Содержание к диссертации
Введение
1. Обобщенные уравнения гидродинамики в модели интеграла столкновений Гросса-Джексона 13
1.1 Подпространство дискретного спектра линеаризованного оператора столкновений и разрывная функция распределения 13
1.2 Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК 23
1.3 Обобщение на случай Гросса-Джексона 27
1.4 Обобщенное уравнение Больцмана 32
2. Обобщенные уравнения гидродинамики и распро странение звука в однородном газе при произ вольных числах Кнудсена 37
2.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и постановка задачи о распространении звука на полуоси 37
2.2 Дисперсионное соотношение 39
2.3 Сравнение с экспериментом 41
2.4 Релаксационные моды в модели БГК 48
3. Основное состояние и малые колебания одноатом ного газа в гравитационном поле 56
3.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и равновесное состояние газа 56
3.2 Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения 68
3.3 Решение задачи генерации звука от колеблющейся пластины 73
Заключение 78
- Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК
- Дисперсионное соотношение
- Релаксационные моды в модели БГК
- Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения
Введение к работе
Задачи газовой динамики традиционно рассматриваются с точки зрения гидродинамических уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса справедливы только в области малых чисел Кнудсена (отношение длины свободного пробега к характерному масштабу неоднородности задачи). Уравнения Навье-Стокса становятся неприменимы, когда длина свободного пробега становится сравнима с характерным масштабом задачи. Это может произойти или когда длина свободного пробега становится большой, или когда уменьшается характерный масштаб задачи. Особенно это актуально при рассмотрении общей теории волновых возмущений атмосферы, где длина свободного пробега изменяется с высотой по порядку величины. Соответственно, существенно меняются и числа Кнудсена (становятся очень большими). Например, в аэронавтике и космонавтике размеры аппаратов могут быть порядка длины свободного пробега. Миниатюризация, с другой стороны, приводит к появлению приборов, микроэлектромеханических систем, где характерный масштаб задачи достигает длины свободного пробега.
Одной из первых работ, в которой волновые возмущения в газах исследовались с точки зрения более общего кинетического подхода, является работа Ван Чан и Уленбека [2].
В работе Ван Чан и Уленбека [2] был указан способ построения дисперсионных соотношений для звука в газе с помощью апроксимации решения уравнения Больцмана конечным числом собственных функций линеаризованного оператора столкновений для максвелловских молекул. Наиболее последовательно эти идеи изложены в работе Фоха и Форда [3]. Пекерисом, Альтерманом, Финкельштейном и Франковски [4] был проведен численный расчет фазовой скорости и коэффициента затухания волны с использова-
ниєм базиса из 483 функций, но существенного продвижения в кнудсенов-скую область по сравнению с результатами по Навье-Стоксу достигнуто не было.
Хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению звука в однородном газе для всех режимов по числу Кнудсена было достигнуто в целом ряде работ при использовании модельных интегралов столкновения (метод Гросса-Джексона [6]). Идея модели заключается в замене интеграла соударений Больцмана более простым выражением, которое, тем не менее, сохраняет число частиц, оставляет постоянным количество движения и энергию и ведет к необратимому поведению. Вероятно, простейшей моделью является уравнение с одной постоянной времени релаксации( уравнение БГК [5]):
В этом уравнении соударения приводят газ к максвелловскому распределению в течение времени - . Недостатком этой модели является то, что она
дает правильное значение коэффициента вязкости, но неправильное значение коэффициента теплопроводности. Поэтому полезно получить последовательный процесс для вывода простых моделей и расширения области их применения.
Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения линеаризованного оператора столкновений JstXi — \х%- Оператор Jst является самосопряженным, его собственные значения - \ вещественны, а система функций - полна и ортотогональна. Следовательно, произвольную функцию ip в пространстве скоростей можно разложить по базису Хг > и действие оператора Jst на функцию ср сводится к
J*t4> = Jst ^2 АкХк = S ^кХк
jfc=l Jb=l
Если формально к равенству в правой части прибавить и вычесть uip, где v = const, то
JstV = ^2{h + у)МХк - vy к=\
Пронумеруем собственные значения А& в порядке возрастания модуля. Моделирующее упрощение оператора столкновений столкновений заключается в обрыве ряда, что достигается выбором параметра v = |Ajy| и требованием Адг+р = Ajv(-P = 1,2,..). Кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений Гросса-Джексона Jft запишется в виде
% + І?% = ^= Х> + \Ы)АкХь - |А*|ї>,
к=1
Уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК) является первым приближением в рамках метода Гросса-Джексона.
Основываясь на методе Гросса-Джексона, в дальнейшем были выполнены многочисленные исследования по звуку в однородном газе при произвольных числах Кнудсена [7-23]. Эти работы различались подходами к поиску решения кинетического уравнения. Гринспен [7] и Мейер-Сесслер [8] экспериментально исследовали рапространение звука при высоких частотах и очень низких давлениях. Число Кнудсена в экспериментах изменялось в пределах от нескольких десятков до сотых. Фазовую скорость и затухание возмущения можно определить экспериментально, если считать это возмущение локально плоской волной. При этом приемник при числах Кнудсена Кп > 1 помещался на расстояния, не превышающие длину свободного пробега.
В 60-х годах Сирович и Тербер с помощью модельного уравнения БГК аналитически исследовали задачу о спектре звуковых колебаний в однородном газе при произвольных числах Кнудсена. В области промежуточных и больших чисел Кнудсена они использовали метод аналитического про-
должения дисперсионного соотношения из области малых в область высоких частот. Сравнение аналитических результатов Сировина и Тербера для фазовых скоростей и коэффициента поглощения звука с экспериментами Гринспена и Мэйера, Сесслера для одноатомных газов дало удовлетворительное согласие при всех числах Кнудсена. Но не ясно, почему их результаты для восьмимоментной модели дают лучшее согласие с экспериментальными данными, чем их результаты для 11-моментной модели.
Бакнер и Ферцигер [17], [18] использовали простое, но реалистичное предположение, что отражение молекул от пластины является диффузным. Их результаты хорошо согласуются с экспериментом для малых и больших чисел Кнудсена (сплошная среда и свободномолекулярный режим); в переходном режиме хорошее согласование получено только для фазовой скорости, а коэффициент затухания отличается от экспериментальных значений примерно на 30%. Они использовали модель Гросса-Джексона с тремя и пятью моментами.
Лоялка и Ченг [21,22] уточнили граничное условие диффузного отражения, использованное в работе Бакнера и Ферцигера, учитывая закон сохранения массы на пластине. Они сводили модельное кинетическое уравнение к системе интегральных уравнений, которая затем решалась численно. Их результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Однако перенесение этой методики на случай нелинейных волн, по-видимому, невозможно. Постановка граничных и начальных условий для функции распределения представляет собой дополнительную, трудно решаемую проблему.
Поэтому в настоящее время продолжаются интенсивные поиски уравнений обобщенной гидродинамики [45-49,51,53-56,58,59,68-70], справедливых в широком диапазоне чисел Кнудсена. В недавних работах с по-
мощью несингулярной теории возмущений [79] получены такие уравнения (Чен, Рао, Шпигель [45-48]), которые тестировались с помощью сравнения с классическими экспериментами Мейера-Сесслера и Гринспена. Их выражения для тензора давлений Рц и теплового потока q, в отличие от уравнений Навье-Стокса, выражаются через термодинамические величины (р, U, Т) и их производные. Так их конечная формула для тензора давлений Р^ и теплового потока q неявным образом содержит члены всех порядков по числу Кнудсена Кп, что дает вероятность, что процедура вывода гидродинамических уравнений даст большую точность по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Однако их результаты нельзя считать адекватными физическим условиям распространения волновых возмущений в кнудсеновском режиме.
Другой подход к исследованию распространения звука в однородном газе рассмотрен в работах Алексеева [51-54]. Опираясь на цепочку уравнений ББГКИ и положения несингулярной теории возмущений, Алексеев вывел обобщенное кинетическое уравнение. Далее из кинетического уравнения им были выведены уравнения обобщенной гидродинамики, дающие качественное согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Результаты его численных расчетов для коэффициента затухания (рис. 1) отличаются от данных эксперимента при больших числах Кнудсена примерно в два раза. Однако другие известные гидродинамические модели дают расхождение в несколько порядков при больших числах Кнудсена. При этом приходится решать систему дифференциальных уравнений вдвое более высокого порядка, чем традиционные гидродинамические уравнения.
Рис. 1.Сравнение различных теоретических результатов по
распространению звука с экспериментальными данными [7,8] - кружки.
Коэффициент затухания как функция обратного числа Кнудсена..
Несмотря на значительное число работ и на кинетическом, и на гидродинамическом уровнях, описывающих кнудсеновскии режим, правильный учет затухания в кнудсеновской области по-прежнему не включен в гидродинамическое описание.
В нашей работе мы опираемся на понятия разрывной функции распределения и более совершенной по сравнению с Ченом, Рао, Шпигелем теорией возмущения, что является новым элементом уже существующей теории. Кроме того, так как результаты упомянутых авторов при описании затухания катастрофически расходятся с результатами экспериментов, мы обращаемся к результатам Алексеева, который учитывает парные корреляции в одночастичпом приближении посредством применения той же теории возмущения к цепочке Боголюбова.
Настоящая работа посвящена изучению следующих вопросов:
развитие метода двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле силы тяжести,
вывод уравнений обобщенной гидродинамики, справедливых в широком интервале чисел Кнудсена,
решение задачи о распространении акустических волн малой амплитуды при произвольных числах Кнудсена в случае однородного газа,
построение и анализ решения распространения акустических волн в неоднородной по числу Кнудсена газовой среде.
В работе выведена новая система уравнений обобщенной гидродинамики для моделей интеграла столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона на основе кинетического уравнения Больцмана и обобщенного кинетического уравнения.
Для случая линеаризованной системы уравнений, в случае однородной среды, решена задача генерации и распространения акустических волн. Для слабо неоднородной среды исследовано фоновое состояние и методом ВКБ получено решение для экспоненциально стратифированной среды.
Выведенная в работе система обобщенных уравнений гидродинамики справедлива в большем, нежели у предшественников, интервале чисел Кнудсена. Результаты работы могут применяться в физике (развитие общей теории и моделирование) атмосферы, в теории и моделировании течений в микро- и наноструктурах.
В первой главе описывается метод двусторонних функций распределения. На основе данного метода выводятся системы уравнений обобщенной гидродинамики для кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона. С целью продвинуться в кнудсеновскую область далее используется обобщенное
уравнение Больцмана.
Во второй главе рассматривается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды, которая используется в качестве теста полученных уравнений. Результаты численного расчета для коэффициента затухания и фазовой скорости сравниваются с экспериментальными данными и результатами других авторов.
В третьей главе исследуется равновесное состояние газа и рассматриваются малые колебания газа в поле тяжести Земли. Система уравнений гидродинамики на основе модели БГК обобщается на трехмерный случай. Построена зависимость моментов функции распределения от высоты.
В заключении анализируются полученные результаты и подводятся основные итоги работы.
Основные защищаемые положения:
Выведены новые системы уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона. При выводе использован метод двусторонних функций распределения.
Решена задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды при произвольных числах Кнудсена на основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики. Результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания сравниваются с экспериментом и результатами других авторов.
Решена задача о распространении акустических волн в случае
слабо неоднородной среды. Решение строится методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (разложение по малому параметру А/Я , X -длина волны, Н - высота однородной атмосферы).
Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах [80-89].
Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК
Полученная система уравнений (1.23) в соответствии со схемой вывода справедлива при всех числах Кнудсена и в пределе малых чисел Кнудсена должна переходить в уравнения гидродинамики. По структуре она является системой гидродинамического типа и обобщает классические уравнения неидеальной гидрогазодинамики на произвольные числа Кнудсена, вплоть до свободно молекулярного газа. Однако, система (1.23) пока не замкнута. Для замыкания системы необходимо представить значение интегралов (1.24) через термодинамические параметры системы (1.23). Сделать это приближенно можно следующим образом. Вычислим интегралы(1.15) непосредственно, подставив функцию (1.12). Например, для плотности р получим точное соотношение: V? = у/2кТ±/т. Считая -гг± малыми, разложим правую часть приведен-ного выражения в ряд. Данное разложение соответствует малым числам Маха М. Сохраним слагаемые до второго порядка малости, что отвечает порядку уравнений системы (1.23) по U. Тогда для плотности получаем алгебраическое выражение. Аналогично, полагая —j малыми, для плот-ности и остальных параметров получим соотношения вида Решая систему (1.26) относительно функциональных параметров Uf,... и подставляя результат в выражения для интегралов (1.24), замыкаем нелинейную систему (1.23). Приведенная процедура выглядит затруднительной, поэтому мы воспользуемся разложением по числу Маха. Мы полагаем величину %% малой, что соответствует малым числам Ма- ха М = тах\—I . Мы основываемся на разложении по числу Маха М, вплоть до первого порядка. Для разрывной функции распределения (1.12) свойство(1.25) принимает вид Значения интегралов J\ и Зі в рамках указанного приближения имеют вид: (1.28) Для нахождения n± и Уу в нулевом порядке (при U = 0) мы решаем совместно четыре уравнения: (1.27) и первые три уравнения системы (1.26). Получаем Подставляя (1.27) в (1.26), для J\ и Зі в нулевом порядке получаем Для нахождения интегралов 3\ и Зі в первом порядке малости подставим 71і и V? из (1.29) в четвертое и пятое уравнения системы (1.26) и Для остальных функциональных параметров в первом порядке с учетом (1.29) получаем Подставляя (1.31) и (1.32) в (1.28), для интегралов J\ и Зч в первом порядке получаем Мы предложили модификацию процедуры вывода обобщенных уравнений гидродинамики из кинетической теории.
Мы не начинаем вывод с разложения по средней длине свободного пробега, как это делалось обычно. Поэтому полученная система уравнений обобщает уравнения Навье-Стокса на произвольные числа Кнудсена. Как мы увидим, наш метод дает хорошее согласие с экспериментальными данными по сравнению с результатами, получающимися из традиционной гидродинамики Навье-Стокса и некоторых других уравнений гидродинамического типа. 1.3 Обобщение на случай Гросса-Джексона Выбор за основу описания модели БГК был связан с относительной простотой этой модели и независимостью от конкретной модели столкновений. Однако, если рассчитать число Прандтля для этой модели, то получим значение Рг = 1, которое не совпадает с числом Прандтля для идеального газа (Prid = 2/3). Модель БГК позволяет правильно вычислять либо коэффициент вязкости, либо коэффициент теплопроводности. Неправильное число Прандтля - основной недостаток модели БГК, который впрочем может быть устранен переходом к более точным моделям интеграла столкновений, например, эллипсоидно-статистическая модель [26] или модель Гросса-Джексона. Кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в форме Гросса-Джексона имеет вид где tp{t, z, V) = (f — /0)//0 - неравновесная добавка к функции распределения. Моменты функции распределения определены следующим образом где с = у- - безразмерная скорость. Первые шесть собственных функций линеаризованного оператора M6 V5V 3n0l/T3 + Fr2 по Го + n0Fr3m( 7z 3Qz)J В линейном приближении первые три момента пропорциональны возмущениям плотности п, скорости U2 и температуры Т. Будем искать решение уравнения (1.34) в виде комбинации двух локально равновесных функций распределения, каждая из которых дает вклад в своей области пространства скоростей: Если мы умножим кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в форме Гросса-Джексона( 1.34) на функции Хг и проинтегрируем по скоростям, мы получим систему гидродинамических уравнений: Алексеев [54], опираясь на цепочку уравнений ББГКИ, обобщил уравнение Больцмана.
При выводе обобщенного уравнения Больцмана он попытался учесть двухчастичные корреляции и три масштаба эволюции системы, связанных со средним временем столкновения, временем между столкновениями и гидродинамическим временем. Уравнение Алексеева имеет вид: Здесь J -интеграл столкновений Больцмана, - субстанциональная производная(У иг- скорость частицы и радиус-вектор, соответствующий ее положению), т - среднее время между столкновениями частиц. Для модели твердых сфер в больцмановском газе справедливо соотношение [62]: В гидродинамическом соотношении (1.48) , помимо давления р и вязкости и, введен параметр П, равный 0,786 в пределе разложения функции распределения в ряд по полиномам Сонина и 0.8 в первом (максвеллов-ском) приближении. гиг/ связаны соотношением: Обобщенное уравнение Больцмана в безразмерном виде записывается как [54] Из этого уравнения следует, что второй член имеет порядок числа Кнудсена и с ростом числа Кнудсена оказывается доминирующим в левой части обобщенного уравнения Больцмана. Естественно, это не нарушает свободномолекулярного предела уравнения, поскольку при Кп —» оо. Решением (1.49) является уравнение свободномолекулярного течения Рассмотрим кинетическое уравнение для функции распределения с модельным интегралом столкновений в форме БГК: - локально-равновесная функция распределения. Следуя методу двухсторонних функций распределения, будем искать решение уравнения(1.46) в виде комбинации двух локально равновесных функций распределения, каждая из которых дает вклад в своей области пространства скоростей: здесь n , U±, Т 1 параметры локально равновесных функций распределения, имеющие смысл плотности, средней скорости и температуры. Геометрия разрыва, то есть области, в которых действуют различные функции, определяется геометрией задачи. В дальнейшем, чтобы получить систему дифференциальных уравнений для моментов функции распределения, умножим уравнение (1.46) с модельным интегралом столкновений в форме БГК (1.50) на набор линейно независимых функций y (V). В одномерном случае U = (0,0, U) используем следующий набор: Здесь первые три функции рп - инварианты столкновений Умножая уравнение (1.46) в случае отсутствия внешних сил на собственные функции (1.52), получаем систему дифференциальных уравнений:
Дисперсионное соотношение
На рисунках 4, 5 результаты численного расчета безразмерной скорости звука и коэффициента затухания в зависимости от г для модели Гросса-Джексона сравниваются с результатами других авторов и экспериментальными данными. Уравнение Навье-Стокса дает качественно неверные результаты при больших числах Кнудсена. Так уравнение Навье-Стокса предсказывает бесконечную скорость звука в пределе больших чисел Кнудсена. Эксперимент показывает, что скорость звука оказывается конечной. Наши результаты для коэффициента затухания дают хорошее согласие с экспериментом при всех числах Кнудсена. Однако, наши результаты для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом только до чисел г порядка единицы. Но они выглядят немного лучше, чем Навье-Стокса, Струхтрупа и Торрильхона [55,56] и Чен-Рао-Шпигеля [42,46,48]. Чен-Рао-Шпигель получают уравнения гидродинамического типа из кинетического уравнения Больцмана. Как и в работах Гильберта и Чепмена-Энскога [62], они начинают с разложения по числу Кнудсена. Однако, они не используют условие разрешимости, как это обычно делается. Это улучшает уравнения при помощи процедуры, являющейся следствием метода Боголюбова [79]. Их выражения, в отличие от уравнений На. вье-Стокса,для тензора давлений Рц и теплового потока q выражаются через термодинамические величины (р, U, Т) и их производные. Так их конечная формула для тензора давлений Р и теплового потока q неявным образом содержит члены всех порядков по числу Кнудсена Кп, и они могут надеяться, что их процедура вывода даст большую точность по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Но также имеется расхождение с экспериментом для коэффициента затухания.
Струхтруп и Торрильхон регуляризуют метод Трэда. Выведенные ими уравнения дают хорошее согласие с экспериментальными данными для г 2. Наши результаты для фазовой скорости находятся в хорошем согласии с экспериментом при всех числах г. При 1 г 10 наша модель дает хорошее согласие с экспериментом для коэффициента поглощения. При решении уравнения Больцмана моментными методами было выявлено внезапное исчезновение дискретных мод при некоторых значениях гс( [15,17,18]), причем с увеличением числа моментов гс уменьшалось. Так,например, Бакнер и Ферцигер в своей работе [18] показали,что при г 1 решение определяется, в основном, дискретной звуковой модой, и дисперсионное соотношение можно использовать в вычислениях парамет- ров звука. Для г 1 становятся важными континуальные моды. Решение остается "волноподобным", но это уже не классическая плоская волна. Действительно, параметры звука становятся зависящими от положения приемника. Ниже гс решение представляется в виде суперпозиции непрерывного спектра собственных функций, поэтому классическое понимание звука следует изменить. Концепция дисперсионного соотношения более не применима. Поглощение при больших числах Кнудсена - это не "damping"(вследствие межмолекулярных столкновений), а скорее "фазовое перемешивание"вследствие того, что молекулы, покидающие осциллятор с разными фазами, оказываются у приемника одновременно. Коэффициент затухания при больших числах Кнудсена Кп 1 моделируется учетом эффектов релаксации в интеграле столкновений. Модель Гросса-Джексона при данном N ограничивает возможность учета внешних времен релаксации (быстрого затухания), так как существенно опирается на условие: \ = ААГ+1, І N + 1 Т.е. высшие времена релаксации предполагаются одинаковыми. Это значит, что необходимо включение высших собственных функций Хіі і N -f 1, что позволило бы продвинуться в область более высоких чисел Кнудсена. Однако, как мы видим, переход от модельного интеграла столкновений БГК к модели Гросса-Джексона не приводит к существенному продвижению в область больших чисел Кнудсена. Так как известные гидродинамические модели при описании затухания катастрофически расходятся с результатами экспериментов, мы обраща- емся к результатам Алексеева, который учитывает парные корреляции в одночастичном приближении посредством применения той же теории возмущения к цепочке Боголюбова.
На рисунках 6, 7 мы видим, что применение названного метода к обобщенному уравнению Больцмана позволило получить обобщенные уравнения гидродинамики, дающие хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом при числах Кнудсена 1 и в свободномолекулярном режиме. При остальных числах Кнудсена наши уравнения дают качественное согласие с экспериментом, в отличие от других гидродинамических моделей, которые катастрофически расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена. Имеются три пары распространяющихся мод. Быстро затухающие моды имеют равную нулю фазовую скорость при г — оо. Их называют тепловыми модами(кривая 2 на рисунке). Следующие моды, изображаемые кривой 3, имеют практически постоянную при всех числах Кнудсена фазовую скорость С Со/2.7 с 0.37Со- Эти моды затухают наиболее быстро, назовем их "быстро затухающими". В пределе малых чисел Кнудсена для этих мод коэффициент затухания а 2г. Рассмотренные моды играют малую роль в описании экспериментов со звуком. И, наконец, звуковые моды, описываемые кривой 1. Они обладают правильной адиабатической (при г —» со) скоростью, как предсказывают уравнения Эйлера. Учтем роль трех мод при распространении колебаний. Линеаризованная система уравнений имеет вид (2.1). Для удобства введем обозначение щ для линеаризованных гидродинамических величин: {щ} = {p ,U ,T iP zz,qfz,q z} . Решение системы (2.1) будем искать в виде суперпозиции трех плоских волн щ = A1iexp(-iwt+ikiz)+A2iexp(-iwt+ik2z)+Afexp(—iwt+ikzz), (2.11) где kj, j = 1,2,3 - вертикальные компоненты волнового вектора для различных мод. Подставляя (2.11) в (2.1), получим систему однородных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами:
Релаксационные моды в модели БГК
Алексеев [51,53,54] и Чен-Рао-Шпигель [42,46,48] рассматривают распространение только звуковой волны. Для нахождения коэффициента затухания они решают дисперсионное соотношение. В отличие от этих работ мы учитываем распространение трех мод. Коэффициент затухания определяется графически, как показано на рис. 10. На рисунке (7) приведен результат вычисления коэффициента затухания для трех мод. Как мы видим, учет трех мод позволяет нам дальше продвинуться в область промежуточных чисел Кнудсена. В эксперименте, вероятно, измерялась групповая скорость, которая определяется по максимальной. Рис. 11. Скорость затухания в зависимости от отношения частоты столкновений к частоте звука. Обозначения:жирная линия -Навье-Стокс,простая- наша теория, пунктирная линия - учет трех мод, кружки - эксперимент Мейера-Сесслера и Гринспена. обратного числа Кнудсена. Результаты данной работы-1 сравниваются с результатами, полученными из уравнений Навье-Стокса, теории Чена-Шпигеля [46,48], обобщенных уравнений Эйлера и обобщенных уравнений Навье-Стокса Алексеева [53,54], результатами Бакнера [18], основанных на прямом решении уравнении Больцмана(модель БГК), и экспериментальными данными Мейера-Сесслера и Гринспена [7,8] ГЛАВА 3. Основное состояние и малые колебания одноатомного газа в гравитационном поле 3.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и равновесное состояние газа В первой главе были получены уравнения обобщенной гидродинамики для однородного случая. Обобщим полученные для модели БГК уравнения на трехмерный случай. Кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в форме БГК [5] в гравитационном поле имеет вид(І.Н): Чтобы получить систему дифференциальных уравнений для моментов функции распределения, умножим уравнение БГК (3.1) на набор линейно независимых функций (p(t,f,V). Используем следующий набор: = ±m\V-U\\ рю = \m{Vz-Uzf. Здесь первые пять функций ipn - инварианты столкновений. Определим скалярное произведение в пространстве скоростей: Здесь р - плотность, Т - внутренняя энергия единицы массы газа, Р -компоненты тензора напряжений, q- вектор теплового потока, qz - новый параметр, имеющий размерность теплового потока.
Умножая уравнения (3.1) на собственные функции (3.2), получаем систему дифференциальных уравнений: Qjzzz = I (Vj - Uj)(Vz - Uzf , t, j, к = 1,2,3. По повторяющимся индексам здесь происходит суммирование. Во время вывода уравнения неразрывности мы воспользовались следующим свойством функции распределения: Оно получается при интегрировании по частям с учетом условия Шпу_юо/ = 0(см. [26]). Полученная система уравнений (3.5) в соответствии со схемой вывода справедлива при всех частотах столкновений и в пределе больших частот должна переходить в уравнения гидродинамики. По структуре она является системой гидродинамического типа и обобщает классические уравнения неидеальной гидрогазодинамики на произвольные числа Кнудсена, вплоть до свободно молекулярного газа. Однако, система (3.5) пока не замкнута. Для замыкания системы необходимо представить значение интегралов (3.6) через термодинамические параметры системы (3.5). Вычислим ин-тегралы(3.4) непосредственно, подставив функцию (1.12). где p± = mri 1, V r = 2kT±/m. Решая систему (3.8) относительно функциональных параметров Uf,... и подставляя результат в выражения для интегралов (З.б), замыкаем нелинейную систему (3.5). Приведенная процедура выглядит затруднительной, поэтому мы воспользуемся разложением по числу Маха. Мы полагаем величину т малой, что соответствует малым числам Ма- ха М = тах\—I . Мы основываемся на разложении по числу Маха М, вплоть до первого порядка. Для разрывной функции распределения (1.12) свойство(3.7) принимает вид Для нахождения п и V? в нулевом порядке (при [7і = 0 ) мы решаем совместно четыре уравнения: (3.9) и (9.1),(9.2),(9.5). Получаем Для вычисления интегралов (3.6) в первом порядке подставим 71і и V из (3.10) уравнения (9.G) и (9.9), откуда получаем 7+ и U Аналогично, из уравнений (9.3),(9.7)находим U , и из уравнений (9.4),(9.8) С учетом (3.10),(3.12) находим другие функциональные параметры в первом порядке Считая интегралы (3.6) через разрывную функцию распределения и подставляя (3.13), (3.11) and (3.12) в полученные выражения для интегралов, получим значения(З.б) в первом порядке : Подставляя (3.14) в систему уравнений (3.5), замыкаем ее. Полученная система уравнений в соответствии со схемой вывода справедлива при всех числах Кнудсена и обобщает систему уравнений(1.23),(1.33) на трехмерный случай. В первой главе мы вывели 3 системы уравнений для газа в поле тяжести Земли. Во второй главе исследовали распространение звука в однородной среде. В этой главе рассмотрим задачу распространения акустических волн в неоднородной среде. В работе [49] рассматривается газ, экспоненциально стратифицированный в поле тяжести Земли. Методом ВКБ строится строится решение для ультразвука. Применим предложенный авторами подход для задачи о распространении звука в неоднородном газе. Воспользуемся другой процедурой замыкания уравнений и сравним полученные результаты. Будем считать малыми, что соответствует малым числам Маха М = тах\—I . Будем основываться на разложении по числу Маха М, до первого порядка. В этом приближении функциональные параметры разрывной функции распределения:
Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения
В этой секции мы применяем метод ВКБ к системе (3.26). Мы предпола гаем, что на нижней границе при z = О генерируется волна с характерной частотой щ. Предполагая, что частота щ достаточно велика, введем ха- рактерный параметр = Э 1. Будем искать решение в форме [78]: где, например, ірі, отвечающее моменту М\, задано выражением: здесь ifk(z) - фазовая функция, отвечающая различным корням дисперсионного соотношения. Для других моментов Мп, п = 2,..., 6 соответствующие функции фп имеют аналогичный (3.28) вид. Соответствующие коэффициенты рядов мы обозначим Bm Ст Dm Em Fm . Подставляя ряд (3.28) в систему (3.26), мы получим алгебраические уравнения для коэффициентов (3.28) в каждом порядке. В главном порядке получим однородную систему алгебраических уравнений, условие разрешимости которой дает дисперсионное соотношение: Дисперсионное соотношение (3.29) представляет собой кубическое уравнение с переменными коэффициентами, поэтому точное аналитическое решение по формуле Кардано выглядит очень громоздким и неудобным для анализа. Мы исследуем поведение решения при v —» 0 (свободномолеку-лярный режим) и v — оо (гидродинамический режим). В пределе бесстолкновительного газа v — 0 дисперсионное соотношение принимает вид: Корни этого уравнения: Определяя корни уравнения (3.29) по теории возмущений до и2, для трех решений получим: В пределе v — со (гидродинамический предел) для корней (3.29) по теории возмущений до иъ для трех решений получаем: Решение уравнения (3.29) для любых значений и рассчитывается численно. Поведение действительных и мнимых частей т]п и ірж как функции от и представлено на рис. 14-17. В качестве примера рассмотрим проблему генерации и распространения волновых возмущений в газе. Имеется плоская пластинка, которая осциллирует с заданной частотой UQ. Во второй главе исследовалась проблема распространения звука в однородном газе. Найденные значения для коэффициентов затухания и фазовой скорости находились в хорошем согласии с экспериментальными данными.
В этом параграфе мы рассматриваем среду, экспоненциально стратифицированную в гравитационном поле вдоль оси z. Это значит, что число Кнудсена также зависит от z: Kn(z). Рассмотрим, как будут изменяться фазовые скорости и коэффициенты затухания распространяющихся волн в зависимости от высоты. Дисперсионное соотношение является уравнением шестого порядка и имеется три пары распространяющихся мод. Безразмерные волновые числа к = WQ/W связаны с корнями уравнения(3.29) следующим образом: к ± = ±у/Щ. При заданном вещественном w волновое число к оказывается комплексным: к = /3 + га. Мнимая часть волнового числа а характеризует затухание звука, а (5 = Со/С есть отношение адиабатической скорости звука к расчетной скорости звука. Для определения зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания от высоты выберем безразмерную частоту равной Поведение вещественной и мнимой частей корней уравнения (3.29) в зависимости от высоты z представлено на рисунках 18, 19. Оценим, как будут меняться с высотой термодинамические параметры. Будем считать, что на высоте z = 0 все моменты Mk = 0, за исключением M i = UQ. ДЛЯ оценки мы выберем безразмерную частоту равной и(0) = 0.1, что соответствует высоте z 300км земной атмосферы. Корни дисперсионного соотношения(3.29) при и = 0.1 : учетом данного граничного режима получаем следующие значения для А[ . Учитывая малость безразмерной частоты u{z) — 0.lexp(—z), найдем фазовые функции , воспользовавшись (3.32): щ и 0.475 + 0.31ш(0)(1 - e z) . Воспользовавшись полученными выражениями, мы можем получить решение системы (3.26). Поведение решения для моментов М&, построенных методом ВКБ, показано на рис. 22. Графики позволяют сравнить поведение старых моментов, используемых в уравнениях Навье-Стокса( плотность, скорость, температура), как функции высоты и дополнительных моментов В работе получены следующие основные физические результаты: 1. Развит метод двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле тяжести Земли 2. Используя метод двухсторонних функций распределения, выведена система уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона.
В предельном случае больших частот столкновений (малых чисел Кнудсена) полученная система переходит в систему уравнений Эйлера для идеального газа. В следующих порядках получаются уравнения Навье-Стокса и Барнета. 3. На основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики решается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды. Результаты для фазовой скорости и коэффициента сравниваются с экспериментом и результатами других авторов. Система уравнений гидродинамического типа на основе уравнения Больцмана и подхода Гросса-Джексона позволяет более точно описывать явления при больших и промежуточных числах Кнудсена по сравнению с другими гидродинамическими моделями. Полученные значения для фазовой скорости находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными при произвольных числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания выглядят лучше по сравнению с результатами, полученными из других гидродинамических моделей. Применение названного метода к обобщенному уравнению Больцмана позволило получить обобщенные уравнения гидродинамики, дающих хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом при числах Кнудсена 1 и в свободномолекулярном режиме. При остальных числах Кнудсена наши уравнения дают качественное согласие с экспериментом, в отличие от других гидродинамических моделей, которые катастрофически расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена. Это позволяет применять их для расчета волновых возмущений в атмосфере на всех высотах. 4. Исследовано равновесное состояние газа в обобщенной гидродинамике. Используя метод ВКБ, построены и проанализированы решения задачи о распространении акустических волн в случае неоднородной среды. Проанализирована зависимость моментов функции распределения от высоты.
