Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Формулировка исходной системы уравнений 24
I. Нелинейное дисперсионное уравнение 25
2. Система укороченных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд волн 42
3. Гидродинамическое приближение 49
ГЛАВА II. Теория параметрического резонанса при движении сильноточного реля тивистского электронного потока в поле двух поперечных электромагнитных волн (приближе ние заданного поля) 56
I. Кинематический анализ. Аномальный эффект Доплера 57
2. Анализ нелинейного дисперсионного уравнения 61
3. Амплитудный анализ процесса взаимодействия 68
4. Эффекты фазовой и поляризационной дискриминации 75
ГЛАВА II. Стационарное параметрическое взаимодействие сильноточного релятивистского электронного потока с полем поперечных электромагнитных волн (нелинейная стадия) 82
I. Анализ режимов взаимодействия 83
2. Режимы взаимодействия с взрывной неустойчивостью 87
3. Асимптотические режимы взаимодействия 112
4. Осцилляторные режимы взаимодействия 128
5. Эффекты фазовой и поляризационной дискриминации 145
6. Эффект каскадного повышения частоты 149
- ГЛАВА ІV. Нестационарбые реши параметрического взаимодействия сильноточного релятивистского электронного потока с полем двух поперечных электромагнитных волн 156
I. Явление трехволнового параметрического резонанса в пространственно-неограниченной нестационарной
модели 157
2. Параметрическое взаимодействие волн в плазме ультрарелятивистского электронного потока 161
3. Процесс параметрического взаимодействия волн в пространственно-ограниченной модели 165
Заключение 175
Литература 17
- Система укороченных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд волн
- Анализ нелинейного дисперсионного уравнения
- Режимы взаимодействия с взрывной неустойчивостью
- Параметрическое взаимодействие волн в плазме ультрарелятивистского электронного потока
Введение к работе
Актуальность проблемы. В последние годы большое внимание уделяется исследованию процессов параметрического взаимодействия электромагнитных волн в плазме релятивистского электронного потока. Актуальность этих исследований определяется важностью вопроса о нелинейном взаимодействии волн для понимания большого числа явлений, наблюдающихся в природе и имеющих различные приложения в физике плазмы, астрофизике и других областях науки [і-б].
В прикладном аспекте актуальность проводимых исследований обусловлена возможностью их широкого применения в радиоэлектронике и нелинейной оптике [4-9]. Во всем многообразии явлений, наблюдающихся при взаимодействии релятивистских электронных потоков с периодически реверсивными электромагнитными полями, особое место занимают эффекты, связанные с усилением электромагнитных волн. Последнее объясняется возможностью создания на основе этих эффектов новых типов генераторов и усилителей электромагнитного излучения. К ним, в частности, относятся лазеры на свободных электронах [ 9—21J.
Интерес, проявляемый в настоящее время к лазерам на свободных электронах (ЛСЭ), связан с их уникальными свойствами:
а) возможностью генерации излучения в широком диапазоне
частот - от СВЧ вплоть до ^- излучения [22-24] ;
б) высокой выходной мощностью [26, 25 J ;
в) возможностью перестройки частоты излучения [27, 28 J .
Необходимо отметить, что границы применимости термина
"лазер на свободных электронах" строго еще не определены. Многие авторы под термином ЛСЭ понимают лишь устройства типа
- 5 -"релятивистский Н-убитрон" [29-40] . Школа А.В.Гапонова-Гре-хова, помимо указанных устройств, относит к ЛСЭ все остальные релятивистские электронные вакуумные устройства, способные работать в субмиллиметровом - видимом диапазоне [l0, II, 41J. Ниже будем придерживаться точки зрения авторов работ \П» 41]. При этом, для индентификации устройств, в основу которых положен тот или иной механизм параметрического резонанса, реализующийся при движении потока релятивистских электронов в периодически реверсивных электромагнитных полях, используется термин "параметрический электронный лазер" (ПЭЛ) [42, 43J . Термин "релятивистский Н- или Е-убитрон" будем применять для обозначения устройств, накачка в которых осуществляется периодически реверсивным по длине прибора магнитно- [23-40] или электростатическим [44-47] полем соответственно, а "скат-трон" [її] или эквивалентный ему термин "доплертрон", введенный В.Гранатштейном [48J , - для обозначения устройств с накачкой электромагнитными волнами [49-53] .
Целью настоящей работы явилось развитие кинетической теории явления трехволнового параметрического резонанса, имеющего место при взаимодействии электромагнитных волн в плазме сильноточного релятивистского электронного потока, которая позволяет описать данный нелинейный процесс для случая зшледленных электромагнитных волн с учетом их поляризационных и дисперсионных характеристик. Получешше результаты могут быть использованы для анализа эффектов, имеющих место в ПЭЛ.
Идейная основа устройства типа ПЭЛ покоится, как известно, на:
а) механизме взаимодействия, характеризующимся возможностью усиления поперечных электромагнитных волн;
б) эффекте Доплера, благодаря использованию которого осуществляется смещение частоты генерируемого (усиливаемого) сиг-
нала "вверх".
Только сочетание в одной системе обоих указанных выше моментов одновремеїшо открывает возможность создания устройств типа ПЭЛ.
Первыми обратили внимание на возможность усиления поперечной электромагнитной волны при взаимодействии её с электронами, движущимися в поле второй поперечной волны, П.Л.Капица и П.А.М.Дирак ещё в 1933 году [54] . Впоследствии механизм взаимодействия (применительно к нерелятивистским СВЧ приборам) широко исследовался как экспериментально, так и теоретически (см., например, работы [55-57J ). Приоритет идеи использования эффекта Доплера для смещения частоты излучения релятивистских осцилляторов вверх (без конкретизации механизма их излучения) по праву принадлежит В.Л.Гинзбургу [58] . Следовательно, еще в 1947 году, в принципе, имелись в наличии все необходимые компоненты идеи ПЭЛ. Оставалось только соединить их в единое целое, что и было сделано Р.Пантелом с соавторами [59] . В нашей стране первая схема ПЭЛ была предложена Р.А.Силиным, В.В.Кулишом и Ю.И.Клименко [60] . Однако, если в работе [59] накачку предполагалось осуществлять полем стоячей, то в [бо] -бегущей СВЧ волны.
В настоящее время существует два глобальных направления в описании физики явлений в ПЭЛ: квантовое и классическое. Квантовая теория ПЭЛ долгое время оставалась единственным формальным аппаратом, применяемым для описания физических процессов, протекающих в этих приборах. В работе Р.Пантела [59] , а вслед за ней в весьма фундаментальном обзоре [бі] были при-
ведены основные энергетические характеристики вынужденного комптоновского излучения. Параллельно развивалась квантовая теория излучения релятивистского электрона в ондуляторных (Н-убитронных) полях. Как известно, взаимодействие релятивистских частиц с периодическими статическими полями, в принципе, можно рассматривать как взаимодействие с полем двух бегущих друг другу навстречу электромагнитных волн - метод Вильямса-Вайцзеккера [б2 ] . Такой подход использовался Д&.Мэди для нахождения коэффициента усиления в слабом поле в случае слаботочного релятивистского электронного потока \бЗ \ . Впоследствии близкие результаты были получены с использованием: вигне-ровской матрицы плотности [б4, 65 J , квантовоэлектродинами-ческих вычислений [66, 67 J , квантовой теории поля [68, 69]. Прямое квантовомеханическое вычисление коэффициента усиления проведено М.В.Федоровым в приближеши слабого сигнала [70] и для сильных полей 1.71) .
Авторы работ [72-75] показали, что процессы взаимодействия волн в параметрических электронных лазерах могут быть описаны в рамках классической теории. Последнее объясняется тем, что при наличии большого числа когерентных фотонов процесс излучения становится классическим.
В классической теории в свою очередь сложилось два направления в описании процессов взаимодействия: кинематическое и волновое. В основу волновой теории положено представление об электронном потоке как о потоке релятивистских электронов плазмы [8J . Основными вехами в волновой теории явления трехволно-вого параметрического резонанса в плазме РЭП явились работы П.Спрэнгла и В.Гранатштейна [_76, 77] , Ф.Хопфа с соавторами [72-75 J , В,И.Мирошниченко [l8, 78 J , А.М.Калмыкова, Н.Я.Коца-
ренко, В.В.Кулиша [17, 79] , А.А.Рухадзе с соавторами [9, 105] . В работе [7б] впервые вычислен инкремент нарастания воліш сигнала, в [72-75] - использована система связанных укороченных нелинейных уравнений для описания процесса взаимодействия, в [77, 18, 78, 105 J - исследован процесс вынужденного рассеяния в случае циклотронного резонанса, в [l7, 79J -предложено осуществлять накачку замедленной электромагнитной волной, что приводит к значительному увеличению частоты волны сигнала.
Одним из основных достоинств кинематической теории ПЭЛ, построенной В.Л.Братманом, Н.С.Гинзбургом и М.И.Петелиным [80, 8l] , является применение к описываемому классу явлений традиционных методов электроники СВЧ, основанных на усреднении движения электрона в разночастотных полях [82, 83] . Развитие метода усреднения и существенно нелинейной кинематической теории было проведено в работах [84-87J . Линейная и слабонелинейная теория ПЭЛ построена Л.А.Вайнштейном [88, 89J . Важным методическим достижением этих работ явилось то, что исходная нелинейная система уравнений была получена без использования метода усреднения.
В настоящее время возможность усиления и генерации перестраиваемого по частоте электромагнитного излучения подтверждена экспериментально для схем ПЭЛ как типа убитрон [90-95J, так и типа доплертрон [26, 53, 96 J . В СССР первые эксперименты поставлены в ФИАН СССР [97] и НИИ ЯФ ТЛИ [98, 9э] . Указанные эксперименты показали большие потенциальные возможности ПЭЛ, а в субмиллиметровом диапазоне были достигнуты рекордные уровни мощности [26 J .
Следует отметить, что большое влияние на процесс взаимодействия волн оказывает плотность электронного потока. Физическое различие между процессом трехволнового параметрического взаимодействия в сильноточных низкоэнергетических и в слаботочных, но высокоэнергетических электронных потоках состоит в том, что в первом случае существенную роль могут играть коллективные эффекты в плазме РЭП, в то время как во втором - взаимодействие носит принципиально одночастичный характер [l5J . Причем, в случае малого пространственного заряда (слаботочный РЭП) имеем комптоновский режим взаимодействия (рассеяние волн на частицах), а для большого пространственного заряда (сильноточный РЭП) - рамановский режим (рассеяние волн на волнах).
К сожалению, результаты кинематической теории [80-89] не могут быть применены к описанию рамановского режима взаимодействия, т.к. в них не учитываются коллективные процессы в плазме РЭП.
В работах [18, 42, 76-78, 100 J , посвященных явлению трехволнового параметрического резонанса в плазме сильноточного РЭП, в рамках гидродинамического приближения получено нелинейное дисперсионное уравнение и найден инкремент нарастания волны сигнала. Последний, как оказалось, является функцией коэффициента замедления электромагнитных волн [42] . Впоследствии исследование процесса параметрического взаимодействия волн в плазме сильноточного РЭП проводилось с учетом как кинетичес-ких свойств электронного потока, так и влияния продольного магнитного поля [I0I-I04J . Было показано, что с приближением частоты волны накачки к циклотронной частоте вращения электронов потока происходит значительное увеличение эффективности усиления. Однако, эти исследования касались изучения только
пространственно неограниченных систем. Анализ явления трехвол-нового параметрического резонанса при ограниченной длине области взаимодействия в приближении заданного поля волны накачки проведен Н.С.Беловым, Н.И.Карбушевым, А.А.Рухадзе [іОб] .
Исследование процесса насыщения усиления электромагнитной волны сигнала показало, что основным механизмом насыщения является истощение волны накачки для плотных и "захват" электронов эффективным полем для умеренно плотных электронных потоков [76-78, 100-105J .
Несмотря на очевидную продуктивность исследований [І8, 42, 49, 76-78, 100-105] , следует, однако, заметить, что их результаты верны только на начальной стадии процесса взаимодействия, где применимо приближение заданного поля волны накачки. Кроме того, в вышеперечисленных работах электромагнитные волны полагались линейно, либо циркулярно поляризованными, т.е. не рассматривались поляризационные эффекты.
Для описания нелинейной стадии процесса взаимодействия Ф.Хопф с соавторами [72-75 ] использовали систему нелинейных укороченных уравнений. В работах [І06-І09J развита трехмерная нелинейная стационарная теория, учитывающая эволюцию электронов потока. Несколько иной подход применен в [iio] , где использовалось разложение решения в ряды Фурье с учетом конечного числа гармоник. Однако, результаты работ [72-75, I06-II0J в общем случае верны только применительно к Н-убитронным полям накачки. Едесь также не учитывались поляризационные эффекты и дисперсионные свойства электромагнитных волн.
Преобразование частоты "вверх" в рассматриваемом явлении, как показано в [ 79J , может быть существенно повышено при использовании в качестве накачки замедленной поперечной электро-
- II -
магнитной волны. Следует, однако, заметить, что работа f79J выполнена в гидродинамическом приближении, электромагнитные волны считались линейно поляризованными, а модель - пространственно неограниченной. Процесс взаимодействия РЭП с замедленными электромагнитными волнами обсуждался также в работе [ill], а применительно к случаю электронного потока малой плотности -в работе [lI2J .
Явление трехволнового параметрического резонанса в пространственно ограниченной модели исследовалось на основании системы стационарных укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн [17, 113 ] , выведенной в гидродинамическом приближении с использованием метода усреднения Боголюбова [lI4] . Для учета замедления электромагнитных волн применялась модель искусственного диэлектрика, полностью заполняющего область взаимодействия. Выяснено, что процесс усиления волны сигнала при встречном распространении электромагнитных волн имеет место только для случая параметрического их взаимодействия с медленной волной пространственного заряда разностной частоты, возбуждаемой в РЭП. Анализ системы укороченных уравнений на нелинейной стадии процесса усиления показал, что оптимальная длина области взаимодействия, на которой амплитуда волны сигнала достигает максимума, оказывается существенно зависящей от степени замедления волны накачки и может быть значительно уменьшена. Учет ограниченности электронного потока качественно не меняет сделанные выводы [lI5, 116 J . В рамках теоретической модели, развитой в [іІЗ-ІІб] , не удалось найти ограничений на величину коэффициента замедления волны накачки, а поляризационные и кинетические эффекты не учитывались. Гипотеза о стационарности модели также нуждается в обосновании.
Другой способ увеличения частоты выходного излучения был независимо предложен авторами работ [lI7, П8]и состоит в каскадном повышении частоты электромагнитного сигнала. При этом процесс взаимодействия на каждом отдельном каскаде носит трехволновой характер. Отметим, что анализ указанных эффектов проводился лишь на качественном уровне [lI7, II8J .
Б работах [іОО-ІІб] изучалась параметрическая неустойчивость РЭП в поле встречных электромагнитных волн. Однако, для замедленных электромагнитных волн возможны и другие режимы взаимодействия. Наиболее интересным из них является режим взрывной неустойчивости, характеризующийся неограниченным нарастанием амплитуд волн за конечное время (или на конечной длине) [II9-I24J . Впервые о явлении взрывной неустойчивости при параметрическом взаимодействии электромагнитных волн в электронном потоке сообщалось в работе [l23] . Однако, в ней рассматривался случай слаботочного электронного потока, т.е. комптоновский режим взаимодействия. Необходимым условием существования явления взрывной неустойчивости в рамановском режиме взаимодействия является реализация аномального эффекта Доплера для волны накачки (фазовая скорость электромагнитной волны меньше средней скорости электронов потока) [lI9J . В теоретической модели, развитой в [пэ] , использовался постулат о пространственной однородности распределения амплитуд волн, следовательно, её результаты верны лишь для безграничных систем. Иной подход практически одновременно предложен нами в работе [l20j . Оцесь процесс параметрического взаимодействия исследовался на основе пространственно-ограниченной стационарной модели, что соответствует пренебрежению процессом установления колебаний. Выяснено, что режим взрывной неустойчивости
- ІЗ -
реализуется при взаимодействии однонаправленных электромагнитных волн с медленной волной пространственного заряда суммарной частоты. Позднее аналогичные результаты были получены рядом авторов [121, 122] .
В настоящее время большое внимание уделяется методам повышения коэффициента усиления волны сигнала, а, следовательно, и эффективности устройств типа ПЭЛ. Наиболее перспективными из них являются: использование накопительных колец [125-127] ; разработка многосекционных устройств клистронного типа [128-133^ ; введение положительной обратной связи для электромагнитных волн (введение резонатора) [І34-І38 ] .
В процессе взаимодействия электроны потока теряют свою кинетическую энергию и выходят из синхронизма с полем электромагнитных волн. Это приводит к насыщению процесса усиления. В принципе, данный эффект насыщения может быть сглажен за счет введения в область взашлодействия электростатического поля подпора, компенсирующего потери энергии электрона на излучение [84, 139-14IJ . Несмотря на очевидную полезность предложенного решения, количественное выражение для оптимального распределения поля подпора вдоль области взаимодействия найдено лишь в некоторых частных случаях. Для Н-убитронов разработан метод поддержания параметрического синхронизма взаимодействующих волн заключающийся в варьировании параметров магнита (уменьшение периода и увеличение напряженности магнитного поля вдоль области взаимодействия по направлению движения электронов) [142-144] .
Физической особенностью теоретических моделей, адекватных много секционным устройствам, получивших название оптических клистронов [l45j , является то обстоятельство, что процесс трехволнового параметрического взаимодействия развивается в
предварительно модулированном электронном потоке. Если применительно к нерелятивистским модулированным электронным потокам процесс параметрической неустойчивости широко обсуждался в литературе (см., например, [146, 147] ), то для релятивистских потоков он исследовался, в основном, в комптоновском режиме [I27-I3IJ . Параметрическое взаимодействие волн в модулированных сильноточных РЭП рассматривалось в работе [148] . Однако, выражение для интенсивности выходного сигнала получено в [l48J в приближении заданного поля волны накачки и не описывает нелинейной стадии процесса взаимодействия. Кроме того, взаимодействующие волны считались оптимально сфазированными, так что их фазы не менялись в процессе взаимодействия. Последнее верно только для самых простых схем параметрических электронных лазеров. В оптических клистронах за счет разной скорости распространения взаимодействующие волны могут приходить в оконечные секции с разными фазами, в частности, и не оптимальными. В ПЭЛ, установленном на накопительное кольцо, за счет набега фазы волны пространственного заряда РЭП может происходить рассогласование начальных фаз колебаний.
Таким образом, подавляющее большинство опубликованных работ, посвященных изучению явления трехволнового параметрического резонанса в плазме сильноточного РЭП, выполнены в предположении, что электромагнитные волны линейно, либо циркулярно поляризованы и не меняют свою поляризацию в процессе взаимодействия. Однако, на практике данная ситуация реализуется далеко не всегда. Например, магнитные системы накачки (даже выполненные в виде цилиндрической спирали) всегда имеют нарушения симметрии, и, следовательно, в общем случае создают эллиптически поляризованное поле. О поляризации электромагнитной
- 15 -волны накачки не всегда имеется необходимая информация. Вопрос о постоянстве поляризационных характеристик взаимодействующих волн, как выяснено в настоящей работе, также нуждается в дополнительном обосновании. Следует отметить, что ранее исследовались лишь те режимы взаимодействия, в которых дисперсия волн - нормальная. С другой стороны, известно, что, например, в ПЭЛ с накачкой СВЧ волной последняя может обладать как положительной, так и отрицательной дисперсией [152] . Не меньший интерес в рассматриваемой теории представляет учет кинетических свойств РЭП, а также вопрос об установлении стационарного состояния и характере переходного процесса.
диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.
Во введении обосновывается актуальность изучаемых вопросов, дается краткий обзор литературы, формулируется основная цель, предмет, научная новизна и практическая значимость диссертации, кратко излагается содержание диссертационной работы.
В главе I сформулирована исходная теоретическая модель [149, 150, 165, 166 ] . Для учета возможности замедления электромагнитных волн и описания их дисперсионных свойств использована модель искуственного магнитодиэлектрика. Обоснована адекватность построенной теоретической модели реальным физическим приборам. Явление трехволнового параметрического резонанса в плазме сильноточного РЭП рассматривается с позиций классической теории. Показано, что в случае умеренно плотных релятивистских электронных потоков для исследования процесса взаимодействия может быть применена система уравнений Власова. Найдено нелинейное дисперсионное уравнение, описывающее процесс взаимодействия произвольно поляризованных замедленных электромагнит-
ных волн с волнами пространственного заряда (ВПЗ) РЭП.
Для изучения процесса взаимодействия на нелинейной стадии выведена система нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных для комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Рассмотрены одномерно-ограниченная стационарная и нестационарная безграничная модели. В случае, когда диссипацией ВПЗ за счет теплового "размытия" электронного потока пренебрега-лось, найдены интегралы движения, наглядно иллюстрирующие динамику изменения амплитуд, поляризаций и фаз колебаний взаимодействующих волн.
Для электронного потока очень большой плотности учет столкновений проведен в квазигидродинамическом приближении с использованием модельного интеграла столкновений вида Батнагара-Гросса-Крука и больцмановского начального распределения импульсов электронов. В данном приближении получено выражение для оптимального поля подпора, компенсирующего потери энергии электронов на излучение.
В главе П в приближении заданного поля исследовано явление трехволнового параметрического резонанса при движении сильноточного релятивистского электронного потока в поле двух поперечных электромагнитных волн l49, 151, 165, 167 J . Показано, что тепловое "размытие" электронного потока может привести к существенному снижению.коэффициента преобразования по частоте. Найдены ограничения на величину коэффициентов замедления электромагнитных волн. Проведена классификация типов не-устойчивостей, имеющих место в анализируемой модели. Отмечено, что реализация аномального эффекта Доплера для электромагнитных волн приводит к возможности осуществления большого количества новых режимов взаимодействия.
Анализ решений нелинейного дисперсионного уравнения для
однородного распределения поперечных импульсов электронов потока показал, что инкременты нарастания волны сигнала явно не зависят от поляризационных параметров поперечных волн.
Выяснено, что наряду с режимами взаимодействия, характеризуемыми нарастаїшем амплитуды волны сигнала и (или) БПЗ, в рассматриваемой модели могут возбуждаться осцилляторные режимы, для которых характерно колебательное преобразование энергий взаимодействующих волн. Динамика изменения поляризационных и фазовых характеристик такова, что расоогласоваїше фаз колебаний волн Ф-*и^ ( n= 0,1,...), а поляризация более слабой электромагнитной волны подстраивается под поляризацию сильной волны. Причем данный процесс носит асимптотический характер. При выполнении условия Р^Рг.= \) ( Р^ = +1 соответствует правополя-ризованной ^ - той электромагнитной волне, Р: = -I - лево-поляризованной; ^ = +1 - характеризует взаимодействие на суммарной, \) = -I - разностной частоте), наряду с изменением эксцентриситета поляризационного эллипса электромагнитной волны сигнала, происходит смена направления его обхода. Отмечено, что увеличение теплового разброса шлпульсов электронов потока приводит к необходимости увеличения интенсивности волны накачки для достижения одной и той же выходной интенсивности волны сигнала.
Анализ полученных решений показал, что общая картина взаимодействия формируется на фоне следующих эффектов:
а) эффекта фазовой дискриминации, заключающегося в зависи
мости коэффициента усиления от начальных фаз колебаний;
б) эффекта поляризационной дискриминации, заключающегося
в аналогичной зависимости, но только от поляризаций электро
магнитных волн.
Выяснено, что коэффициент усиления дистигает максимума при начальном рассогласовании фаз т- (2h+Vj_^Tt угле между большими полуосями поляризациошшх эллипсов ty = 0 и накачке электромагнитной волной той же поляризации, что и волна сигнала, в случае |Шї)= -I и линейной поляризации при |^pzi)= +1.
В главе Ш исследована нелинейная стадия трехволнового параметрического стационарного взаимодействия сильноточного релятивистского электронного потока с полем поперечных электромагнитных волн [149, 120, 166-168] . Показано, что все режимы взаимодействия можно разбить на три большие группы:
а) режимы с взрывной неустойчивостью, характеризующиеся
безграничным ростом аглплитуд на конечной длине области взаимо
действия;
б) асимптотические режимы, для которых характерно монотон
ное изменеьше аглплитуд волн и асимптотическое стреглление их к
конечному пределу;
в) осцилляторные режимы, в которых зависимость аглплитуд от
пространственной координаты носит колебательный характер.
Ранее в стационарных моделях был известен лишь один из асимпто
тических режимов, характеризующийся нормальной дисперсией
электромагнитных волн.
Установлено, что в рассматриваемой модели режимы с взрывной неустойчивостью могут быть реализованы при взаимодействии:
а) однонаправленных электромагнитных волн, обладающих нор
мальной дисперсией, с медленной ВПЗ суммарной частоты;
б) медленной ВПЗ разностной частоты с электромагнитной
волной накачки отрицательной дисперсии и волной сигнала нор
мальной ди спер сии.
Найдены аналитические решения для комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Получено выражение для критической длины области взаимодействия, на которой развивается электромагнитный "взрыв". Выяснено, что при приближении к критической длине угол У и рассогласование фаз т стремятся к нулю, а эксцентриситеты поляризационных эллипсов сближаются. Критическая длина, как оказалось, существенно зависит от рассогласования начальных фаз и поляризаций взаимодействующих волн. Учет диссипации ВИЗ при соответствующих ограничениях на тепловой разброс скоростей электронного потока не меняет сделанные выводы.
Исследование асимптотических режимов взаимодействия показало, что, как и в случае режима взрывной неустойчивости, поляризации и фазы колебаний волн в процессе взаимодействия стремятся к своим оптимальным значениям. Получены выражения для оптимальной длины LCpt области взаимодействия, на которой достигается максимальное значение выходной энергии волны сигнала. Выяснено, что длина Lopt существенным образом зависит от соотношения начальных амплитуд, фаз колебаний и поляризаций взаимодействующих волн.
Изучение осцилляторных режимов взаимодействия интересно с той точки зрения, что в устройствах типа ПЭЛ они выступают как паразитные. Причем наиболее критичным к развитию паразитных колебаний (осцилляторных режимов), как показал анализ найденных аналитических решений, является режим взрывной неустойчивости.
Исследование эффектов фазовой и поляризационной дикримина-ции на нелинейной стадии процесса взаимодействия позволило сделать вывод, что характер изменения приведенного коэффициента усиления И^- К^/к^ия/ в практически интересных случаях существенно не отличается от найденного в приближении заданного поля.
Причем стадия процесса усиления, на которой проявляются дискриминационные эффекты, по сути представляет собой процесс установления "благоприятных" поляризаций и фаз взаимодействующих волн. В этой связи интересно отметить, что при нулевой начальной амплитуде волны сигнала, последняя "рождается" с поляризацией и фазой, соответствующими Мг = 1> т»е« система всегда стремится к реализации максимального коэффициента усиления.
Произведен амплитудный анализ эффекта каскадного повышения частоты. Показано, что в случае сравнительно большого преобразования частоты на каждом отдельном каскаде выполняется соотношение :
и _
-Ubix = ГІ K"i ~*
где 1ш - выходная интенсивность электромагнитной волны наибольшей частоты, 1^о - начальная интенсивность волны наименьшей частоты, И - число каскадов, Кш~ коэффициент преобразования по частоте на j -том каскаде.
В главе ІУ исследованы нестационарные трехволновые режимы параметрического взаимодействия сильноточного релятивистского электронного потока с полем двух поперечных электромагнитных волн [149, 166J . Выяснено, что в нестационарной безграничной модели могут быть реализованы лишь режимы с взрывной неустойчивостью и осцилляторные режимы взаимодействия. Для пространственно-ограниченной нестационарной модели аналитические решения удалось найти только для ультрарелятивистского электронного потока. В общем случае процесс взаимодействия исследовался численными методами. Из полученных результатов наиболее важным является вывод о том, что в рассматриваемой системе за конечное время устанавливается стационарное состояние, для описания ко-
торого пригодна теория, развитая в главе Ш. Причем время установления стационарного состояния в режиме взрывной неустойчивости по порядку величніш оказывается равным времени пролета области взаимодействия самой "медленной" волной. На основании этого делается вывод, что в усилительной модели может развиваться только "пространственная" взрывная неустойчивость.
В заключении кратко формулируются основные результаты и выводы работы.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней:
Сформулирована теоретическая модель явления трехволно-вого параметрического резонанса-в плазме сильноточного релятивистского электронного потока, учитывающая поляризационные и диспорсионные характеристики загледленных электромагнитных волн и кинетические свойства электронного потока.
Показано, что при взаимодействии релятивистского электронного потока с замедленными электромагнитными волнами возможно появление ряда новых режимов взаимодействия, наиболее интересными из которых являются режимы со взрывной неустойчивостью.
Построена кинетическая теория трехволнового параметрического резонанса в пространственно ограниченной стационарной и нестационарной моделях плазмы релятивистского электронного потока. Показано, что в исследуемом явлении стационарное состояние устанавливается за конечный интервал времени.
Развита теория поляризационных и фазовых эффектов. Найдена зависимость коэффициента усиления волны сигнала от поляризационных параметров и фаз колебаний взаимодействующих волн.
Практичеекая ценность. Развиваемые в диссертации научные
положения могут быть широко использованы для решения конкретных практических задач физической электроники. На основе полученных теоретических результатов обсужден ряд схем параметрических электронных лазеров [ЇЕ53-І55] . Показано, что в системах с каскадным повышением частоты возможно достижение больших уровней мощности коротковолнового излучения при использовании умеренно релятивистских электронных потоков. Найдено оптимальное распределение поля электростатического подпора в области взаимодействия.
Описанные эффекты фазовой и поляризационной дискриминации позволяют найти условия, при которых реализуется максимальный коэффициент усиления электромагнитного сигнала.
Основные результаты диссертации можно сформулировать в виде следующих положений, которые выносятся на защиту:
Построена нестационарная кинетическая теория явления трехволнового параметрического резонанса, имеющего место при взаимодействии замедленных произвольно поляризованных электромагнитных волн в одномерно-ограниченной плазме сильноточного релятивистского электронного потока.
Установлено, что замедление хотя бы одной из взаимодействующих электромагнитных волн приводит к появлению ряда новых режимов взаимодействия, в частности, режимов со взрывной неустойчивостью.
Показана возможность реализации и построена теория эффектов фазовой и поляризационной дискриминации, заключающихся в зависимости коэффициента усиления одной из волн от начальных фаз колебаний и начальных поляризаций электромагнитных волн.
Выяснено, что при взаимодействии двух произвольно поляризованных электромагнитных волн с волнами пространственного
заряда электронного потока имеет место эффект взаимного выравнивания поляризаций электромагнитных волн, сопровождающийся изменением фаз их колебаний.
5. Показано, что в рассматриваемом явлении стационарное состояние устанавливается за конечный интервал времени. В режимах со взрывной неустойчивостью время установления стационарного состояния по порядку величины равно времени пролета области взаимодействия волной с наименьшей скоростью распространения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на семинаре "Проблемы электроники СВЧ" Московского института электронного машиностроения, 1981 г.; семинаре лаборатории физики плазмы ШАН СССР, 1982г.; семинаре Куйбышевского филиала ФИАН СССР, 1982г.; Ш Всесоюзном семинаре "Высокочастотная релятивистская электроника", Горький, 1983г.
По теме диссертации опубликовано 8 работ 120, I49-I5I, 165-168 .
Система укороченных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд волн
На нелинейной стадии процесса взаимодействия приближение заданного поля становится неправомерным и для анализа исследуемого явления следует решать уравнения (I.I.25) и (1.1,27). Подставляя в (I.I.25) и (I.I.27) найденное решение для функции распределения (1,1.39)-(1,1.42), с учетом линейных дисперсионных уравнений (I.I.43) получим систему укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн:
Система уравнений (I.2.I) описывает все режимы взаимодействия сильноточного релятивистского электронного потока с двумя коллинеарными электромагнитными волнами произвольной полярник зации. Причем коэффициенты 0 , входящие в (1.2Л),полностью определяются невозмущенной функцией распределения РЭП (I.I.37).
В целях упрощения аадачи далее полагаем, что электронный лоток в начале обладает разбросом только по продольным импульсам S(p)= ададкро (1.2.2) В этом случае линейные дисперсионные уравнения (I.I.43) принимают вид: зо J з у U (1.2.3)
Отсюда следует, что Lj t, М %1=М- 4 1 г Далее удобно перейти к представлению каждой из электромагнитных волн в виде суперпозиции полей двух циркулярно поляризованных в противоположных направлениях волн с амплитудами где Єц - амплитуда право, а ?г - лево поляризованных круговых волн.
Тогда система укороченных уравнений (І.2.І) принимает вид (здесь и далее будем считать, что искусственный магнитодиэлект - 44 рик обладает только частотной дисперсией): (1.2.5) Здесь линейный член в последнем уравнении описывает диссипацию ШЗ за счет теплового размытия электронного потока, а матричные элементы (1.2.6) V ( "" /Cz) 2 продольный релятивистский фактор, В рамках выбранной модели система нелинейных уравнений (1.2.5) описывает все возможные случаи взаимодействия ШЗ РЭП с произвольно поляризованными электромагнитными волнами, различающиеся наборами знаковых функций ъьг., 5,; ъ, \ Причем введение искусственного магнитодиэлектрика позволяет описывать параметрическое взаимодействие с замедленными электромагнитными волнами, обладающими как положительной, так и отрицательной дисперсией.
Система нелинейных уравнений (1.2.5) в общем случае может быть решена, например, численными методами. Ниже, однако, ос новное внимание уделим исследованию двух более простых частных случаев, когда решение имеет вид Ей - Ец () , E3 F3 () или EL- = Е" у (±), Е3 = B (-i) . Первый из них соответ ствует стационарной модели, когда в одномерно-ограниченной области взаимодействия установилось стационарное состояние. Это предположение соответствует пренебрежению процессом установления колебаний, если такой процесс имеет место. Тогда, отбрасы-вая в (1.2.5) производную - , получаем систему нелинейных уравнений сх±. (1.2.7) Здесь ЬІ.ЗГ Л / ((,; З зЛо) = 30 /4 .ВТОРОЙ случай соответствует нестационарной безграничной модели (длина области взаимодействия / ), которая описывается системой уравнений: - 46 - , . ОІГ (1,2.8) Как видим, процессы в нестационарной безграничной и стационарной моделях, в общем случае, оказываются протекающими по-разному, о чем свидетельствуют различия в уравнениях (1.2.7) и (1.2.8).
Следует заметить, что изучение нестационарной безграничной модели представляет меньший (по сравнению со стационарной) интерес, поскольку трудно найти какое-либо физическое устройство, адекватное подобной модели. Однако, в отдельных случаях,нестационарной безграничной модели можно поставить в соответствие резонаторную модель с самовозбуждением [42,43J . На самом деле, будем считать, что электронный поток полностью заполняет резонатор, длиной L , в котором имеются шумы на частотах Ц и tJz . в момент времени і =0 включается источник электронного потока. Считаем, что время Z , за которое электроны заполняют объем резонатора мало, т е. t «Т f Где V - характерное время процесса взаимодействия.
Анализ нелинейного дисперсионного уравнения
Аналитическое решение дисперсионного уравнения (I.I.50) хотя и возможно, но сопряжено со значительными трудностями математического характера. Поэтому, в целях упрощения задачи,ограничимся рассмотрением представления невозмущенной функции распределения (1.2.2), т.е. пренебрежем начальным разбросом поперечных импульсов. Тогда дисперсионное уравнение (I.I.50) значительно упрощается:
Здесь Я)г «%, = %г , а зз . Анализ дисперсионного уравнения (2.2.1) удобно провести в собственной системе координат пучка, которая движется относительно лабораторной системы координат со скоростью V0 , т.е. среднее значение импульса в собственной системе координат равно нулю: рг = 0.
Решение уравнения (2.2.1) будем искать вблизи пересечения решений линейных дисперсионных уравнений (1.2.3) для максвеллов-ского начального распределения скоростей электронов РЭП: где штрих у переменных показывает, что они берутся в собственной системе координат. Учитывая сделанные выше предположения, дисперсионное уравнение (2.2.1) можно переписать в виде: гО+ 0 Ol&Kl -X ct (2.2.3) где 1 iZo\ (2.2.4) Отметим, что в собственной системе координат u z -0cj т.е. 603 с Цг . Кроме того, будем считать, что РЭП обладает малым разбросом по скоростям, т.е. выполняется условие vT « — / 3 Тогда выражение для функции % может быть получено стандартным способом [Дбі] : о Р ЗбОр т К2. . /—7 / -V =" ? -" (2.2.5) где -? - k /fekiVr » а Дисперсионное уравнение (2.2.3) переписано в виде: - 66 (2.2.6) где
Таким образом, дисперсионное уравнение (2.2.1) в собственной системе координат РЭП сводится к хорошо изученному дисперсионному уравнению, описывающему параметрический резонанс в электронной плазме [і, 3, 42, 101J . Например, при s = J —-J., sA c -+-L} /\Л=1 (асимптотический режим взаимодействия с незамедленными волнами) дисперсионное уравнение (2.2.6) совпадает с полученным в [іОі] для линейно-поляризованных электромагнитных волн с точностью до определения постоянной fis . При этом нарастающие во времени решения получаем при t= +1, т.е. при взаимодействии электромагнитных волн с медленной волной пространственного заряда электронного потока. Воспользуемся далее результатами работы ]Ші\ . Тогда с учетом замедления электромагнитных волн для амплитуды волны накачки, удовлетворяющей неравенству в « А = -- / У)/г Г Г 2 Ih -sXl (2.2.7) получаем решение для инкремента нарастания о " 2 W V k J (2.2.8) Если условие (2.2.7) не выполняется (что имеет место, напри-п мер, для "холодного" РЭП), то в зависимости от величины поля накачки возможно два решения. Для относительно слабого поля накачки, когда - 67 л4 PL s fo (2.2.9) инкремент нарастания линейно зависит от амплитуда волны накачки: І і Q_ V cJ . (2.2.10)
В этом случае, также как и при выполнении условия (2.2.7), поле накачки слабо влияет на спектр продольных колебаний РЭП и (л}5 - и)р» В противоположном пределе, когда условие (2.2.9) не выполняется,влияние поля накачки может существенно изменить спектр плазменных колебаний. Из выражений (2.2.8) - (2.2.II) следует, что усиление волны сигнала может идти только при выполнении условия: Д (2.2.13) что совпадает с выводами работы [42] .
Возвращаясь в лабораторную систему координат и ограничиваясь случаем "холодного" электронного потока, в асимптотическом режиме взаимодействия с - і и h[ 1 получаем выражения для инкремента усиления:
Полученные решения верны только на начальной стадии процесса взаимодействия. При достижении амплитуда волны сигнала достаточно большой величины наступает насыщение процесса усиления. При малых значениях р $ насыщение усиления связано с истощением энергии волны накачки. Если же амплитуда волны накачки достаточно большая, то механизм насыщения обусловлен "захватом" электронов потока полем комбинационной волны, что приводит к нарушению условий синхронизма (1,1.I) [42, 101, 103 J . В эксперименте нелинейные эффекты, приводящие к насыщению усиления, могут быть нейтрализованы, по крайней мере частично, если к области взаимодействия приложено ускоряющее электростатическое поле (1.3.18).
Из вида выражений (2.2.8), (2.2.10), (2.2.II) следует, что инкременты нарастания усиливаемой волны явно не зависят от поляризационных параметров поперечных волн. Последнее, однако, вовсе не означает, что они не оказывают влияния на исследуемый процесс, в чем нетрудно убедиться, выписав решения для амплитуд взаимодействующих волн. Это, однако, удобнее сделать, используя систему укороченных уравнений (1.2.5).
Режимы взаимодействия с взрывной неустойчивостью
Пользуясь выведенными критериями, наряду с условием а)г о)(, получаем, что режим взрывной неустойчивости может быть реализован при взаимодействии: - 86 а) однонаправленных электромагнитных волн, обладающих нор мальной дисперсией, с медленной ВПЗ суммарной частоты ( у А" S = ъ ) взрывная неустойчивость типа а; б) медленной ВПЗ разностной частоты с электромагнитной волной накачки отрицательной дисперсии и электромагнитной вол ной сигнала нормальной дисперсии ( 4 = s = 0 = -±, у = ъ) - взрывная неустойчивость типа б.
Для режима взрывной неустойчивости типа а коэффициент преобразования по частоте в соответствии с (2.1Д) определяется выражением (и)р « сді 0о г J w 4 - //еув (3.1.4) и, следовательно, необходимым условием его существования является замедление электромагнитной волны частоты ь)4 ,т.е. осуществление АЭД для волны накачки. Коэффициент преобразования по частоте для режима взрывной неустойчивости типа б имеет вид ( сОр « сдл $» ): I / _ І + fifing 4-4/ (3.1.5)
Видно, что в данном случае электромагнитный "взрыв" может быть достигнут и в случае взаимодействия РЭП с незамедленными электромагнитными волнами. Однако, как и в случае а, наибольшее значение Ксо достигается при реализации АЭД для волны накачки.
Таким образом,использование модели искусственного магни-тодиэлектрика позволяет описать один из наиболее интересных режимов взаимодействия:режим взрывной неустойчивости.На практике такой режим может быть реализован,например,в ПЭЛ типа доп лертрон с накачкой СВЧ волной [і53] . При этом релятивистский электронный поток взаимодействует с электромагнитной волной сигнала и электромагнитныгл полем замедляющей системы, в которой, в частности, волна накачки может обладать отрицательной дисперсией. В подобном электронном приборе может быть осуществлен режим взрывной неустойчивости как типа а, так и типа б.
Асимптотические режимы (АР) взаимодействия реализуются также в случае равенства знаков правых нелинейных частей. Однако, в отличии от режимов с взрывной неустойчивостью, знак энергии волны с наибольшей частотой в асимптотическом режиме такой же как и одной из других волн. Следовательно, асимптотические режимы определяются следующими наборами знаковых функций: 1) % = sA 0= 7-= +i а) \, = -L, Іг -1" - АР типа 1а; б) \А = + і ; = -І - АР типа 16; в) --L, "J2.= - - АР типа їв; 2) sH = 0=-±, sA=2i = +-l а) -+ L3 -4-і. - АР типа 2а; б) =-і, "St =-4- - АР типа 26; в) Тд = +-Ц г. = -1 - АР типа 2в. Таким образом, учет дисперсии электромагнитных волн приводит к возможности осуществления пяти асимптотических режимов, ранее не изучавшихся в литературе. Данные режимы взаимодействия характеризуются возрастанием энергии по крайней мере одной из взаимодействующих волн. Например, в случаях 1а, 2а волна сигнала и ВПЗ возрастают по амплитуде, а энергия волны накачки "истощается" в процессе взаимодействия. Соответственно, в случаях 16, 26 возрастает амплитуда волны накачки и ВПЗ, а в случаях 1в, 2в - только ВПЗ. Ясно, что с физической точки зрения наибольший интерес представляют АР типов 1а и 2а, в которых наблюдается усиление волны сигнала. Случай 2а исследовался рядом авторов [101-105, 113J , в основном для незамедленных электромагнитных волн круговой или линейной поляризации. Следует отметить, что необходимым условием реализации асимптотического режима типа 1а является осуществление аномального эффекта Доплера для волны накачки.
Все остальные комбинации знаковых функций, разрешенные необходимым условием (2.1.3), составляют большую группу осцилля-торных режимов взаимодействия. Они характеризуются колебательным обменом энергии между взаимодействующими волнами и, с этой точки зрения, выступают как паразитные колебания в устройствах типа параметрический электронный лазер.
Параметрическое взаимодействие волн в плазме ультрарелятивистского электронного потока
Решения, полученные в I, позволяют описать развитие процесса параметрического взаимодействия волн в плазме РЭП только в приближении безграничности модели (длина области взаимодействия L - , ). Для описания и анализа процессов взаимодействия в пространственно ограниченной модели следует решать общую систему нелинейных уравнений в частных производных (1.2.5).
Далее ограничимся случаем линейно поляризованных электромагнитных волн и перепишем систему уравнений (1.2.5) в виде: - 162 (4.2.1)
Отметим, что производная 1 по абсолютной величине пропорциональна параметру малости задачи, т.е. [ — flf -Поэтому для /ер; - с и ультрарелятивистского электронного потока, такого что (4.2.2) . г первые члены в уравнениях (4.2.1) пропорциональны /У и могут быть опущены. Тогда, вводя переменные 7 — 2" (" + % А ) = у- (-1 - ї/ J и ограничиваясь значениями знаковых функций VSr= +If получаем систему укороченных уравнений: (4.2.3)
Из вида системы (4.2.3) следует, что в рассматриваемой модели может быть реализован режим взрывной неустойчивости как типа а, так и типа б. Найдем решения системы (4.2.3) для %= Фонах и Л-О , что соответствует пренебрежению диссипацией ВПЗ и оптимально сфазированным волнам (и во глногих слу - 163 чаях оправдано - см.главу Ш). В случае первоначально смодулированного электронного потока получаем: а) , : &$ (4.2.4) гле л»=1 ( ги ; MOfль «ecm Функций „=(!_ g, д4 & г ,- X"") (4.2.5) где Д8- = емс "" ( І КД ) » модаь эллиптических ФУНКЦИЙ =(- g;0 л/, j x У/г Учитывая, что ( [-\)=- /с Для модулированного на входе РЭП в наиболее интересном случае сильной волны накашш ( \о &го 8зо) имеем: a) Ot foZ S р /4 g (4.2.6) где \?г ч -) А/ чю модуль, эллиптических функций Оуз= / ; Пу3 i s vs) 164 30 (4.2.7) где - /Sy/ Я/І. , модуль эллиптических фуик-ций „ = ; ИУ Г(%,1 ); % U {ltoCS l%lcJ f
Из структуры решений (4.2.4)-(4.2.7) ясно, что амплитуды (Ь; являются неограниченно нарастающими. Причем, в отличии от нестационарной безграничной модели, в данном случае взрывная неустойчивость РЭП носит явно выраженный "пространственный" характер, а время установления стационарного состояния определяется только временем пролета области взаимодействия электромагнитншли волнами. Поскольку скорости распространения взаимодействующих волн мало отличаются от скорости света, то ясно, что электромагнитный "взрыв" развивается за время TL -cLi p на критической длине области взаимодействия; Г (4.2.8)
Отметим, что режим взрывной неустойчивости типа а может быть реализован только в случае осуществления АЭД для волны накачки, а типа б - при отрицательной дисперсии волны накачки. В последнем случае достигается наибольшее преобразование час-тоты, причем ,. .—т"Г"? Однако и в режиме взрывной неус-тойчивости типа а можно получить достаточно большой коэффициент преобразования по частоте даже при При этом должно выполняться неравенство -1 -2.(4- ) , которое для ультрарелятивистского электронного потока может быть удовлетворено.
К сожалению, общих аналитических решений системы (1.2.5) найти не удается даже для ультрарелятивистского предела. А все остальные режимы взаимодействия, описываемые системой (4.2.3), носят осцилляторный характер и представляют ограниченный интерес.
Выше явление трехволнового параметрического резонанса в плазме РЭП исследовалось либо в предположении однородности распределения энергии волн в области взаимодействия (см.„ I), либо в предположении стационарности модели (см.Главу Ш) .В общем случае решение задачи о параметрической неустойчивости РЭП; движущегося в поле суперпозиции электромагнитных волн,следует искать, исходя из системы уравнений (1.2.5) с одновременным учетом как пространственных, так и временных изменений амплитуд взаимодействующих волн. Полученные при этом результаты позволяют, с одной стороны, построить более полную физическую картину исследуемого явления,а с другой - уточнить правомерность используемых постулатов об однородности распределения амплитуд или стационарности установившегося в системе состояния.
