параметра q. Уравнение сведено к интегральной форме, и показано, что при достаточно больших q уравнение допускает периодическое решение, а при малых q имеется решение типа кинка с асимптотиками ±1 на бесконечности. Особое внимание уделено нахождению критического значения параметра qcr, при котором происходит смена режима - интерполирующее решение переходит в периодическое. Численными вычислениями показано, что q2r ~ 1.38. Физически интересным решением является решение при
Далее, в главе 3 аналогичное исследование проведено для системы уравнений (0.5). Показано, что в этом случае q2T ~ 2.22. И, наконец, проведено сравнение построенных решений полных уравнений (0.5) и решений приближенных уравнений (0.G) при физически интересном значении q2 = q2string.
В главе 4 исследована модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Исследована эффективная механическая задача, получаемая из исходных уравнений в приближении высшими производными, а также решения интерполирующие между различными вакуумами теории.
В Приложении описаны алгоритмы построения итерационного решения рассматриваемых уравнений, и проведена оценка их сложности.
Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных
Напомним более детально как получается / адическая струна [2G]. Хорошо известно, что если в бозонной струнной теории рассмотреть рассеяние тахиона, то получается амплитуда Венициапо [7, 8], которая иред-ставима в виде бета функции A(s, 0 = / dz 2-ftW-i(! - z)-«( M = B(-a(s), -a(t)), (1.1) здесь a(s) — 1 + a s и бета функция выражается через гамма функцию п п,(в\ „т\ Г(а(а))Г(а(0) 1 {a(s) + a(t)) Если эту бета функцию заменить р-адической бета функцией, где то получится амплитуда рассеяние тахиона в р-адическои струпе [26, 27] Ap(s,t) = Bp(-a(s),-a(t)) (1.4)
Эту амплитуду можно получить также из эффективного действия, которое называется эффективным действием р-адической струны [28]. Это эффективное действие [26] было получено в работе [28], оно имеет вид S = ( ddx\ J 97. (1.5) 2ИІ p+V р Здесь ф - скалярное поле, описывающее тахион в /міді і ческой струпе, х = (t, х ) - пространственно-временные ci-мерные переменные, р - простое число, ()р - константа связи, определяемая через универсальную константу связи д посредством 1 1 р2 (Jp 92 Р - 1 Оператор Даламбера определяется стандартным образом п=-+л- м где А - оператор Лапласа. Оператор р їи понимается в смысле ряда р-\п = е-1ьыо = J2 /_Ііпг)у і.а» (1.7) 71=0 / 1.2 Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных Уравнения движения, соответствующие действию (1.5), имеют вид р-їаф=:ф" (1.8)
Решения этих уравнении для различных р (отмстим, что тот факт, что р- простое число здесь и далее не существенен) изучались в [18, 27, 28]. В основном изучались солитоппые решения, зависящие от пространственных переменных х = (ж1, ...xd l). В частности, были явно построены солитопные решения, убывающие на бесконечности и имеющие вид уединенного холма, так называемые Кипр-решения. Они имеют вид
Заметим, что уравнения (1.8) имеют сходную структуру с уравнениями тахионного поля, получающимися в коварпаптиых полевых теориях струн. В связи с этим, уравнения (1.8) привлекли значительный интерес. В частности, в недавней работе [18] численно изучался вопрос о существовании пространственно однородных решений, интерполирующих между различными вакуумами теории. В этом случае уравнения (1.8) имеют вид р№ф = фР (1.10) Если рассматривать слабо изменяющиеся поля и пренебречь высшими производными в левой части (1.10), то мы получаем уравнения ангармонического осциллятора 11п(р) + 0 = 0Р, (1.11) соответствующие потенциалу Из (1.12) видно, что случаи четных и нечетных р соответствуют качественно разным поведениям. В частности при р = 2 потенциал (рис.1) имеет минимум в точке ф = 0 и максимум в точке ф = 1. В работе [18] рассматривался вопрос о существовании монотонного решения, интерполирующего между Рис. 1: Вид потенциала (1.12) - р — 2 (слева), р = 3 (справа). „ ,(1) ! неустойчивой экстремальной точкой % = 1 и устойчивым вакуумом (2) % = 0. Было доказано [18], что таких решений не существует. В дальнейшем в работе [42] была доказана более сильная теорема без требования монотонности. В случае р = 3 потенциал имеет три экстремума № 1, 2) = о, Й3) = -і (1.13) А1 ) А(2) Экстремумы 0Q соответствуют неустойчивым вакуумам, а ф0 - устойчивому. Нас будут интересовать зависящие от времени решения уравнения (1.10), интерполирующие между вакуумами ф0 и ф0 . Отметим, что для приближения ангармонического осциллятора (1.11) такие решения существуют (кипк).
Заметим, что в правой части (1.23) выражение вида а1'3 обозначает арифметический кубический корень из а который однозначно определяется для отрицательных значений, (а1/3, Результаты численных вычислений итерационной процедуры (1.23)-(1.24) представлены на рис.2. В следующем параграфе будет доказана сходимость итерационной процедуры (1.23)-(1.24), что подтверждает численные результаты, полученные в [27], а затем также численно проверенные в [18] с более высокой точностью.Интегральная форма уравнения Мы можем переписать уравнения движения (1.10) в интегральной форме используя следующую лемму [18].
Построение решения методом итераций для случая р = 3
Бозоииая струпа. В современной литературе одним из способов описания динамики D-бран является рассмотрение струн, которые оканчиваются па поверхности D-бран. Пусть поверхность jD-браны имеет размерность (р + 1) - р пространственных и одно временное измерение. Тогда граничные условия открытой струны задаются следующим образом. По первым (р+ 1) компонентам берется условие Неймана, а по [d— (р+ 1)] - условия Дирихле. Это соответствует тому, что [с! — (р+ 1)] компонента радиус-вектора центра масс струны фиксирована и соответствующая эффективная полевая теория, описывающая, например, динамику тахиона, зависит только от (р + 1) переменной и описывается действием (3.1), за исключением того, что интегрирование теперь ведется только по (р+ 1)-мерному пространству. Тахионное действие, если ограничиться в струнной теории ноля одним тахионным полем, в случае )-браны имеет вид SM = / Щ (-\«%Ф0 -Ф + \ф2- (е-""« ) ) (3.5) Переход между различными вакуумами изучался в [19] в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда S= [с1 )+1хУ{ф)у/1 + дифд»ф, где ф - тахионное поле, а для потенциала У{ф) была предложена экспоненциальная форма. Об использовании этого приближения в космологии см., например, [37].
Отметим, что в обоих действиях, действии (3.5) и действии Борна-Инфельда, стоит интегрирование по (р + 1)-мерному пространству-времени. Это соответствует тому, что эти действия записаны для р-мерпых бран. Решения уравнений, описывающие распределение типа сгустка (lump), рассматривались в [36], [46]-[57]
Фсрмиоппая струпа. Для описания тахиона на nonBPS бране было предложено [34] использовать фермионную струну Иове-Шварца-Рамопа в GSO+ и GSO секторах. Напомним, что суперсимметрия в этой модели имеется только в том случае, если ограничиться GSO+ сектором, однако, в GSO- секторе имеется тахион. Соответствующая полевая тео рпя фермионной струны была построена в [13]. Действие, описывающее тахион на non-BPS бране, имеет вид S[u, ф] = д2а (Р+т dp+lx ,2 1 . „ и(ху - -ад/1ф(х)д 1ф{х)+ + \Ф2№ - ЩхЩх? , (3.G) где U(x) — ехр(—а 1п(7) 0)и(х) Ф(х) = ехр{—а \п( у)0)ф(х), (3.7) (3.8) здесь а — О, 1,...,/), и константа 7, к к и в бозонной струне, определяется формулой (3.3). В действии (3.6) поле ф(х) описывает тахион с квадратом массы равным (—1/2), а поле и{х) называется вспомогательным.
Мы будем рассматривать только зависящие от времени пространственно-однородные конфигурации. Тогда уравнения движения будут иметь вид (3.9) -2a \ab)dfUn = "ф2(Л ,_ , 1 dt2 -а + і)е-2/1и Ф(0 = - U(t)$(t) (ЗЛО) 2 J З7 3.3 Дифференциальная и интегральная формы уравнения Введем новые функции Т() и Ф() Т(0 = -2?7(2лА0 (з.п) Ф(0 - ф(2 ), (ЗЛ2) 4 3 т" /2 37 где а = —2а In 7, заметим, что а 0, т.к. In7 0. В терминах Т() и Ф() уравнения движения (3.9)-(3.10) приводятся к следующему каноническому виду е ТВД - Ф2() (3.13) (- +і)е Ф(0 = Т( )Ф( ), (3-14) где о а 1 а2 - — = -—— « 0.96 і 2а 4ІП7 В дальнейшем мы проводим исследование решений при различных значениях д2, особо отмечая случай q2 = q2string — —1/(4 In 7) 0.96.
Сравнение динамики физического поля tp полученной из точного деііствия (3.18) - толстая линия, и приближенного действия (3.20) - тонкая линия - для у2 = а2 lstTing Заметим, что система (3.13)-(3.14) не может быть приведена к полиномиальному интегральному уравнению для одной функции. Это связано с тем, что из уравнения (3.13) мы не можем получить Т с помощью применения к Ф2 интегрального оператора с суммируемым ядром. В терминах функций Т() и Ф() действие (3.6) записывается в виде S[v, ф}= f dt -v{tf + (UdMt)? + \t) - Т(ф2(і) , (3.18) 1 2Г1ТГ// 2r w 2 где T( ) = схр(-ісї (), Ф(0 = ехр( д2)ф(і) (3.19) Заметим, что уравнения движения (3.13)-(3.14) и (3.15)-(3.10) можно получить напрямую из действия (3.18).
Теорема о существовании решения при нечетных р
Для исследования асимптотики решений уравнений (3.15)-(3.16) при больших q2 удобно как и в случае одного уравнения переписать систему с помощью замены переменных аналогичной (3.39) X(t) = Ф(#) № = T(qt) При этом система примет вид Са{ч)№ = x2(t) (3.73) (- + 1)) ) = №Mt) (3.74) Рассуждая аналогично (3.4.3) мы получаем, что в пределе больших q система уравнений (3.73)-(3.74) переходит в систему (t) = X2(t) (3.75) ( + 1)xW = « )xW. (3.76) что эквивалентно ангармоническому осциллятору. Глава 4. Модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн
Рассмотрим следующую модель взаимодействующих открытой и замкнутой струп [33, 45], описываемую действием S = / dDx -фПф + -ф2 + -фПф + 2ф2 - -Ф3 + яФФ - Ф2Ф , (4.1) где Ф(х) = екпф(х), Ф(х) = ешПф(х), здесь к и т - константы (для численных вычислений мы, следуя [33, 45], берем к = т — In 2). Здесь д - некоторая константа, величина которой обсуждается ниже. Уравнения движения, соответствующие действию (4.1) имеют вид Пф + ф - екпФ2 + декаФ - 2еш(ФФ) - 0 (4.2а) Пф + 4ф + детиФ - етПФ2 = О (4.2Ь)
Для пространственно-однородных конфигураций ф = / (), ф = ф(і) уравнения движения, записанные в терминах Ф и Ф, имеют вид (-д2 + 1)е2 2ф - Ф2 + дФ - 2ФФ = 0 (4.3а) {-О2 + 4)е2 и?2ф + дФ - Ф2 - О (4.3Ь) Эту уравнения имеют три вакуумных решения. Чтобы найти их, во-первых, решим уравнение (4.3Ь) относительно Ф при постоянных Ф, Ф. Получаем Ф = \(Ф2-дФ) Теперь подстановка этого значении Ф в (4.3а) получаем уравнение Ф(2Ф2 + (4 - Зд)Ф + д2 - 4) = О, которое имеет три решения Фо = 0, Фі,2 = і(3р - 4 і уУ - 24 7 + 48) это и есть три вакуумных решения в зависимости от д (предполагаем, что д такое, что д2 — 24д + 48 0). 4.1 Эффективный механический потенциал Найдем уравнения, получаемые из (4.3а)-(4.3Ь) в пренебрежении высшими производными (2fc - 1)д2Ф + Ф - Ф2 + дФ - 2ФФ = 0 (4.4а) (4т - 1) 92Ф + 4Ф + дф - Ф2 = 0 (4.4Ь) как видно из этих уравнений эффективный механический потенциал системы имеет вид VcS(Ф, Ф) = \ф2 + 2Ф2 - Іф3 + /ФФ - Ф2Ф. (4.5) Вид потенциала представлен на рис.14.
Константа д выбирается таким образом, чтобы имелось два различных вакуума с равной энергией. Заметим, что потенциал системы, т.е. энергия на вакуумных конфигурациях, определяется V = —К-ІЇ [45]. Для нахождения д мы посредством Ф = (Ф2 — дФ)/4 выражаем V, в терминах 0.1
ЭкБипотеицнаиыс линии эффективного механического потенциала (4.5). Для случая д = (слева) имеется два вакуума с одинаковой энергией: (Ф = 0, Ф = 0) и (Ф = ,Ф = —у ), для случая 5 = (справа) имеется опять два различных вакуума с одинаковой энергией: (Ф = ±- р,Ф = 5 g0). На рисунках соответствующие вакуумы отмечены жирными точками. Ф, далее решаем уравнения У(ФІ) = У{Ф , i,j = 0,1,2 относительно д и проверяем, что для этого д мы имеем Ф; ф Фу Первый шаг дает следующие значения д 13 4 г «7 = ±2, д = —, д = -, д = 4(3 ± у/б) Однако второй шаг оставляет только д — Ц- и д = - для этих значений д имеется два различных вакуума (рис.14). -20 -10 0.8 0.6 0.4 0/2 -20 Л). 05-o\i-0.15 -0.2-0.25 10 Рис. 15: Решение уравнений (4.3а)-(4.3Ь) для случая д = - , построенное с помощью итерационной процедуры (4.G): Ф(і) (слева) п Ф(і) (справа). 4.2 Интерполяция между пертурбативным и ненертурбатив-ным вакуумами В работе [33] было численно построено решение системы (4.3а)-(4.3а) для случая / = с помощью следующей итерационной процедуры Ф„+і = і(ФЇ- т,4[Ф„]), Ф»+і = (-П,і[Фп] + Ф,2, + 2Ф„Ф„), (4.6а) (4.6Ь) где п — 1,2,... и начальная конфигурация берется равной Фп() = 0(t), Фо(0 = (0» гДе (0 функция ступеньки, равная 1 для і 0 и 0 в противном случае. Оператор 2о02 Vn,r = (-52 + г)е представляется в интегральной форме ,гМ(0 = J{ % + г)АГ2„( - тЫт)йт (4.7) Результаты итерационной процедуры (4.6) показаны на рис.15.
Результаты численного анализа решения уравнения движения при малых q
Если искать /?н по формуле (4.16), то, ясно, что потребуется Тп операций, где Т - число операций, требуемое на вычисление значения (X(p)(t), т.е. такой подход даст экспоненциальную сложность. Здесь имеется ввиду, что интегралы вычисляются в некоторых конечных пределах.
Для уменьшения сложности вычислений мы используем намять, а именно вводим решетку ti и на каждом шаге итерационной процедуры сохраняем значения f n{U) для всех ti. В результате вычисление ірп+\{Ц) по известному (fn(ti) для всех ti потребует лишь Т2 операций, и общая сложность станет уже полиномиальной - пТ2.
Однако, как отмечалось выше, нам удалось свести итерационную процедуру к алгоритму линейной сложности. Для объяснения этого заметим, что ядро оператора С и JCq существенно отлично от 0 лишь на конечном промежутке [—А, А], а именно для интересовавших нас значений О q 50 этот отрезок [-10,10], что связано с подавляющим множителем ехр[( — т)2], стоящим в ядрах. Таким образом, например, вычисление Kq можно приблизить следующим образом t+A (їіДФ)( ) = J е-«-т 2[1 + 2q\\ - 2(t - т)2)]Ъ(т)с1т t-A Заметим, что из (1.20) и (3.26) видно, что ядра операторов С и tCq - функции разности (t — т). Последнее позволило вычислить ядра операторов С и К,([ как функции одной переменной - разности (t — г) - и поместить полученные значения в таблицу, что дало возможность свести вычисление ядер на каждой итерации к простому обращению к элементу таблицы - это окончательно свело сложность алгоритма к линейной.
Как уже отмечалось, на каждой итерации мы вычисляем значения /?п( г), заданные на решетке {,;}. В связи с этим необходимо более аккуратно определить на решетке используемую нами, например, в (3.65), функцию ступеньки. Для определения функции ступеньки, e(t) в точке t = 0 мы брали случайное значение (либо —1 либо 1), это позволило строить симметричные решения и обойти особенности в О для (3.64). Изначально мы пробовали положить значение e(t) в точке t = 0 определенно равным 1 или —1, однако, ввиду конечности шага решетки, это приводило к получению не вполне симметричных решений, в частности, для (3.64).
Итак, сложность нашего алгоритма - пТ, т.е. линейна. Заметим, что здесь мы использовали свойства ядер наших интегральных операторов. Такой алгоритм позволил вычислить до 10() итераций на параллельном компьютере университета Vaxjo (Швеция) и около 105 итераций на обычном персональном компьютере на отрезке —25 t 25 для различных значений q2 q2T, т.е. для случая интерполяционного режима, в частности для Я2 = ЧІігіпд -96 Заметим, что алгоритм работает и для случая Q (jo- "Р" условии существования итерационной процедуры - уравнения (3.25), для уравнения (3.64) переход в периодический режим приводит к извлечению квадратного корпя из отрицательной величины и, вообще говоря, требует доопределения. Заметим также, что при q qcr на каждой итерации растет отрезок на котором искомая функция отлична от ±1, и алгоритм соответственно увеличивает размер решетки, что приводит к потере линейной сложности вычислений, что однако не является проблемой, т.к. нам не требуется вычислять очень большое число итераций для периодического режима.
Алгоритм был реализован на C++ [63] и использовался на 64-разрядной параллельной станции Sun Ultra-SPARC университета Vaxjo (Швеция), а также на 32-разрядной системе Intel Pentium IV-1.7GHz. Работа алгоритма подтвердила линейную оценку сложности, описанную выше.
