Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Движение заряженной частицы в статическом магнитном поле и поле плоской волны. способы поддержания резонанса
I. Циклотронный авторезонанс. II
2. Уравнения движения электрона в системе координат, связанной с волной. Точные интегралы движения ...14
3. Поддержание резонанса путем варьирования стати ческого магнитного поля 20
4. Поддержание резонанса с помощью варьирования фа зовой скорости волны 28
5. Использование электростатического магнитного поля для поддержания резонанса 36
б. О возможности резонансного анализа электронов по энергии .40
ГЛАВА II. Резонансное взаимодействие электронов с волной в области аномального эшфекта 47
I. Общие особенности взаимодействия в области
аномального эффекта Допплера 47
2. Эффект спонтанного фазирования ..50
3. Учет радиальной составляющей магнитного поля... 55
4. Устойчивость движения электронов в режимах близких к авторезонансному 60
5. Случай однородного магнитного поля 74
ГЛАВА III. Учет обмена энергией мевду волной и электронным пучком 83
I. Общее рассмотрение. Вывод волновых уравнений. Интегралы движения .83
2. Приближенное решение уравнений самосогласованной задачи 98
3. Явление автофазировки, обусловленной значительным током пучка 105
4. Взаимодействие электронного пучка с электромагнитной волной в области аномального эффекта Допплера с учетом обмена энергией между волной и пучком 109
Заключение 119
Литература
- Уравнения движения электрона в системе координат, связанной с волной. Точные интегралы движения
- Использование электростатического магнитного поля для поддержания резонанса
- Учет радиальной составляющей магнитного поля...
- Приближенное решение уравнений самосогласованной задачи
Введение к работе
В последние 10 - 15 лет наблюдается устойчивый интерес к взаимодействию электромагнитных волн с релятивистскими электронными пучками ( РЭП ). Прежде всего это связано с перспективами использования РЭП для генерации и усиления электромагнитных волн СВЧ - диапазона [і, 2]. Преимущество применения таких пучков по сравнению с обычными, нерелятивистскими, связано, в основном, с двумя обстоятельствами: во-первых, с возможностью получения больших мощностей в пучке при одной и той же величине пространственного заряда [з] и во-вторых, с допплеровским преобразованием частоты излучения и связанной с этим перспективой получения длин волн миллиметрового и субмиллиметрового диапазона [4] .
Создание же мощных источников излучения в этом диапазоне открывает заманчивые возможности при использовании его в различных областях науки и техники. Кроме традиционных областей, таких, как связь, локация, ускорительная техника, несомненный интерес представляет применение мощного СВЧ-излучения к решению энергетических проблем, на что указывал еще в 50-е годы академик П.Л.Капица [5j . Среди последних можно назвать нагрев плазмы в установках для управляемого термоядерного синтеза, проблему передачи энергии на расстояние с помощью высокочастотных электромагнитных колебаний.
Кроме релятивистской высокочастотной электроники следует отметить и другие области физики, в которых необходимо исследование взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными волнами: теория ускорителей, физика плазмы, астрофизика, электронная спектроскопия.
В настоящее время развиты достаточно общие методы решения линейных задач по взаимодействию заряженных частиц с волнами. Между тем самосогласованная система уравнений Максвелла - Лоренца является нелинейной и может быть линеаризована лишь при ряде допущений. В то же время учет нелинейных эффектов не только уточняет количественные характеристики взаимодействия, но подчас изменяет даже его качественную картину. Известным примером такого рода могут служить пондеромоторные силы в быстропе-ременных полях [б] .
В связи с тем, что точного решения нелинейной самосогласованной задачи в общем случае получить не удается, в релятивистской СВЧ-электронике широко используются приближенные методы. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в I гл. Ш. Здесь же мы лишь отметим, что одним из вариантов метода последовательных приближений является последовательное решение уравнений движения электронов в заданном поле и уравнений Максвелла с заданными источниками. При этом, как правило, уже в первом приближении (взаимодействие электронного пучка с волной постоянной амплитуды) может быть получен ответ на вопрос о направленности процесса обмена энергией (усиление или ослабление электромагнитной волны), найдены условия существенного отбора энергии у электронов пучка и тем самым значительного усиления волны. Следует также отметить, что в ряде случаев, например в ускорительной технике, приближение волны постоянной амплитуды является хорошим приближением к реальной ситуации и описывает правильно не только качественную, но и количественную стороны взаимодействия. Сказанное выше поясняет, почему значительная часть работы посвящена взаимодействию электронов с волной постоянной амплитуды.
Одним из широко применяемых методов точного решения нелинейных задач является нахождение сохраняющихся величин - точных интегралов движения системы, следующих из той или иной симметрии задачи. Наличие интегралов движения позволяет сократить число дифференциальных уравнений, а в ряде случаев решить задачу до конца. В связи с этим представляет интерес исследование систем, обладающих высокой степенью симметрии. Так, в настоящей работе в основном исследуется взаимодействие с плоскими волнами круговой поляризации.
Отметим, что учет нелинейных эффектов становится важным не только при значительной амплитуде поля волны, но и в случае резонансного характера взаимодействия. Кроме того, этот случай представляет наибольший интерес, как с физической точки зрения, так и в прикладном плане. Эти обстоятельства также нашли отражение как в содержании работы, так и в ее названии.
Целью предлагаемой диссертации является построение метода решения нелинейных самосогласованных задач о взаимодействии РЭП с плоскими электромагнитными волнами и приложение этого метода к исследованию резонансного усиления волн.
В первой главе рассматриваются задачи о резонансном взаимодействии электронов с волной заданной амплитуды, исследуются различные способы поддержания резонанса. Вторая глава посвящена рассмотрению взаимодействия электронов с волной в области аномального эффекта Допплера, как в однородном магнитном поле, так и в магнитном поле, обеспечивающем поддержание синхронизма между волной и электронами. В третьей главе выводятся основные уравнения самосогласованной задачи и точные интегралы, следующие из них. На основании развитого подхода исследуются наиболее
интересные с физической и прикладной точек зрения случаи.
Перечислим основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Теоретически обоснована возможность практически полной
передачи энергии прямолинейного электронного пучка полю замед
ленной волны. Показано, что эта возможность реализуется при сле
дующих условиях:
а) при определенном соотношении между начальной энергией и
показателем преломления среды; при этом для небольших коэффици
ентов замедления волны начальная энергия должна быть велика
б) в отсутствие магнитостатического поля при определенном
ограничении на амплитуду волны снизу, а при наличии магнитоста
тического поля при выполнении условий резонанса на всем протяже
нии взаимодействия. Часть результатов получена одновременно и
независимо с Н.С.Гинзбургом.
Исследованы способы поддержания циклотронного резонанса для электронов, движущихся вдоль магнитостатического поля в среде с показателем преломления отличным от единицы. Найдены законы изменения магнитостатического поля и показателя преломления среды, при которых резонанс осуществляется практически до полной остановки электронов.
Предложено для поддержания резонанса использовать неоднородное электростатическое поле. Показано, что в этом случае электронный КПД может существенно превышать единицу. Это означает, что волна усиливается в значительной степени за счет энергии электростатического поля.
Построена нелинейная самосогласованная теория резонансного взаимодействия релятивистского электронного пучка с плоской электромагнитной волной, распространяющегося вдоль однород-
ного магнитостатического поля. Теория построена как для прямолинейного, так и для определенным образом сфазированного на входе пучка.
Получены три точных интеграла самосогласованной системы уравнений; два из них имеют смысл законов сохранения потоков энергии и импульса, а третий связывает обобщенный поперечный импульс с энергией электронов.
Получены формулы для перехода от представления поля
в виде волны с изменяющимися амплитудой и фазовой скоростью к представлению поля в виде прямой и встречной волн.
5. Обнаружен новый механизм автофазировки, обусловленный нарастанием самосогласованного поля волны, а именно, взаимодействием продольной скорости электрона с составляющей магнитного поля, коллинеарной ее электрическому полю. Показано, что благодаря этому механизму при достаточно больших токах пучка возможна практически полная передача энергии электронного пучка полю слабой на входе электромагнитной волны.
По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, получено авторское свидетельство на изобретение. Основные результаты работы докладывались на Ш Межвузовской конференции по электронике СВЧ (г.Ростов-на-Дону, 1976), УІ Всесоюзном семинаре "Колебательные явления в потоках заряженных частиц" (г.Ленинград, 1977), на Всесоюзном семинаре "Высокочастотная релятивистская электроника" (г.Москва, 1977), IX Всесоюзной конференции по электронике СВЧ (г.КИев, 1979), Ш Всесоюзном семинаре по высокочастотной релятивистской электронике (г.Горький, 1983).
СИСТЕМА ЕДИНИЦ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
В работе используется следующая система единиц: импульс
приведен в единицах тс , энергия - в единицах л*с\ длина - в
в I
единицах ^- t время - в единицах — » скорость - в единицах с, амплитуда электромагнитного поля - в единицах -—- , где т и е -масса покоя и заряд электрона, с- скорость света в вакууме, частота волны, К - волновое число.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
1Ф - векторный и скалярный потенции, соответственно
- напряженность электрического ПОЛЯ
В - магнитная индукция
Од - частота волны
К -волновое число
Уф - фазовая скорость волны
tt - показатель преломления
^ - длина волны
d - безразмерная амплитуда волны
-» д* :=>
-, s> * - орты, связанные с волной ( см. 2 гл. I ) u - время
Л - продольная координата, совпадающая с направлением распространения волны b-t-ns- фаза волны jb - импульс Р - обобщенный импульс
& - энергия частицы ( релятивистский фактор ) U - скорость частицы О - знаковый множитель, характеризующий поляризацию волны
/7?cc$J-~ токовый параметр пучка
>* I-
(,*-- амплитуды прямой и обратной волн.
- II -
Уравнения движения электрона в системе координат, связанной с волной. Точные интегралы движения
Таким образом, при п=1 выбором величины магнитного поля В можно добиться того, что электрон, несмотря на изменение энергии, будет находиться в резонансе с волной на протяжении всего времени взаимодействия. При этом соответствующим выбором начальных условий, а именно фазированием электронов относительно волны, можно добиться либо резонансного ускорения электронов, либо торможения их и соответственно усиления электромагнитной волны. При этом изменение гирочастоты электрона компенсируется соответствующим изменением допплеровского сдвига частоты электромагнитного поля.
Квантовое объяснение природы авторезонанса заключается в том, что спектр поглощения (излучения) электрона в магнитном поле эквидестантен при П=І, в связи с чем возможен перевод электрона на более высокие (низкие) уровни фотонами фиксированной частоты [ЗО,Зі]
Открытие явления авторезонанса и перспективы использования его в целях ускорения электронов до релятивистских энергий инициировали исследования по взаимодействию релятивистских электронов с плоскими волнами в магнитном поле [І4-20] . В {21,22] была показана перспективность исследования авторезонанса и режимов, близких к нему, в целях генерации и усиления волн СВЧ-ди-апазона. Позднее в (23]эти положения получили экспериментальное подтверждение. При анализе вопросов, связанных с усилением электромагнитных волн с использованием авторезонансного механизма взаимодействия, необходимо учесть не только влияние пучка на параметры волны, но и тот факт, что в реальных электродинамических системах показатель преломления ҐІ І. Последнее обстоятельство будет приводить к тому,что синхронизм между волной и электронами в процессе взаимодействия будет нарушаться. В 3-5 этой главы посвящены исследованию различных способов принудительного поддержания синхронизма путем варьирования параметров электродинамической системы вдоль пространства взаимодействия при резонансном торможении электронов.
Кроме отмеченных уже возможностей использования авторезонансного механизма взаимодействия укажем еще на один аспект применения этого явления, а именно, анализ электронов по энергии {24,25J . В б проводится теоретический анализ этого метода.
Уравнения движения электрона в системе координат, связанной с волной. Точные интегралы движения.
Пусть в направлении 3 распространяется плоская циркулярно - 15 поляризованная электромагнитная волна, описываемая векторным потенциалом A=/C(t), t -AZZ ( I.2.I ) Пусть, кроме того, имеется однородное статическое магнитное поле В0, направленное по .
Введем ортонормированную систему координат, орты которой &}f,i связаны между собой соотношениями: Г = Г? П; (TF; Г- const ( 1.2.2 ) где d=ti.
Легко убедиться, что ей f удовлетворяют волновому уравнению, описывающему распространение волн в среде с показателем преломления /Z и соответствуют в зависимости от знака б волнам левой или правой круговой поляризаций. Тогда электрическую и магнитную составляющие поля циркулярно-поляризованной волны можно записать в виде: Е=оС? , Ж-/ісС? (1.2.3) и уравнение движения электрона в поле волны круговой поляризации и статическом магнитном поле будет иметь вид:
Получим уравнения для проекций импульса на орты е, «?. Домно-жая скалярно ( 1.2.4 ) поочередно на е, S, и используя соотношения їі ї( -ПЦ,)? (1.2.5) следующие из ( 1.2.2 ), а также релятивистское тождество: - 16 Р-Ъ" (1.2.6) после несложных преобразований получим: ( 1.2.76) fa.-AfS+frQ-nt)] c/t " jf It T (І-2-7в)
Уравнения ( 1.2.7 ) должны быть дополнены уравнением для V , в качестве которого может быть использовано либо Зі - J либо релятивистское тождество ь1 р; #++ (1-2-9)
Уравнения ( 1.2.7, 1.2.8 ) являются замкнутыми относительно составляющих импульса на выбранные орты и не содержат в правой части зависимости от времени и продольной координаты. Это позволяет в свою очередь получить уравнения, описывающие зависимость энергии и составляющих импульса от какого-то одного из этих параметров, поделив на одно из уравнений ( 1.2.7, 1.2.8 )остальные. Такой подход позволяет получить основные характеристики заряженной частицы в волне, ограничившись первыми интегралами движения. В самом деле, как следует из С 1.2.8 ) минимальное у .и макси 0 mm мальное
Использование электростатического магнитного поля для поддержания резонанса
В [4l] рассматривалось влияние однородного электростатического поля на увеличение длительности циклотронного резонанса в случае Уф ff С . Здесь же мы найдем закон изменения электростатического поля, обеспечивающего точный резонанс между волной и электроном, и проанализируем характеристики электрона именно для этого случая. Будем полагать, что вдоль направления распространения волны, кроме однородного магнитного поля включено электростатическое поле, напряженность которого имеет одну продольную составляющую
( s 7J ( I.5.I ) Как легко убедиться, в этом случае соотношение ( 1.3.5 ), по-преж нему, имеет место и условие резонанса совпадает с ( 1.4.3 ).
Покажем, что оно может быть удовлетворено при постоянных показа теле преломления /г. и поле В0 варьированием ФС&) вдоль траек тории электрона. Легко показать, что в этом случае Y уже не является интегралом движения. В самом деле, проводя выкладки, аналогичные ( I.I.I - I.I.5 ) и учитывая что соот ношение ( 1,1,5 ) при наличии электростатического поля принимает вид:
Как видно из ( 1.5.8 ) условием полного отбора энергии у электрона будет будет больше единицы, если /г// . Физический смысл этого результата заключается в том, что в процессе взаимодействия электростатическое поле, поддерживающее резонанс, одновременно ускоряет электрон.
Отметим, что этот способ поддержания резонанса существенно отличается от двух предыдущих тем обстоятельством, что в этом случае внешним полем меняется энергия электрона. В связи с этим возможны ситуации, когда энергия электрона будет расти и в то же время будет усиливаться электромагнитное поле.
Впервые на возможность использования циклотронного авторезонанса для анализа электронов по энергии указал М.Оуми [24,2 Выполненные им эксперименты показали, что резонансные спектрометры могут найти применение при исследовании спектров электронов малых энергий. Здесь мы проведем теоретический анализ метода, предложенного М.Оуми, а также укажем на возможность измерения абсолютных значений энергии электронов.
Дцея метода состоит в том, что электроны, распределенные по энергии, будут распределены по интегралу движенияY . В связи с тем, что при заданном магнитном поле S резонанс будет поддерживаться лишь для определенного значения Y Y0 , при осуществлении длительного взаимодействия возможно существенное изменение параметров электронов с энергией, соответствующей \0, в то время, как параметры остальных электронов будут меняться несущественно. Очевидно, что с целью исключения разброса по начальным фазам электрона относительно волны, необходимо использовать электроны с нулевым поперечным импульсом и волну круговой поляризации.
Рассмотрим задачу в обычных декартовых координатах. В случае волны круговой поляризации и фазовой скорости ф С » уравнения для поперечных составляющих поля
Здесь и далее индексами "Р" и"Нр" мы будем обозначать параметры резонансных и нерезонансных электронов соответственно ). Очевидно, что разделить резонансные и нерезонансные электроны можно в том случае, когда Величину (/-у) можно вырааить через разницу начальных энергий резонансных и нерезонансных электронов oL . В самом деле, О при нулевом поперечном импульсе Тогда при условии к )$ь-1 ( I.6.II) получим i-a . &#-АО м иГ у -—-ni-L ( 1.6.12) --.
Из ( 1.6.12) видно, что использование описываемого метода целесообразно при У хг і, поэтому в дальнейшем будем рассматривать именно этот случай. Более того, будем полагать, что изменения энергии электрона в процессе взаимодействия также нерелятивистские, т.е.
Учет радиальной составляющей магнитного поля...
В этом случае в конце взаимодействия поперечный импульс электрона обращается в ноль одновременно с продольным и, таким образом вся кинетическая энергия электронного пучка передается полю волны. Как следует из 2 главы I все параметры электрона могут быть выражены через фазовое время - , в том числе и координата & . Следует отметить, что выражение для зависимости отличается от ( 1.3.25), где оно получено для случая /z / , и в случае п?1 принимает вид: - 52 »/&. fa -f f azc m==\\ \ 2.2.10) При подстановке пределов интегрирования следует учитывать, что меняется от 0 до = yUmcLt и обратно до 0. С учетом этого расстояние ь? ,- на котором электрон полностью передаст свою энергию полю волны будет S(S j b ( 2.2.Ш или с учетом ( 2.2.9 ) шзт с fe7 (2,2Л2) Легко получить, что расстояние до точки ( см.2.2.4 ) свяеа-но с длиной взаимодействия 3 простым соотношением f = - ( 2.2.13)
Проведенное рассмотрение иллюстрируется рис.2.21, на котором изображены зависимости от энергии У , продольного Jb и поперечногоуб импульсов электрона, а также его продольной скорости / . На рис.2.2.2 изображена зависимость статического магнитного поля В0, необходимого для поддержания резонанса. Рассмотренный здесь эффект был назван спонтанным фазированием. Название эффекта отражает тот факт, что фазирование электронов в тормозящей фазе волны осуществляется не внешними полями, а полем самой электромагнитной волны. Физический механизм этого процесса легко понять из следующих простых соображений. В начале взаимодействия на электроны, имеющие лишь продольную сое - 53 0.2 OA 06 ОЯ J.o 0
Зависимости параметров электрона } р р Us и магнитного поляки)от продольной координаты для случая спонтанного фазирования - 54 тавляющую скорости, действует две силы, направленные противоположно друг другу. Сила Лоренца, обусловленная магнитным полем волны W (2.2.14) и сила электрического поля волны / =о( ( 2.2.15)
В том случае, когда /f j7/K.J » под действием суммарной составляющей этих сил электроны приобретают импульс, напаравлен-ный против электрического поля волны, в связи с чем работа поля над электронами отрицательна, т.е. электроны передают свою энергию полю. Собственно говоря, это явление хорошо известно и,как уже отмечалось в 1 этой главы, носит довольно общий характер при взаимодействии осцилляторов с электромагнитным полем в области аномального эффекта Допплера. Новым результатом здесь является то, что при определенных условиях ( 2.2.7 - 2.2.9 ) возможна передача всей кинетической энергии поступательного движения электрона полю волны; при этом взаимодействие происходит как в области аномального, так и нормального эффектов Допплера. На первом участке, до точки , происходит раскачка поперечных колебаний электронов-осцилляторов и одновременная передача энергии аномальной допплеровской волне. На втором участке, ?. , взаимодействие идет уже с нормальной допплеровской волной, при этом энергия поперечных колебаний уменьшается, а волна по-прежнему усиливается.
Кроме очевидного приложения рассмотренного здесь эффекта в целях генерации и усиления волн, отметим еще одну интересную возможность его применения для ускорения электронов. Так как урав нения движения обратимы во времени с одновременным изменением знака магнитного поля, то очевидно, что электроны с нулевой кинетической энергией, запускаемые в пространство взаимодействия с соответствующим магнитным полем, будут ускоряться, причем процесс ускорения будет сопровождаться сначала увеличением, а затем уменьшением поперечного импульса. В точке, где поперечный импульс обратится в ноль, пучок может быть выведен из пространства взаимодействия. Отсутствие на выходе поперечного импульса выгодно отличаете этот способ ускорения от обычных способов, основанных на использовании авторезонанса, где наличие поперечного импульса на выходе является принципиальным и негативным фактором.
Результаты настоящего параграфа получены в предположении ряда условий, которые в принципе могут быть выполнены. Тем не менее, для практической реализации эффекта необходимо исследовать влияние ряда факторов, таких, как учет радиальной составляющей магнитного поля, разброс начальных параметров электронов пучка. Этим вопросам будет посвящено два следующих параграфа. Кроме того, при анализе вопросов усиления электромагнитных волн таким способом должна решаться соответствующая самосогласованная задача. Такое рассмотрение будет проведено в главе III.
При рассмотрении эффекта спонтанного фазирования мы предпола гали, что радиальная составляющая варьируемого магнитостатического поля обращается в ноль на траектории пучка. Хотя в случае тонкого пучка, как отмечалось в 3 главы I, это не противоречит уравнениям Максвелла, практическая реализация такого поля в электродинамической системе представляет значительные трудности. В связи с этим, здесь мы исследуем эффект спонтанного фазирования при использовании более реальной модели магнитного поля. В качестве таковой выберем магнитное поле, которое описывается векторным потенциалом, имеющим одну азимутальную составляющую Аа fez) (аксиально-симметричное поле) вида: 1 /„= j&&z (2.3.1 )
Отметим, что таким векторным потенциалом описывается любое аксиально-симметричное поле в параксиальной области. Составляющие поля в цилиндрической системе координат имеют вид: (К, \ К) ( -1$,) ( 2.3.2 )
Уравнения движения для составляющих импульса в системе координат ( 1.2.2 ) с учетом радиальной составляющей поля легко получить аналогично тому, как это было сделано в 2 главы I. Здесь мы выпишим лишь уравнение для изменения b , т.к. его достаточно для получения условия резонанса: e/t ft-0"% / ( ft (2.3.3)
Так как в случае резонанса составляющая поперечного импульса, ортогональная электрическому полю волны, должна быть равна ну если лю, причем начале взаимодействия она равна нулю, то условие $& = о ( 2.3.4 ) c/t и будет в этом случае являться условием резонанса, откуда следует, что магнитное поле должно удовлетворять соотношению: - f (t-"4 +3У & )f - О ( 2.3.5 ) Так как при выполнении условия резонанса jb = Q , и поперечный импульс антипараллелен в , то J? ( 2.3.6 ) = 4 и соотношение ( 2.3.5 ) может быть записано в виде 3-0-"А)+А &Л (2.3.7)
Это и будет модифицированное условие резонанса, которое отлича ется от ( 1.3.6 ) дополнительным членом, содержащим радиальную составляющую магнитостатического поля. Условие ( 2.3.7 ) совместно с ( 2.3.2 ) дает дифференциальное уравнение для функции решение которого может быть записано в виде
Приближенное решение уравнений самосогласованной задачи
Эти уравнения решались численно. Процедура решения прекращалась в том случае, когда для удержания частицы в строго тормозящей фазе "требовались слишком большие значения градиента о ( %) , что приводило к расходимости процесса счета. Приведем результаты численного решения.
На рис. 2.3.1 изображены зависимости продольной составляющей магнитного поля о () от координаты g для случаев: радиальная составляющая магнитного поля отсутствует на траектории электрона ( кривая I ); магнитное поле имеет вид ( 2.3.2 ).
Отмечая сходный характер приведенных зависимостей, обратим внимание на различие этих кривых. В частности, увеличение длины взаимодействия во втором случае связано с тем, что за счет взаимодействия с радиальной составляющей магнитостатического поля происходит перекачка импульса из поперечной составляющей в продольную. В связи с этим уменьшается эффективность взаимодействия с волной, которая -d/ С этим же обстоятельством связано смещение в сторону больших g точки, где магнитное поле меняет знак, так как электрон проводит большую часть времени в области аномального Допплер-эффекта.
Результаты расчетов показали, что с уменьшением амплитуды волны остаточная энергия электрона возрастает. Тем не менее даже при небольших амплитудах поля она достаточно мала. Эти результаты иллюстрируются рис. 2.3.2, где приведены зависимости энергии электрона от Л? для двух различных амплитуд: (?(.- 0,02 ( кривая I ), 0С= 0,05 ( кривая 2 ).
В качестве иллюстрации на рис. 2.3.3 изображена проекция траектории электрона на поперечную плоскость. Отметим, что основной целью этого исследования, являлись не расчет конкретного устройства, а демонстрация утверждения, что влияние радиальной составляющей продольного поля не является принципиальным недостатком эффекта спонтанного фазирования. Результаты расчета показывают, что и в этом случае могут быть получены достаточно высо кие значения электронного к.п.д. при разумных значениях амплитуды поля волны. Отметим, что отказ от излишне жесткого требования строгого резонанса в конце взаимодействия позволяет получить еще более высокие значения к.п.д., но это является задачей при разработке конкретного устройства.
Предыдущее рассмотрение предполагало идеальный пучок, т.е. считалось, что все электроны имеют на входе строго определенные энергию и импульс. В физическом эксперименте всегда будет иметь место некоторый разброс параметров пучка. В связи с этим необходимо оценить влияние этого разброса на удержание электронов в определенной по отношению к волне фазе.
Этот вопрос для арттронного эффекта в свободном пространстве в одноэлектронном приближении был рассмотрен в [J22J. Сделанные там оценки показывают, что требования к пучку на входе электродинамической системы не являются слишком жестскими и могут быть реализованы. Отметим, что в [22J речь шла о предварительно сфазированном электронном пучке, движущемся в однородном магнитном поле и взаимодействующем с волной, распределяющейся со скоростью света. Представляется необходимым рассмотреть эту задачу для случая спонтанного фазирования, т.к. при этом сравнении с [22J появляются два новых фактора, влияющих на устойчивость движения. Во-первых, фазирование электронов осуществляется самой волной и, очевидно, что влияние волны будет отлично от того, что имелось в 22J. Во-вторых, резонанс поддерживается магнитным полем, изменяющимся по определенному закону вдоль траектории электрона. Так как это магнитное поле является резонансным для "идеального" электрона, то разброс начальных параметров будет приводить к тому, что электроны, движущиеся с различной продольной скоростью, попадут в магнитное поле не являющееся для них резонансным.
Хотя здесь мы обсудим устойчивость движения лишь применительно к эффекту спонтанного фазирования, когда синхронизм поддерживается варьированием магнитного поля, аналогичное рассмотрение может быть проведено и для других способов поддержания синхронизма.
