Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время фундаментальные взаимодействия, проявляемые в микромире, получили адекватное описание в рамках квантовой теории поля - концептуально и технически наиболее передового раздела современной теоретической физики.
Основным инструментом исследований в квантовой теории поля является теория возмущений, в которой различным физическим величинам ставятся в соответствие разложения по степеням константы связи д -малого параметра, характеризующего интенсивность взаимодействия.
Как известпо, члены таких разложений, вообще говоря, содержат так называемые ультрафиолетовые расходимости, обусловленные локальностью элементарного акта взаимодействия квантовых полей.
Математическая причина появления ультрафиолетовых расходимо-стей состоит в том, что в коэффициенты разложения матрицы рассеяния по теории возмущений входят произведения функций Грина, являющихся обобщенными функциями, а такие произведения не определены в случае, когда особенности сомножителей совпадают. Правила доопределения произведений сингулярных функций Грина квантовой теории поля устанавливаются Д-операцией Боголюбова, которая служит действенным средством получения конечных и однозначных ответов в пер-турбативных вычислениях в перепормируемьгх моделях квантовой теории поля. Результат действия Л-операции эффективно можно представить как добавление к лагранжиану некоторых операторных структур с бесконечными коэффициентами. В перенормируемых теориях количество операторных структур, содержащих ультрафиолетовые расходимости, конечно, и они имеют тот же вид, что и отдельные слагаемые полного лагранжиана. Поэтому введение конечного числа сингулярных контрчленов позволяет в перенормируемых теориях устранить все ультрафиолетовые расходимости.
Процедура перенормировки привносит дополнительные степени свободы, соответствующие выбору разных схем и масштабов перенормировки. Ренорминвариантность физических величин, т.е., независимость их от произвола, содержащегося в условиях перенормировки, составляет концептуальную основу метода ренормгрушш. В этом методе результаты вычислений в конечных порядках теории возмущений, вообще говоря, не являющиеся ренорминвариавтными, модифицируются по некоторым специальным правилам так, чтобы получились ренорминва-риаытные выражения, при разложении которых по степеням константы связи воспроизводятся исходные пертурбативные выражения.
В настоящее время метод ренормгруппы представляет собой регулярный метод улучшения квантовополевои теории возмущений, с помощью которого находятся многие важные физические характеристики и, в частности, различные асимптотики, играющие определяющую роль в выборе модели для описания того или иного фундаментального взаимодействия. В связи с этим, значительный интерес представляет изучение различных сторон этого метода, включая и исследование области его применимости.
В развитии современной квантовой теории поля отчетливо прослеживается тенденция создания все более сложных моделей, описывающих одновременно разные взаимодействия полей. Такие модели могут содержать набор различных полей, в том числе взаимодействующих друг с другом сложным нелинейным образом, и, как правило, обладают достаточно высокой симметрией. При этом, наличие в теории симметрии может оказывать влияние на характер возникающих ультрафиолетовых расходимостей, приводя даже к их сокращению.
Компенсацию расходимостей можно наблюдать, в частности, в ка-либровочно инвариантных теориях, в которых из-за локальной симметрии между различными функциями Грина существуют определенные соотношения, что накладывает ограничения на структуру возможных расходящихся контрчленов. В результате калибровочные теории оказываются перенормируемыми, что выделяет их из всех квантовополевых моделей, содержащих векторные ПОЛЯ.
Возможные обобщения симметрии в квантовополевых моделях связаны с рассмотрением теорий с неполиномиальным взаимодействием, полевые функции в которых принимают значения в пространствах с
нетривиальной геометрической структурой. Одним из примеров таких теорий могут служить так называемые нелинейные сигма-модели. Интерес к ним вызван, в частности, и потребностями теории струн, в которых идея объединения взаимодействий реализуется в наиболее радикальном виде. Как известно, возможность построения непротиворечивой квантовой теории струн обеспечивается ультрафиолетовой конечностью соответствующей нелинейной двумерной сигма-модели. В свою очередь конечность нелинейных двумерных теорий связана со геометрическими свойствами их полевых многообразий. В связи с этим, изучение структуры расходимостей в нелинейных двумерных теориях с различными типами полевых многообразий представляет собой чрезвычайно важную задачу.
Вызывают также большой интерес и различные обобщения калибровочных теорий, в которых проявляется инвариантность, связанная с бесконечномерными алгебрами Вирасоро и Каца - Муди.
Важное значение имеет понимание характера реализации идеи теории возмущений в моделях квантовой теории доля. В различных кван-товополевьгх моделях расчеты, выполненные в нескольких первых порядках разложения по степеням константы связи, находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов. Подтверждаются экспериментально и предсказания, полученные методом ренормгруппы, относительно асимптотического поведения различных квантовополевых функций при больших значениях динамических переменных (высокоэнергетическая асимптотика и т.п.).
Вместе с тем, почти сразу же после создания основ пертурбативпого подхода в квантовой теории поля было замечено, что вклады высоких порядков в силу роста коэффициентов при больших степенях дп могут оказаться очень большими и ряд теории возмущений, вообще говоря, расходится.
Это означает, что степенные ряды, возникающие при применении теории возмущений в квантовой теории поля, представляют собой асимптотические разложения в смысле Пуанкаре, которые служат хорошим приближением для исследуемых величин лишь в области достаточно малых значений д.
Итак, в квантовополевой теории возмущений приближенное вычисление изучаемых величин, задаваемых, например, в виде континуальных
интегралов, сводится к вычислению конечного (и, как правило, небольшого) числа членов асимптотического разложения по степеням константы связи. В рамках такого подхода невозможно провести вычисление с произвольной заданной точностью и, более того, из-за расходимости ряда невозможно, вообще говоря, даже установить точность сделанного приближения.
Поэтому значительный интерес представляет разработка альтернативных пертурбативных методов, в которых указанные трудности были бы преодолены.
Целью диссертации является развитие метода ренормгруппы и применение его для нахождения некоторых асимптотик, исследование структуры расходимостей в различных квантовополевых моделях и изучение влияния на их вид существующих в теории симметрии, а также разработка новых подходов в теории возмущений для приближенного вычисления континуальных интегралов квантовой теории поля с любой точностью.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации изучена возможность применения метода ренормгруппы для исследования квантовополевых функций, зависящих от многих аргументов. Показано, что, вообще говоря, с помощью метода ренормгруппы невозможно установить вид зависимости квантовополевых функций от отношения двух или более безразмерных комбинаций размерных переменных типа импульсов и масс.
Предложен новый способ построения приближенных решений, соответствующих нескольким первым членам ^-функции. Для этого получено операторное представление уравнений ренормгруппы и их решений, в котором уравнение ренормгруппы для инвариантного заряда записывается как совокупность соотношений между векторами некоторого абстрактного гильбертова пространства, а решение этого уравнения выражается в виде значения некоторого линейного функционала.
Особое место в диссертации занимает задача вычисления /3-фувкдии в модели дфі в двух- и трехпетлевом приближении. Полученные здесь результаты нашли многочисленные применения и послужили началом развития важного направления в пертурбативной квантовой теории поля, связанного с многопетлевыми вычислениями.
В диссертации развит метод вычисления расходящихся квантовых поправок в нелинейных двумерных теориях поля. Для этого в рамках ковариантного метода фонового поля предложена новая схема инвариантной инфракрасной регуляризации, эффективная при вычислении большого количества диаграмм невысокого порядка. В двухпетлевом приближении вычислены контрчлены в двумерной нелинейной сигма-модели с членом Весса - Зумино, и показано, что ультрафиолетово конечными оказываются лишь сигма-модели с параллелиэуемыми полевыми многообразиями. Впервые рассмотрено вычисление контрчленов в двумерной нелинейной сигма-модели с произвольным аффинно -метрическим полевым многообразием, в котором связность и метрика не согласованы. Найденные в двухпетлевом приближении контрчлены позволяют указать примеры ультрафиолетово конечных аффинно
- метрических сигма-моделей с ненулевым тензором Римана полевого
многообразия.
Изучена связь между наличием симметрии в теории и сокращением расходимостей в различных квантовополевых моделях. Установлено, что из условия инвариантности действия сигма-модели с членом Весса
Зумино относительно полного набора преобразований координат полевого многообразия следует, что обобщенный тензор кривизны, включающий вклады от кручения, тождественно равен нулю на всем полевом многообразии. Для нелинейной двумерной теории, действие которой есть сумма действий двух моделей Весса - Зумино - Виттена и некоторого определенного взаимодействия между ними, впервые показано, что, несмотря на существование в теории сохраняющихся токов, теория оказывается конечной только при специальном выборе параметров, при котором данная нелинейная модель калибровочно инвариантна и определена на однородном пространстве. Впервые показано, что Кац
Муди калибровочно инвариантные теории конечны в однопетлевом приближении. Найден класс ультрафиолетово конечных пятимерных калибровочных теорий, содержащих высшие производные.
Вместо асимптотических разложений стандартной теории возмущений, справедливых лишь в области достаточно малых значении констант связи, предложен новый подход к построению теории возмущений, в рамках которого исследуемые величины могут быть вычислены с произвольной точностью для любых значений констант связи. В
основе этого подхода лежит возможность приблизить сколь угодно точно континуальные интегралы квантовой теории поля некоторыми другими (регуляризованными) континуальными интегралами, допускающими разложение в сходящиеся ряды. Это достигается за счет регуляризации подынтегрального выражения в исходном континуальном интеграле, при сохранении формы самого континуального интеграла, поэтому члены нового (сходящегося) ряда находятся с использованием приемов традиционной теории возмущений (теоремы Вика, диаграммная техника Фейнмана и т.д.)- При этом для любого конечного числа членов ряда, выбрав соответствующее значение параметра регуляризации, можно добиться того, чтобы эти члены нового (сходящегося) ряда практически совпадали с соответствующими членами ряда традиционной теории возмущений. Новый подход к теории возмущений, ставящий в соответствие вычисляемым объектам сходящиеся ряды, обоснован в диссертации для конечномерных интегралов и континуальных интегралов евклидовой квантовой теории поля, если гауссовская мера задается с помощью пекоторого ядерного оператора. В отличие от традиционной теории возмущений, в которой существуют принципиально невычислимые "непертурбативные" вклады, новый метод позволяет вычислять и их с любой точностью.
Таким образом, в диссертации исследованы свойства ренормгруппо-вой перестройки рядов теории возмущений, определена структура расходящихся квантовых поправок в некоторых важных квантовополевых моделях и устанавлена ее связь с существующими в модели симметри-ями, развит новый подход к хвантовополевой теории возмущений. Исследования, лежащие в основе диссертации, дают важную информацию о свойствах различных квантовополевых моделей и расширяют вычислительные возможности пертурбативной квантовой теории поля. Результаты этих исследований, часть из которых уже нашла широкое применение, могут быть использованы во многих задачах, в том числе и не входящих в круг проблем, рассматриваемых в диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Института ядерных исследований РАН, Математического института РАН, Физического института РАН,
Института теоретической физики Пекинского университета (Китай), Международного центра теоретической физики в Триесте (Италия), Института теоретической физики университета в Стони Брук (США), на научных сессиях Отделения ядерной физики РАН, а также на всероссийских и международных конференциях "Хромодинамика - 82" (Новороссийск, 1982 г.), "Структура адронов - 85" (Братислава, 1985 г.), "Кварки - 88" (Тбилиси, 1988 г.), VI и VII Ломоносовских коференциях по физике элементарных частиц (Москва, 1993 г., 1995 г.)
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 19 работ, указанных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения; ее объем составляет 197 страницы; список литературы содержит 189 наименований.
