Содержание к диссертации
Введение
Глава I Параметрическое резонансное возбуждение продольных колебаний в релятивистской плазме ВЧ электрическим полем 25
1 .Постановка задачи и основные уравнения 25
2.Сильное поле 30
3.Слабое поле 39
4. Параметрическая неустойчивость в слабом ВЧ поле релятивистской электрон-позитронной плазмы 60
5.Релятивистская плазма с одномерным тепловым разбросом импульсов электронов .
6.Основные выводы 64
Глава 2. Модуляционная неустойчивость самосогласованной продольной волны в релятивистской плазме 67
1.Постановка задачи 67
2.Самосогласованная стационарная продольная волна 69
3. Устойчивость продольной стационарной волны 76
4.Анализ нелинейного дисперсионного соотношения в пределе большой длины волны
5.Анализ нелинейного дисперсионного соотношения в случае конечной длины стационарной волны (K»V)S>} 93
Глава 3. Модуляционная неустойчивость самосогласованного высокочастотного поля. Различные поляризации поля возмущения 101
1.Постановка задачи и метод многоиндексных тензоров ЮІ
2. Стационарная нелинейная волна в квадратичном приближении 106
3.Устойчивость стационарной волны относительно произвольных возмущений электромагнитного поля 109
4.Анализ различных случаев поляризации поля возмущения и при VCV\Eo ' 121
5.Анализ различных случаев поляризации поля возмущения Е. приК-LEo *30
6.Основные выводы 140
Глава 4. Нерезонансное взаимодействие волн в релятивистской плазме. Нелинейное затухание Ландау 143
1.Взаимодействие волн с фиксированными фазами 143
2. Взаимодействие волн со случайными фазами 147
Заключение 156
Литература
- Параметрическая неустойчивость в слабом ВЧ поле релятивистской электрон-позитронной плазмы
- Устойчивость продольной стационарной волны
- Стационарная нелинейная волна в квадратичном приближении
- Взаимодействие волн со случайными фазами
Введение к работе
Одной из главных особенностей плазмы как сплошной среды является наличие большого числа собственных мод, В равновесной плазме амплитуды таких колебаний порядка амплитуд тепловых флуктуации и поэтому малы. Существует однако множество факторов, выводящих плазму из состояния термодинамического равновесия. При этом возникают неустойчивости, приводящие к росту самосогласованных электромагнитных полей до уровня, существенно превышающего уровень равновесных флуктуации. Такие неустойчивости возникают, в частности, при воздействии на плазму мощного высокочастотного излучения, лазерного и микроволнового. В этом случае плазму необходимо рассматривать как нелинейную среду, принимать во внимание взаимодействие волн различных типов между собой и с частицами плазмы.
Диссертация посвящена теоретическому анализу явлений в изотропной релятивистской плазме, возникающих при воздействии на нее внешнего высокочастотного поля. Актуальность последовательного релятивистского подхода состоит в следующем. Во-первых, растет мощность используемых в экспериментах источников лазерного излучения. В ряде экспериментов (например, Гі - ЗІ) плотность потоков излучения С0-лазеров и лазеров на неодимовом стекле достигает Ю *%т/сг. В таких полях оказывается возможной раскачка электронов плазмы до скоростей близких к скорости света , и динамика электрона в поле волны является релятивистской ^4"]. Во-вторых, в ряде случаев в лабораторных экспериментах температура электронов плазмы приближается к релятивистским значениям. Так, например, плазма с температурой порядка 200 кэв в состоянии близком к термодинамическому равновесию была получена в экспериментах 5^. Значительная доля сверхтепловых электронов, обладаю- щих слаборелятивистской эффективной температурой «^ 50 кэв была зарегистрирована авторами работы 3] в результате воздействия СО^-лазера на плазму. Наряду с объяснением результатов лабораторных экспериментов необходимость развития теории нелинейного взаимодействия волн в релятивистской плазме возникает при изучении некоторых астрофизических объектов и, прежде всего, при интерпретации процессов, происходящих в магнитосфере пульсаров L6 - 9]. Наконец, в ряде случаев оказывается существенным учет возбуждения в плазме самосогласованных непотенциальных полей, для описания которых необходимо привлекать полную систему уравнений Максвелла, а не одно уравнение Пуассона. Такую систему уравнений корректно рассматривать совместно с релятивистски ковариантным кинетическим уравнением, учитывающим релятивистскую зависимость импульса электрона от скорости. Именно так, как мы покажем ниже,обстоит дело при исследовании генерации квазистатических магнитных полей при воздействии на плазму излучения лазера. Это явление, обнаруженное в работах 10 , ІІ], позднее неоднократно изучалось в экспериментах ряда авторов (2 , 12}).
Теоретическое исследование колебательных свойств релятивистской плазмы началось в конце 50-х - начале 60-х годов. В работах [13 - 15] были впервые рассмотрены линейные колебания плазмы с релятивистским тепловым разбросом импульсов электронов и получены основные асимптотики соответствующих дисперсионных соотношений. Уже в этих работах отмечены качественные особенности дисперсионных характеристик продольных колебаний релятивистской и нерелятивистской плазмы, состоящие в наличии областей спектра со сверхсвето-выщи досветовыми фазовыми скоростями. Обстоятельное исследование линейных дисперсионных свойств релятивистской плазмы, имеющих большое значение при рассмотрении также и нелинейных процессов,было в основном завершено уже значительно позже. В работе [16] дис-
Персия ленгмюровских волн для произвольных температур была исследована численными методами, а в работах [17 - 23} были уточнены аналитические свойства линейной дисперсии, в частности, была показана ошибочность утверждения (см.\24J) о невозможности существования ленгмюровских волн с досветовыми фазовыми скоростями. В связи с астрофизическими приложениями в ряде исследований была рассмотрена плазма с одномерным тепловым разбросом импульсов электронов 8 , 25 , 2б\, причем в последней работе была показана возможность существования в такой плазме волн с дисперсией близкой к звуку даже в приближении неподвижных ионов. При исследовании колебательных свойств плазмы с учетом некуло-новского характера взаимодействия зарядов в работах [27, 28] была показана важность учета радиационного затухания ленгмюровских волн, которое, как следует из работы 293 в релятивистской плазме может превышать не только линейное затухание Ландау, но и затухание вследствие электрон-ионных столкновений. Значительное количество работ было посвящено также линейным дисперсионным свойствам релятивистской магнитоактивной плазмы (см.,например, ^30 - 32]). Не останавливаясь подробно на результатах этих работ, упомяним лишь результат работы 323 » гДе б^0 показано, что в ряде случаев последовательное релятивистское рассмотрение приводит к качественно новым результатам даже в случае сравнительно низких температур (затухание Ландау циклотронных волн, распространяющихся поперек магнитного поля).
Что касается теории нелинейных колебаний и волн в плазме, то еще в 1956 г, в работе [33] на основании гидродинамики холодной плазмы были рассмотрены нелинейные волны релятивистской амплитуды и было показано, что нелинейный сдвиг частоты собственных колебаний в длинноволновом пределе имеет релятивистскую природу, в этой работе были выявлены основные типы нелинейных стационар- - 7 -ных волн релятивистских амплитуд, которые могут распространяться в незамагниченной плазме. Позднее более обстоятельно такие стационарные волны были исследованы в работе [_34"1. другим направлением изучения нелинейных волн в плазме является непосредственное использование уравнения Власова для получения решений в виде стационарных волн 35Д и последующего исследования таких решений на устойчивость (см., например, [_3б] и [37^]). Применительно к случаю релятивистской плазмы с максвелловской функцией распределения электрона по импульсам стационарная нелинейная ленгмюровская волна была впервые рассмотрена в работе .38^, однако, в этой работе при определении нелинейного сдвига частоты непоследовательно был отброшен вклад кубической поправки по амплитуде волны. Позже более корректно поправки к частоте для подобной волны получались в работе С39І, но лишь для случая упрощенного прямоугольного распределения,
В конце 60-х годов в связи с необходимостью объяснения экспериментальных результатов воздействия лазерного излучения на плазму была разработана теория параметрического воздействия излучения на плазму. Подробное изложение теории и основных выводов содержится в обзорах40-42]. Одним из важнейших результатов теории в случае однородной накачки _0-%АпС00^- является возникновение параметрической неустойчивости при приближении частотыСдо (или кратной ей частоты) к плазменной частоте. Эта неустойчивость в нерелятивистской плазме обусловлена относительным движением электронов и ионов, поэтому её инкремент обращается в нуль в пределе tl\. -^йо . Однако даже в случае нерелятивистской плазмы для анализа возбуждения ленгмюровских волн в направлении, перпендикулярном ^" приходилось привлекать полную систему уравнений Максвелла (вместо уравнения Пуассона). В результате получалось выражение для инкремента ^43], содержащее квадрат скорости света в - 8 -знаменателе. В 1970 г. в работе 44TJ была впервые обнаружена возможность параметрического резонанса в чисто электронной плазме в рамках релятивистской динамики электронов. Б этой работе были использованы уравнения холодной гидродинамики в приближении неподвижности ионов. Затем в работах 45-503 было продолжено изучение параметрической неустойчивости электронной плазмы на основе гидродинамики холодной плазмы. В работах [_Ъ1\ и [Ь2^ в качестве внешней накачки рассматривается самосогласованная стационарная волна релятивистской амплитуды типа полученной в работах \_33~\ и ^341, что является более последовательным в случае, когда рассматривается однородная безграничная плазма. Однако, и в этих работах использовалось гидродинамическое приближение. Наконец были пред- . приняты попытки обобщения результатов, полученных для холодной плазмы на релятивистскую область значений электронной температуры ^.53-5. Но в работах 53-5б\ непоследовательно учитывался вклад за счет генерации квазистатических продольных полей. Это привело, в частности, к разделению эффектов вследствии относительного движения двух сортов частиц и релятивистской зависимости импульса электрона от скорости. На самом деле такого разделения нет в случае параметрической неустойчивости при релятивистских температурах электронов 0^ ~ТК\р,С «В работе же \j>4~\ использовалось квадратичное по амплитуде поля приближение, которое позволяет корректно рассмотреть только процессы типа распада колебаний внешнего поля на две собственные моды.
К исследованиям по параметрическому воздействию высокочастотного излучения на плазму непосредственно примыкает развитая в эти же годы теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн. Впервые возможность такого процесса была обоснована в работе .58], затем в работе Y.593 для описания развития этого типа неустойчивости в нерелятивистской плазме была предложена сравнительно простая система уравнений, основанная на гидродинамике с учетом теплового давления. В последние годы теория модуляционной неустойчивости активно используется для объяснения нелинейных процессов, происходящих в плазме под воздействием внешнего излучения (см., например, 6CQ). Отметим, что модуляционная неустойчивость, которая представляет собой распад второй гармоники исходного поля на две собственные моды плазмы, в рамках линейной стадии развития описывается теми же уравнениями, что и параметрическая неустойчивость под воздействием слабого высокочастотного поля [_61]. Поэтому результаты слаборелятивистской гидродинамикеской теории можно было изложить и на языке уравнений Захарова [62 , 63]. Недостатком приближения использованного в работах \$2\ и63І является учет тепловых эффектов лишь в добавках описывающих линейную дисперсию ленгмюровских волн. Вклад за счет нелинейного взаимодействия таких волн учтен там лишь в приближении холодной плазмы. В таком приближении невозможно учесть нелинейные сдвиги частоты ленгмюровских волн за счет четырехволнового взаимодействия [64 , 65].
Решение уравнений, описывающих модуляционную неустойчивость в рамках одномерной геометрии, приводит к существованию стационарных уединенных волн - солитонов, характеристики таких решений в случае релятивистской плазмы были рассмотрены в работах [66 , 67).
Дальнейшие исследования по воздействию мощного излучения, разгоняющего частицы плазмы до скоростей близких к скорости света на плазму привели к новым публикациям в этой области, В работах \j>8\ и У_69Д аналитически и численно рассмотрен ряд эффектов в ВЧ поле большой интенсивности. В работе \J70~^ рассмотрено образование ударных волн в результате такого воздействия. Релятивистская зависимость импульса электрона от скорости приводит к релятивистской самофокусировке лазерного луча в плазме [71^ и влияет на - 10 -проникновение волнового пучка в плазму [72J. Большая серия работ посвящена теоретическому исследованию распространения продольно-поперечных и циркулярио-поляризованных волн релятивистской амплитуды как в незамагниченной [_73-79^ , так и в магнитноактивной плазме 80-86].
Дальнейшее развитие теории параметрического воздействия излучения на плазму позволило объяснить обнаруженный в ряде экспериментов эффект генерации магнитных полей в плазме в поле мощных лазерных пучков. В работах 87-89*} это явление объяснялось как эффект сопровождающий генерацию собственных продольных плазменных мод под углом к полю внешней накачки. Анализ в этих работах осуществлялся на основе нерелятивистской теории. Позднее в работах ^90-92^ был предложен другой механизм генерации квазистатического магнитного поля, являющийся по сути дела нерезонансным возбуждением поперечных пульсаций в поле внешней волны. Этот процесс однако дает инкремент кубический по внешнему полю, в то время как резонансный процесс модуляционного типа р7-89^} является квадратичным по исходному полю.
В процессах, связанных с воздействием внешнего высокочастотного поля на плазму, а также при эволюции спектра ленгмюровских волн, возбужденных в результате развития какой-либо неустойчивости, существенную роль играет нелинейное затухание Ландау. Это явление, представляющее собой взаимодействие резонансных частиц с низкочастотными биениями двух плазменных волн, было впервые изучено теоретически в работах 93 , 94J применительно к слаботурбулентной плазме, а затем в работах 95-99] на этой основе была развита нерелятивистская теория слабой турбулентности. Позднее были получены экспериментальные результаты по нелинейному затуханию Ландау l00, I0]Q , позволившие говорить о количественном соответствии теории и эксперимента. Нелинейное затухание Ландау в - II - слаботурбулентной релятивистской плазме, характеризующейся степенной функцией распределения, было рассмотрено в монографии Q6], а в работе flC^J был проанализирован случай одномерного теплового разброса импульсов электронов. Характерной особенностью нелинейного затухания Ландау в релятивистской плазме является отсутствие компенсации старших членов в разложении по степеням отношения дебаевского радиуса к длине ленгмюровской волны, вкладов от так называемых комптоновского рассеяния ленгмюровских волн и нелинейного рассеяния волн на дебаевской шубе электрона.
Основными задачами данной работы являются: анализ параметрического воздействия однородной накачки на изотропную незамагниченную плазму при различных (как слаборелятивистских, так и существенно релятивистских) температурах; последовательное рассмотрение линейной стадии развития модуляционной неустойчивости в рамках релятивистской кинетической теории бесстолкновательной плазмы на основе стационарных решений типа [35, 38j , учитывающих конечность амплитуды рассматриваемых ленгмюровских волн; теоретический анализ процессов в релятивистской плазме типа модуляционной неустойчивости, сопровождающихся возбуждением колебаний в направлении, отличном от направления поляризации исходной волны, которые могут привести к генерации квазистатических магнитных полей; - анализ особенностей процессов типа нелинейного затухания Ландау при слаборелятивистских и сутдественно релятивистских температурах, которые происходят как в поле фиксированной волны конечной амплитуды, так и при наличии широкого спектра турбулентных пульсаций.
Решению перечисленных задач соответствует структура диссертации, которая состоит из четырех глав. - 12 -В первой главе рассмотрена устойчивость плазмы в поле внешней однородной накачки _ %vG0o"t относительно возбуждения потенциальных возмущений вдоль t . Показано, что в области не- v— о релятивистских значений температуры электронов Q^^TYy С по ле Но входит в уравнения, описывающие потенциальные возмущения плазмы через два безразмерных параметра VJrr /Vr и ^Р_/С » где V^^^Eq/tYI Cl>o t Vb* убе/лгіе . В случае же реляти вистской температуры электронов внешнее поле входит в соответст вующие выражения через один безразмерный параметр VpоС/с. » dC~TY\ С?у Q « Этот Факт позволяет при сС >>> 4_ выде- лить два случая :
Сильное поле._V>>Vy
Слабое поле Vc ^SsV-r. Всюду в данной работе считаем, что V«Xvi.*<^>- где р - импульс электрона, а усреднение ведется по равновесному распределению.
В случае сильного поля показано, что при .<<ч(гПе/гУЧ-'- dk 6^Vp./COo))Jb значения инкремен- та апериодической неустойчивости совпадают с известными [40], а в случае обратного неравенства
Такое увеличение инкремента может быть существенно в случае тяжелых ионов. Если ^\/г;/л V>| или К\/г: //Ль^і » то происходит сглаживание резонансной зависимости инкремента от длины возбуждаемой волны. Также учет релятивистских поправок приводит к ослаблению периодической неустойчивости. - ІЗ -В случае слабого поля Vp^C^T слаборелятивистский вклад в нелинейное дисперсионное соотношение при Вс.^СТЛ С либо пре-небрежимо мал, либо может быть учтен на основе формул, полученных для случая сильного поля, если в разложении функции Бесселя Ч, в ряд Тейлора взять только первый член.
В случае же релятивистской температуры электронов максимальный инкремент неустойчивости апериодического типа оказывается равным f = Х3>оЄ-у/с* где коэффициент /\ в случае изотропного релятивистского максвеллов ского распределения задан соотношением '0,037 , KC<^cc.?oC2V/c*-
, о ,138 , VO/s >>> to» «Й- V /о- % здесь V^ - скорость ионного звука, а с5р ~ релятивистская плазменная частота. Показано, что апериодическая неустойчивость существует лишь при значениях частоты внешнего поля G00 , удовлетворяющих неравенству в случае же выполнения обратного неравенства возможна (при периодическая неустойчивость, сопровождающаяся возбуждением ионного звука. Рассмотрены также пороги параметрических неустойчивостеи в релятивистской плазме в области малых волновых чисел \С, , которые обусловлены наличием радиационного и столкновительного затухания.
Существенное отличие от результатов работ jJ53-56\ состоит в последовательном учете вкладов в нелинейные дисперсионные соотношения от нелинейного взаимодействия возбуждаемых продольных колебаний с дебаевскими шубами электронов в электронной и электрон-ионной плазме . В пределе (У| -> оо такие вклады в работах ^53-56^ вообще не учитывались. Показано также, что в релятивистской плазме изменение апериодического инкремента за счет учета конечности массы ионов не может быть больше 30% по сравнению с величиной, получаемой в пределе электронной плазмы. Это связано с отсутствием взаимной компенсации слагаемых, связанных с комптоновским рассеянием ленгмюровских волн и с нелинейным рассеянием этих волн на дебаевских шубах.
Рассмотрено также воздействие накачки на релятивистскую электрон-позитронную плазму, в которой возможна лишь апериодическая неустойчивость с инкрементом того же порядка, что и в электрон-ионной плазме (4).
В 5 рассмотрена плазма с одномерным разбросом импульсов электронов; показано, что при переходе от изотропного к одномерному максвелловскому распределению инкремент апериодической неустойчивости возрастает в Sd/ff\ СУ раз и в одномерном случае имеет порядок f~S?V|.oC/cfc где Ол - одномерная релятивистская плазменная частота. Инкремент же периодической неустойчивости остается неизменным.
Во второй главе на основе использования интеграла движения в поле волны получено стационарное самосогласованное решение в виде продольной еолны в плазме произвольной релятивистской температуры. Рассмотрен случай сверхсветовых фазовых скоростей такой волны, а также случай фазовых скоростей, существенно превышающих тепловые скорости электронов плазмы. Явное выражение для электричес- - 15 -кого поля волны, учитывающее гармоники основной частоты, а также выражение для нелинейного сдвига частоты получено с точностью до квадратичных вкладов по амплитуде поля. В формуле для нелинейного сдвига частоты Сд0 по отношению к частоте линейных колебаний оО^(КсГ) в отличие от работы \38^ последовательно учтен не только вклад от квадратичного по полю слагаемого в нелинейное уравнение для потенциала /'коэффициент /^\\ , но и вклад в это уравнение за счет куба потенциала /коэффициент /\А $ что позволяет получить правильную асимптотику для нелинейного сдвига частоты. Так в случае низкой температуры &Л<№\вС- в результате разложения по-лученного выражения для сдвига частоты были получены известные выражения для сдвига частоты вследствие релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости ^331 и за счет четырехвол-нового взаимодействия ленгмюровских волн 64Д. Получено также выражение для нелинейного сдвига частоты стационарной волны при произвольной температуре плазмы через известные специальные функции, а также высокотемпературная асимптотика частоты 00о - \ч5 ^ со.J ' V с ) )
Существенной особенностью сдвига частоты в случае релятивистской температуры электронов ^ гч*цу\ лС-Г* является его рост по абсо-лютной величине с увеличением волнового вектора ленгмюровской волны \{ . В то же время в нерелятивистской по температуре электронов плазме нелинейный сдвиг частоты убывает по абсолютной величине при увеличении \^в ,что обусловлено разными знаками сдвигов частоты за счет релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости СЗЗД и за счет четырехволнового взаимодействия ленгмюровских волн.
Затем в этой главе рассмотрена устойчивость полученного стационарного решения относительно продольных возмущений вдоль направления колебаний электрического поля исходной волны. При анализе исходного решения на устойчивость использовано преобразование импульсов электронов р->"р t которое задается формулой и является фактически обобщением преобразования переменных использованного в .40Д и называемого иногда "переходом в колеблющуюся систему отсчета" 103*^ на случай конечной длины волны 2ЯС/и . На этой основе получено нелинейное дисперсионное уравнение. Решение этого нелинейного дисперсионного уравнения в случае длинной исходной волны показывает возможность возникновения апериодической неустойчивости модуляционного типа, аналогичной неустойчивостям, рассмотренным в главе I для случая фиксированной однородной накачки. Инкремент такой неустойчивости в случае Q <5^Г>Л С?" определяется в основном нерелятивистским механизмом, связанным с относительным движением электронов и ионов [40 J, а в случае Q ^> ^ Q^ имеет порядок и определяется в основном чисто электронным вкладом.
В случае же конечной длины исходной стационарной волны показана возможность модуляционной неустойчивости квазипериодического типа, за счет распада второй гармоники исходной ленгмю-ровской волны на две другие ленгмюровские волны, которые имеют частоты (0о~(л) и волновые вектора К0±.К , причем со'/к. = ^^« Ако.
Такой процесс возможен и в сравнительно низкотемпературной плазме, достаточно выполнение неравенства 9eAw<^»^e-/m;) -
Б этом случае неустойчивость волн с волновым вектором К0 , лежащем в интервале имеет место с инкрементом
Развитие этой неустойчивости приводит к модуляции поля исходной волны с пространственным периодом
K-^-"V)Tm./4.
2^/к, происходит также модуляция во времени с периодом Л^САд) - 18 -...&}'.- К -^^./.
Б отличие от модуляционной неустойчивости нерелятивистского типа 42"! данный процесс не требует ограничения сверху (Ко^ ^ О^Е '\f-r на величину волнового вектора исходной волны, связанного с амплитудой этой волны.
Рассмотрена также модуляционная неустойчивость данного типа применительно к случаю плазмы с существенно релятивистской температурой электронов и показано, что в такой плазме в отличие от слаборелятивистского предела происходит увеличение максимального инкремента с ростом абсолютной величины волнового вектора К^
Б третьей главе снова рассмотрена устойчивость плазмы в поле собственных самосогласованных колебаний конечной амплитуды и большой длины волны. Однако в отличие от второй главы здесь рассмотрено возбуждение в релятивистской плазме колебаний различной поляризации и направлений пространственной модуляции. В пределе большой длины волны Ко~"^0 поляризация колебаний не определена и выводы, сделанные в третьей главе, одинаково применимы к анализу устойчивости плазмы в поле длинноволновых продольных и поперечных колебаний. Основным механизмом возбуждения поля возмущения, как и во второй главе, является модуляционная неустойчивость
При Q 4>| С?* и mfe/mi > \І VT /'С* преимущеот- -> -* -> _^ венно возбуждается продольное поле вдоль Е0^0\\и\\К) по нерелятивистскому механизму \140Д. С инкрементом в C/Vj раз меньшим может возбуждаться поперечное поле, электрический вектор которого параллелен (t0\\^ A.KJ * масштаб модуляции этого поля будет также в C/VT раз большим (вследствие наличия скорости света в линейном дисперсионном соотношении для поперечного возмущения).
Возбуждение же высокочастотного поля, электрический вектор которого ортогонален ^ , всегда проходит по релятивистскому механизму и определяется в основном электронным вкладом в нелинейное дисперсионное соотношение. Как показано в третьей главе, при EAJE. о и К 1^-
1L~ №р^У_т/с* , а масштаб модуляции
Ж/« ~ 03fVEVT '
В случае же продольного возмущения, промодулированного в направлении, ортогональном ^в , все зависит от параметра фе/ff\ С\. При !(>f\ С /\ 9оу^Ш С\/с сохраняется оценка инкремента а масштаб модуляции будет меньше ^эс/к пРи^^чТПлС-\/р оценки е. е t ^C/K~CVT/^63pVE) совпадают с результатами, полученными в работах L43 , 88"! для того же направления поляризации поля возмущения. Однако численные коэффициенты в соответствующих формулах, полученных в главе Ш, отличаются от приведенных в работах ^43 , 88], поскольку в настоящей работе последовательно учтен вклад, обусловленный реляти-вистским движением электронов в поле Е. 0 %\х\ СО оХ . При ЕЛ\\ч \СЛ возбуждается квазистатическое магнитное поле ft, ; только при Q ^ч№\ СЛ/р отношение CL /С" имеет первый порядок по амплитуде поля ^ и вклад, обусловленный генерацией Оц&» существенно влияет на выражение для инкремента Y* . В обратном пределе ( 9Л^ГГ\ CVr- ) учет такого вклада не влияет на величину " е t инкремента модуляционной неустойчивости. Вклад в нелинейное дисперсионное соотношение за счет генерации квазистатического магнитного поля по порядку величины никогда не превосходит Vc / сУ и всегда может быть опущен, когда отличен от нуля нерелятивистский вклад за счет генерации продольного ВЧ поля, что имеет место для всех углов между С и Р , кроме углов очень близких к ПСА . В то же время во всех случаях, кроме РЛ \\ Р , квазистатичес-кое магнитное поле возбуждается за счет связи с продольным ВЧ полем. Таким образом, как впервые было показано в работе \_89].максимальный инкремент генерации квазистатического магнитного поля в случае нерелятивистской плазмы определяется обычным нерелятивистским дисперсионным уравнением, и генерация и^. по такому механизму имеет место для промежуточных (между 0 иЯС/2,) углов между направлениями ^ и с. . - 21 -Важная особенность модуляционной неустойчивости в релятивистской плазме С Q- "> m сЗ* ) состоит в том, что инкремент этой неустойчивости вне зависимости от угла между и Ев тлеет вид )T-X?..CvE/cO
В зависимости от углов между На. и 0 меняется только числен- ный коэффициент
Л =0,096 , при_Е^ч\\\Е.0
Л =0,025 , при ^ч1^.0
Характерный масштаб модуляции Z%/\< также всегда имеет порядок C^VrcOpVr; сСЛ вне зависимости от углов между , в и \С (направление К определяет направление модуляции).
В релятивистской плазме вклад за счет генерации квазистатического поперечного поля в нелинейное дисперсионное уравнение всегда имеет порядок ^^.^ и оказывается несущественным. Несущественна и роль ионов в возбуждении данной неустойчивости при
В четвертой главе рассмотрено нерезонансное взаимодействие ленгмюровских волн в релятивистской плазме, представляющее собой затухание Ландау биений, возникающих в результате взаимодействия таких волн. Этот процесс сначала рассмотрен в рамках постановки задачи использованной во второй и третьей главах, а именно, рассмотрено затухание или возбуждение продольных возмущений в поле стационарной ленгмюровской волны конечной амплитуды в результате взаимодействия возникающих биений с частицами плазмы. Показано, что такое взаимодействие в случае нерелятивист- ской температуры и при К VIVs. характеризуется инкрементом (декрементом)
COp ІГ^СК-Кь)*
Здесь первое слагаемое в квадратных скобках сохраняется в нере-лятивистском пределе Vy/c^ L^4 » а БТОРое определяет учет слаборелятивистского вклада и существенно в области длинных волн \^Z <Д , к Yots^L \ С ростом температуры релятивистский вклад в V* , не содержащий дополнительных малых коэффициентов, пропорциональных (VC2T) и СКо'Ч^)» становится определяющим. При 9е^чпееЗ
Из этих формул видно, что данный процесс приводит к перекачке энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область спектра. Сравнение полученного в этой главе инкремента с инкрементом резонансной модуляционной неустойчивости приводит к выводу,что последний в СОр/ХКв^Ч^С раз б0ЛЬШе'
Далее в четвертой главе рассмотрен случай волн со случайными фазами. В используемом в настоящей работе (главы 2-4) кубическом по амплитуде поля приближении при усреднении по случайным фазам получается нелинейное уравнение для корреляционной функции ленгмюровского спектра ^р.//\ u^jC»/^/ К^\ » которое учитывает влияние распада ленгмюровской ъолны с образованием ионно-звуковой и другой ленгмюровской волны, а также нелинеиное взаимодействие ленгмюровских волн типа нелинейного затухания Ландау.
Получено выражение для инкремента (декремента), описывающего нелинейное (индуцированное) рассеяние ленгмюровских волн в релятивистской плазме с максЕелловской функцией распределения электронов. В нерелятивистском пределе полученное выражение совпадает с известными результатами 96], а с учетом слаборелятивистского вклада имеет вид t (\?\ ъ vt \(№) LKt*Kj х CVlKl ./-^-к1) . (К -iol.^_ 1 \*с*\*6?ДХ-а где LI К ) задается соотношениями
В случае ^^Vyvx q}" вместо этого выражения для V*" (у<^ необходимо использовать высокотемпературную асимптотику + ^кІЛІ(К<>Як*, [[KxKj]*(K-Kt)] КЛ.= Н?_к.\*
Полученные формулы для J (К) в релятивистской плазме содержат качественно иную зависимость подынтегральных выражений от волновых векторов К и Ki по сравнению с нерелятивистской формулой [96] и со случаем одномерного теплового разброса импульсов электронов [102]. Так эти выражения не обращаются в ноль принци и К І-Kj Анализ этих формул позволяет также утверждать, что верхней границей по 8е области, где справедливы нерелятивистские формулы L96], являются значения 9е порядка № fit сЗ* Отмечено также, что кубическое по полю приближение не позволяет в рамках метода случайных фаз рассматривать процессы типа модуляционной неустойчивости.
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [l04 - 107,109,110] .
Нумерация формул в диссертации осуществляется по главам, а в случае ссылки из одной главы на формулу, приводящуюся в другой, указывается также номер главы. Например, (2.30) означает 30-ую формулу главы 2.
Параметрическая неустойчивость в слабом ВЧ поле релятивистской электрон-позитронной плазмы
В некоторых задачах, например, при исследовании колебаний плазмы в очень сильном магнитном поле имеет смысл рассматривать одномерное распределение электронов по импульсам (!Л В случае релятивистской плазмы переход от трехмерного разброса к одномерному может дать некоторые качественные изменения результатов. В одномерном случае все выкладки до формулы (48) в точности повторяют 3, поэтому мы их опустим. При вычислении же 4U и О? по формулам (48) и (49) заменим изотропную функцию распределения тое на функцию
С помощью этой функции распределения получим следующие асимптотические выражения коэффициентов [ft и (3 (мы опять-таки считаем К , «4- )
Сравнение формул (88) - (90) с формулами (56) - (58) для трехмерного случая показывает, что наряду с количественным отличием в коэффициентах имеет место также и качественное различие в зависимости 3D и СЯ. от температуры электронов (то есть от J ) Вследствие наличия малого параметра при втором слагаемом в формулах (90) при оС А конечность массы ионов не будет влиять на инкремент и условия резонанса для случая апериодической неустойчивости. Вместо значения (75) максимального инкремента такой неустойчивости будем иметь здесь релятивистская плазменная частота в случае одномерного распределения электронов. Как видно из (91), изменился также характер зависимости X Q от температуры, теперь с ростом температуры инкремент падает пропорционально еГ » а не Q" t как это было в изотропном случае. Что касается периодической неустойчивости, то при
Откуда видно, что величины и отличаются лишь коэффициентом от соответствующих значений Jb и (Q в изотропном случае (77). Таким образом, при 6j0"=- CJtC K) + GJs СК) инкремент неустойчивости задается формулой
И также лишь численным коэффициентом отличается от изотропного случая (79). В заключение данного параграфа надо отметить следующее: все расчеты как для случая изотропного, так и для одномерного распределения мы производили, используя релятивистскую макове лловскую функцию распределения по импульсам, вместе с тем из расчетов интегралов непосредственно видно, что при выборе другой функции распределения (например, степенной 6 1 ), как в изотропном, так и в одномерном случае, качественно результаты не изменяются, другими будут лишь численные коэффициенты, а вместо Q в результаты войдет некоторый аналогичный параметр, характеризующий среднюю кинетическую энергию электронов.
Итак, мы рассмотрели параметрический резонанс в плазме как за счет относительного движения частиц разных сортов, так и вследствие релятивистской нелинейной зависимости скоростей электронов от импульсов. Оба механизма учитывались одновременно на основе решения кинетического уравнения Власова для каждого сорта частиц и уравнения Пуасона. Рассмотрены частоты внешнего поля, близкие к частоте собственных (ленгмюровских) колебаний плазмы. Показано, что следствием этих уравнений является эффективное дисперсионное соотношение, представляющее собой биквадратное уравнение относительно 60 Анализ дисперсионного уравнения в случае низкой температуры электронов показал, что максимальный инкремент параметрической неустойчивости достигается для &3= І)Г(апериодическая неустойчивость), причем оба механизма, упомянутые выше, увеличивают инкремент неустойчивости этого типа. При основным является вклад относительного движения электронов и ионов, в случае обратного неравенства - вклад чисто электронной параметрической неустойчивости. При учет релятивистского вклада существенно ослабляет резонансный вид зависимости от \Wc: /cja » то есть усиливается возбуждение более коротких (vCv COo/V/ E ) и блее длинных волн
Показано, что в случае релятивистской температуры электронов вклад ионов существенен лишь в процессах распада внешнего поля на ионно-звуковую и ленгмюровскую волны, при этом инкремент
Устойчивость продольной стационарной волны
Рассмотрим теперь колебания плазмы в присутствии стационарной продольной волны. Обозначим через функции распределения частиц сорта (S / _»е \\ и электромагнитного поля, возникающие при распространении в релятивистской плазме вдоль оси 0 стационарной продольной волны. В линейном по возмущениям приближении эти функции удовлетворяют уравнениям
Рассмотрим возмущения, которые так же, как и поле с.0 зависят от одной пространственной координаты - " . В этом случае система (27) распадается на две системы, описывающие продольные и поперечные возмущения. Возможные процессы типа модуляционной неустойчивости, связанные с возбуждением поперечных полей будут рассмотрены в главе 3. Здесь же остановимся на возбуждении продольных возмущений вдоль поляЕ0 . Преобразование (1.3), использованное в главе I, которое иногда называют "переход в колеблющуюся систему отсчета. Б случае конечной длины волны поля _ заменим на преобразование переменных р- "р в соответствии с формулой - Р = -&? здесь интеграл движения электронов (7) в поле tloCt) Использовав это преобразование получим следующее уравнение, описывающее электронную компоненту где мы также использовали вместо времени переменную , введенную в предыдущем параграфе, движение ионов будем считать нерелятивистским и учтем их вклад точно так же, как это делается в нерелятивистской теории модуляционной неустойчивости ,
Это означает, что вместо уравнения системы (27) для ионной компоненты будем использовать уравнение в которое явно поле Со не входит. Такое упрощение системы (27) допустимо поскольку вклад ионов в отклик системы на воздействие, имеющее частоту 6Jо порядка плазменной электронной частоты, дает лишь малые поправки. В то же время, отклик ионов на возможные низкочастотные продольные поля, возбуждаемые в результате взаимодействия собственных колебаний плазмы со стационарной волной может быть существенным, как это и имеет место в нерелятивистской плазме (142Л Такой отклик и описывает уравнение (30).
Совместно с уравнениями (29), (30) необходимо использовать уравнение поля Отметим, наконец, что функция 4-ое , входящая в уравнение (29), задается соотношением (10).
Теперь для решения системы уравнений (29) - (31) нагл необходимо выразить все функции импульса через новые переменные Ок , Рч , рз. и СҐ с точностью до слагаемых порядка квадрата амплитуды поля Л Итак,
С использованием соотношений (32) - (34) перепишем уравнения (29) и (ЗІ) в виде В уравнениях (35), (36) и везде ниже в этой главе мы опускаем тильду над переменными р , ро и » поскольку нигде в последу ющих формулах обычные импульсы и скорости встречаться не будут.
Система уравнений (30), (35), (36) в пределе - 0 переходит в систему, описывающую потенциальные возмущения плазші в линейном приближении. При " Q эта система содержит также эффекты вза имодействия волны конечной амплитуды с волной возмущения малой амплитуды, имеющей частоту (О и волновой вектор К я результа том которого является возникновение гармоник с частотами СО-VHVCJL) в и волновыми векторами K-VNXo (Л = ±1» нелинейного сдвига частоты, инкремента нарастания или декремента затухания колебаний. Поэтому решение системы уравнений (30), (35), (36) мы будем искать в виде
Подставив (37) в уравнения (30), (35) и (36) и приравняв коэффициенты при одинаковых гармониках, получим бесконечную систему линейных однородных зацепляющихся интегральных уравнений относительно
Стационарная нелинейная волна в квадратичном приближении
В предыдущей главе была рассмотрена задача на устойчивость плазмы в поле самосогласованной слабонелинейной ленгмюровской волны конечной длины с учетом квадратичной нелинейности по полю данной волны на основе релятивистского кинетического уравнения Власова. При этом исследовано возбуждение продольного поля вдоль поля первичной нелинейной самосогласованной волны. Для полного исследования устойчивости плазмы в поле самосогласованной первичной волны остается изучить возможность возбуждения флуктуацион-ного поля произвольной поляризации и в различных направлениях по отношению к первичному полю
Поле первичной ВЧ волны р мы будем считать не слишком большим, так что можно применить метод последовательных приближений и использовать разложения по степеням поля Ео Реальными малыми параметрами, определяющими допустимость такого разложения, будут в нерелятивистском случае означает усреднение по равновесной функции распределения электронов. Распространение в плазме ВЧ волны конечной амплитуды f-f J связано с изменением дисперсионных свойств плазмы и появлением специфических неустойчивостей. Так же, как и в главе 2, будем рассматривать в качестве первичной самосогласованной волны стационарную плоскую продольную волну СЙ,ЗХ1Ї
В данной главе мы будем использовать метод многоиндексных тензоров U43 , который позволяет сравнительно просто выразить нелинейное решение в виде стационарной волны, а также нелинейное дисперсионное уравнение для случая произвольной поляризации поля возмущения через линейный диэлектрический тензор и нелинейные воспримчивости второго и третьего порядка. При произвольной поляризации поля возмущения использование развитого в главе 2 способа решения задачи на устойчивость заданной нелинейной волны приводит к чрезмерному усложнению выкладок. К недостаткам же метода многоиндексных тензоров можно отнести проблемы, возникающие при конкретных вычислениях самих тензоров нелинейных восприимчивостей. Во-первых, вычисление тензора второго, и, в особенности, третьего порядка в релятивистской плазме приводит к весьма громоздким выражениям. Во-вторых, корректный учет процессов второго порядка по степеням амплитуды поля первичной волны требует принятия во внимание вкладов постоянных составляющих нелинейных токов типа первого слагаемого в выражении гу/"ч(гґ) (2.17) и не зависящих от коэффициентов при 7/ . Б (2.35). Эти слагаемые давали существенный вклад в случае конечной длины волны накачки (К0 л) » V , в то же время для правильного вычисления их по методу многоиндексных тензоров тре буется устранение неопределенности типа()/ґ\ f которая не воз никает в рамках метода главы 2.
Уравнение (8) с коэффициентами (9) (12) позволяет рассматривать слабонелинейные процессы в бесстолкновительнои плазме с учетом кубической по самосогласованному полю нелинейности в тех случаях, когда вкладом захваченных волнами частиц можно пренебречь. Учет захваченных частиц приводит к появлению неаналитического вклада по самосогласованному полю.
Взаимодействие волн со случайными фазами
Вообще, квазистатическое магнитное поле возбуждается всегда, если но только при Qe имеет первый порядок по амплитуде поля ,
Вклад в нелинейное дисперсионное соотношение за счет генерации Р)( 1) по порядку" величины никогда не превосходит Vc /сЛ и всегда может быть опущен, когда отличен от нуля нерелятивистский вклад за счет генерации продольного ВЧ поля, что имеет место для всех углов между П и С , кроме углов очень близких к5[У0 ъч и гг .- /« В то же время во Есех случаях, кроме - up , поперечное ква зистатическое поле возбуждается за счет связи с продольным ВЧ полем. Таким образом, как впервые было показано в работе L&93 , максимальный инкремент генерации квазистатического магнитного поля определяется в случае нерелятивистской плазмы обычным нере лятивистским дисперсионным уравнением и генерация U (-1) по та кому механизму имеет место для промежуточных (между 0 И5У.А ) лов между направлениями возбуждается ВЧ магнитное поле. Именно возбуждение НЧ и ВЧ магнитных полей придает важность учету релятивистских эффектов в низкотемпературной Ш Ofa 4 плазме, в частности, этим объясняется появление в последнее время ряда статей по магнитомодуляци-онной неустойчивости, проанализированных нами выше. Еще одним важным следствием релятивистского анализа модуляционной неустойчивости в низкотемпературной плазме является наличие двух масштабов модуляции - меньшего в направлении вдоль Р и большего в ортогональном направлении, а также возможность возбуждения электрического поля, ортогонального
Во второй и третьей главе мы рассмотрели резонансные процессы, связанные с нелинейным взаимодействием волн в релятивистской изотропной плазме, которые возбуждаются в присутствии продольной самосогласованной волны заданной конечной амплитуды. В рамках используемого всюду в данной работе приближения, когда учитываются вклады нелинейных токов вплоть до кубического порядка по самосогласованному полю, наряду с резонансными процессами типа распада исходной волны на ионный звук и другую ленгмюровскую волну и модуляционной неустойчивостью имеет место также нерезонансное взаимодействие, представляющее собой затухание Ландау биений, возникающих при взаимодействии первичной стационарной ленгмюровской волны с какой-либо ленгмюров-ской волной малой амплитуды. Такой процесс сводится к взаимодей-ствию биений с электронами плазмы, имеющими скорость V , которая удовлетворяет условию
Вклад такого процесса особенно существенен, если линейное затуха - 144 - _ _ ниє Ландау ленгмюровских волн с волновыми векторами Ц и ( мало или отсутствует совсем (при сверхсветовых фазовых скоростях).
В данном параграфе рассмотрим этот процесс в рамках постановки задачи, использованной во второй главе. То есть рассмотрим возбуждение в плазме продольных возмущений в присутствии стационарной ленгмюровской волны, заданной соотношениями (2.17)-(2.20). Однако, в отличие от второй главы, мы при анализе системы (2.39) будем считать
Условия (2), (3) означают, что мы рассмотрим взаимодействие исходной волны конечной амплитуды с ленгмюровской волной, частота и волновой вектор которой имеют значения вне резонансной области, соответствующей возбуждению модуляционной неустойчивости. При этом вместо системы пяти уравнений (2.49) достаточно рассмотреть систему из трех уравнений:
Уравнения (4-2) описывают возбуждение вынужденных колебаний на частотах С0іс(х)о » а уравнение (4-І) - влияние поля С на дисперсию ленгмюровской волны с волновым вектором \ч непосредственно (второе слагаемое) и через промежуточные вынуж - 145 -денные колебания на частотах COi-CO (третье слагаемое левой части (4-І) ). Остальные 0 \ Iftj A имеют более высокий порядок малости по степеням внешнего поля 0 и не дают вклад в нелинейное дисперсионное соотношение. Решая теперь систему (4) так же, как мы это делали в третьем параграфе второй главы, получим нелинейное дисперсионное соотношение
