Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение. Методы анализа нелинейных моделей физических процессов 13
1.1. Метод обратной задачи 16
1.1.1 Преобразования Бэклунда 16
1.1.2 Метод обратной задачи рассеяния 17
1.1.3 Метод преобразований Дарбу 18
1.2 Симметрийный подход 19
1.3 Точные решения уравнений движения вязкой жидкости 20
Глава 2. Обобщенная подстановка Коула-Хопфа 23
2.1 Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+1.
Точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости 24
2.1.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+1 24
2.1.2 Рекуррентные соотношения 25
2.1.3 Общая схема и примеры ее использования 27
2.1.4 Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах 28
2.1.5 Обобщенное базовое соотношение 30
2.1.6 Выбор функции Ф в различных физических задачах 31
2.1.7 Вид первых интегралов гидродинамических уравнений и свойства их решений 32
2.1.8 Расчет ударных волн в сжимаемом вязком газе 34
2.1.9 Матричное расширение 36
2.2 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. Точно интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости 37
2.2.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2 38
2.2.2 Рекурентные соотношения 40
2.2.3 Общая схема 41
2.2.4 Комплисифицированная форма базовых соотношений 42
2.2.5 Уравнения гидродинамического типа 45
2.2.6 Уравнения Эйлера сжимаемой жидкости 47
2.2.7 Построение точных решений уравнений двумерных течений 48
2.2.8 Выбор функций G и Н 49
Глава 3. Гидродинамические волны в самогравитирующих сжимаемых средах 53
3.1 Одномерное течение вязкой жидкости с переменной плотностью 54
3.2 Одномерное течение вязкой жидкости в собственном поле тяготения 56
3.3 Модифицированное уравнение Бюргерса 58
3.4 Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости 60
3.5 Дополнительные классы интегрируемых моделей 61
3.5.1 Решение с Хаббловским потоком 61
3.5.2 Течение на полупрямой 63
3.5.3 Модели газовой динамики 63
3.6 Динамика невязкой самогравитирующей пыли 65
3.7 Сферически и цилиндрически симметричные течения самогравитирующей идеальной сжимаемой жидкости 66
3.8 Классы точных решений уравнений вязких течений 69
Глава 4. Формирование структур в самогравитирующих сжимаемых средах вследствие джинсовскои неустойчивости 73
4.1 Джинсовская неустойчивость в одномерном случае 73
4.2 Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией 77
4.3 Обратная волна сжатия 81
4.4 Заключение 84
4.5 Приложение 85
Литература 86
- Метод преобразований Дарбу
- Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах
- Модифицированное уравнение Бюргерса
- Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией
Введение к работе
Актуальность работы. Нелинейные волны в сжимаемой среде являются одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики атмосферы и заканчивая астрофизикой и космологией. Исследование возникновения и распространения ударных волн при различных физических условиях и свойствах среды, является типичной задачей в таких исследованиях[4а]. Одной из часто возникающих задач в астрофизике является описание различных явлений, сопровождающихся высвобождением огромных энергий за небольшой промежуток времени[7а] в поле тяготения, создаваемом самим веществом исследуемого объекта. К таким явлениям относятся, например, взрывы сверхновыхисбросы оболочек звезд,которые сопровождаются возникновением ударных волн, распространяющихся как внутри звезд, так и в газопылевых облаках и межзвездной среде[8а]. Для космологии одной из фундаментальных задач является описание возникновения крупномасштабной структуры в распределении галактик, которая так же связана с проблемой описания динамки сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных волн в сжимаемой самогравитирующей среде является актуальной задачей.
К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать течения сжимаемой среды в различных частных случаях. Широко распространенным подходом является численный анализ уравнений динамики жидкости. Однако, не смотря на его эффективность, он обладает рядом недостатков, которые заставляют искать новые методы и подходы к решению задач гидродинамики на основе аналитических методов построения их точных решений. Среди таких методов в динамике сжимаемой среды наиболее широко распространенным является метод годографа [4а, 19а]. Этот метод для некоторых частных задач применялся к исследованию образования крупномасштабной структуры Вселенной [11а]. Для несжимаемой вязкой среды важное значение имеет метод Коула-Хопфа [12а]. Однако для целого круга задач эти методы либо не могли быть применены, либов рамках этих методов не удается часто проанализировать динамику изучаемых объектов с достаточно степенью детальности и наглядности. В связи с этим возникает задача отыскания новых методов и подходов для анализа задач сжимаемой среды, в особенности для решения самосогласованной задачи ее течений в собственном поле тяготения. Таким новым общим методом является метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа[1а], использование которого для задач гидродинамики сжимаемой среды является актуальной задачей для физики атмосферы, астрофизики, космологии и других разделов теоретической физики.
Цель работы.Создание методов решения задач динамики сжимаемой жидкости на основе обобщенных подстановок Коула-Хопфа.Построение развитого метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам гидродинамики самогравитирующих систем. Рассмотрение точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости. Применение полученных результатов для моделирования волновых процессов в сферически и цилиндрически симметричных самогравитирующих системах.
Задачи исследования.
Обобщить метод подстановок Коула-Хопфа на более широкий класс нелинейных уравнений типаБюргерса.
В рамках обобщенного метода найти уравнения, описывающие течения сжимаемой жидкости и построить их решения.
Построить модель динамики сферически симметричной самогравитирующей системы для различных начальных распределений плотности среды и ее скорости. Провести ее анализ на наличие волновых решений.
Исследовать распространение ударных волн газопылевых облаках с помощью построенной математической модели.
Методы исследования.Для исследования интегрируемых нелинейных
дифференциальных уравнений в диссертации применяется метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа, развиваемый в гл. 2. Далее с его помощью в гл. 3 строятся точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости, а в гл. 4 модели сферически симметричных самогравитирующих систем.
Научная новизна. В работе представлены следующие результаты.
Предложено и развитообобщение метода подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х), позволяющее строить иерархии полностью интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных и их точных решений в произвольной координатной размерности. Получены новые классы интегрируемых уравнений в частных производных гидродинамического типа.
С помощью МОПК-Х построены новые примеры точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2. Найдены интегралы движений для большого класса уравнений сжимаемой жидкости для разных физических условий.
С помощью МОПК-Х получены новые классы точных решений течений сжимаемой среды в собственном поле тяготения для начальных условий с различными типами симметрии (плоской, цилиндрической, сферической).
Впервые найдены в форме явных обобщенных подстановок Коула-Хопфа точные решения, описывающие формирование крупномасштабных структур в облаках пыли и газа вследствие гравитационной неустойчивости Джинса для произвольных начальных распределений скорости и плотности среды, имеющих плоскую, цилиндрическую или сферическую симметрии.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в диссертации точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости и сферически симметричных самогравитирующих газопылевых смесей могут быть использованы для решения астрофизических задач динамики нелинейных ударных волн в звездах и межзвездной среде, формирования крупномасштабных структур в самогравитирующей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса, а также для точного решения задач гидродинамики о течениях сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Для пары базовых дифференциальных
соотношений (обобщенные подстановки Коула-Хопфа), связывающих три
вспомогательные функции T,U,V, существует совокупность дифференциальных
следствий, образующих замкнутую систему алгебраических уравнений конечного порядка относительно производных функции Т. В результате, для каждого линейного дифференциального оператора/, в частных производных в размерности 1+1 и 1+2
существует нелинейное дифференциальное уравнение, преобразующееся (линеаризуемое) с помощью обобщенной подстановки Коула-Хопфа к уравнению LU = 0 или L V = О
Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики сжимаемой идеальной жидкости к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде, в том числе для некоторых типов двумерных течений идеальной жидкости.
Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики вязкой сжимаемой жидкости (аналог уравнения Бюргерса) к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде.
Класс обобщенных подстановок Коула-Хопфа, преобразующих уравнения течений идеальной самогравитирующей среды к интегрируемым уравнениям, позволяющие получить точные решения в явном виде.Полученные решения описывают динамику ударных волн в сжимаемых самогравитирующих средах вследствие наличия локальных возмущений.
Метод построения точных решений уравнений формирования крупномасштабных структур в самогравитирущей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса при наличии локальных возмущений в среде с уравнением состояния р = 0. Точные решения позволяют вычислять в явном виде: а)пространственную структуру волн плотности в каждый момент времени; б) время до образования сингулярностей при заданных начальных распределениях плотности и скорости среды;в) асимптотическое поведение параметров среды вблизи сингулярности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики Ульяновского государственного университета, а также наконференцияхРоссийская школа-семинар по гравитации и космологии GRACOS-2007 (г. Казань); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.); Седьмая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва); Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.);Шестая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 г.); Конференция-конкурс молодых физиков (Физический институт академии наук, г. Москва, 31 января 2011 r.);XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.);Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва).
Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1] -[5], опубликованных в ведущих российских и зарубежных журналах. Работы [1] - [3] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из четырех глав. Список литературы содержит 225 наименования. Общий объем 121 страница.
Метод преобразований Дарбу
В основе симметрийного подхода лежит свойство совместности, или коммутативности потоков, образующих интегрируемую иерархию. При этом непрерывные потоки отвечают непрерывным симметриям, а дискретные преобразованиям Дарбу-Бэклунда. Это означает, что преобразование Бэклунда (теорема Бьянки) приводит к уравнениям с двумя дискретными независимыми переменными. Наоборот, любое дискретное уравнение, обладающее высшими симметриями, можно интерпретировать как принцип суперпозиции для некоторого преобразования Бэклунда.
В настоящее время есть несколько общепринятых точек зрения на эти точно решаемые задачи. Согласно одной из них, главной целью анализа является решение соответствующей задачи с начальными условиями. Это решение строится при помощи метода обратной задачи рассеивания (МОЗР). Его можно рассматривать как обобщение метода преобразования Фурье, который обычно применяется для решения линейных задач.
Рассматриваемые задачи обладают чрезвычайно богатой внутренней структурой, и это позволяет рассматривать их с различных точек зрения, не обязательно связанных с МОЗР. Многие такие подходы более удобны, если нас интересуют частные решения, например солитоны, а не общее решение задачи с начальными условиями.
Ценность метода обратной задачи рассеяния состоит в том, что он позволяет исследовать нелинейную задачу по существу методами линейной теории. Но это преимущество, конечно, могут вполне оценить только те, кто уже знаком с линейной теорией и ее результатами.
Численные и аналитические исследования динамики вязкой жидкости наталкивается на серьёзные трудности связанные, прежде всего, с наличием в уравнениях движения как линейных, так и нелинейных слагаемых, представляющих различные силы, действующие на частицу жидкости в процессе её движения. Другой серьёзной проблемой является отсутствие в системе уравнений Навье-Стокса эволюционного уравнения для давления. Использование системы уравнений для завихренности, не содержащей давления в явном виде, но имеющей более высокий порядок, приводит к необходимости формулировки дополнительных граничных условий, приближённых вариантов которых может быть множество [9]. Исключение давления из уравнений не избавляет от необходимости его вычисления, поскольку давление может фигурировать в граничных условиях, как, например, в задачах со свободными границами. Как бы то ни было, задача исследования свойств уравнения Навье-Стокса и разработки эффективных методов его решения далека от своего решения. Одним из основных направлений исследования уравнения Навье-Стокса является отыскание возможных типов (классов) его точных решений.
Ясно, что в связи с серьёзными математическими трудностями, точное решение может быть найдено лишь для небольшого числа сравнительно простых в математическом смысле задач. Тем не менее, это не умаляет значимости точных решений для теории и приложений, поскольку любое решение наследует определённые свойства присущие полным уравнениям Навье-Стокса и одновременно свободно от ряда допущений, характерных для приближённых моделей. Роль, играемая классами решений уравнений гидродинамики, выходит далеко за рамки простых тестов, предназначенных для проверки правильности уже имеющихся теоретических представлений или отладки численных схем. Исследование классов точных решений даёт возможность получения совершенно новых, порой неожиданных результатов.
Решением некоторого заданного уравнения, как известно, называется функция, которая будучи подставленной в это уравнение, обращает его в тождество. Аналогично вводится определение решения системы уравнений. В гидродинамике известно лишь очень небольшое количество точных решений (слово «точных» подчёркивает то, что речь идёт не о приближённых решениях), удовлетворяющих жёстким требованиям данного только что классического определения. По этой причине понятие точного решения со временем трансформировалось и расширялось. Не пытаясь дать строгого определения, укажем лишь на то, что в настоящее время понимается под термином «класс точных решений» большинством исследователей [11, 12]. Класс точных решений это такое представление гидродинамических полей, которое позволяет редуцировать исходную систему уравнений Навье-Стокса к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или к уравнениям в частных производных относительно функций не более чем двух аргументов, один из которых, как правило, связан со временем.
Данное таким образом «определение» точного решения указывает на основной способ их получения, связанный с уменьшением количества переменных, от которых зависят искомые величины. Сокращение числа аргументов может быть достигнуто, например, путём учёта симметрии, заложенных в постановке исследуемой задачи (плоскопараллельность, осе-или центральносимметричность). Для нахождения автомодельных связей между переменными могут быть полезны принципы теории размерностей и подобия [13]. По-видимому, наиболее теоретически развитыми методами отыскания симметрии и точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и уравнений Навье-Стокса, являются методы группового анализа [11, 14].
Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах
Здесь f,W,V,D - квадратные N х N матрицы, элементы которых являются функциями х и t. Ясно, что процедура построения замыкания системы производных соотношений может быть воспроизведена и в данном случае, когда элементами уравнений являются матрицы. Действительно, вычисляя совокупность производных в соответствии с методом скалярного случая, получаем аналог системы производных соотношений (2.3) в следующем виде:
Однако, в отличие от МОЗ в данном подходе не требуется наличие спектрального параметра для построения решений уравнений, соответствующих (2.37). В настоящем подходе точные решения вычисляются из базовых соотношений (2.35), а дополнительная связь строится с помощью дополнительного условия для матричной функции f.
Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. Точно интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости. В предыдущем разделе на основе использования результатов работ [204, 205, 206] был найден эффективный способ перечисления всех нелинейных эволюционных уравнений в частных производных размерности 1+1, которые интегрируются с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Этот подход известен изначально как метод интегрирования уравнения Бюргерса [211, 212] и некоторого более широкого класса уравнений исследованных, например, в [208]. В настоящее время классы уравнений, интегрируемые с помощью такого рода подстановок называются уравнениями типа Бюргерса. Достаточно полный обзор работ в этой области можно найти в [207]. Основным результатом предыдущего раздела было применение развитого метода к задачам интегрирования уравнений одномерного течения сжимаемой жидкости как в случае идеальной жидкости так и в случае наличия у нее вязкости. В настоящем разделе предлагается нетривиальное обобщение развитого в [213] подхода на случай размерности 1+2. До этого метод подстановок Коула-Хопфа не использовался в размерности 1+2 и выше, по крайней мере, как систематический метод. Это позволяет отыскивать новые классы точно интегрируемых нелинейных уравнений в этой размерности. Основной целью данного раздела является применение развитого подхода к задаче интегрирований двумерных уравнений Эйлера сжимаемой жидкости [214].
Здесь U(x,y,t),V(x,y,t),Q(x,y,t) - вспомогательные функции. Как и в размерности 1+1 из этой системы уравнений можно получить замкнутую систему линейных алгебраических уравнений относительно всех первых и вторых производных функции T{x,y,t) прямым дифференцированием уравнений (2.38) по x,y,t [214]. Прямой проверкой устанавливается, что для девяти производных T JyJ T T T T Ty, в результате такой процедуры получается в совокупности с (2.38) и (2.39) девять однородных линейных относительно этих производных алгебраических уравнений. С помощью преобразований, аналогичных преобразованиям, использованных в [213], эта система приводится к следующему виду:
Смысл этого результата состоит в том, что для любой функции T(x,y,t) функции U, V и Q, вычисляемые по формулам: будут обращать уравнения (2.41) и (2.42) в тождество. Поэтому соотношения (2.43) можно рассматривать как обобщенную подстановку Коула-Хопфа.
Реку рентные соотношения. Как и в размерности 1+1, базовые соотношения (2.40) являются лишь частью соотношений, которые теперь можно получить из них простым дифференцированием Т по различным координатам. Введем обозначения:
Это уравнение совместно с (2.42) образует замкнутую систему нелинейных уравнений относительно тройки функций U и V и Q, решение которой имеет вид подстановки (2.43) для любой функции Т, являющейся решением уравнения (2.46).
Важная особенность данного подхода в размерности 1+2 и в более высоких размерностях координатного пространства, отличающая ее от размерности 1+1, состоит в возможности добавлять к уравнению (2.46) еще одно линейно-независимое от него уравнение для функции Т, которое вместе с тем является совместным с ним. Это факт вытекает из общей структуры пространства решений линейного уравнения с размерностью координатного пространства 3. Проще всего его проиллюстрировать на примере уравнений (2.46) с постоянными коэффициентами С[а]: С[а] = const. В этом случае решения уравнения (2.46) характеризуются некоторым дисперсионным соотношением
Это соотношение связывает волновые числа к = (кх,к ) и частоту со решений в форме комплексных гармонических функций и выделяет в трехмерном комплексном пространстве параметров со,кх,ку двумерную дисперсионную поверхность G,2. Любое другое линейно-независимое уравнение с постоянными коэффициентами К[а] = const: будет иметь свое дисперсионное соотношение, эквивалентное некоторой дисперсионной комплексной поверхности G\ в том же пространстве параметров co,kx,ky. В случае пересечения этих поверхностей уравнения будут совместны, а множество параметров co,kx,ky, соответствующих точкам пересечения Gff)p2 этих поверхностей, будут определять совокупность всех решений, удовлетворяющих обоим этим уравнениям и, как следствие, решение системы уравнений (2.42), (2.47) и уравнения:
Модифицированное уравнение Бюргерса
Это соотношение также является тождеством, выполняющимся для произвольной пары функций 6(x,t) и u(x,t), связанных одним соотношением (3.2). Используя произвол в выборе функции u(x,t), потребуем выполнения равенства: u( ,t)=F(0)-v (3.9) где F(6) - произвольная функция в. Используя (3.1), это дополнительное требование приводится к уравнению для в следующего вида: Ot + F{e)Bx = vexx (3.10) Учитывая тождества (3.3) и (3.8), получаем, что функция u(x,t), удовлетворяющая (3.2) и (3.9), удовлетворяет уравнению: Щ + иих = v —{рих) (З.П) которое имеет вид уравнения Навье-Стокса одномерного течения вязкой жидкости с переменной плотностью р = вх. При этом р удовлетворяет уравнению неразрывности (3.6). Таким образом, функции u(x,t) и p(x,t) при условии, что функция 0(x,t) удовлетворяет уравнению (ЗЛО) при произвольной функции F(Q), представляют решения об одномерном течении вязкой сжимаемой жидкости при нулевых внешних силах и градиенте давления. Уравнение (3.11), которое описывает такие течения, можно назвать уравнением Бюргерса с переменной плотностью. Наличие произвольной функции F(6) в структуре уравнения (3.10) позволяет решать задачу с начальными условиями (задачу Коши) для произвольного начального распределения плотности р и скорости и в среде. Действительно, распределение плотности р0(х) = р(х, 0) в начальный момент t = 0 задает начальное условие для функции в:
Распределение скорости щ(х) = и(х, 0) в начальный момент времени задает вид функции F(6), из решения алгебраического уравнения: Р(в0(х)) = щ(х) + уд- , (3.13) которое следует из (3.9). В частном случае F(G) = а + Ьв, где а и Ъ -произвольные постоянные, уравнение (3.10) допускает точные решения, которые определяют соответствующие классы точных решений уравнения для и.
Рассмотрим теперь одномерное течение вязкой жидкости в собственном поле тяготения без давления, что соответствует, либо уравнению состояния пыли (р = О), либо условию гидростатического равновесия в среде, когда сила Архимеда уравновешивается какой-либо другой силой, но не связанной в данном случае с силой тяготения. Уравнения таких течений должны удовлетворять трем уравнениям: с произвольной функцией F(6). Каждому решению этого уравнения при заданной функции F(Q) соответствует определенное точное решение системы уравнений (3.14)-(3.15) при заданных начальных распределениях скорости и плотности пыли и0(х) = и(х, 0) и р0(х) = р(х, 0). Уравнение (3.21) допускает точные решения (является полностью интегрируемым) в случае F(6) = а + Ь9, как и в случае уравнения (3.10). В случае невязкого течения при v = 0 уравнение (3.21) представляет собой уравнение простой волны [8] и имеет общий интеграл следующего вида: H{e,x-F(e)t + 2nG9t2 + q0(t)) = 0 (3.22) где Н(в, ф - произвольная дифференцируемая функция двух аргументов и /о(0 v(0- Решения для 6(x,t) при заданных функциях Ни F строятся как решения алгебраического уравнения (3.22). Как известно из теории простых волн [205, 220], решения этих уравнений представляют собой так называемые волны с обрушением. Такого типа решения будут получены далее и для других систем. Их анализ проводится стандартными методами теории ударных волн [205, 220, 215].
Подстановка (3.23) для поля скорости реализуется не при всех возможных типах начальных условий для скорости и плотности. Поскольку в (3.23) отсутствует дополнительная свободная функция, как это было в случае подстановки (3.19), то в начальный момент времени t=0, скорость и плотность должны быть связаны соотношением: UoW = ax-vd- - fp0(x)dx (3.30)
Однако с потерей общности мы получаем возможность анализировать динамику нелинейных волн в вязком изотермическом газе, что представляет собой совсем другую среду, чем пыль, которой соответствует подстановка (3.19). Существование такой подстановки позволяет надеяться на существование более общих ее вариантов, при которых можно получить более общий класс течений и волн, которые реализуются в астрофизических системах.
Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости. Для дальнейшего имеет значение существование еще одного класса точных решений уравнений (3.15), (3.17) для идеальной жидкости (v = 0), отвечающего определенного типа начальным условиям. Рассмотрим вместо (3.21) подстановку следующего вида:
Особенностью этого класса решений является наличие последнего слагаемого, которое с точки зрения космологических моделей условно можно интерпретировать как поток Хаббла, связанный с глобальным расширением плоской одномерной Вселенной. При этом параметр Хаббла H(t) = R/R (R -масштабный фактор) такой модели равен коэффициенту при х в формуле для скорости (3.45) , т.е. H(t) = t \ а масштабный фактор: R(t) = t. Первое же слагаемой в (3.45) представляет собой часть потока, связанную с локальным гравитационным полем. Характерной деталью этого класса моделей, указывающей на его связь с космологическими моделями, является наличие начальной сингулярности в скорости потока. Важным в этой модели является то, что для поддержания хаббловского потока с такими свойствами не требуется каких-либо дополнительных сил. С другой зависимостью от времени параметра Хаббла для поддержания такого глобального потока
Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией
Как следует из модели, кроме волны сжатия с начальной скоростью, направленной к центру возмущения (этому решению соответствует знак "-"в формуле для скорости потока), существует точное решение, описывающая волну первоначально распространяющуюся от центра возмущения. Такая волна может рассматриваться как волна от сферически симметричного взрыва, произошедшего в центре возмущения. Интерес в такой постановке задачи состоит в возможности наблюдать процесс образования обратной ударной волны после того, как скорость в прямой волне спадает до некоторого критического уровня. Графики соответствующих точных решений представлены на рис (5), (6) .
Кривая 9 соответствует моменту времени сразу после начала образования ударных волн. Разрывы образуются на отрезках графика, где сплошная линия прерывается. На рис. (6) представлено для сравнение разрывное течение, возникающее спустя достаточно большой промежуток времени после начала образования разрывов. Видно, что вблизи центра поля начинает формироваться большая по скорости волна сжатия.
Следует обратить внимание на то, что появление обратной волны сжатия и множественных разрывов в решении для исходного интеграла движения (4.9) или (4.12) является следствием неустойчивости решения по отношению к локальным флуктуациям. В данном примере такие флуктуации обусловлены конечной точностью вычислений функций, входящих в интеграл. В силу джинсовской неустойчивости эти флуктуации при определенных условиях растут со временем. Хотя в данном случае эти флуктуации порождены ошибками численного счета, однако на основе этого примера можно сделать вывод об образовании волн сжатия в реальных системах, где флуктуации порождены естественными причинами.
По всей видимости, время до начала формирования обратной волны оценивается из тех же соображений, что и для решения (4.9). Это время определяется как общей массой М вещества в пространстве, так и параметрами начального распределения. Для более детального анализа динамики ударных волн, возникающих вблизи центра поля, необходимо решать задачу в несколько иной постановке, опираясь не только на форму аналитического интеграла движения, но и на физические условия на разрывах течения [215, 221]. Построение разрывных решений имеет свою специфику и требует отдельного рассмотрения. Рис. 6: Образование ударных волн
Как продемонстрировано в данной работе, развитый метод построения моделей динамики сжимаемой жидкости, допускающих преобразование к интегрируемым уравнениям с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, оказывается эффективным при решении ряда задач динамики самогравитирующей среды. В рамках этого подхода можно на основе аналитических решений рассмотреть ряд важных вопросов формирования структур в пылевых облаках, что важно для целого ряда задач астрофизики [222]. В данной работе не проводилось сравнение между формой решений, которые можно получить с помощью метода годографа [223, 222] и данным методом. Однако, как показывают результаты работы [222], с помощью метода годографа можно эффективно исследовать асимптотическое поведение решений. Данный же метод позволяет получать более тонкую информацию о точном решении для разнообразных начальных условий. Следует так же отметить, что данный метод достаточно эффективно работает как в случае идеальной жидкости, та к и в случае вязкой среды. Решения для вязкой среды в рамках метода годографа получить не удается. Поэтому данный метод имеет гораздо более широкую область применения. где H{E,,rf) - произвольная дифференцируемая по обоим аргументам функция, которое в неявном виде задает функцию в{х,і) при заданной в явном виде функции X(6,t). Дифференцируя это соотношение ПО X и t приходим к двум соотношениям на производные функции Н(,т]):
Последняя система представляет собой относительно первых производных функции H{g,rj) линейную однородную алгебраическую систему уравнений. Поскольку производные функции H(,rf) существую по определению, то определитель этой системы должен быть равен нулю.
