Содержание к диссертации
Введение
1. Взаимодействие плазменной волны с захваченными частицами 25
1.1. Распространение волны в неоднородной плазме и кинетическое просветление волновых барьеров 26
1.2. Затухание волны в слабом поперечном магнитном поле 45
1.3. Классификация режимов неустойчивости сателлитов волны 66
2. Структура функции распределения резонансных частиц в периодических волнах конечной амплитуды 79
2.1. Адиабатическое взаимодействие волна-частица в слабонеоднородной плазме 80
2.2. БГК-волна в слабом поперечном магнитном поле 104
3. Динамика резонансных электронов в поле медленно эволюционирующей волны круговой поляризации 114
3.1. Движение частиц в поле волны, распространяющейся в плазме с продольной неоднородностью плотности 116
3.2. Динамика частиц в поле волны, бегущей вдоль оси магнитной ловушки 120
4. БГК-солитоны, электронные дыры и уединенные электро статические волны 132
4.1. Структура и свойства локализованных БГК-возмущений .133
4.2. Взаимодействие электронных дыр фазовой плотности 158
4.3. Дефицит захваченных частиц и локализованные электростатические возмущения различной размерности 178
Заключение 197
Список литературы 200
- Затухание волны в слабом поперечном магнитном поле
- БГК-волна в слабом поперечном магнитном поле
- Динамика частиц в поле волны, бегущей вдоль оси магнитной ловушки
- Взаимодействие электронных дыр фазовой плотности
Введение к работе
Кинетическая теория плазменно-волновых процессов, развитая в основополагающих трудах Власова [1] и Ландау [2], положила начало систематическому исследованию резонансного взаимодействия волн с заряженными частицами, одного из основных типов взаимодействий в бесстолкновительной плазме. Представляя собой важный канал обмена энергией между электромагнитным полем и частицами, этот тип взаимодействия играет существенную, а нередко и доминирующую, роль в энергетическом балансе разнообразных волновых явлений, определяя, тем самым, эволюцию волн [3, 4]. Интерес к изучению взаимодействия волна-частица традиционно высок, а исследования в этом направлении находят применение в различных областях физики плазмы, от проблем управляемого термоядерного синтеза, плазменной электроники и плазменных методов ускорительной техники, до плазменно-волновых явлений в геофизике и космической электродинамике.
Прежде чем перейти непосредственно к теме диссертации, уместно дать предельно краткий обзор наиболее важных результатов теории резонансного взаимодействия волна-частица, отмечая среди обширной библиографии по данной тематике лишь те, ставшие уже классическими, теоретические работы, результаты которых в значительной мере мотивировали выбор основного направления исследований, проведенных автором. Попутно будут выделены основные ключевые слова и словосочетания, которые, с одной стороны, особо подчеркивают связь затронутых в диссертации вопросов с предшествующими работами, а с другой, способствуют более ясному пониманию новизны физического содержания полученных результатов, применяемых методов и конкретных постановок обсуждаемых задач.
Как известно, поведение бесстолкновительной плазмы и протекающие в ней волновые процессы описываются нелинейной системой уравнений Максвелла-Власова. Наиболее распространенным способом упрощения этих уравнений служит метод линеаризации в предположении малости амплитуд возмущений электромагнитных полей и функций распределения заряженных частиц. При анализе волновых явлений амплитуда волны представляет собой, по существу, самый малый параметр задачи. С помощью линеаризации Власовым был получен закон дисперсии электронной плазменной (ленгмюровской) волны [1] где интеграл понимается в смысле главного значения. Если фазовая скорость волны oj/k превышает тепловую скорость электронов, из уравнения (0.1) следует хорошо известная зависимость частоты от волнового числа и2 = ш2р + Зк2Те/т . (0.2) Это соотношение можно вывести также и на основе гидродинамического описания плазмы [5], игнорируя, однако, существенно кинетическое явление резонансного взаимодействия волны с частицами, движущимися со скоростями, близкими к фазовой скорости волны. Ландау указал на причину трудностей и недостаток математического формализма Власова, который в итоге привел к потере в дисперсионном соотношении вклада резонансных электронов. В статье [2] путем решения задачи с начальными условиями показано, что ленгмюров-ская волна испытывает специфическое "бесстолкновительное" затухание, обусловленное взаимодействием с резонансными электронами, в то время как уравнение (0.2) вообще не учитывает этот эффект. Изящная интерпретация затухания Ландау продемонстрирована Ван-Кампеном с помощью метода стационарных волн [6] (в переводе на русский см. также [7]).
Условие применимости линеаризации уравнений Власова-Пуассона накладывает ограничение на начальное значение амплитуды волны [5, 8] 1ь шв , шв = {екЕ /т)1 2 , (0.3) где 7i - декремент затухания Ландау, и шв - характерная частота колебаний резонансных электронов, захваченных в потенциальные ямы волны с амплитудой электрического поля Ец и волновым числом к (баунс-частота). В противоположном предельном случае, (JL/ B) С 1, экспоненциальное затухание Ландау исчезает, как было показано О Нилом [9] и, в рамках упрощенной модели волны, Мазитовым [10]. Это происходит благодаря быстрому, в масштабах характерного времени линейного затухания волны г і = 1/JL перемешиванию резонансных электронов по фазам. Хотя на малых временах t С 1/ в амплитуда волны убывает в соответствии с результатом Ландау, в нелинейном режиме О Нила, который носит характер затухающих колебаний амплитуды около асимптотического значения, Е = E(t —» со), суммарное падение амплитуды мало (EQ - E /EQ { ь/шв) С 1.
Отметим также важное в методическом отношении различие подходов к описанию процесса затухания волны, используемых Ландау и О Нилом. Первый из них, хотя и предполагает предварительную линеаризацию системы уравнений, является полностью согласованным (или самосогласованным), в том смысле, что в уравнение Власова входит самосогласованное поле волны, изменяющееся со временем. Уравнения Власова и Пуассона решаются совместно, так что влияние резонансных частиц на волну проявляется и в самом кинетическом уравнении. Напротив, анализ затухания волны конечной амплитуды [9] основан на решении уравнения Власова при фиксированных параметрах волны и представляет собой, по сути, первый шаг на пути решения задачи методом последовательных приближений. Строго говоря, такой (несогласованный) подход не в состоянии дать ничего кроме малых поправок к амплитуде волны, что и продемонстрировано в [9, 10]. Несмотря на этот недостаток, вынужденный в виду сложности нелинейной задачи, расчеты [9] наглядно демонстрируют и даже количественно описывают процесс перемешивания фаз частиц. В работе [9] определено также строение усредненной по фазам ("эргодической") функции распределения электронов вблизи резонанса (нулевой гармоники в переменных энергия-фаза или угол-действие).
Со временем, функция распределения в резонансной области фазового пространства приобретает вид промодулированного волной "плато", показанный на рис. 0.1. Истинное распределение электронов в фазовом пространстве содержит также быстрые осцилляции (на рисунке не показаны) с масштабами, убывающими со временем (высшие гармоники). Однако на больших временах, превышающих баунс-период 2тг/шв- эти осцилляции вносят все меньший вклад в моменты функции распределения, которыми определяется макроскопическая структура волны. Игнорируя все гармоники функции распределения кроме нулевой, асимптотическое решение О Нила можно трактовать как установившуюся (равновесную) нелинейную волну Бернштейна-Грина-Крускала частного вида [11].
Волны Бернштейна-Грина-Крускала (БГК-волны) [11] (перевод статьи [11] на русский имеется в [7]) представляют собой плоские электростатические волновые возмущения конечной амплитуды, стационарные в некоторой движущейся системе отсчета. Их структура описывается точными решениями уравнений Власова и Пуассона. Так как в системе, движущейся со скоростью БГК-волны, электрический потенциал волны зависит только от одной пространственной координаты, уравнения движения заряженных частиц легко интегрируются благодаря постоянству полной энергии частицы. Функции распределения частиц зависят только от энергии, и задача определения структуры волны сводится к решению, в общем случае нелинейного, уравнения Пуассона [11]. Метод БГК, не ограниченный рамками линейной теории, позволяет уяснить важную роль частиц, захваченных в потенциальные ямы волны, в электростатическом балансе возмущения. С другой стороны, БГК-решения не обладают свойством единственности, так как БГК-подход, сам по себе, исключает решение задачи с начальными условиями. По этой причине класс БГК-волн, даже периодических, очень широк, и в пределах БГК-анализа нет достаточных физических оснований отдать предпочтение тому или иному частному решению. Для того, чтобы выделить действительно реализуемое в тех или иных условиях решение, необходимо сформулировать и решить задачу с начальными условиями, подобно тому как это сделано Ландау в линейном приближении, или ввести дополнительные слагаемые в исходные уравнения, хотя и то, и другое выходит за рамки БГК-теории. Попытку связать частные решения БГК [11] со стационарным линейным "аналогом" (волной Ван-Кампена [6]) вряд ли можно признать убедительной.
Несмотря на отмеченный недостаток, связанный с отсутствием единственности, БГК-техника построения нелинейных решений уравнений Власова-Пуасона дает важную информацию о структуре волны. Вместо довольно произвольного БГК-распределения можно задать, например, усредненную по фазам функцию распределения электронов, формирующуюся на больших временах в режиме нелинейного затухания [9]. При этом решение уравнения Пуассона позволяет установить дисперсионное соотношение для волны конечной амплитуды с учетом соответствующего вклада резонансных частиц и найти поправку к частоте волны, обусловленную характерной деформацией функции распределе ния в резонансной области, типа изображенной на рис. 0.1. Нетрудно предвидеть совпадение результата с нелинейным сдвигом частоты Аи , вычисленным в [12] (см. также [4]) (До//а;р) {шв/ Р)Ык)\д2и/дУ2)у /к , (0.4) где /о - невозмущенная функция распределения. Опуская обсуждение этой формулы и возможные пути ее вывода, уместно вспомнить еще один, даже более простой, пример, проясняющий влияние структуры функции распределения в резонансной области на дисперсионные свойства нелинейной периодической волны [13].
Простейшим примером нелинейного закона дисперсии может служить взаимосвязь между параметрами волны конечной амплитуды, к которой, хотя и не совсем строгим путем, пришли Бом и Гросс [13] еще до выхода в свет статьи Бернштейна, Грина и Крускала [11] (подобное соотношение обсуждается также в известной монографии Стикса [14])
Это уравнение учитывает дополнительный вклад захваченных электронов в дисперсионном соотношении для ленгмюровской волны. В отсутствие последнего слагаемого в левой части уравнение (0.5) совпадает (с некоторыми оговорками) с линейным дисперсионным уравнением Власова (0.1). Слагаемое, пропорциональное характерной плотности пучка захваченных электронов п\, дает поправку. Заметим, что разность потенциалов в его знаменателе пропорциональна амплитуде волны, и при малых амплитудах поправочный член может быть существенным. В частности, соответствующая поправка к частоте может превысить тепловую поправку, учтенную в (0.2). В случае холодной плазмы, Ге = 0, из (0.5) следует {шр/си)2 = 1 + Атгещ/к2 - ip2) , (0.6) т. е. частота волны уменьшается с ростом количества захваченных электронов [13].
Формулы (0.4) и (0.6) демонстрируют роль структуры функции распределения в резонансной области фазового пространства (в частности, наличия и количества захваченных частиц) в электростатическом балансе стационарной периодической волны, который математически описывается уравнением Пуассона. Естественно ожидать, что и медленно эволюционирующие волны конечной амплитуды удовлетворяют аналогичным нелинейным дисперсионным соотношениям. Для описания таких медленно изменяющихся волн, близких по структуре к волнам БГК, не менее важен и энергетический баланс в рассматриваемой физической системе. Не дублируя подробное обсуждение этих вопросов в отдельных главах диссертации, здесь уместно лишь без комментариев процитировать высказывания Гросса по этому поводу (см. [7], стр. 21, 27):
"... С точки зрения физики, вопрос ясен. Следует учитывать особую роль частиц, захваченных волной пространственного заряда и участвующих в процессе эффективного энергетического обмена... "
"... к вопросу о генерации радиоволн в астрофизике... кинетическая теория позволяет продвинуть изучение этого вопроса еще на одну ступень путем учета особой роли захваченных частиц. Таким образом, если в среде с переменной плотностью фазовая скорость волны уменьшается, то эта волна может нарастать, поглощая кинетическую энергию захваченных частиц, которые замедляются вместе с волной... ".
Как ясно из сказанного, трудности на пути анализа резонансного взаимодействия волна-частица вынуждают обращаться к приближенным методам - линеаризации уравнений [2], отказу от согласованного описания [9], либо вообще ограничиться рассмотрением строго стационарных волн [11], отказавшись от исследования процесса установления волны. Круг задач, рассмотренных в диссертации, демонстрирует возможность в ряде случаев выйти за рамки перечисленных ограничений. Однако сложность задачи описания резонансного взаимодействия волна-частица в нелинейном режиме вновь вынуждает обратиться к приближенным методам, так что методический аспект по-прежнему остается очень важным. Как существенное препятствие на пути анализа резонансного взаимодействия заряженных частиц с волнами конечной амплитуды, следует отметить "неинтегрируемый" характер уравнений движения частиц в поле волны с переменными параметрами. При этом описание динамики частиц на основе строгих уравнений движения, даже без попытки согласованного рассмотрения затухания волны, оказывается непростой задачей (см., например, [15]). Один из наиболее распространенных и эффективных методов приближенного анализа движения частиц связан с использованием техники адиабатических инвариантов. Примером применения адиабатического приближения в классической механике служит описание движения маятника с медленно меняющимися параметрами. Наличие приближенного интеграла движения (адиабатического инварианта) позволяет свести строгие неинтегри-руемые уравнения движения к приближенным интегрируемым. Теория адиабатических инвариантов широко применяется для анализа движения заряженных частиц в магнитных ловушках, включая радиационные пояса Земли. Яркой иллюстрацией эффективности применения адиабатического приближения в физике плазмы служит решение задачи об адиабатическом захвате заряженной частицы в углубляющуюся со временем яму электрического потенциала [16] (см. также [17]). Подобная техника применима и для описания движения заряженных частиц в поле периодической продольной волны конечной амплитуды [18]. Заканчивая на этом краткий обзор теории взаимодействия волна-частица, перейдем непосредственно к теме диссертации.
Цель исследования
Основная цель работы - изучение структуры нелинейных волн на уровне кинетической теории и процессов плавной пространственно-временной эволюции квазимонохроматических волн конечной амплитуды при резонансном взаимодействии с заряженными частицами. Достижение поставленной цели требует построения новых теоретических моделей медленно эволюционирующих волн и развития эффективных методов согласованного описания этих процессов.
Попутно рассмотрен и ряд задач более частного характера, постановка которых, тем не менее, в значительной мере продиктована необходимостью развития методов замкнутого согласованного описания медленной эволюции нелинейных волн на уровне кинетической теории. Медленный обмен энергией между полем волны и резонансными частицами можно рассматривать как некоторый адиабатический процесс. Учитывая также важный методический аспект похода к решению сформулированных задач, применение адиабатического приближения для описания динамики частиц в поле волны с медленно изменяющимися параметрами, совокупность рассматриваемых явлений будем для краткости называть адиабатическим взаимодействием волна-частица. По сути, использование малого параметра, характеризующего медленность процесса (вместо малости амплитуды волны в линейной теории), открывает путь к решению разнообразных задач об адиабатическом взаимодействии частиц с нелинейными волнами, близкими по структуре к БГК-волнам (хотя нестационарными и необязательно электростатическими), на основе замкнутого согласованного подхода. К "смежным вопросам кинетической теории", также фигурирующим в названии диссертации, относится круг тематически близких задач, в которых, однако, адиабатическое приближение не используется, либо используется вне согласованной постановки задачи, или, наконец, рассматривается структура и свойства стационарной нелинейной волны без описания ее эволюции.
Задачи исследования
1) Изучение взаимодействия волны с захваченными частицами при наличии слабой неоднородности плазмы вдоль направления распространения волны и анализ возможности эффективного прохождения волны сквозь область непрозрачности благодаря взаимодействию с резонансными электронами (эффекта кинетического просветления волнового барьера).
2) Замкнутое согласованное описание процесса серфинг-ускорения захваченных электронов плазменной волной, распространяющейся поперек слабого внешнего магнитного поля.
3) Анализ устойчивости плазменной волны с захваченными электронами.
4) Исследование динамики нелинейной волны типа Бернштейна-Грина-Крускала (БГК) [11], распространяющейся вдоль малого градиента концентрации плазмы, при резонансном взаимодействии с быстрыми электронами "хвоста" невозмущенного распределения частиц по скоростями и анализ структуры функции распределения в резонансной области скоростей.
5) Кинетическое описание плазменной волны конечной амплитуды при распространении поперек слабого магнитного поля.
6) Анализ движения электронов в поле циркулярно-поляризованной электромагнитной волны с переменными параметрами.
7) Изучение структуры и свойств уединенных БГК-волн.
8) Исследование процесса взаимодействия БГК-солитонов, природа которых связана с наличием дефицита захваченных электронов (дыр фазовой плотности в области захвата).
9) Анализ вклада захваченных частиц в электростатический баланс трехмерных локализованных возмущений пространственного заряда в бесстокновительной плазме во внешнем магнитном поле.
Актуальность
В целом, актуальность темы диссертации отмечена в начале введения. Следует еще раз подчеркнуть необходимость развития методов согласованного описания эволюции нелинейных волн в процессе взаимодействия с резонансными частицами. Есть все основания надеяться, что прогресс в этом направлении поможет лучше понять и прояснить физические механизмы плазменно-волновых явлений в космосе, начиная от проблемы генерации радиоволн, упоминавшейся еще Гроссом, и ускорения частиц в астрофизике [15], до построения надежной количественной теории до сих пор загадочного поведения триггерных излучений в магнитосфере [19] и выяснения физической природы уединенных электростатических волн, обнаруженных в последние десятилетия на искусственных спутниках [20]. Применительно к физике космической плазмы, исследования медленно эволюционирующих волн приобретают особую актуальность, так как такие квазистационарные волны имеют гораздо больше шансов быть обнаруженными космическими аппаратами по сравнению с возможностью регистрации волновых явлений на сравнительно быстрой линейной стадии бесстолкновительного затухания или роста колебаний в неустойчивой плазме, быстро переходящего в стадию насыщения неустойчивости и дальнейшей более медленной и длительной эволюции системы.
Научная новизна
Сформулированные в диссертации задачи, методы их решения и физическое содержание исследований отличаются по степени новизны. Тем не менее, каждый раздел работы содержит новые результаты и подходы, хотя многие из обсуждаемых физических явлений изучались и ранее. Фактически, в диссертации впервые продемонстрирована эффективность единого согласованного подхода к описанию медленного (адиабатического) взаимодействия волна-частица на примерах анализа физически различных явлений. Довольно естественная идея применения адиабатического приближения для согласованного описания эволюционирующих нелинейных волн высказывалась и ранее [16, 18]. Однако, редко удавалось довести до конца корректное, полностью согласованное, решение задачи даже в частной постановке. В некоторых предшествующих работах прослеживается схема построения решений уравнений Власова-Пуассона, описывающих медленную эволюцию волны, но остается вне поля зрения важное преимущество адиабатического приближения в условиях быстрого перемешивания резонансных частиц по фазам. В других статьях это приближение используется, но отмечаются трудности согласованного подхода к задаче. Наконец, в ряде работ упускается из вида целесообразность БГК-анализа структуры нелинейной волны.
В диссертации впервые показано, что адиабатическое взаимодействие волна-частица, как процесс медленной пространственной или временной эволюции нелинейной волны типа БГК при наличии слабого внешнего фактора, вызывающего изменение параметров волны, согласованно описывается двумя основными уравнениями - уравнением баланса энергии и нелинейным дисперсионным соотношением. Эти уравнения определяют пространственно-временные зависимости амплитуды и фазовой скорости волны, и при некоторых ограничениях упрощаются вплоть до алгебраического вида (в главах 1,2). Будучи достаточно общим, развитый подход допускает также исследование нелинейных эффектов, несвязанных непосредственно с резонансными частицами, а при необходимости, и анализ нелинейного ангармонизма волны, обусловленного структурой нелинейного возмущения функции распределения заряженных частиц в резонансной области фазового пространства, что обычно выпадает из поля зрения в предшествующих работах.
В работе впервые:
1) Показана возможность проникновения ленгмюровской волны с коэффициентом прохождения равным единице сквозь классически непрозрачную область слабонеоднородной плазмы благодаря обратимому обмену энергией с захваченными электронами.
2) Рассмотрено влияние нелинейного сдвига частоты волны на процесс серфинг-ускорения захваченных частиц и выявлены различные режимы затухания плазменной волны в зависимости от параметров физической системы.
3) Проведена полная классификация режимов неустойчивости сателлитов волны, нагруженной захваченными электронами.
4) Определена кинетическая структура стационарной плазменной волны конечной амплитуды, распространяющейся поперек слабого внешнего магнитного поля.
5) Рассмотрена динамика резонансных электронов в поле поляризованной по кругу электромагнитной волны с переменными волновым числом и амплитудой, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля, без привлечения обычно используемой теории возмущений.
6) Проведен БГК-анализ уединенных электростатических волн, обнаруженных в магнитосфере.
7) Проанализирован процесс взаимодействия плоских уединенных волн существенно кинетической природы, структура которых связана с дефицитом захваченных частиц (электронными дырами фазовой плотности).
Некоторые задачи, сформулированные в диссертации, близки по постановке к анализу рассмотренных ранее явлений. Поэтому, по физическому содержанию часть результатов работы близка к известным результатам, а иногда совпадает с ними, хотя даже в этом случае имеются различия как в постановке, так и в методах решения задач (главы 1, 2). Ряд новых важных результатов получен на пути уточнения и обобщения предшествующих исследований известных физических явлений (разделы 1.3, 4.1, глава 3). Наконец, в диссертации рассмотрены некоторые смежные задачи кинетической теории нелинейных волн и вопросы динамики заряженных частиц в электромагнитных полях, попыток решения которых ранее не предпринималось (разделы 4.2, 4.3).
Практическая значимость
С практической точки зрения, значение выполненных исследований определяется применимостью полученных результатов для физической интерпретации разнообразных процессов резонансного взаимодействия волна-частица в сочетании с достаточной общностью развитых методов описания медленно эволюционирующих волн. Результаты диссертации показывают, что концепция медленно эволюционирующих волн, близких по строению к волнам БГК, и адиабатическое приближение, как метод решения уравнения Власова, находят широкую область применения и, что особенно важно, оказываются очень эффективными для исследования кинетических явлений на уровне замкнутого согласованного описания.
Адиабатическое приближение представляется одним из наиболее перспективных методов решения на первый взгляд очень сложных нелинейных задач кинетической теории волновых процессов в бесстолкновительнои плазме. Анализ конкретных физических явлений, затронутых в диссертации, вселяет уверенность в возможность широкого применения и дальнейшего обобщения полученных результатов (главы 1 в приложении к проблеме ускорения заряженных частиц в астрофизике и плазменной ускорительной технике, включая релятивистское обобщение; раздела 2.1 и главы 3 применительно к проблеме нелинейного гиро-резонансного взаимодействия волна-частица в магнитосфере, включая исследование механизмов генерирования и динамики триггерных излучений и физически близких волновых явлений; главы 4 для физической интерпретации спутниковых данных, а в методическом отношении, и для теоретического анализа локализованных самосогласованных электромагнитных полей и возмущений плазмы вблизи космических аппаратов, установленной на них измерительной аппаратуры и других искусственных тел).
С физической точки зрения, важное значение имеет не только продемонстрированная возможность согласованного аналитического описания эволюции нелинейных волн, но и установленные масштабные соотношения, которые позволяют выявить новые режимы и физические закономерности взаимодействия волна-частица (см., например, раздел 2.1). Наконец, в какой-то мере, практическая значимость проведенных исследований подтверждается цитируемостью в научной периодике статей, материалы которых вошли в диссертацию.
Методы исследований
Для решения поставленных задач применялись аналитические и численные методы. Использовались также анализ экспериментальных данных и графические средства компьютерной техники.
Достоверность и обоснованность
Достоверность результатов и обоснованность выводов работы подтверждается хорошим согласием, а в ряде случаев и совпадением, с экспериментальными данными и численным моделированием рассматриваемых физических явлений и отсутствием противоречий с предшествующими теоретическими исследованиями по данной тематике. Обоснованность выводов диссертации опирается также на последовательность используемых методов и подходов. В процессе проведенных исследований особое внимание уделялось условиям применимости рассматриваемых теоретических моделей и точности численных расчетов.
Личный вклад автора
Материал диссертации опирается лишь на исследования, инициированные и проведенные автором самостоятельно, и на те работы, вклад автора в которые является определяющим.
Апробация работы
Результаты работ по теме диссертации докладывались на семинарах в ИКИ РАН, ИОФАН (ИОФ РАН), Институте атомной энергии им. Курчатова (ИЯС РНЦ КИ), Radio Atmospheric Science Center (RASC, Kyoto University, Kyoto, Japan, где были прочитаны также два цикла лекций по материалам работ), FOM Institute for Plasma Physics (Rijhuizen, Utrecht, Holland), а также на научных конференциях и симпозиумах, где были опубликованы в сборниках трудов или тезисов докладов:
1) "Nonlinear World", International workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, October 9-22, 1989, Kiev, USSR.
2) "Strong microwaves in plasmas", II International workshop, August 15-22, 1993, Nizhny Novgorod, Russia.
3) 98h SGEPSS (Society of Geomagnetism and Earth, Planetary and Space Sciences) Fall Meeting, October 4-7, 1995, Kyoto, Japan.
4) The Third GEOTAIL Workshop/ISAS (Institute of Space and Astronauical Science), October 23-25, 1995, Iokohama, Japan.
5) III Workshop "Nonlinear Waves and Chaos in Space Plasmas", March 1-5, 1999, San Diego, USA.
6) "Kanazawa Workshop on Waves in Plasmas (SGEPSS)", August 6-7, 2001, Kanazawa, Japan.
7) "Radio Science Symposium for a Sustainable Humanosphere", March 20-21, 2006, Kyoto, Japan.
8) International meeting "Frontiers of Geophysics and Space Science", April 29-May 5, 2007, Dead Sea, Israel.
9) 10h International Seminar "Low-frequency wave processes in space plasma", November 12-16, 2007, Zvenigorod, Russia.
Публикации
Результаты, составляющие основу диссертации, опубликованы в 21 статье в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и препринтах ИКИ РАН. Помимо упоминания в тексте диссертации с указанием номера в списке цитируемой литературы, ниже они выделены в отдельный список с заголовками работ.
Список основных работ, опубликованных по теме диссертации
Красовский В. Л. / Квазистационарные плазменные волны малой и конечной амплитуды // ЖЭТФ. 1989. Т. 95. С. 1951-1961.
Красовский В. Л. /К теории поперечных волн конечной амплитуды в бесстолкновительной плазме // Препринт ИКИ АН СССР. Пр-1577. Москва, 1989.
Krasovsky V. L. / Transmission of longitudinal plasma waves through an opacity barrier owing to trapped particles // Physics Letters A. 1992. V. 163. P. 199-203.
Красовский В. Л. / Просветление волнового барьера при распространении плазменной волны с захваченными частицами в слабонеоднородной плазме // Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 739-750,
Krasovsky V. L. / The propagation of a plasma wave with trapped particles in a weakly inhomogeneous plasma // J. Plasma Phys. 1992. V. 47. Part 2. P. 235-248.
6) Krasovsky V. L. / Classification of trapped particle sideband instability regimes И Physica Scripta. 1994. V. 49. P. 489-493.
7) Красовский В. Л. / Адиабатическое взаимодействие волна-частица в слабонеоднородной плазме // ЖЭТФ. 1995. Т. 107. С. 741-764.
8) Красовский В. Л. / О нелинейной дисперсии ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме // Физика плазмы. 1995. Т. 21. С. 558-560.
Krasovsky V. L., Matsumoto Н., Omura Y. / Bernstein-Greene-Kruskal analysis of electrostatic solitary waves observed with Geotail // J. Geo-phys. Res. 1997. V. 102. P. 22131-22139.
10) Krasovsky V. L., Matsumoto H. / On the resonant particle dynamics in the field of a finite-amplitude circularly polarized wave propagating along the axis of a magnetic trap // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 2210-2216.
11) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Interaction of small phase density holes II Phys. Scripta. 1999. V. 60. P. 438-451.
12) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Interaction dynamics of electrostatic solitary waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 1999. V. 6. P. 205-209.
13) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Approximate invariant of electron motion in the field of a whistler propagating along the geomagnetic field Л Geophys. Res. Lett. 2002. V. 29. No. 12. 10.1029/2001GL014638.
14) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Electrostatic solitary waves as collective charges in a magnetospheric plasma: Physical structure and properties of Bernstein-Greene-Kruskal (BGK) solitons // J. Geophys. Res. 2003. V. 108. No. A3. P. 1117. doi:10.1029/2001JA000277.
15) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Effect of trapped particle deficit and structure of localized electrostatic perturbations of different dimensionality // J. Geophys. Res. 2004. V. 109. A04217.
16) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / On the three-dimensional configuration of electrostatic solitary waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 2004. V. 11. P. 313-318.
17) Krasovsky V. L., Matsumoto H., Omura Y. / Condition for charged particle trapping in a three-dimensional electrostatic potential well in the presence of a magnetic field // Phys. Scripta. 2006. V. 74. P. 227-231.
18) Krasovsky V. L., Sagdeev R. Z., Zelenyi L. M. / Plasma wave frequency shift in a weak transverse magnetic field due to trapped particle acceleration II Physics Letters A. 2006. V. 355. P. 129-133.
19) Krasovsky V. L., Sagdeev R. Z., Zelenyi L. M. / Waverapped particle interaction in a weak transverse magnetic field // Physics Letters A. 2007. V. 360. P. 713-716.
20) Красовский В. Л. / Затухание плазменной волны с захваченными частицами в слабом поперечном магнитном поле // Физика плазмы. 2007. Т. 33. С. 914-925.
21) Krasovsky V. L. / Steady nonlinear electrostatic plasma wave in a weak transverse magnetic field // J. Plasma Phys. 2007. V. 73. Part 2.
P. 179-188.
22) Krasovsky V. L. / On the electron dynamics in the field of a whistler wave propagating along a magnetic field in a weakly inhomogeneous plasma // J. Atmos. Sol.- Terr. Phys. 2007. V. 69. P. 969-972.
Содержание и структура диссертации
Диссертация содержит 4 главы, каждая из которых состоит из отдельных разделов. Десять разделов, в которых приводятся решения конкретных задач, объединены в главы по признаку тематической или методической близости. Каждая глава начинается небольшим "предисловием" и заканчивается "общими выводами" с кратким резюме. Ввиду разнообразия физических явлений, рассматриваемых в отдельных разделах, каждый раздел начинается собственным "введением" и заканчивается "выводами". Диссертация изложена на 214 страницах и иллюстрирована 19 рисунками. Список литературы включает 257 источников.
В главе 1 рассмотрена модель периодической волны БГК с малым количеством захваченных электронов. В отсутствие других резонансных частиц анализ медленной временной (или пространственной) эволюции волны не требует громоздких вычислений. В то же время, эта простая модель дает наглядную физическую интерпретацию адиабатического взаимодействия волны с резонансными частицами и демонстрирует эффективность общего подхода к согласованному описанию эволюции волны. Волна, "нагруженная" захваченными частицами, представляет и самостоятельный интерес как физический объект, поскольку захваченные электроны оказывают существенное влияние на дисперсионные и энергетические свойства волны. Таким образом, эта модель оказывается очень полезной для скейлинга и достаточно простой для подробного анализа процесса взаимодействия с учетом всех наиболее важных физических эффектов, которые трудно учесть в общем случае.
В первом разделе главы рассмотрено распространение ленгмюровской волны с малой группой захваченных электронов в слабонеоднородной плазме с барьером непрозрачности. Установлен нелинейный закон дисперсии волны с учетом вклада этих частиц. Показано, что обратимость обмена энергией захваченных электронов с волной приводит к возможности проникновения волны сквозь область непрозрачности. Исследовано ускорение захваченных частиц до релятивистских энергий при наличии в плазме градиента концентрации вдоль направления распространения волны.
В следующем разделе исследована временная эволюция ленгмюровской волны, нагруженной захваченными электронами, при наличии слабого магнитного поля, перпендикулярного направлению распространения волны. Рассмотрено затухание волны в результате ускорения захваченных частиц вдоль волнового фронта под действием слабой силы Лоренца. В рамках адиабатического приближения проанализирована динамика ускоряющихся сгустков электронов, колеблющихся в потенциальных ямах волны. Выведены уравнения, описывающие согласованным образом взаимодействие волны с захваченными частицами. Необходимым элементом замкнутого описания вновь служит нелинейное дисперсионное соотношение, которое учитывает вклад захваченных электронов и определяет поправку к фазовой скорости волны. Проведен анализ различных режимов взаимодействия в зависимости от параметров физической системы и установлен ряд ограничений, при которых рассматриваемая задача имеет простейшие решения.
В третьем разделе обсуждаются вопросы устойчивости волны с захваченными электронами. В рамках модели гармонической волны с небольшим количеством захваченных частиц рассмотрены различные режимы неустойчивости волн-сателлитов исходной волны в зависимости от отношения потока энергии захваченных электронных сгустков и потока волновой энергии. Отмечена важная роль нелинейного закона дисперсии основной волны для анализа сателлитной неустойчивости и проанализированы условия применимости принятой модели волны с захваченными частицами, осциллирующими вблизи дна потенциальных ям волны. Определен диапазон волновых чисел неустойчивых сателлитов, что в совокупности с выражениями для инкрементов неустойчивости дает полную классификацию режимов сателлитной неустойчивости волны с захваченными частицами.
Глава 2 посвящена изучению медленной эволюции периодической волны БГК в слабонеоднородной плазме (раздел 2.1) и исследованию кинетической структуры волны пространственного заряда, распространяющейся перпендикулярно слабому магнитному полю (раздел 2.2). Как и в первой главе, общим элементом сформулированных задач является наличие слабого возмущения БГК-равновесия, которое позволяет выделить из всего многообразия решений БГК одно, реализуемое в данном конкретном случае. Однако в математическом отношении, рассматриваемые задачи значительно сложнее обсуждавшихся в предыдущей главе, т. к. требуют более общего рассмотрения структуры функции распределения в окрестности резонанса и ее эволюции. Материал этой главы демонстрирует общий алгоритм построения согласованных решений уравнений Власова-Пуасона, описывающих волны конечной амплитуды и, если необходимо, с учетом самых разнообразных нелинейных эффектов, от нелинейности нерезонансной компоненты плазмы до нелинейности, обусловленной конкретным строением функции распределения в резонансной области фазового пространства, и соответствующего ангармонизма плазменных колебаний.
В главе 3 рассмотрена динамика резонансных электронов в поле циркулярно-поляризованной электромагнитной волны с медленно меняющимися параметрами, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля. В первом разделе показано, что существует интеграл движения электрона в поле вистлера, который распространяется в плазме со слабой продольной неоднородностью концентрации частиц. Благодаря наличию этой постоянной, уравнения движения приводятся к каноническому виду, что позволяет трактовать движение электрона как одномерные колебания в плавно меняющемся эффективном потенциале и дает возможность применения согласованных методов, развитых в первых двух главах диссертации, к изучению процессов гирорезонансного взаимодействия волна-частица в магнитоактивной плазме.
В случае продольно неоднородного магнитного поля, рассмотренном во втором разделе, выведенные "дрейфовые" уравнения движения электронов служат нелинейным обобщением обычно применяемых уравнений, учитывающих поле волны как слабое возмущение. Найденный приближенный интеграл движения возмещает дефицит инвариантов движения, возникающий вследствие нарупіения постоянства магнитного момента электрона в процессе резонансного взаимодействия частицы с волной. В этом разделе приводятся также результаты численного интегрирования строгих и дрейфовых уравнений движения частиц, которые подтверждают высокую точность сохранения приближенного интеграла.
Глава 4 посвящена изучению локализованных электростатических возмущений плазмы. В отличие от периодических БГК-волн, строение существенно нелинейных уединенных волн еще в большей степени зависит от поведения функции распределения заряженных частиц в резонансной области скоростей. Нелинейность, обусловленная вкладом захваченных частиц в электростатическую структуру волны и энергетический баланс локализованного возмущения, может быть более существенна, чем другие типы нелинейности плазмы. Поэтому класс БГК-солитонов, как продукт кинетической теории, оказывается значительно шире семейства классических моделей уединенных волн, основанных на гидродинамическом описании плазмы.
В первом разделе построены простые модели БГК - солитонов, которые позволяют лучше понять их общее строение и свойства в противоположность изобилию обсуждавшихся ранее частных решений уравнений Власова-Пуассона, описывающих подобные уединенные волны. Особое внимание уделяется локализованным волнам пространственного заряда, природа которых тесно связана с дефицитом захваченных электронов (дырами фазовой плотности). Наиболее интенсивные возмущения этого типа вообще выпадают из рассмотрения при гидродинамическом описании плазмы и, тем самым, демонстрируют важное влияние кинетических эффектов на структуру плоских уединенных волн. Затронуты также нестационарные явления, характерные для БГК-солитонов.
Во втором разделе анализируется процесс взаимодействия и слияния электронных дыр фазовой плотности, который часто наблюдаются в численных экспериментах, но не исследован аналитическими методами, так что физика явления долгое время выпадала из поля зрения и оставалась довольно туманной. Показано, что взаимодействие таких БГК-солитонов связано с их взаимным притяжением. Медленную начальную стадию взаимодействия можно исследовать в рамках адиабатического приближения. Необратимость в системе двух взаимодействующих солитонов объясняется отклонением характера колебаний захваченных электронов от адиабатического при взаимном сближении и столкновении солитонов.
Третий раздел завершает исследование локализованных квазиравновесных возмущений. Он посвящен, главным образом, выяснению вклада захваченных частиц в электростатический баланс возмущений различной размерности в магнитоактивной плазме. Анализ структуры трехмерных уединенных волн довольно труден, и достаточно строгих кинетических моделей трехмерных аналогов плоских солитонов БГК, даже простейшей геометрии, до сих пор нет. Поэтому, результаты данного раздела следует рассматривать как первые усилия в направлении построения адекватных моделей таких возмущений. Можно ожидать, что и на этом пути применение адиабатического приближения для расчета динамики заряженных частиц представляет собой наиболее перспективный способ преодоления трудностей согласованного анализа локализованных возмущений пространственного заряда в бесстолкновительной плазме.
Заключение содержит общий вывод работы, оценку вклада выполненных исследований в развитие кинетической теории плазменных волн, а также положения, выносимые на защиту.
Список используемых сокращений
• БГК (BGK) - Бернштейна-Грина-Крускала (волна, солитон, метод, анализ, подход, решение).
• КДС (KDS) - Круера-Доусона-Судана (модель волны с захваченными частицами, теория сателлитной неустойчивости такой волны).
• УЭВ (ESW) - Уединенные электростатические волны (Electrostatic Solitary Waves).
• ОНЧ - Очень низкочастотные (волны, диапазон волн)
• ЭВМ - Электронно-вычислительная машина, компьютер.
Затухание волны в слабом поперечном магнитном поле
Ускорение заряженных частиц вдоль фронта электростатической волны, распространяющейся поперек слабого магнитного поля [62], является одним из потенциальных механизмов образования высокоэнергичной компоненты космической и астрофизической плазмы (см., например, [63, 64, 65]). Релятивистский аналог процесса ускорения электронов, захваченных волной, под действием слабой силы Лоренца, перпендикулярной направлению распространения волны, известен также в ускорительной технике как "серфотронный" механизм, или просто "серфинг" заряженных частиц [66, 67]. В силу закона сохранения энергии ускорение частиц приводит к специфическому затуханию волны, как было отмечено уже в первых работах, направленных на объяснение парадокса исчезновения затухания Ландау в поперечном магнитном поле [62, 68, 69]. Учет частиц, захваченных волной, делает задачу о резонансном взаимодействии волна-частица существенно нелинейной. Дополнительная трудность связана с тем, что движение электронов описывается "неинтегрируемыми" уравнениями. Поэтому, анализ взаимодействия обычно предполагает исследование динамики частиц в поле волны с фиксированными амплитудой и фазовой скоростью с последующим определением поправок к амплитуде [9]. Хотя такой подход проясняет физику взаимодействия волна-частица в поперечном магнитном поле [62, 69], он все же содержит элемент несогласованного описания процесса и, тем самым, не является вполне последовательным. Таким образом, сложность нелинейной задачи, сформулированной в [62], до сих пор не позволяет найти ее достаточно общее решение в рамках замкнутого согласованного подхода. Поэтому, как правило, исследования процесса серфинг-ускорения заряженных частиц проводятся численными методами [63, 64, 65, 67].
Отмеченные трудности приводят к необходимости поиска приближенных методов решения задачи. В пределе очень слабого магнитного поля целесообразным упрощением является адиабатическое приближение [16, 18, 70]. которое, по существу, переводит строгие неинтегрируемые уравнения движения частиц в приближенные, интегрируемые. В этом пределе применение адиабатического приближения вполне оправдано, т. к. процесс ускорения захваченных частиц протекает медленно в масштабе их колебаний в потенциальных ямах волны [71]. По-видимому, в рамках адиабатического приближения задача о затухании волны может быть решена в довольно общей постановке, сформулированной в [62]. Методической основой для ее последовательного решения могло бы служить, например, замкнутое описание "адиабатического" взаимодействия волна-частица в слабонеоднородной плазме, обсуждаемое в следующей главе. Однако, если интересоваться конкретно затуханием волны в результате серфинга захваченных электронов (когда других резонансных частиц нет), задача существенно упрощается, так что оказывается возможным ее аналитическое решение на основе замкнутого согласованного подхода, близкого, по технике решения системы уравнений Власова-Пуассона, продемонстрированному в предыдущем разделе. В отличие от раздела 1.1, где рассмотрена пространственная эволюция волны периодической во времени, теперь предстоит проанализировать эволюцию во времени пространственно-периодической волны.
Рассмотрим один из сгустков (бунчей) электронов, захваченных в одну из потенциальных ям волны, что достаточно в силу пространственной периодичности рассматриваемой физической системы. Удобно воспользоваться понятием эффективного потенциала ip(x,t) , минимум которого -0 = 0 движется с некоторой скоростью VQX(t) , близкой к фазовой скорости первой (наиболее интенсивной) гармоники волны u(t). В пределе h —У 0 параметры физической системы изменяются медленно по сравнению с колебаниями захваченных электронов в потенциальных ямах ф, и можно говорить о медленном "адиабатическом" взаимодействии волна-частица [31, 32, 70]. В этих условиях решение кинетического уравнения (1.63) можно найти в адиабатическом приближении путем разложения / по малому параметру а d/dt} характеризующему медленность временной эволюции физической системы. Применительно к конкретным условиям рассматриваемой задачи, достаточно медленная эволюция волны ( т —) 0) гарантируется как малой величиной магнитного поля, так и малым числом захваченных частиц.
Конкретизируем явный вид функции распределения захваченных электронов / FQ. Пусть, для определенности, в начальный момент времени скорости захваченных электронов в направлении у малы, и частицы сгруппированы вблизи дна потенциальной ямы волны х = = г} = 0. Тогда обобщенный импульс, который входит в эффективный потенциал (1.59) в качестве параметра, также мал, и слагаемое hp в (1.60) и (1.61) можно опустить. Более строго, пренебрежение этим членом соответствует выбору начального распределения захваченных частиц в виде дельта-функции от обобщенного импульса FQ (р)- При этом все частицы осциллируют в одном и том же эффективном потенциале 00 = ФІР — 0)? что упрощает математические выкладки. В качестве начального условия можно задать и некоторое иное распределение FQ, например, положить FQ ${vy)- Однако, если электроны сгруппированы на дне потенциальной ямы, это не вносит существенных изменений в результаты дальнейшего анализа, направленного, главным образом, на описание макроскопической динамики захваченных электронных сгустков. По той же причине явный вид і7!) как функции "энергии" W также не столь важен.
БГК-волна в слабом поперечном магнитном поле
Как уже отмечалось в разделе 1.2, наличие слабого магнитного поля, направленного перпендикулярно направлению распространения плазменной волны, существенно модифицирует процесс электростатического взаимодействия волна-частица [62]. Поиск строгого решения задачи о затухании волны сопровождается математическим трудностями из-за сложного характера движения заряженных частиц, описываемого неинтегрируемыми уравнениями (см., например, [122, 123]). Несмотря на это, достигнут значительный прогресс в понимании механизмов затухания волны [67, 69, 122, 124, 125]. Установлено, что на начальной стадии взаимодействия основной вклад в затухание вносят электроны, захваченные волной, которые ускоряются вдоль фронта волны под действием силы Лоренца. Рано или поздно захваченные частицы высыпаются из потенциальных ям волны, так что на более поздней стадии взаимодействия затухание обусловлено пролетными электронами эффективно взаимодействующими с волной во время кратковременных пересечений резонансной области скоростей в процессе их медленного ларморовского вращения [62, 69]. Затухание волны конечной амплитуды исчезает в пределе бесконечно слабого магнитного поля. Поэтому, стационарная или медленно эволюционирующая волна должна быть близка по своей структуре к равновесной БГК-волне [11].
В этом разделе рассмотрим стационарную периодическую волну конеч ной амплитуды при распространении поперек слабого постоянного маг нитного поля в рамках кинетической теории. Наличие слабого магнитно го поля, как малого параметра задачи, приводит к тому, что функция распределения заряженных частиц оказывается вполне определенной, в отличие от обычной БГК - теории [11], страдающей отсутствием единственности решения. В результате, строение нелинейной волны определяется единственным образом в противоположность неопределенно ти, характерной для широкого класса БГК-волн. При этом можно установить нелинейное дисперсионное соотношение, учитывающее специфическое строение функции распределения в окрестности резонанса, подобно предыдущему разделу, но даже не решая задачу с начальными условиями [103].
Отметим сразу существенное отличие движения захваченных и пролетных электронов и, соответственно, их вкладов в затухание волны. Как показано в - [62] и уже обсуждалось в разделе 2.2, захваченные частицы, осциллируя в потенциальных ямах, ускоряются вдоль фронта волны в направлении у перпендикулярно магнитному полю. В результате обмена энергией с этими частицами волна испытывает специфическое нелинейное затухание. Следовательно, при наличии захваченных частиц волна не может быть стационарной. Однако, с течением времени эти частицы высыпаются из потенциальных ям. Естественно ожидать, что в области захвата фазового пространства должны возникать пустоты (электронные дыры). Поэтому дальнейший анализ с необходимостью предполагает отсутствие захваченных электронов. Таким образом, плотность электронов в уравнении Пуассона (2.65) целиком определяется вкладом пролетных частиц.
Функция распределения (2.73), аппроксимируемая первым членом разложения в (2.68), т. е. нулевой пространственной гармоникой функции распределения в переменных Vy,W,, есть распределение, усредненное по фазам частиц относительно волны. Это приближение вполне оправдано в пределе h -4- 0, когда частицы быстро перемешиваются по фазам в процессе сравнительно медленного ларморовского вращения. Функцию распределения, определенную (2.73) и (2.75), можно также рассматривать как аналог "эргодического" распределения, возникающего в результате затухания волны конечной амплитуды [9]. При необходимости, можно вычислить также члены высшего порядка в (2.68). В частности, можно найти поправку порядка h2, характерную для верхнегибридных колебаний плазмы при ojjj/ujp С 1.
Тогда в "нерезонансной" части 1 квадратный корень \j2{w + 8) в (2.79) и (2.85) легко разложить, т. к. w А1 2 5 А при Л 1 всюду на интервале интегрирования, в то время как, в "резонансной" части 7д функции распределения д± можно разложить вблизи w = 0 с учетом узости области интегрирования в пределе А —) 0. Подобная процедура уже упоминалась в разделе 2.2. Для решения уравнения Пуассона (2.65) необходимо вычислить возмущение плотности электронов пе = пе — 1. Это можно сделать, вычитая (2.91) из (2.89), используя (2.92) и подставляя 5 = 2А(1 — се) в полученное выражение. В результате находим пе = 2АР{и){а - (а)) + 4А1 2 &{и)((у/Т= $ - у/Т а) , (2.95) где слагаемое, пропорциональное малому произведению Af\)(u) опущено. Возмущение плотности состоит из линейного вклада нерезонансных частиц и вклада дыры фазовой плотности в области захвата благодаря отсутствию захваченных электронов. Дефицит частиц в резонансной области пропорционален значению функции распределения в резонансе fo(u) и ширине области захвата Av А1 2. Подставляя (2.77) и (2.95) в (2.65), приходим к уравнению Пуассона вида +р(а- (а)) + 7((л/Г ) - у/Т а) = 0 , (2.96) где ф = kf; = к(х — ut) - фаза волны, р = Р(и)/к2 = 1 — є (и, к) (ки) 2{1 + 3/2и2),еі{и,к) - линейная диэлектрическая проницаемость, Л и к = 2тт/Х - длина волны и волновое число соответственно, и q = 2/o(w)/A;2A1//2. С точностью до некоторых обозначений уравнение (2.96) совпадает с уравнением (2.37) раздела 2.1. Поэтому, несмотря на различия сформулированных задач, нелинейное дисперсионное соотношение имеет один и тот же вид, и можно сразу воспользоваться готовой формулой (2.42).
Динамика частиц в поле волны, бегущей вдоль оси магнитной ловушки
Благодаря интенсивному обмену энергией электромагнитных волн с заряженными частицами явление гиро-резонанса играет важную роль в процессах, протекающих в плазменных системах типа магнитной ловушки. Коллективные процессы, обусловленные резонансным взаимодействием волн и частиц, оказывают существенное влияние на состояние и устойчивость плазмы, определяя диффузию по питч-углам, механизмы нагрева плазмы и потерь энергичных частиц. Исследование динамики заряженных частиц в полях такой конфигурации представляет интерес как применительно к задачам физики лабораторной плазмы [106, 134, 135, 136], так и для анализа коллективных явлений в радиационных поясах Земли [137,138] и гиро-резонансного взаимодействия квазимонохроматических волн с энергичными частицами в магнитосфере [19, 139].
При наличии неоднородности внешнего магнитного поля уравнения движения заряженных частиц становятся неинтегрируемыми даже в отсутствие волны. Интегрирование точных уравнений движения большого ансамбля частиц в самосогласованном поле волны - непосильная задача даже для современных суперкомпьютеров. Существенное упрощение вносит использование уравнений, усредненных по ларморовскому вращению частицы. Важное преимущество усредненного описания движения состоит в исключении уравнений для координат частицы, так что в итоге система уравнений содержит лишь скорости вдоль и поперек магнитного поля и угловую переменную, характеризующую энергообмен в процессе взаимодействия волна-частица.
Запись уравнений движения электронов в виде (3.19) фактически предполагает введение поля волны, как малого возмущения, в уравнения, предварительно усредненные по ларморовскому вращению [25, 146]. В отсутствие волны, а — 0, магнитный момент частицы сохраняется Iх — v±/2B — const. Если лее а ф 0, магнитный момент не является постоянным, и уравнения не имеют каких-либо интегралов движения [147]. В качестве приближенной постоянной движения часто используют величину С = (1/2)[г 2 — (OJ/UJ V]} const (см., например, [142, 143, 144, 148, 149, 150]). Однако, постоянство С вовсе не следует из уравнений (3.19). К тому же, эта величина не содержит амплитуды волны. Следовательно, по существу, рассматривается предел а — 0. С другой стороны, известно [134], что при а = 0 в случае осевой симметрии внешнего магнитного поля существуют два строгих интеграла движения -кинетическая энергия частицы и проекция момента количества движения на ось симметрии z, так что С представляет собой просто разность этих величин. Таким образом, конечность амплитуды волны не проявляет себя в должной мере при описании движения электронов с помощью уравнений (3.19).
В этом разделе уравнения движения электронов в поле медленно эволюционирующей волны круговой поляризации подвергаются более тщательному анализу. Показано, что даже при наличии слабой неоднородности магнитного поля существует постоянная движения, наличие которой позволяет свести уравнения движения к каноническому виду, более общему применительно к согласованному анализу гиро-резонансного взаимодействия электронов с волной конечной амплитуды.
Рассмотрим движение электронов в поле электромагнитной волны с правой круговой поляризацией, распространяющейся вдоль оси симметрии z магнитной ловушки, заполненной плазмой. Далее, как и в предыдущем разделе во избежание громоздкости, воспользуемся безразмерной формой записи уравнений. Будем интересоваться, главным образом, динамикой частиц, движущихся не слишком далеко от оси в радиальном направлении.
Кроме того, исключаем из рассмотрения периферийные области ловушки, где частицы отражаются от магнитных "пробок". Если источники внешнего магнитного поля (внешние токи) также расположены в периферийных областях, статическое магнитное поле в центральной области ловушки подчиняется уравнению Максвелла VxBo = 0 в дополнение ко второму уравнению V BQ = 0. Тогда поле целиком определяется азимутальной компонентой векторного потенциала, которая в цилиндрической системе координат удовлетворяет уравнению
Существование инварианта Z отмечено, в частности, в [134], с той лишь разницей, что в этом обзоре амплитуда и фазовая скорость волны предполагались постоянными. Однако эта величина сохраняется и в случае пространственно зависящих A = A(z) и Vph = fc-1(z), в чем нетрудно убедиться путем непосредственной проверки с помощью уравнений движения даже без разложения Ац , использованного выше.
В качестве предварительного комментария, заметим, что в отсутствие волны А = 0 инвариант Z = 5 — М распадается на две постоянные движения S = const и М = const, которые сохраняются независимо. Приближенное сохранение магнитного момента электрона fi тесно связано с их инвариантностью. В отсутствие неоднородности, а = 0 (Bg = const, A = const, и к — const), постоянная Z — LQ + S распадается на два других независимых интеграла движения, LQ = 8 — q2/2h = const и S = q2/2h - M = const, где q = Pj_ + A0 = Vj. — A - обобщенный поперечный импульс в поле волны. Вдобавок, возникает новый инвариант Н = к — vz = const, связанный с сохранением кинетической энергии электрона в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны, в которой электрическое поле волны обращается в нуль, Т = (1/2)[v2. + v2, + (vz - Vph)2] = (2kH + 1)/22 = const. В общем случае, А ф 0 и и ф 0, особого внимания заслуживает величина LQ, которая при а = О ,А ф 0 является точным интегралом движения, в то время как при А = 0 , а ф 0 она сохраняется с той же (обычно очень высокой) точностью как и магнитный момент /л. Как будет показано ниже, в общем случае LQ сохраняется с высокой точностью, в то время как сохранение \х нарушается при резонансном взаимодействии электрона с волной.
Уравнения (3.19) можно вывести, отбросив сначала в (3.25) слагаемые, пропорциональные А, описывающие силы, действующие на электрон со стороны волны, усреднив полученные уравнения по быстрому вращению частицы, как это делается при выводе уравнений ведущего центра [134, 152], а затем вновь ввести в уже усредненные уравнения члены, описывающие поле волны. Очевидно, эта процедура оправдана лишь в пределе бесконечно малой интенсивности волны, когда волновое поле является малым возмущением. Для волн конечной амплитуды более последовательным подходом является непосредственное усреднение уравнений (3.25), выполненное в [128].
Взаимодействие электронных дыр фазовой плотности
Как отмечалось в предыдущем разделе, уже первые численные эксперименты, направленные на моделирование бесстолкновительной релаксации электронного пучка в плазме [168, 169, 190], выявили отклонения [186] от известных результатов квазилинейной теории [233, 234, 235]. Выяснилось, что на фоне "квазилинейного плато" в резонансной области возникают также вихревые структуры в фазовом пространстве. С течением времени вихри приобретают форму дыр фазовой плотности в результате непрерывного перемешивания частиц по фазам. Дальнейшая, более длительная, стадия эволюции плазменно-пучковой системы обнаруживает многократное по-парное слияние дыр [170, 206, 207, 236]. При этом, периодическая волна, доминирующая на стадии насыщения линейной пучковой неустойчивости, постепенно рассыпается на отдельные изолированные импульсы электрического потенциала, соответствующие локализованным дырам фазовой плотности электронов. Благодаря крайне медленной эволюции таких уединенных волн, их структура с приемлемой точностью описывается в рамках БГК-метода [179, 205].
Процесс формирования дыр фазовой плотности, впервые обнаруженный в численных экспериментах, можно отнести к числу достижений вычислительной физики плазмы. В настоящее время, тенденцию к слиянию дыр можно считать надежно установленным фактом. Тем не менее, анализ характера взаимодействия таких БГК-солитонов и физика слияния дыр долгое время выпадали из поля зрения, несмотря на многократные визуальные наблюдения при численном моделировании разнообразных задач. Численные эксперименты показали, что взаимодействие солитонов может быть "упругим", если их относительная скорость значительно превышают ширину дыр в пространстве скоростей, или "неупругим", если скорости почти равны. Упругое взаимодействие демонстрирует необычайную устойчивость БГК-солитонов типа дыр фазовой плотности. Неупругое взаимодействие обычно заканчивается слиянием дыр с образованием более интенсивного солитона.
На качественном уровне "столкновение" электронных дыр обсуждалось в статьях [170, 214]. Более ясную физическую картину взаимодействия БГК-солитонов этого типа могло бы дать описание явления аналитическими методами. Разумеется, возможности анализа существенно нелинейного и нестационарного процесса в рамках кинетической теории крайне ограничены. Поэтому, аналитические методы вряд ли могут конкурировать с численными, на пути достаточно строгого описания процесса взаимодействия электронных дыр. Тем не менее, жертвуя строгостью, можно попытаться построить удобную и прозрачную модель, которая проясняла бы физический механизм и основные закономерности взаимодействия. Такая попытка была предпринята в [180]. Следуя этой работе, в этом разделе рассмотрим процесс взаимодействия двух идентичных БГК-солитонов типа электронной дыры фазовой плотности. Модель "водяного мешка" В общей постановке, задача о столкновении вихрей в фазовом пространстве необычайна сложна для решения аналитическими методами. Поэтому, ниже ограничимся рассмотрением элементарного акта взаимо действия двух идентичных БГК-солитонов типа равновесных электронных дыр, движущихся с одинаковой скоростью. Цель дальнейшего анализа - свести уравнения Власова-Пуассона, описывающие динамику взаимодействующих солитонов, к максимально простому модельному виду, сохраняя лишь основные качественные особенности рассматриваемой физической системы, и попытаться решить эти уравнения приближенными методами.
Для описания электронного фона воспользуемся одной из простейших моделей плазмы типа "водяного мешка" [170, 236], в которой функция распределения заряженных частиц аппроксимируется набором ступенчатых функций. При численном моделировании преимущество этой примитивной модели состоит в том, что для описания временной эволюции распределения фазовой плотности частиц достаточно проследить динамику конечного числа линий равного уровня функции распределения (границ несжимаемого "водяного мешка" в фазовом пространстве) вместо двумерного континуума фазовой плотности. В итоге, это приводит к существенной экономии времени расчетов на ЭВМ. Постоянство функции распределения в конечном наборе областей фазового пространства, свойственное такой модели, существенно упрощает и аналитические расчеты.
Определим теперь начальное состояние возмущенной системы при наличии двух дыр фазовой плотности электронов. Согласно известным результатам численного моделирования, наиболее сильное взаимодействие дыр наблюдается, если их относительная скорость мала. При этом столкновение солитонов обычно носит неупругий характер, и дыры сливаются в одну. Далее ограничимся рассмотрением дыр, движущихся с одинаковой скоростью относительно покоящейся плазмы. Кроме того, будем рассматривать взаимодействие полностью идентичных возмуще ний. Начальное состояние системы показано на рис. 4.4. Предположим, что первоначально дыры достаточно разнесены в пространстве, так что их взаимодействие очень слабо вследствие экранирования зарядов солитонов плазмой. Таким образом, в начальный момент времени солитоны с высокой точностью представляют собой локализованные БГК возмущения, рассмотренные в предыдущем разделе. К распределению захваченных частиц, определяющему структуру солитонов, вернемся несколько позже. А здесь, продолжим упрощение уравнений, описывающих динамику электронного фона.
