Содержание к диссертации
1 Введение 8
1Л Возмущения r гравитационных теориях, космологических
и астрофизических исследованиях 8
1 2 Законы сохранения в ОТО и других метрических теориях.
Обзор 13
і Проблема энергии в работах Эйнштейна . ... 14
п Два направления в построении законов сохранения
в ОТО 17
т Многообразие подходов 20
1.3 Мотивация и результаты исследования 29
і Актуальность темы и цель работы . . . .29
н Постановка задач и структура изложении ... 31
iii Результаты, вынесенные на защиту 40
tv Обозначения 42
2 Теоретико-полевой подход в гравитации 45
21 Развитие полевой формулировки ОТО . . . 48
і Геометрические и полевые теории 48
и Ранние возмущенные формулировки ОТО 48
in Формулировка Дезера 51
iv Обобщение модели Дезера 52
v Принципы построения 53
2 2 Точная теорстико-полевая формулировка ОТО и других
метрических теорий гравитации 57
і Динамический лагранжиан и ОТО ... . 57
и Возмущенные уравнения Эйнштейна , . 61
ш Симметричный тензор энергии-импульса для воз
мущений в ОТО на различных фонах 63
iv Калибровочные преобразования и их свойства . 65
v Различные определения метрических возмущений в
ОТО 75
vi Возмущенная формулировка произвольной метри
ческой теории 78
2 3 Полевая формулировка ОТО из „локализации" фоновых
векторов Киллинга 82
і Теория гравитации как калибровочная теория . 82
п „Локализация" векторов Киллинга 84
пі Полное действие 90
iv Обсуждение . 91
2 4 Космологическая постоянная как константа интегрирования 94
3 Асимптотически плоское пространство-время в ОТО 101
3 1 Краткий обзор и обоснование для исследования ... .101
і Актуальность модели . 101
и Полевой подход в исследованиях изолированных сн-
(тем ... . ... , 103
ш Интеграл центра масс в различных определениях 106
3 2 Лагранжево описание в терминах нолевой формулировки 109
і Определение асимптотически плоского пространства-
времени 109
и Глобальные сохраняющиеся величины . . . . . . 114
пі Условия четности 119
iv Калибровочная инвариантность интегралов движе
ния 121
v Обсуждение результатов , . . 127
3 3 Гпмильтоново описание із терминах полевой формулировки 135
і Канонические и симметричные токи и соответствую
щие интегралы 136
и Асимптотика материальных переменных 138
in Глобальные сохраняющиеся величины 141
iv Пуанкаре-инвариантность и выбор асимптотическо
го поведения 146
v Калибровочная инвариантность интегралов движе
ния 149
3,4 Интеграл центра масс в канонической ОТО . . 155
і Момент Лоренца в полевых теориях в пространстве
Мішковего и в гравитации , . . . . , , . 155
и Асимптотическое поведение метрики 15S
ш Интеграл Бига-О'Мерхайи и асимптотические сце
нарии . 159
iv Основные тождества 161
v Построение hjj и различные координаты 166
vi Изометрическое вложение в плоское пространство
„слегка1' деформированной 2-сферы . . . 168
vh Калибровочные преобразования и эквивалентность
интегралов энергетического сектора гамильтониана 174
4 Точные сферически симметричные решения в ОТО, Про
блемы интерпретации 179
4 1 Не наблюдаемость фона в полевой формулировке - , . 183
4 2 Решение Шваришильда в гармонических координатах и
полевой подход . . . . 188
ї О гармонических координатах в ОТО , , . 188
п Новые гармонические координаты для решения Шварц-
шильда - . - 189
ш Траектории частиц и калибровочные преобразования 193
4.3 Распределение энергии в изолированных системах . - . 196
і Проблемы интерпретации птварцшильдова решения 196
п Плотность энергии для статического сферически сим
метричного решения Общие выражения . . . 202
пі Обычное изолированное тело . , 203
iv Решение Шварцшильда . 206
v Черная дыра Шварцшильда как точечная частица 210
vi Решение Рейспера-Нордстрема 217
vii Обсуждение . . ... 223
5 Суперпотенциалы в ОТО 229
5 1 Классические псевдотензоры и су пер потенциалы обзор, свой
ства, проблемы 233
і Псевдотензор Эйнштейна 233
п Суперпотенциал Тол мена 234
ш Суперпотснциат Фрейда . . . . 235
iv Вопрос единственности и процедура Нетер . . . 236
v Супернотенциал Мёллера 237
vi Роль суперпотенциалов в построении глобальных
неличин . . - . . - 239
vii Проблемы псевдотензоров и возможный способ ре
шения . 240
van Другие суперпотенциалы 242
5 2 Обобщенный суперпотенциал Фрейда 250
і Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла . 251
и Суперпотенциал Каца-Крушциела. . . 252
ш Сохраняющийся ток КБЛ 253
5 3 Классический метод Белинфанте 255
і Угловой момент в полевой теории и процедура Бе
линфанте ... . 255
и Теорема Нетер и метод Белинфанте ... . 256
5 4 Процедура Белинфанте в ОТО на произвольно искривлен
ном фоне . . . 260
і Обоснование использования метода Белицфанте в
модели КБЛ 260
п Приложение метода Белинфанте к модели КБЛ . 262
ш Свойства новых законов сохранения 263
5.5 Обобщенные законы сохранения с симметричным тензором
энергии-импульса ... . 266
і Проблемы симметричной возмущенной формулиров
ки ОТО 266
и Метод Нетер и супернотенциалы б симметричном
подходе 26S
пі Слабые законы сохранения, сравнение с результата
ми метода Белинфанте. . . . . 272
5 6 Неопределенность Воульвара-Дезера в определении супер
потенциалов и ее разрешение 276
і Семейство суперпотегщиалов в симметричном подходе27й
и Критерий для выбора супериотенциала . . . 279
6 Некоторые применения новых законов сохранения 282
бЛ Линейные возмущения в космологических моделях Фрид
мана . 286
l Конформные векторы Киллинга для решения Фрид
мана , 286
п Интегральные соотношения для возмущений . , . 290
in Использование и интерпретация новых интеграль
ных соотношений . . . 293
5 2 Изолированные системы на изотропной бесконечности 296
і А< имптотичегкая метрика Ньюмена-Унти . 296
и Интегралы движения на нулевой бесконечности * 299
ш Суперпотенциал Абботта-Дезера на нулевой беско
нечности 302
Законы сохранения в произвольной D-мерной метриче
ской теории гравитации 305
7 1 Канонические и Белинфанте симметрированные сохраня-
ютциеся величины. Проблема единственности 306
і Включение вспомогательной метрики 306
и Обобщенные канонические ток и супериотенциал 308
пі Проблема единственности и определении канониче
ских токов и суперпотеицналов . . . . 310
iv Обобщенная процедура Белинфанте 313
7 2 Сохраняющиеся величины в симметричной формулировке
возмущенной теории 316
7 3 Приложения в D-мерной модели Эйнштейпа-Гауеса-Боие 319
і Белинфанте симме'іризоваипьій суперпотенциал 319
п Масса черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситтера 321
Заключение 324
Введение к работе
Во Введении отражены основные направления в исследовании возмущений, как в общей теории относительности (ОТО), так и в других теориях гравитации, в исследованиях по космологии и релятивистской астрофизике Дана постановка задач и представлены результаты, вынесенные на защиту Стиль Введения не отягощен математическими подробностями и частными обсуждениями Причина в том, что каждая їм Глав диссертации, а также некоторые из Разделов, снабжены необходимыми обзорами результатов предшественников, на которые активно ссылается автор и которые развиваются Поэтому здесь, в общем Введении, мы часто ссылаемся на соответствующие места в основном тексте.
1.1 Возмущения в гравитационных теориях, космологических и астрофизических исследованиях
Во многих задачах современной космологии и релятивистской асторофи-зики изучаются возмущения в фоновом пространстве-времени Теоретические исследования по гравитации также часто проводятся в предполсь жении, что существует заданное пространство-время, на фоне которого распространяются возмущения [1т 2, 3, 4]. В качегтие гравитационной теории главным образом используепя ОТО Однако, в последнее вре-
мя все чаще рассматриваются другие метрические теории гравитации как в 4-мсрии, так и в других измерениях. Фоновое пространство-время может быть плоским, но часто оно искривленное и представляет (обой какое-либо тие(тное решение гравитационной теории, например, космологическое или решение для черных дыр Рассматриваются как классические, так и квантовые возмущения, как материальные, так и метрические, в том числе гравитационные волны. В какой-то степени в качестве учебников для изучения квантованных полей на, искривленных фонах можно рекомендовать книги |5, 6] Так, ДеВиттом [б] был развит специальный „метод фоновых полей" для трактовки различных квантованных полей па фойе классических фоновых решений Само исследование состоит в изучении эволюции возмущений их генерации, распространения* устойчивости, взаимодействия Нет возможности привести хоть сколько-нибудь полную библиографию по этому поводу Ниже, чтобы проиллюстрировать некоторые направления, где используется фоновое пространство-время, приводим некоторые современные работы, конечно, тоже только малую их часть.
Классические и квантовые поля на космологических фонах:
Начиная с программной статьи Лифшица [7| рассматривались и рассматриваются классические космологические возмущения на фридмановских фонах Невозможно сослаться на все соответствующие работы, упомянем хотя бы следующие [8] - [12], можно рекомендовать очень полезный обзор Мухановя, Фельдмана, Брандербсргера |13]. Что касается конкретно теории Лифшица. то важно сослаться на работу Лукаша [14] где идеи Лифшица были доведены до логического конца а) построена калибро-вочпо инвариантная теория возмущений, б) введен канонический скаляр tq) скалярных возмущений, в) построены лагранжева и гамильтонова тео-
рни возмущений, г) построена квантовая теория скалярных воэмущений, д) ввелекы понятия конформной неинвариантности скалярных возмущений в модели Фридмана и спонтанного рождения фонолой [квантовых скалярных возмущений] в расширяющейся вселенной* В качестве интересных недавних работ, где используются решения Фридмана, отметим следующие С помощью квази- изотропных разложений исследуются незатухающие большие моды адиабатических и подобных кривизне скалярных возмущений и гравитационных волн вблизи космологической сингулярности [15,16]; предложен подход, в котором интегралы фридма-новской космологии представлены в виде единых времени независимых характеристик как для вакуумных, гак и невакуумных форм космологической энергии [17].
В работах (18] - [26] исследуется эволюция квантованных полей [в том числе гравитационных и электромагнитных] на, определенного класса искривленных фонах в эйнштейновской гравитации. В качестве такого фонового пространства-врем єни рассматриваются специального вида глобально гиперболические, статические, обладающие группой движений, и тд , решения; либо необычные точные модельные решения, либо известные точные космологические решения, такие как фридмановское, де ситтеровское. или Бианкп того или иного типа. В рамках квантовой космологии рассматриваются квантовые возмущения на классических космологических фонах [27] - [29]. Рассматриваются также классические поля и частицы на произвольно искривленных фонах (30, 31]. Не ослабевает поток работ в исследовании космологических возмущений на ранней инфляционной стадии [32| - [37] Важными оказываются нелинейные возмущения и их .-эволюция от инфляции к поздним стадиям, см недавний подробный обзор [38]
В последнее время бурный интерес вызывают многомерные модели с бранами [39] - [4б|, см очень полезный обзор Рубакова [47]. Важные
и интересные результаты получены группой Мельникова [48] - [51]- В отношении этих исследований D-мериан теория гравитации Эйнштейна-Гау<са-Боне пользуется особенной популярностью, см. неданние обзоры [52. 53]. Возмущения в этих моделях также интенсивно изучаются, причем особое внимание уделяется обмену энергией между бранами и окружающим многомерным пространством ]54] - [57]
Рассматриваются космологические возмущения на фонах соответствующих обобщенным вариантам эйнштейновской гравитации [61], в струпных космологиях [62], на фонах новых космологических решений ОТО Недавнее открытие современного [не инфляционного] ускоренного расширения [см интересный и полезный обзор [G3] Чернипа] также стимулирует многие исследования Само расширение стало моделироваться в рамках скалярно-тепзорных теорий (64], см , например, [65[, или гравитации Эйнштсйна-Гаусса-Боне, которая тажс модифицируется [66] А на фоне точных решений таких теорий рассматриваются возмущения Идет поиск новых космологических решений и в стандартной ОТО, но с экзотическими наполнителями, такими как квинтэссенция [67].
Классические возмущения в фоновом пространстве-времени, представленном решениями для черных дыр:
Модели черных дыр являются одними из самых важных в современных космологии и астрофизике, поэтому их изучение продолжает быть очень интенсивным. На фоне самых общих решений для черных дыр исследуется чволюция метрических возмущений, а также устойчивость чтих решении относительно вочмущепий [68] - [71]: рассматривается распространение, усиление и рассеяние массивного и безмассового скалярного ноля [72] - [75J Очень важным является изучение распространения гравитационных и электромагнитных волн на фоне черных дыр (76] - (79].
Решения для заряженных и вращающихся черных дыр рассматриваются как помещенные в пробное внешнее классическое поле, изучастгя поток внелінего ноля через центральную дыру, а также влияние пробных полей на точное решение [80] - [81]
Квантовые эффекты в сильно искрив ленном фоновом пространстве-времени:
Прежде всего, продолжается активное исследование различных свойств излучения Хоукинга в гравитационном поле разного вида черных дыр [82] - [S7J; рассматривается взаимодействие излучения Хоукинга с квантовыми метрическими флуктуациями |8Sj Рассматривается вакуумная поляризация различных нолей, например, на фоне '-экзотических черных дыр [89|, в поле кос мических струи [90], иод горизоиюм черных дыр [91], рассеяние квантовых частиц на фоне черных дыр J92]
Генерация и распространение гравитационных волн:
В связи с интееивиьш развитем техники детектирования гравитационных воли эта область теоретической гравитационной физики также раз-вивается чрезвычайно интенсивно, об этом, в частности, можно узнать из недавнего обзора [93]. Могли бы детектироваться гравитационные волны самого разнообразного происхождения [94, 9о|. В силу этого, анализируются самые разные источники Так, рассматриваются, конечно, двойные системы J96] - [98], модели с несимметричными орбитами пробных частиц вокруг нейтронных звезд и черных дыр [99, 100]; возможные флуктуации космических магнитных полей [101, 102]; асимметрия астрофизических объектов [103, 104], включая вращающиеся нейтронные звезды с различными модами возмущений |10о] - |Ю7); такие экзотические источники, как космические струны |108] Очень важным является детальное изу-
чение распространения и взаимодействия гравитационных волн с учетом точных эффектов. Алексеев в работах [109] - [ПО] для построения точных уравнений Эйнштейна при наличии пространственно-временных шометрий развил метод преобразования монодромии. В работах [111] -[112] описано применение этого метода для построения точных решений уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла, описывающих столкновение и нелинейное взаимодействие плоских гравитационных, а также гравитационных и электоромагнитных волн обладающих выделенными волновыми фронтами и рапространяющнхея па фоне пространства Мин-ковского. Во многих из работ приходится рассматривать энергию я импульс, переносимые гравитационными волнами, в части работ этим проблемам уделяется отдельное внимание [113] - [115].
1.2 Законы сохранения в ОТО и других метрических теориях. Обзор
Очень важную роль в приведенных выше исследованиях ^играют такие характеристики возмущенной системы как энергия, импульс, угловой момент, плотности этих величин. Однако существует объективная трудность в их определении. Хорошо известно, что в ОТО, и метрических теориях вообще, определение плотности энергии и других сохраняющихся величии не является однозначным, в отличие от аналогичных определений в „обычных" полевых теориях (таких, например, как электродинамика) в пространстве Минковскою С геометрической точки зрения причина проблемы состоит в двойственной роли пространства-времени, которое, с одной (тороны, — арена для физических взаимодействий, па которой обычно и определяются сохраняющиеся величины, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во взаимодействиях С точки зрения основания гравитационной теории, проблема рас-
ематриваеі ся как связанная с принципом эквивалентности [3]
Начиная с работ Эйнштейна эта ситуация интерпретируется как нело-кшппуемость энергии и других сохраняющихся величин в метрических теориях гравитации и считается особым свойством теории, но не се дефектом Оно проявляется в том, чю гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, даст вклад в энергетические характеристики гравитирующей системы, но этот вклад определяется лишь нелокально Таких образом, теоретические исследования в основном велись и ведутся по изучению глобальных (интегральных] характеристик, например, таких как энергия и се изменения во всем пространстве или его конечном объеме. В последнее время очень большое внимание уделяется квазилокальным характеристикам, скажем квази-локалыюй энергии, которые рассчитываются для конечного объема и полностью определяются условиями на границе этого объема С другой стороны, для исследования возмущений в космологии и астрофизике во многих случаях важны наоборот локальные характеристики.
После создания ОТО, в силу этих объективных трудностей и неопределенностей, было предложено множество подходов для определения сохраняющихся величии. Из-за важности как теоретической, так и в приложениях, мы акцентируем на этой проблеме особое и большое внимание в диссертации, а ниже приводим обзор основных концепций и направлений в се исследовании
і Проблема энергии в работах Эйнштейна
Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения для компонентов энергии [сохраняя лексику тех лет] либо свободного гравитационного поля t/, либо гравитационного поля вместе с материальными источниками ї^ + Т^ В первых вариантах теория строилась в предположении, когда определитель
метрики равен единице у/^д — 1 Вначале [116] теория была сформулирована в виде, где Тцр служил источником для тензора Риччи Rfil/. Такое построение не казалось удовлетворительным, поскольку не согла-*овывалось с ковариантым законом (ох!)анспия для Т{/ В попытке получить совместные уравнения Эйнштейн в работе [117] предложил гипотезу, смысл которой в том, что след тензора энергии-импульса материи взаимодействующей с гравитацией всегда равен нулю Тап — 0, Вообще говоря, что было мало обосновано В обеих упомянутых работах уже были предложены выражения для tp и сформулирован дифференциальный чакон сохранения
ft,(t/ + T/)=0. ^ (1-2 1)
Современный и окончательный вид уравнений ОТО был представлен в работе [118]
V - к %v - JftmV) : (12.2)
или, что то же самое, Нщ, — ^g^R^* — кТ^
Вот как объясняег такой переход сам Эйнштейн [118]. „Основания, побудившие меня ввести второй член [іо есть —\д^Т^у\ в правые части уравнений (1 2.2) впервые выявились из следующих соображений. Умножим уравнение (1 2.2) па д*ш и просуммируем по индексам р, и v Тогда после простых выкладок получим
д^ + ф^ + Т^^О, (1.2 3)
[используется условие \f—g = 1] .. Как нетрудно видсть^наш добавочный член приводит к тому, что тензоры энергии гравитационного поля п материи входят в уравнение (1 2 3) одинаковым образом, чего пет в „ [предш ествутощих вариантах]11.
Таким образом, именно требование того, чтобы комплексы энергии-импульса как для материи, так и для гравитационного поля занимали бы равноправное положение в полевых уравнениях привело Эйнштейна
к правильной формулировке теории После того, как теория завершена кажется, что проблему совместности было бы проще решить, если сосредоточиться на поиске такой левой части в уравнениях, ковариаптная дивергенция от которой тождественно равна нулю Однако исторически сложилось так, что прямой анализ конкретных дифференциальных законов сохранения оказался решающим Мы привели эти факты, чтобы подчеркнуть насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения в ОТО уже в период ее построения
В работе [119] Эйнштейн, отказавшись от условия у^ = 1, предложил для вывода уравнений лагранжиан только с первыми производными [так называемый усеченный лагранжиан Эйнштейна, см. ниже (5.1.1)], и на его основе компоненты энергии ітзавитациопного поля были представлены в виде компонент канонического комплекса эпергии-импульса [который позднее стал называться псевдотензором Эйнштейна, см. (5 1.2)] Если говорить о приложениях, то прежде всего Эйнштейн использовал комплекс їр для описания гравитационных волн [120] - [122], которые рассматривал иль как возмущения метрики ОТО, по отношению к метрике Минковского С самого начала он подчеркивал, что і^ является тензором только для линейных преобразований. Преобразованиями координат можно изменять t^t и даже обращать в нуль. Эта причина во многом послужила поводом, с одной стороны, для многочисленной критики и для дискус снй на следующие десятилетия Но с другой < тороны, это был повод для интенсивного познания свойств гравитационного поля в ОТО, которые отличались от привычных свойств других физических теорий
Еще в начале дискуссий Эйнштейн сам привел важные и физически весомые аргументы в пользу использование i^ и соответствующих законов сохранения, несмотря на то, что ни комплекс і^ л ни уравнения (1.2 1) не кОБарнантны. Вспомним знаменитый пример, когда две массы
соединяются жепким стержнем [123] Поскольку система находится в равновесии, то напряжения в стержне, которые неоспоримр существую!*, могут быть интерпретированы только как компенсация напряжений гравитационного поля с компонентами включенными в 1р Он же впервые интерпретировал обращение в нуль t/ при координатных преобразованиях как пелокйлизуемостъ плотности энергии гравитациониопно поля Причем отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство гравитационного поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы „локализации" гравитационной энергии Так, рассматривая островную [изолированную) систему [122], Эйнштейн предложил следующее „Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотность энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области В Это будет только тогда, когда вис области В компоненты gltv постоянны, то есть когда рассматриваемая система как бы погружена в :галилеевское пространство', и мы пользуемся 'галиле-евскими координатами3 для описатшя окружении системы" Как в этом примере, так и при изучении гравитационных волн, можно сказать, что вводится некоторое „опорное" фиксированное пространство Минковеко-го, которого пег в ОТО как теории с динамической метрикой, но которое определяется характером конкретных моделей или задач.
ii Два направления в построении законов сохранения в ОТО
Канонический метод Нётер и построение комплексов энергии-импульса и суперпотенциалов:
Исследуя уравнения Эйнштейна вместе с псевдотензором Эйнштейна, Толмен установил [124]. что дифференциальный закон сохранения прямо связан с некоторой величиной, двойная дивергенция от которой тождественно равна нулю, и но этой причине названной суперпотенциалом [см
Пункт и Раздела 5 1)- Позднее Фрейд показал [125|, что суперпотенциал Толмена может быгь заменен другим суперпотенциолом [см. Пункт ш Раздела 5 1] Преимущество последнего в том. что он антисимметричен по индексам, но которым берутся дивергенции, так что дифференциальный закон сохранения становится очевидным.
Начиная с этих двух работ построение законов сохранения с помощью псевдотеизоров и суперпотеициалов получило очень активное развитие в последующие десятилетия [см подробный обзор в Разделе 5 1[ В качестве результатов многочисленных исследований можно подчеркнуть следующее (а) Псевдотензоры и суперпотен циэлы определяются неоднозначно, однако (б) построение многих из них оказалось прямо связанным через каноническую процедуру Нётер с лагранжианами, которые отличаются друг от друга на дивергенцию По этой причине мы будем называть такие величины и законы сохранения для них каноническими, а подход каноническим (в) Нековариантный характер псевдотензоров и суперпотеншіалов, конечно, вносит свои трудности. Один из способов избежать их - это ковариантизация, что формально означает введение дополнительной заданной метрики, относящейся к заданному фоновому протранству-времсни Если физическая метрика рассматривается независимо [возмущения не определены явно], го такой подход называется биметрическим (г) Наличие суперпотеициалов оказывается очень полезным в построении глобальных сохраняющихся величии, таких как энергия полной изолированной системы в ОТО, и приводит их выражения к поверхностным интегралам. Так, например, энергия некоторого объема определяется с помощью интеграла от суперпотенциала по поверхности этого объема (д) Наконец, необходимо отметить, что были выработаны несколько теоретических тестов, ограничивающих неопределенность в определениях. Так, рассчеты должны давать стандартную массу для черных дыр, правильное значение полного углового момен-
та для решения Ксрра, стандартные потоки для энергии и импульса в решении Бонди, положительную плотность энергии для слабых гравитационных волн на плоском фоне
Симметричный тензор энерзии-импульса для возмущений гравитационного поля:
Час то для решения конкретных чада11 возмущенные уравненя ОТО представляют в следующем виде, линейные возмущения метрики относительно метрики Минковского оставляют слева, а все остальные [нелинейные] члены переносят направо и вместе с материальным тензором энергии-импульса трактуют как полный [эффективный] тензор энергии-импульса tffi Такой подход [см подробный обзор в Разделе 2Л] был разработан в виде, где вся физическая система формально рассматривается в фоновом простраистве-врсмсии с заданной метрикой. Для такой системы, точно также как в обычной полевой теории, скажем, электородинамике на заданном фоне, tffl определяется путем варьировании по фоновой метрике и поэтому является метрическим тензором энергии-импульса. Естественно, что tffi оказывается симметричным и удовлетворяет дифференциальному закону сохранения По этой причине этот подход в построении возмущенных систем мы будем называть симметричным
Мы выделили эти два подхода в отдельный Пункт по следующим причинам Они имеют самую длительную историю развития Это очевидные подходы с точки зрения обычной полевой теории, поэтому її приложениях очень многие авторы обращаются именно к ним в определении энергии, зачастую „дарсоткрывая" давно известные положения Наконец, в диссертации будут развиты в основном именно эти направления в исследованиях по законам сохранения как в ОТО, так и других метрических теориях гравитации.
їїі Многообразие подходов
В этом Пункте мы перечислим другие направления в построении и исследовании законов сохранения. На некоторые из них мы будем ссылаться в основном тексте, но они не будут основой для диссертации, а приведены для того, чтобы отобразить их многообразие
Расщепление пространства-времени на прострапствепнопо-добпые гиперповерхности:
Прежде всего, без обсуждений в силу их известности, отметим два родственных метода, на основе которых конструировались и конструируются законы сохранения, с результатами которых, как правило, сравниваются результаты других подходов [см* некоторые обсуждения ниже в этом Пункте] Это метод хронометрических инвариантов Зельмано-ва [126, 127] Вторым является метод 3 + 1-расщеиления пространства-времени и гамильгонова формулировка ОТО предложенные и разработанные Арповнттом, Дсзером и Мизнером [128, 129, 3], Их определение сохраняющихся величин (поверхностных интегралов] основано на редукции нефизических степеней свободы гравитационного поля в гамильтониане постікмчпюм только из связей Можно сказать поворотной была статья, Редже и Теїїтельбойма |130], где поверхностные интегралы Ар-новитта, Дечера и Мизнера вошли в нередуцированный гамильтониан, который обычно ис пользуете я как асимптотичес кий генератор эволюции изолированной системы
Поверхностные интегралы от тензора кривизны:
После открытия супер потенциалов стало ясно следующее. Чтобы определить сохраняющиеся величины внутри некоторого конечного [не беско-
нечно малого] объема нужно зафиксировать лишь значения метрических коэффициентов на границе эюго объема Тогда эти величины определяются через поверхностные интегралы по границе. Такие определения называют кбазилокалъпыми Насколько нам известно, впервые зтот термин был введен Пенроузом в работе [131]. В последние 20 лет это направление получило активное развитие, результаты которого подробно отражены в недавнем обзоре Сшабадоша [132]
В этом подПупкте мы обсудим несколько работ, где сохраняющиеся величины определяются так называемыми зарядовыми" поверхностными интегралами от некоторых комбинаций компонент тензора Римана Главные принципы подхода содержатся в работе Пенроуза [131]. Рассматривается линейная гравитация в пространстве Минковского Линеаризованные уравнения Эйнштейна выписываются так, что левая часть выражена через линеаризованный тензор Римана, Затем уравнения сворачиваются с каким-либо из векторов Киллннга пространства Минковского так, что левам часть представлена в виде дивергенции от некоторой антисимметричной комбинации компонент тензора Римана Такая форма аналогична уравнениям электородиналшки, гд<г справа заряд, а слева ди-вегенция от тензора напряжений. Интегрирование по некоторому объему так определенного „гравитационного заряда41 справа сводится к поверхностному интегралу от поддивергентного выражения слева. Для каждого из векторов Киллинга определяется соответствующая сохраняющаяся величина, естественно, вектору временных смещений — энергия При использовании этого выражения для определения сохраняющихся величии в асимптотически iltockoy: пространстве-времени линеаризованную версию тензора Римана можно заменить полной.
Построение „зарядовых11 интегралов получило развитие и приложения в работах многих авторовт отметим некоторые из них. Тод [133] - [135] использует подход Пенроуза для определения массы черных дыр. Море-
тни [136] - [138], используя в качестве фонового также пространство Мин-конского, разработал описание как углового момента, так и других величин для асимптотически плоского прос транства.-времени на изотропной бесконечности Голдберг [139] обобщил кострукцию Пеироуза, используя произвольные векторы смещений и не иснольчуя вспомогательного пространства Минковекого Показано, что па бесконечности асимптотически плоского пространства-времени его построение переходит в конструкцию Пенроуза
Кеазилокальиый подход Брауна-Йорка:
В последнее десятилетие очень популярным стал подход разработанный Брауном и Йорком [МО], основанный на обобщенном анализе Гамильтона-Якоби примененном к гравитационному действию. Рассматривается пространственно ограниченная гравмтирующая система, „История1' границы представляет (обой времсниподобную 3-мерную гиперповерхность 5 [цилиндр] в 4-мсриом пространстве-врем єни. Рассматривается обычное действие ОТО, для котрого 3-метрика на S предполагается фиксированной Эта 3-метрика играет роль фиксированного временного интервала в обычной нерелятивистской механике, который отделяет начальную и конечную конфигурации Тогда, по аналогии с обычным определением процедуры Гаыильтона-Якоби, с помощью функциональной производной от действия по 3-метрике на 5 определяется поверхностный тензор энергии-импульса тп на 5. Предполагается, что 3-мерное пространственно подобное сечение постоянного времени, на котором собственно рассматривается система, ортогонально 5- Пересечение S и S — это 2-мерная поверхность В с топологией 2-сферы, она и есть пространственная граница системы. Нормальные и тангенциальные проекции ти на В дают поверхностныр плотности энергии, импульса и пространственных
напряжений па В. которые приводят к квазилокальным выражениям Интеграл от поверхностной плотности энергии по В определяет квази-локальпую энергию в области Е ограниченной В Суіштвенньш оказывается определение фонового З-простраштва, которое единственным образом [если В во всех точках имеет положительную внутреннюю кривизну] определяется изометрическим вложением в него В Окончательно квазилокальная энергия определяется в виде интеграла от разницы скаляра внешней кривизны Ву как вложенной в , и скаляра внешней кривизны В} как вложенной в фоновое пространство. Квазилокальный подход Брауна-Йорка получил очень активное развитие, см. лишь некоторые работы по чтому поводу (141] - [157| Одним из важных обобщений был отказ от ортогональности и S. Необходимо отметить, что наряду с авторами направления в разработке этого подхода самое активное участие принял и принимает Лау Одна из последних работ [158] включает детально весь разработанный за эти годы филигранный математический аппарат и может служить в определенном смысле учебником по квазилокальному подходу Брауна-Йорка
Галшльтонов подход в построении законов сохранения:
На первых этапах развития гамильтоновой динамики ОТО [см под-Пункт Расщепление, прострапства-бршеии на пространственно подобные гиперповерхности на стр 20] поверхностными интегралами вообще пренебрегали a prion. Но в результате, после исключения нефизических степеней свободы, поверхностные интегралы возникали снова, как выражения для сохраняющихся величин уже в пространство-времени с „реальными координатами'1 Чтобы предать более последовательный статус поверхностным интегралам требовалось в определенном смысле изменить подход Одним из таких подходов оказался подход Тульчие-
ва [159, 160]. основанный па симплектичсских соотношениях- Как от-мегил Кижовсжн [соавтор в последней ссылке], „ґцля этого канонического формализма поверхностные интегралы настолько же важны, как и объемные" В абстрактных обозначениях подход означает следующее. Какая-либо полевая теория сводится к теории симплектических соотношений между объектами четырех сортов- полевыми переменными #, их производными, каноническими импульсами р** и токами j (дивергенциями j — дир^\ Основное соотношение, которое связывает эти объекты имеет вид dL = dpffidq) Его интегрирование по пространству и известный способ определения гамильтониана приводит к истинно гамильто-новой системе только в случае наложения еоответстующих граничных условий. Это могут быть либо условия Дирихле, либо условия Неймана, либо какие-то смешанные граничные условия В каждом случае определяется свой собственный гамильтониан, который однозначно генерирует эволюцию системы, но каждый раз в отличном пространстве функций, соответевующих именно этим граничным условиям
Кижовски и Йежерски развили этот формалізм в приложении к ОТО )161( - [164] Отметим важные моменты 1) Используется так называемая ттафинная формулировка^ ОТО, то есть в качестве полевых потенциалов ОТО принимаются скорее связности Г* чем компоненты метрики. 2) Эволюция гравитационного ноля рассматривается внутри конечной трубки, на. границах которой и выбираются те или иные условия, чтобы получить замкнутую гамильтонову систему Стенки трубки могут быть смещены на бесконечность, и условия станут асимптотическими. 3) Гамильтониану придается смысл полной энергии системы внутри границы, кроме того его построение [163] вполне соответствует „философии'1 ква-зилокальпых представлений [132|
Их подход получил развитие и в различных приложениях Так, в работе [162] в рамках линейной гравитации требование положительной
определенности гамильтониана приводит к возможности .^локализовать" гравитационную энергию в том смысле, что сутцествуют единственные граничные условия [смешанные], которые и приводят к единственному гамильтониану, удовлетворяющему этому требованию Элементы их подхода оказываются полезными при исследовании гравитационных волн на фоле шварцшильдовой геометрии [164],
Метод снмплектических сооотношений получил активное развитие в работах Нестера с соавторами {165] - \\Щ На его основе они построили так называемый ковариантный [4-ковариантный] гамильтоюв формализм для обобщенных геометрических гравитационных теорий, то есть теорий включающих как кручение, так и неметричность ОТО рассматривается как частный случай. Обобщенный гамильтониан, кроме как от фазовых переменных, зависит от комбинации функции хода и вектора сдвига как 4-мерного вектора смещении, и в зависимости от его выбора определяет ту или иную сохраняющуюся величину На связях он пред-ставляет собой некоторую дивергенцию, что для сохраняющихся величин приводит к поверхностным интегралам [квазилокальным выражениям]. В окрестности границы, по которой ведется интегрирование вводится вспомогательная метрика фонового просгранства-времеии. Прежде всего она необходима для определения нуля энергии в пустом пространстве. Вообще говоря, фоновое пространство-время может быть произвольно искривленным
Телемараллелъная теория гравитации:
Представление ОТО в терминах тетрадных переменных [2] и последующая идея Мёллера па этой основе построить законы сохранения [см. Пункт viii Раздела 5.1] в настоящее время получила мощное развитие. Вариант Меллера оказался наипростейшим случаем так называемых те-
лепараллельных теорий гравитации, где при построении используется
как кручение, так и неметричность, а затем Риманова кривизна такого
сложного пространства-времени полагается равной нулю ОТО оказы
вается частным случаем такого класса теорий. Их разработка ведется
сейчас многими авторами, но наиболее активно Пестером и его груп
пой [170] - [176] и Малуфом с соавторами [177] - (181| Необходимую ин
формацию можно найти в этих работах и ссылках в них- Мы отметим
только, что в рамках этого подхода как в лагранжевом, так и гамиль-
тоновом описании также конструируются законы сохранения, которые
могут быть использованы конкретно в ОТО. 1
Искривленный фон индуцированный энергией гравитационного ПОЛЯ'
Здесь мы отметим два подхода, различные формально, но имеющие родственную физическую основу, где искривленный фон определяется тем, что энергия гравитационного поля «прогибает'4 пространство-время. Сначала отмстим две работы Айзаксош [182], на которые особо обращал внимание Зельдович [183[. Айзаксон рассматривает высокочастотное гравитационное излучение Гравитационные волны переносят энергию, а 'значит сами искривляют протраистио-время Поэтому естественно рассматривать их распрос гранение в фоновом пространстве-времени, кривизна которого определяется их собственным тензором энергии-импульса Термин высокочастотный означает, что длина гравитационной волны много меньше, чем характерный масштаб кривизны фонового прострагнтва-времени К сожалению, не удалось получить ясного самосогласованного решения этой модели и идея не получила должного развития, несмотря на свою физическую привлекательность.
Второй подход — это подход Полшцука [184, 185|, где вместе с зель-
мановской монадой [1-формой времени] рассматриваются еще три пространственных взаимоортогональных 1-формы, то есть рассматривается взаимоортоїопальная тетрада Уравнения Эйнштейна переписываются в виде сходном v формой уравнений Максвелла, где слева линейный оператор от тетрадных переменных, а справа тетрадный ток [включающий и материальные переменные]. В основе подхода та же идея, что все поля [включая гравитационное] прогибают пространство-время. Для локализации энергии требуется локализация системы отсчета, то есть тетрады. В общем случае такая фиксация могла бы определяться 14-ю инвариантами кривизны, которые определяют 4 собственных значения тензора Вейля, 4 собственными значения тензора Риччи и 6 углов между их каноническими тетрадами.
Центральные заряды в калибровочных теориях:
Построение физически значимых зарядов, соотнесенных к калибровочным симмеїриям в таких теориях как электродинамика или теория полей Янга-Миллса имеет, как минимум, важное теоретическое значение Проблемы их построения имеют много общего с построением комплексов энергии и импульса, в ОТО и связаны с изучением асимптотических симметрии и законов сохранения на их основе В качестве основы для этих построений, как правило, используется канонический метод Нетер, который приводит к сохраняющимся токам. На полевых уравнениях эти токи представлены в виде дивергенций от суперпотенциалов Одной из ключевых работ па эту тему является статья Барнича и Брандта |186], Они дают подробный анализ предшественников и устанавливают общее соотношение между структурой суперпотенциалов и калибровочными симметриями в лагранжианах Там же можно найти многочисленные ссылки на эту тему и со<тавить представление, насколько ингепшю это
направление развивается в последнее время-Широко известка, неоднозначность в определении су пер потенциалов, которая проявляет <ебя в любой теории. Сильва [187, 188] предложил критерий для ее ограничения, В качестве основы он в*ял принцип Реджо и Тейтсльґюіїма |130] [см, также подПункт Расщепление пространства-времени па пространственно-подобные гиперповерхности на стр 20]т где гамильтониан ОТО, иредставленнный интегралом от связей свернутых с вектором смещений, дополняется специальными поверхностными интегралами Это вызвано следующим поскольку вариации полей в гамильтоновой динамике скорее имеют асимптотическое поведение па пространственной бесконечности, чем исчезают вообще, то вариация интеграла связей дает поверхностный интеграл, который не исчезает. При введении же этих специальных интегралов варьирование не приводит к таким неисчезаютцим членам и дает корректное построение пшильтоно-вых уравнений гравитационного поля Таким образом, принцип Сильвы для выбора суперпотенциала состоит в том, что дивергенции во.шикаю-щая при варьировании тока должна компенсироваться вариацией дивергенции от суперпотепциала
Обобщенная теория и обобщенные принципы применяются для построения центральных зарядов в конктретных теориях, таких как супергравитация [189, 190], а также в конкретных приложениях [191]. С одной стороны, ОТО используетгя как тестовая теория для результатов по построению центральных зарядов [192], С другой стороны, эти обобщенные результаты оказываются полезными для анализа известных результатов в ОТО
1,3 Мотивация и результаты исследования
і Актуальность темы и цель работы
Невозможно переоценить значение огромного количества результатов полученных в исследованиях отмеченных в разделах 1.1 and 1.2. Однако, отдавая им должное, необходимо отметить следующее
Часто рассматривается лигтть линейное приближение, без учета обратного действия возмущений, в то время как точность современных наблюдений в космосе требует более детальных рассчетов
Часто используется лишь плоский фон или фон с очень ограничивающими симмегриями, либо фоновое пространство-время вводится лишь в окрестности замкнутой поверхности для определения квазилокальной величины, либо вводится лишь фоновое пространство, но не пространство-время, и тд ,
Часто используются дополнительные предположения, и поэтому не ясно какие из результатов имеют общую значимості?, а какие могут измениться при изменении предположений Например, может ли подход использованные для одного фона использоваться для дру-юго, можно ли использовать различные системы координат, и тд
Используются различные отображения возмущенного прострашт-ва-времени на фоновое, то есть различные фиксации калибровчных свобод для вошущеиий. Не всегда ясно, когда различный выбор может повлиять на результаты, а когда нет, как различные калибровки связаны между собой.
Часто трудно найти связь между различными определениями сохраняющихся величин, иногда они противоречат друг другу, часто не связаны с описанием возмущений, а относятся только к нелокаль-
ным величинам, и, как правило, невозможно понять как проявляет себя нелокализусмость.
Исходя из актуальности изложенных выше проблем в исследованиях возмутспий на заданном фоне очевидна необходимость единого описания, в рамках которого предполагается их одновременное решение Таким образом, для такого описания требуются:
(а) ковариантность;
(б) возможность использовать произвольно искривленное фоновое про
странство-время,
(в) самосогласованные правила ^
дли построения возмущенных уравнений,
для построения сохраняющихся величин и законов сохранения для них, при этом необходимо дать конструктивный математический аппарат для рассчета нелокализуемост и дать связь локальных величин с глобальными и квазилокальными
(г) определение калибровочных преобразований для возмущений и их
действия на возмущенные уравнения и сохраняющиеся величины;
(д) точная (нелинейная) формулировка возмущенных уравнений, сохра
няющих* я величин [и законов сохранения для них], калибровочных
преобразований, это дает возможность получить и использовать лю
бой порядок при разложениях,
(е) простые рекомендации для приложений
Чтобы удовлетворить требованиям (а) — (е) необходимо разработать комплексный и обобщенный подход, использование которого приводит к
представлению метрических гравитационных теорий в виде точной теории возмущений в произвольно искривленном фоновом пространство-времени Тякая переформулировка гравитационной теории должна обладать всеми свойствами и атрибутами ,.обычпых" полевых теорий на, фиксированнном фоне, описание которых оспованно на принципе наименьшего действия Роль динамического поля должна играть совокупность всех возмущений — полевал конфигурация. Такая теория, будучи лишь переформулировкой, должна быть эквивалентна исходной метрической теории и мы будем называть ее теорети ко-полевой [или просто полевой] формулировкой гравитационной теории, в отличие от исходной метрической [или геометрической] формулировки
Таким образом, цель исследования настоящей диссертации состоит в разработке нового направления в физике гравитационного поля, развитие которого приводит к построению теоретико-нолевых формулировок метрических теорий гравитации Существенно большее внимание будет уделяться ОТО, поскольку она остается самой востребованной терией гравитации Целью является также использование возможностей развитого метода для решения некоторых важных задач космологии и астрофизики, и теоретических проблем гравитационной физики.
И Постановка задач и структура изложения
Диссертация состоит из 8 Глав. 6-ти основных, а также Введения и Заключения. Главы делятся на Разделы, а Разделы — на Пункты Чтобы не загромождать изложение тройными цифровыми представлениями Пункты нумеруются простыми малыми римскими числами Иногда мы вводим подПункты, которые не нумеруются, а их заголовки представлены курсивом в начале первого абзаца Для достижения поставленных в предыдущем Пункте целей ставятся конкретные задачи, сформулированные ниже. Здесь мы отмечаем в каких Главах они рассматриваются,
а во введениях к Главам и Разделам это описание конкретизируется до Пунктов
Теперь перейдем к постановке задач Изучение возмущений имеет длительную историю, в течение которой представлены многочисленные и разнообразные подходы. Естественно, что в определенной степени наше исследование является продолжением работ предшественников Из них в большей мерс соответвуют требованиям (а) — (е) два подхода от^ меченных в Пункте и Раздела 1 2 этого Введения,
Первый из нихт канонический? в рамках ОТО более полно развит Ка-цем, Бичаком и Линдеп-Беллом [193]. Он представлен на произвлольно искривленных фонах и в точной форме- Они построили дифференту-альные законы сохранения d^J11 — 0. Сохраняющиеся тори, векторные плотности Jl\ в свою очередь выражаются через дивергенции от супер-потенциалов, антисимметричных тензорных плотностей Рь'.
> = ^>у. (13 1)
Эта фирма законов (охранения как раз дает связь между локальными ве-личинами, поскольку токи 3& существенным образом выражаются через тензор энергии-импульса, и нелокальными величинами, поскольку интегрирование правой части (1 3 1) ведет к поверхностным интегралам. В качестве векторов смещений могут использоваться произвольные векторы, а не только фоновые векторы Киллинга При всех достоинствах канонического полхода Каца, Бичака и Липден-Белла, 1) не исследованы калибровочные свойства возмущенных систем; 2) поскольку изначально используеіся биметрическая форма, то ость возмущения не вводятся явно, то возмущенные уравнения не входят в структуру построения — разложения нужно делать независимо, 3) как в любом каноническом подходе, сохраняющиеся величины существенно зависят от дивергенций в лагранжиане, а значит от граничных условий при варьировании действия Существуют задачи, где такое определение необходимо и есто
ственяо. Однако важно иметь и более универсальные величины, которые не зависит от граничных условий Подробное описание этого подхода и его проблем дано в Разделе 5 2 и в Пункте і Раздела 5 А
Для развития второю подхода отмеченного в Пункте и Раздела 1 2-сишлетричтго, ключевую роль сыграла работа Дезера [194] Он представил возмущение уравнения Эйнштейна на плоском фоне в точном [без приближений] и замкнутом [без итераций] виде.
<>. = С > (1 3.2)
где (лева линейное по метрическим возмущениям выражение Позднее нами [195] на основании этих результатов симметричный подход был развит для произвольно искривленных фонов, в его рамках детально ис-следованы калибровочные свойства, а уравнения выведены сразу в возмущенной форме В этом заключаются одни из основных результатов автора, представленных в его кандидатской диссертации „Лаграпжево и гамильтоново описание релятивистского гравитационного поля11 и защищенных в 1988 году Однако, 1) законы сохранения были построены лишь для ограниченного класса искривленных фонов, не включающего важные коемолоіические решения, 2) не были построены законы сохранения с использованием суперпотепциалов Более подробно о проблемах симметричного подхода см. Пункт і Раздела 5.5
Оба подхода — это различные методы в рамках одной и той же теории, в данном случае ОТО, каждый из них дополняет другой и между ними должна существовать связь Поэтому, чтобы представить ОТО в законченой теоретико-полевой формулировке ставится общая задача
объединить канонический и симметричный методы
Эта задача включает в себя более конкретные задачи, кроме того, каждый подход имеет собственные перспективы.
Сначала обсудим задачи в развитии симметричного подхода в ОТО самого по себе. Начиная с работы Дсзера 1970 года )194] в основном используется определение метрических возмущений [динамического поля] в виде возмущении контравариантной метрической плотности \№ — ^f^ggW — у/^дд^. Именно с использованием этого определения проведены большинство исследований в настоящей диссертации Одної! из главных ставится задача
в терминах возмущений №и построить сохраняющиеся токи выра
женные через дивергенции от еуперпотепциалов на произвольно ис
кривленных фонах и для произвольных векторов смещений
Эта задача рассматривается в Главе 5, для ее решения необходимы результаты Главы 2, Также симметричный подход может быть развит в терминах возмущений других [кроме л/—ддІі!/\ метрических переменных, таких как gfllf, д^, {-g)gfllf и тд. Воульвар и Дезер [196] в 1975 году отметили, что из-за этой разницы в определении возмущений возникает неопределенность в определении симметричного тензора энерпщ-импульса гравитационного поля. До сих пор эта проблема не была решена В сізяіи с этим ставится задача
для различных определений метрических возмущений 1) выписать
возмущенные уравнений Эйнштейна, 2) построить сохраняющиеся
токи и суперпотенцналы, 3) исследовать соотношения между раз
личными вариантами, и 4) в конечном итоге разрешить неопреде
ленное ть Боульвара-Дсзера
Она нзучаег<я в Главах 2 и Ї Далее, поскольку существует необходимость исследовать не только линейные, но квадратичные и следующие порядки возмущений мы ставим задачу
представить конструктивный алгоритм в каждом порядке 1) для по
строения возмущенных уравнений и 2) для действия калибровочных
преобразований
В силу того, что полевая формулировка ОТО обладает свойствами обычных калибровочной теорий, должна существовать возможность
построить полевую формулировку ОТО с помощью истодов стан
дартных калибровочных теорий, то есть как результат локализации
каких-либо параметров
Мы рассматриваем эту задачу в Главе 2 Это важно как теоретическое и<следование возможностей метода, а также для сравнения ОТО с калибровочными теориями тина Янга-Миллса
Обращаясь к каноническому подходу, отмечаем, что для построения углового момента кроме тензора энергии-импульса, как правило, необходимо участие спинового члена Но для определения всех сохраняющихся величии часто более предпочтительно использовать единый объект — симметричный тензор энергии-импульса В обычных „полевых1' теориях в пространстве Мииковского для симметризации используют классический метод Белинфанте [197J. Он же определяет связь симметричного и каноническского подходов Поэтому мы поставили следующие задачи1
Обобщить процедуру Белинфанте для использования в полевой формулировке ОТО па произвольно искривлешюм фоне Затем применить ее для „симметризации" известных канонических законов сохранения в ОТО Как ожидается, симметризованные суперпотеици-алы и сохраняющиеся токи не должны зависеть от введения каких-либо диверіенций в лагранжиан системы, а также от явного непользования спинового члена.
Исследовать связь симметризованных методом Белинфанте величии с новыми токами и суперпотенциалами полученными в рамках симметричного подхода в ОТО
Эти задачи рассматриваются также в Главе 5,
Учитывая огромный современный интерес к многомерным теориям гравитации, к космологическим сценариям в моделях с бранами, к со-путствующим эффектам и проблемам, мы ставим задачу
разработать теоретико-полевой подход для описания произвольной
метрической теории гравитации [ей может быть, например, как 4-
мерпаят так и jD-мсрная теория Эйнштейна, многомерная модель
Эйпштейна-Гауееа-Боне, какая-либо скаля рпо-тензорння теория, и
тд]. 1) представить обобщенные возмущенные уравнения, 2) по
строить симметричные [метрические], канонические, и Бслинфанте
симметрированные сохраняющиеся величины и -законы сохранения
для них, 3) исследовать связь различных определений,
и она исследуется в Главах 2 и 7. При построении токов и суперпотенциалов в ОТО, как и другой конкретной теории, всегда встает вопрос о единственности этих построений- Поэтому мы ставим задачу
# использовать обобщенные результаты предыдущего пункта для ис
следовании проблемы единственности построенных нами сохраняю
щихся величин в ОТО
и рассматриваем се в Главе 7.
Для полученных теоретических результатов важно найти конкретные приложении, к обсуждению которых мы переходим Широко известно, что модель асимптотически плоского пространства-времени в ОТО играла и играет важную роль в гравитационшгой физике. Результаты ее исследованияt такие как доказательство в начале 80-х годов теоремы положительности энергии островной системы в ОТО, имеют совершенно самостоятельный и важный теоретический интерес. Она также во многих случаях пред(тавляет островную систему в астрофизике. Для приложений теоретико-полевых методов эта модель интересна, поскольку
1) асимптотически она естественно рассматривается в виде полевой конфигурации на фоне плоского пространства-времени, которое определяется самой моделью, 2) само плоское пространство-время, в свою очередь, обладает 10-ти параметрической группой движений, что важно для определения глобально сохраняющихся величин. Таким образом, в Главе 3 для асимптотически плоского пространства-времени, используя определения сохраняющихся величин и технику калибровочных преобразований в полевой формулировке ОТО, ставятся задачи-
Как в лагранжевом, так и в гамильтовдвом описании построить все 10 глобально сохраняющихся величии на пространственной бесконечности, исследовать их инвариантность относительно калибровочных преобразований, и на основании этого получить наислабейшие гарантирующие ииваринтность глобальных величин условия падения для гравитационных потенциалов
Определить связь между квазилокальиыми определениями энергии и интеграла центра масс Брауна-Йорка и соответствующими стандартными каноническими определениями, основанными на результатах Арновитта-Дезера-Мизнера
А также в Главе 6 ставится задача
используя новью законы сохранения, полученные нашим методом,
определить энергию, импульс и их потоки на изотропной бесконеч
ности для решения Войди, и сравнить со стандартными
Интегральные связи в ОТО — это соотношения, где итегралы по ограниченному объему от некоторых величин, построенных только из материальных возмущений, определяются поверхностными интегралами по границам эгого же объема, где задаются лишь гравитационные возму-щения, и основную роль в них играют интегральные связевые векторы Траптен [198] в 1985 году в рамках фридмановских моделей построила 4
новых таких вектора [в добавок к уже известным 6-ти] и соответствующие им связи. Наши новые законы сохранения имеют форму (1 3 1) и их интегрирование как раз приводит к соотношениям связывающим объем-ные интегралы с поверхностными Поэтому в Главе 6 ставится задача с их помощью
построить интегральные связи для космологических возмущений на фридмановском фоне с каждым из знаков кривизны, сравнить их с известными и выявить новые связи с новыми векторами
Для развития нового метода в теории, а также для развития самой теории важно ииюльзовать зтот метод н приложении к известным решениям. В ОТО такими решениями являются, в частности, решения для черных дыр, без которых невозможно представить развитие современной астрофизики Однако, существуют важные методологические и интерпретационные проблемы, связанные с ними Таковыми в ОТО являются описание точечной массы и интерпретация дефекта масс Наш подход позволяет исследовагь эти проблемы, поэтому мы ставим одну из задач для Главы А'
построить полевую конфигурацию в плоском фоновом пространстве-времени, представляющую произвольное статическое сферически симметричное решение ОТО, а в частности, решения Шварц-шпльда и Рейенера-Норд< трема Исследовать для нее распределение энергии, ( использованием івойств которого решить описанные выше методологические проблемы.
Известно, что в теоретико-полевом описании, калибровочные преобразования изменяют траектории частиц на фоне. В линейном приближении этот эффект был отмечен Машхуном и Грнщуком [199], В связи с необ-ходимостью в астрофизике изучать движение частиц в окрестности релятивистских объектов важно исследовать этот эффект точно Поэтому
в Главе 4 ставится также задача
описать калибровочные преобразования траекторий в общих тер
минах, затем показать как под действием калибровочных преоб
разований изменяются траектории пробных частиц и окрестности
горизонта шварцшильдовой черной дыры, представленной полевой
конфигурацией на плоском фоне
Учитывая интерес к многомерным моделям и используя новые формулы, мы ставим задачу
в рамках D-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне построить поле
вую конфигурацию ;[ля черной дыры Шварцшильда-анти-дс Ситтс-
ра па фоне решения анти-де Сыттсра и рассчитать ее массу,
которая рассматривается в Главе 7
Как отмечалось, полевая формулировка гравитационной теории эквивалентна геометрической. Однако, если специальным способом ввести фоновую метрику в дейс твие еж темы до варьирования, то есч ь возможность изменить саму теорию, например ОТО, по существу Одной из таких модификаций ОТО является унимодулярная теория гравитации, где, в отличие от обычной ОТО, космологическая постоянная возникает как константа интегрирования уравнений, а не как постоянная заданная руками" в действии ОТО При построении квантовых вариантов космологических моделей на основе упимодулярной теории возникают существенные отличия, которые могут оказаться важными [200] в свете недавнего открытия ускоренного расширения Вселенной и связанных с ним теоретических проблем [03] Исходя т этого в терминах метода фонового пространства-времени в общем, но не в рамках возмущенной формулировки ОТО, ставится задача
исследовать новые возможности построения упимодулярной теории
гравитации
По логике эта задача более всего соответствует изложению в Главе 2, где она и рассматривается.
Последовательно* ть изложения в диссертации н большой (тепонп соответствует хронологии с оответ< твующих публикаций і1ри г-*том, і трук-тура диссертации обусловлена логически и тематически. Глава 2 является сугубо теоретической, ее результаты используются в приложениях к различным моделям в Главах 3 и 4, Глава 5 снова является скорее теоретической, а се результаты и результаты предшествующих Глав используются как приложения в Главе 6. Глава 7 в определенном смысле обобщающая, содержит как теоретическую часть, так и приложения
їіі Результаты, вынесенные на защиту
Все поставленные выше задачи успешно разрешены В результате впервые в мире в исследованиях но гравитационной физике [включая ОТО] в максимально полной форме разработан единый и самосогласованный подход в исследовании возмущений. Он основан на совокупности теоретических положений, при использовании которых метрическая теория гравитации без изменения физического содержания представляется в виде точной теории возмущений в заданном произвольно искривленном фоновом пространстве-времени. Совокупность возмущений играет роль динамической полевой конфигурации Эта формулировка, опираясь на принцип наименьшего действия, обладает всеми атрибутами полевой теории на фиксированном фоне, лагранжианом и действием, полевыми уравнениями, калибровочными свободами, (охраняющимися величинами и законами сохранения для них Во многом исследование было вызвано необходимостью комплексного и полного метода для изучения возмущений в космологии и астрофизике. Как мы показали, его результаты, действительно, являются очень важным и полезным в таких приложениях. Ниже мы перечисляем важные и оригинальные результаты, полученные
ГПСС Vа
roc//,. от: і
в рамках развитого подхода, и которые выносятся на защиту.
1. ОТО представлена в теоретико-полевой форме, то есть в виде точной теории полей возмущений на фоне произвольно искривленного пространства-времени. Построены новые сохраняющиеся величины: токи и суперпотенциалы, которые а) удовлетворяют существующим тестам, дают б) конструктивное описание нелокализуемости, в) связь локальных и глобальных характеристик, и г) включают произвольные векторы смещений
Разработан оригинальный метод локализации векторов Киллинга фона, аналогичный локализации параметров какой-либо группы при построении стандартных калибровочных теорий В результате ею применения ОТО построена, как теория типа Янга-Миллса
Процедура симметризации Белинфанте обобщена как для произвольных фонов, тлк и для произвольной метрической теории Ее применение завершило построение теории возмущений в ОТО,
4. (і) Разработан теоретико полевой подход для произвольной метрической теории Построены метрические, канонические и Белинфанте преобразованные токи и суперпотенциалы Как приложения а) доказано, что новые сохраняющиеся величины в ОТО однозначно определены выбором лагранжиана; б) в D-мерпой модели Эйпштсй-на-Гаусса-Бонс рассчитана масса для решения Шпарцшнльда-апти-де Ситтера. (п) Найдены расширенные возможности в построении унимодуляриой теории гравитации, одного из претендентов на объяснение ускоренного расширения Вселенной Это очень важно п свете современных космологических наблюдательных данных
5 Для островной модели в ОТО [одной из самых важных, поскольку она представляет гравитационное тюле многих астрофизических
объектов] исследована нолевая конфигурация' (і) па пространственной бесконечности а) найдена максимально слабая асимптотика, б) доказана эквивалентность определения центра мае с в каноническом и квазилокалыюм подходах, (в) на иютрошюй бесконечности рассчитаны полные энергия, импульс и их потоки.
На космологических фонах Фридмана при fc = 0, ±1 и с использованием конформных векторов Кнллинга найдены и проанализированы новые интегральные связи для материальных и метрических возмущений
Описание астрофизических объектов, таких как черные дыры, полу-чено с помощью полевых конфигураций в пространстве Минковгко-го Представлены: а) распределение энергии, где б) истинам сингулярность трактуется как точечная частица; в) калибровочная зависимость траекторий пробных частиц, не исключая окрестности горизонта событий, г) непротиворечивая трактовка дефекта масс Некоторые из этих результатов могут быть использованы для изучения генерации гравитационных воли черными дырами.
Настоящие результаты представлены в 26-ти публикациях' |195], [201] -[225], из них 22 — в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах и 4 — в рецензируемых сборниках. Результаты также представлены на конференциях и в препринтах- [226] - |239]
iv Обозначения
Здесь мы представляем основные и единые обозначения, которые используются в диссертаиии. Этот список ис охватывает все обозначения, поскольку многие из тех, которые используются ограниченно, будут введены лишь в основном тексте. Иногда в разных Разделах одни и те же символы используются для обозначения разных величин. Это не должно
привести к путанице, поскольку везде используются конкретные определения. Причина таких повторений в обозначениях в том, чтобы но вводить неудобных, непривычных или громоздких определений, или, при необходимости, чтобы сохранить соответствие с оригинальными публи-каїціями.
Греческие индексы обозначают 4-мерные [а также D-мерные] пространственно временные координаты ха.
Обычно х = с, где с — скорость света, а обычное время; в Разделе б 1 j; = 7) — конформное время, в Разделе 6 2 х — и — изоторопная координата
Малые латинские индексы с середины алфавита г7 j, к, ..., как правило, обозначают 3-мерныс пространственные координаты,
Большие латинские индексы Д Б, С, ... обозначают 4-мерные [а также D-мсрные] обобщенные индексы для каких-либо тензорных плогноітей^ или набора тензорных плотностей ^
Крышка "Q" над величиной означает, что Q — плотность веса -ті.
Черта над величиной 'Ч^11 значаст, что величина Q — фоновая
Ян»* 9f!L\ Я**** . *. — 4-мерпые [а также О-мерпые] физические метрические переменные, д = dctg^,
9 ffwi/t 3^ j 9 і -- " 4-мерные [а также D-мерные] фоновые метрические переменные, д = detj^„.
дгк = gjk — 3-мерная физическая метрика на сечениях х = const,
gib = glk — 3-мерная фоновая метрика на сечениях хи = const, gW=detglk.
jfpv — 4-мерная (а также ZJ-мерпая] метрика Минковского.
В Главе 3 используется сигнатура (—, +, +, +); в Главах 4 и 6 — (+, —, —, -), в Главо 7-(-,+,.,.); В Главах 2 и 5 сигнатура не конкретизируется
Ы, (Д (Д . - или (да), (dt)i (да)і -. - — частные производные
(D
(Da) — 4-мерные [а также /)-мерные| фоновые ковариантные производные, построенные по g с символами Кристоффеля Г?
В?р01/1 Rpv, G^vi Т^ и R — тензоры Римана, Риччи, Эйнштейна, энергии-импульса материальных полей и скаляр кривизны физического пространства-времени.
R ^и IlpVi G^v- '1\ш и R — тензоры Рішана, Риччи, Эйнштейна, энергии-импульса материальных полей и скаляр кривизны фонового про< транс тва-времетш
(а/5) и [ав] — пгмметризация и антисимметризация по а и /3
\{t — векторы Киллннга ([зонового пространства-времени
к = 8itGfc2 — постоянная Эйнштейна в ОТО в 4-мерии,
