Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор современных методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера . 9
1.1. Условия излучения для волнового уравнения 10
1.2. Условия излучения для уравнения Шредингера 23
1.3. Выводы к первой главе 31
Глава 2. Нестационарный аналог параболического уравнения типа Тапперта и его использование в качестве условия излучения для волнового уравнения 33
2.1. Новый подход к получению операторной асимптотики Тапперта 34
2.2. Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта 36
2.3. Уравнение Тапперта как условие искусственной границы и корректность смешанной задачи 40
2.4. Численная схема для решения смешанной задачи для волнового уравнения в области с вертикальными открытыми границами. 44
2.5. Численные эксперименты 46
2.6. Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики 57
2.7. Выводы ко второй главе 59
Глава 3. Амплитудная форма условий излучения для нестаци онарного уравнения Шредингера 62
3.1. Амплитудная иерархия для уравнения Шредингера и уравнение Гамильтона-Якоби 63
3.2. Условия искусственной границы первого и второго порядка 64
3.3. Алгоритм решения задачи с открытыми границами для уравнения Шредингсра. Численная схема 66
3.4. Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков . 67
3.5. Выводы к третьей главе 71
Глава 4. Применение условий излучения к решению двух фи зических задач 73
4.1. Задача о рассеянии звука на тонкоструктурных неоднородно-стях профиля скорости звука 74
4.2. Оценка потерь на высвечивание акустической энергии из звукового канала в мелком море методом параболического уравнения с условиями излучения 87
4.3. Выводы к четвертой главе 107
Заключение 111
Литература 114
- Условия излучения для уравнения Шредингера
- Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта
- Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики
- Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков
Введение к работе
Актуальность темы. Во многих задачах теории волн область, в которой исследуется их распространение, не имеет физических границ по одному или нескольким направлениям. В то же время для исследователя интерес представляет, как правило, волновое поле внутри некоторой конечной части этой неограниченной области. Поэтому естественно и удобно переходить к рассмотрению этой части области с помощью постановки искусственных границ, через которые волны излучаются во внешнюю среду. Такие искусственные границы называются излучающими (также употребляется термины поглощающая граница и неотражающая граница). Условие, которому должна удовлетворять волновая функция на такой границе, называется условием излучающей границы или просто условием излучения. Эти условия важны для задач квантовой механики, акустики, геофизики, метеорологии, электродинамики, теории упругости и других областей физики, где важную роль играют волновые уравнения. Так, например, в задачах геофизики и акустики волноводы, как правило, неограничены в горизонтальных направлениях и стратифицированы по вертикали. Естественно ограничиться частью такого волновода, поставив вертикальные излучающие границы. Условие излучения на таких границах должно учитывать имеющуюся стратификацию. В задачах квантовой механики условия излучения позволяют решать уравнение Шредингера в конечной области, не исключая при этом из рассмотрения свободные состояния и взаимодействие с ними. Условия излучения необходимы при компьютерном моделировании волновых процессов, которое является в настоящее время важным и мощным инструментом для физика-теоретика.
Несмотря на активное исследование методов постановки условий излучения в последние годы (которое можно проследить по многочисленным публикациям в периодических научных изданиях), для многих физических си-
туаций они еще недостаточно хорошо развиты. Для волнового уравнения эффективные методы постановки условий излучения разработаны в основном лишь для случая однородной внешней среды. Разработка аналогичных методов для случая стратифицированной внешней среды является актуальной задачей для большинства приложений. Существующие подходы к постановке условий излучения для уравнения Шредингера (а также эквивалентного ему волнового параболического уравнения) также обладают рядом ограничений. Для уравнений этого типа хорошо развиты методы постановки нелокальных граничных условий, обеспечивающих практически полное прохождение падающих на границу волн. Такие методы обладают тем недостатком, что полученные с их помощью условия излучения гораздо сложнее исходных уравнений. Постановка локальных условий излучения, имеющих относительно простую форму и при этом обеспечивающих низкий коэффициент отражения для падающих на них волн, для уравнений типа Шредингера является актуальной задачей. В диссертации сделана попытка решить указанные задачи, для чего разработаны новые методы постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера (главы 2, 3).
Условия излучения на границе конечной области являются мощным инструментом для исследования распространения волн в различных физических задачах. При этом, однако, пригодные для практического использования методы их постановки были разработаны лишь относительно недавно. По этой причине количество работ, где они используются, пока еще очень мало. В диссертации представлено два примера использования условий излучения при исследовании распространения акустических волн (глава 4).
Цели работы. Основной целью данной работы является разработка и исследование новых методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера, учитывающих неоднородность среды, в которой распространяются волны. Второй целью работы является решение
двух физических задач с помощью численного моделирования с использованием волновых уравнений. Принципиальная возможность анализа этих задач волновыми методами основана на использовании условий излучающей границы.
Научная новизна.
Для приближенного описания однонаправленного распространения волн в слоистой среде в работе получено новое нестационарное параболическое уравнение. Предложен новый метод приближенного решения волнового уравнения в конечной области неограниченного волновода со слоистой стратификацией. Разработан новый метод получения асимптотик для операторного квадратного корня (с учетом некоммутативности), которые можно использовать для получения высших приближений и вывода широкоугольных параболических уравнений для слоистой среды.
Предложен новый подход к приближенному решению уравнения Шре-дингера в области с открытыми границами, основанный на постановке условий излучения в амплитудной форме.
Зависимость от частоты звука потерь акустической энергии при распространении в подводном звуковом канале, обусловленных рассеянием на внутренних волнах, впервые исследована волновыми методами в случае мелкого моря на основе гидрологических данных конкретного района Мирового океана. При этом использован метод параболического уравнения с условием излучения на дне.
Практическая значимость. Предложенный во второй главе работы метод постановки условий излучения может быть использован при решении задач, описываемых волновым уравнением в неограниченном стратифицированном волноводе. Эти задачи типичны для таких областей, как акустика и
геофизика (а также встречаются в метеорологии, электродинамике, оптике) и включают в себя задачи томографии, акустического мониторинга, задачи моделирования распространения сдвиговых волн. Полученные условия излучения позволяют решать физические задачи волновыми методами в условиях неоднородности среды и отсутствия физических границ у волновода.
Предложенный в третьей главе работы метод постановки условий излучения для уравнения Шредингера может быть использован при исследовании различных задач квантовой механики, в которых важную роль играют свободные состояния, а также акустики океана (в рамках метода параболического уравнения). К ним относятся, в частности, задачи ионизации атомов и исследования переходов в непрерывный спектр.
Результаты четвертой главы могут быть использованы при планировании экспериментов по дальнему распространению звука в океане.
Работа была поддержана грантом Программы Президиума РАН №14, а также грантом Президента РФ МК-4324.2009.5.
На защиту выносятся:
нестационарное уравнение, приближенно описывающее однонаправленное распространение волн в слоистой среде и метод решения волнового уравнения в открытом волноводе со слоистой стратификацией на основе использования полученного уравнения в качестве условия излучения;
метод решения уравнения Шредингера в области с открытой границей на основе использования условия излучения в амплитудной форме;
Полученная зависимость от частоты коэффициента высвечивания акустической энергии под влиянием линейных внутренних волн для одной модели подводного звукового канала в мелком море, основанной на конкретных гидрологических данных.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер" (Москва, 2009 г.), на всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях" (Иркутск, 2009), на российской школе-семинаре, посвященной 60-летию профессора Ю.Е. Шишмарева "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), а также на школах-семинарах имени академика Золотова (Владивосток, 2007, 2008), на семинарах отделов акустики и физики атмосферы и океана ТОЙ ДВО РАН, на семинаре "Нелинейная динамика" (ТОЙ ДВО РАН), на расширенном семинаре кафедры гидроакустики ДВГТУ, на расширенном семинаре лаборатории вычислительных методов математической физики ИПМ ДВО РАН.
Публикации. По теме работы опубликовано две статьи в рецензируемых журналах [А1],[А2], один препринт [A3], также имеется пять публикаций [А4, А5, А6, А7, А8] в материалах и сборниках тезисов докладов различных конференций. Одна из работ [А9] также опубликована на сайте
Личный вклад автора. Результаты диссертации, представленные в главах 2 и 3, получены в соавторстве с научным руководителем М.Ю. Трофимовым. Часть аналитических формул выведена лично автором, также им осуществлена дискретизация полученных условий и последующая реализация соответствующих численных схем в виде комплекса программ. Результаты первой части четвертой главы получены автором, вторая часть четвертой главы - результат совместной работы автора с Д.В. Макаровым, предложившим постановку задачи. Разработка метода ее решения и его последующая реализация выполнены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе выполнен обзор наиболее актуальных результатов по разработке условий искусственной границы для волнового и параболического
Условия излучения для уравнения Шредингера
В этом разделе мы рассмотрим наиболее эффективные из существующих способов постановки условий излучающей границы для уравнения Шредин В акустике океана широко применяется его аналог - узкоугольное параболическое уравнение, впервые предложенное Ф.Таппертом в виде где ко = to/CQ, С{) - отсчетная скорость звука, со - частота, п = n(r, z) = co/c(r, z) - индекс рефракции. Уравнение (1.26) представляет собой аппроксимацию огибающей функции акустического давления на большом расстоянии от монохроматического источника. Математически оно эквивалентно уравнению Шредингера. Помимо узкоугольного уравнения, рассматривают также его широкоугольные обобщения, см. например [43] (в этой работе предложены условия искусственной границы для широкоугольного параболического уравнения). Запишем уравнение Шредингера в более компактной форме: которую в основном и будем использовать в дальнейшем. В случае акустики океана переменная у в (1.27)4 означает глубину. Значение у = 0 соответствует поверхности океана, и, таким образом, если воспользоваться моделью жидкого дна, то естественная задача для уравнения (1.26) - смешанная задача в полупространстве у 0 вида в которой поверхность предполагается мягкой границей. Разумеется, такая задача непригодна для численного решения. В большинстве случаев можно предполагать, что носитель начальных данных располагаются внутри некоторого конечного интервала [О, L] (обобщение метода на случай некомпактного носителя начальных данных см. [33]). В этом случае задачу (1.28) можно заменить (быть может, с некоторой точностью) смешанной задачей вида где В - некоторый линейный оператор. Если решение задач (1.28) и (1.29) совпадает на интервале [0, L] для всех значений ж, то условие Ви(х, L) = 0 называется условием прозрачной границы для параболического уравнения (1.27). Если решения задач (1.28) и (1.29) отличаются достаточно мало (в некотором подлежащем уточнению смысле), то условие Ви(х, L) — 0 называется условием искусственной границы для параболического уравнения. Такое условие моделирует естественный процесс перехода акустической энергии в дно, в котором звуковые колебания быстро затухают. Легко попять, что многие способы построения условий искусственной границы для волнового уравнения можно применить и к параболическому уравнению. Естественно обобщается метод операторной факторизации с последующим построением некоторой операторной асимптотики, получается также и аналог условия Хигдона. Работа [45] представляет исчерпывающую информацию по этому поводу с соответствующей библиографией.
Отметим лишь, что в случае параболического уравнения этот подход оказывается существенно менее успешным, а потому практически не используется для реальных расчетов. М.Ю.Трофимовым предложен также метод построения условий искусственной границе на основе многомасштабного разложения [29]. Мы не будем здесь останавливаться на этом методе, так как третья глава этой работы посвящена модификации этого метода. Поглощающие слои типа PML также могут без существенных модификаций быть использованы для параболического уравнения - нужно просто заменить соответствующую производную как это указано в предыдущем разделе (подробнее об условиях искусственной границы для параболического уравнения см. [40], [34]). Альтернативным повышению порядка условий типа Хигдона способом является использование условия первого порядка, но дополненного некоторой процедурой подбора фазовых скоростей (см. подробнее [76]). Здесь мы более подробно остановимся на одном достаточно эффективном способе, позволяющем получать условия прозрачной и искусственной границы. Этот способ был разработан А.Арнольдом и его коллегами, подробное его описание, а также описание некоторых его модификаций можно найти в статьях [33, 34, 43]. Идея этого метода состоит в том, чтобы, считая потенциал постоянным за границами расчетной области (то есть при у L\ решить параболическое уравнение в полупространстве у L точно и произвести сшивку решения внутри области с решением вовне. Этот подход в аналитическом случае ведет к полной прозрачности границы, однако при численном решении ситуация несколько хуже. Например, безусловно устойчивая численная схема Крэнка-Николсона при дополнении дискретной версией аналитически полученного условия прозрачной границы может стать условно устойчивой, причем множество значений АХ/Ау, при которых имеется устойчивость, может иметь весьма причудливый вид, например, быть множеством канторова типа. Условия искусственной границы получаются аналитически, например, в работах [36],[32]. В работе [43], в частности, обсуждается устойчивость таких условий при численной реализации. Другую, более плодотворную модификацию этого подхода как раз и предложили А.Арнольд и его соавторы. Их метод состоит в том, чтобы искать условие искусственной границы не для самого параболического уравнения, а для его конечно-разностной дискрети зации, например, осуществленную методом Крэнка-Николсона.
Полученная численная схема при этом сохраняет безусловную устойчивость. Здесь мы рассмотрим этот метод подробнее, так как он будет использоваться в четвертой главе настоящей работы. Для параболического уравнения (1.27) осуществим дискретизацию методом Крэнка-Николсона на равномерной сетке (xl,yj) = (iAx,jAy), обозначив значения волновой функции и потенциала в соответствующих узлах как Uj = u(x\yj) и Vj = V(x\yj). В случае подводной акустики величину (3 можно считать постоянной. Тогда в промежуточной точке {{хг + хг 1)/2,у ) с точностью до второго порядка разложения Тейлора по обеим переменным параболическое уравнение можно записать в виде: где Dy и D - операторы правосторонней и левосторонней разностных производных соответственно5, а их произведение — стандартный трехточечный оператор второй производной: DyD Sj = J+1 A?i—— Схема Крэнка-Николсона - неявная безусловно устойчивая численная схема второго порядка, обладающая свойством сохранения нормы решения в I2, т.е. такая, что величина со ]Г) игл постоянна для всех г. При численном решении параболического урав-нения по этой схеме на каждом шаге выполняют решение системы линейных алгебраических уравнений (1.30) с трехдиагональной матрицей с помощью прогонки (алгоритм Томаса). Разумеется, для решения на ЭВМ необходимо замкнуть задачу, введя краевые условия при j — 1 и j — п (уі = 0, а уп — L). Первое условие легко переносится из (1.28) в виде Bi,u\ — и\ = 0. Второе условие - условие искусственной границы, которое нам предстоит вывести, следуя [33, 34]. Мы начнем с применения к равенству (1.30) Z-преобразования (дискретный аналог преобразования Лапласа) по эволюционной переменной
Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта
Хотя уравнения (2.10-2.11) нелокальны по времени, следует заметить, что в данном случае мы имеем дело не со сверткой, а накапливающимся интегралом, что удобно при численной реализации. Локальную форму условий (2.10-2.11) легко получить, дифференцируя их по времени: Легко видеть, что стационарная форма уравнения Тапперта (2.1), записанная в начале этой главы, получается из этого уравнения подстановкой вида и = е1 1у{х,у). В дальнейшем мы будем пользоваться исключительно нестационарной формой , и потому для краткости именно его мы будем понимать под уравнением Тапперта, уточняя при этом, имеется в виду интегральный (2.10-2.11) или дифференциальный (2.12) вариант. Замечание. Представленный вывод можно без труда повторить для волнового уравнения, в которое включена плотность: где и = u(t,x,y) - волновая функция (например, акустическое давление), р = р(у), с = с(у) - функции плотности и скорости звука от переменной у (слоистая среда), V = (д/дх:д/ду). Применяя к такому уравнению факто ризацию (2.7), получаем пару уравнений для однонаправленного распростра нения волн: _i_ А Р У Теперь можно полностью повторить вывод уравнений (2.10-2.11), с той лишь разницей, что вместо оператора — мы имеем в качестве малого параметра — + -
Опуская соответствующие выкладки, сразу выпишем результат: Это и есть нестационарное уравнение Тапперта с зависимостью от плотности. Его можно использовать при расчетах в геофизических и акустических волноводах, где на распространение волн влияет также и плотность. Мы предлагаем использовать уравнение Тапперта (2.10-2.11) в качестве условия искусственной границы для волнового уравнения (1.1) со скоростью звука, зависящей от глубины у. Рассмотрим, например, распространение звука в волноводе Г2 = {(х, у)\ а у Ь}. Для численного решения этой задачи с помощью волнового уравнения необходимо искусственно ограничить область по горизонтали. Для этого мы предлагаем рассмотреть смешанную задачу следующего вида: где Hi,H-2 - некоторые дифференциальные операторы, описывающие условия на верхней и нижней границах рассматриваемой области (например, если у = Ь — поверхность океана, а у = а — дно, то такими условиями могут быть условия мягкой и жесткой границы соответственно3), щ(х,у),у(х,у) - начальные условия, т.е. некоторые функции с носителем внутри области ГУ. Решение этой смешанной задачи мы предлагаем рассматривать как приближение к решению смешанной задачи с теми же начальными условиями в неограниченной по х области О,. Так как условия выделяют (2.10-2.11), определяющие операторы i?i, Дг соответствуют волнам, которые выходят из области ГУ, то приближение действительно будет иметь место, и оно будет тем лучше, чем меньше угол между волновым вектором и осью х. Заметим, что поскольку производные по х от скорости звука в условия (2.10-2.11) не входят, то его можно формально применять и для случая, когда скорость звука зависит не только от глубины, но и о г продольной переменной х: с = с(х,у). Заметим также, что дифференциальная форма уравнения Тапперта (2.12) также может быть использована в качестве условий искусственной границы.
Это условие будет непосредственным обобщением условия, впервые полученного еще Майдой и Энгквистом [44]. Разумеется, условие в цитируемой работе не содержит членов с производными от скорости звука и, таким образом, не учитывает ее изменения. Интегральная форма условий является предпочтительной, т.к. обычно условия такого типа обеспечивают лучшую устойчивость. Численные эксперименты показывают также, что именно интегральная форма условий в виде уравнения Тапперта (для краткости мы будем их называть условиями Тапперта искусственной границы) в значительной мере сохраняет свои свойства и для с, зависящей от х (см. численные эксперименты ниже). Для устойчивости вычислений при решении смешанной задачи вида (2.15) требуется, чтобы граничные условия были диссипативными, т.е. такими, чтобы смешанная задача была корректной (либо чтобы корректным было некоторое ее расширение). Мы имеем в виду корректность в том смысле, в каком она впервые введена К.О. Фридрихсом в работе [46], более подробное рассмотрение также см. [6. Проблема проверки корректности рассматривалась в значительном числе работ различных авторов. Одной из первых и, пожалуй, наиболее цитируемой является работа Х.-О.Крайса [62], однако, по нашему мнению, наиболее полно и систематически этот вопрос рассмотрен в работах советских математиков С.К.Годунова и В.М.Гордиенко. Именно цикл их работ [7, 9, 48] позволяет нам сказать, что задача выяснения корректности для гиперболических уравнений решена полностью. В указанных работах представлен ряд эквивалентных условий, при которых выполняется корректность для смешанной задачи в полупространстве Р = {(х,у)\х 0} для волнового уравнения (1.1) с граничным условием вида B(t,y)u =, где В - некоторый дифференциальный оператор, возможно с переменными зависящими от t,y коэффициентами.
Все эти условия по существу эквивалентны равномерному условию Лопатпнского (также известного в литературе как равномерное условие Крайса). Проверка одного из них может быть выполнена по следующей схеме: 1. В каждой точке границы замораживаются коэффициенты в волновом уравнении и граничном условии, после чего отделяются главные члены соответствующих дифференциальных операторов, члены с младшими производными опускаются (корректность является локальным свойством и определяется главными символами операторов). 2. С помощью подходящей замены координат осуществляется переход к волновому уравнению простейшего вида utt — ихх — иуу = 0 и соответствующему граничному условию. 3. Предположим, что главный символ оператора в граничном условии после этого окажется /(г, ,??), где т, , 7? - переменные, двойственные t, х, у соответственно. Смешанная задача будет корректной тогда и только тогда, когда в каждой точке границы полином (относительно z) f(z2 + 1, —2z, z2 — 1) имеет ненулевой старший коэффициент, и все его корни имеют отрицательную вещественную часть. Так как (2.12) следует из (2.10-2.11), достаточно только доказать, что (2.12)
Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики
Ранее в этой главе было уже сказано, что дальнейшие приближения для операторной асимптотики (2.4), полученные разложением в некоммутативный ряд Тейлора для f(x) = л/х, хотя и дают высшие приближения к уравнениям (2.8), неэффективны для постановки условий излучения в силу некорректности получаемых таким образом смешанных задач для волнового уравнения. Поэтому дальнейшее развитие этого подхода требует получения аналога некоммутативной аппроксимации Паде или аппроксимации непрерывными дробями функции у/х. В этом дополнении мы представим один подход к этой проблеме, который пока не до конца разработан. Построим рекуррентную процедуру аппроксимации. Пусть нам нужно найти квадратный корень из некоторого оператора L.
Пусть он найден с некоторой точностью в виде оператора То (причем операторы L и То не коммутируют друг с другом), так что Теорема 2. Пусть \[L — T0 + Ко, где в некоторой норме ivo =f 1. Тогда можно построить цепочку операторов такую что ЦА ІІ = 0(11 11) (где К{ = л/1 - Г ). Очевидно, что эта последовательность есть некоммутативное обобщение аппроксимации квадратного корня непрерывными дробями. Такого рода аппроксимация, как известно, эквивалентна аппроксимации Падс. При этом заметим, что равенство (2.32) можно переписать в виде (это легко получается тем же способом, что и при выводе асимптотики (2.4) Интересно, что в коммутативном случае (т.е. когда L и Т коммутируют), применение аппроксимации T к оператору (2.8) дает условие Хигдона порядка 2г (как показано в первой главе условия типа Хигдона эквивалентны условиям в виде непрерывных дробей типа Гуддати). Асимптотика (2.32) является, насколько нам известно, первым примером некоммутативной аппроксимации Паде и представляет определенный интерес для некоммутативного анализа. Для использования в качестве условия излучающей границы важно построить численный алгоритм для вычисления разностных аналогов операторов (2.32-2.33). Также подобные операторы могут представлять интерес с точки зрения обобщений метода параболического уравнения. Во второй главе диссертации получен результат, который интересен в двух его аспектах. Предложенная Таппертом асимптотика для вывода урав нения однонаправленного распространения волн в слоистой среде получена новым методом, основанном на некоммутативном анализе. Помимо методической ценности этот вывод хорош тем, что допускает непосредственные обобщения на более высокие приближения, получаемые единообразным способом.
Предложенный подход в некотором смысле является основой для получения различных приближений однонаправленного распространения для волнового уравнения, учитывающих стратификацию среды. Вторым важным аспектом является нестационарный аналог уравнения Тапперта, который позволяет приближенно выделить волны, движущиеся в одном выбранном направлении в слоистой среде. Это свойство позволяет использовать полученное уравнение в качестве условия излучающей границы для волнового уравнения. Систематический учет влияния стратификации среды в условии излучения такого сорта осуществлен впервые. Поскольку именно такая стратификация является естественной особенностью в большом количестве физических задач, эти условия имеют большое значение для исследования распространения волн в слоистых волноводах. Полученное условие таким образом условие излучения дает математически обоснованный метод приближенного решения волнового уравнения в неограниченном слоистом волноводе. Для этого метода в диссертации реализована численная схема, на основе которой разработан комплекс прикладных программ для математического моделирования распространения волн в неограниченных стратифицированных областях.
Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков
Для решения уравнения Шредингера мы используем стандартную неявную схему Крэнка-Ыиколсона второго порядка по пространственным переменным на равномерной сетке {(x\y )\j = l,ny,i = 1,пж}, введя обозначения . На каждом шаге мы сначала вычисляем с помощью амплитудных уравнений (3.6),(3.7) значения волновой функции па границе, а затем уже вычисляем значения внутри интервала по схеме для уравнения (3.1). Для дискретизации амплитудных уравнений мы используем простейшие аппроксимации первого порядка. Опишем их для левой границы интервала у — у\ = а. Сначала перепишем для удобства амплитудные уравнения в физических переменных: Используя уравнения (3.10) или (3.11) найти значения амплитуд на границах следующего слоя _Дг+1 1?_Дг+1 те!/? а затем и соответствующие значения волновой функции с помощью (3.12). С помощью схемы Крэнка-Николсона найти значения иг+і,3\ j = 2,пу волновой функции на следующем слое. Степень прозрачности искусственной границы мы исследуем численными экспериментами с гауссовыми пучками, начальные условия для которых с имеют следующий вид:
Здесь малыми могут считаться два параметра - во-первых, это 1/р, что соответствует быстроосциллирующему пучку, и, во-вторых, это а, что соответствует широкому пучку. В этой работе мы рассмотрим второй случай, считая малым параметр а. Также для простоты мы будем рассматривать только левую границу у = а, на правой границе все вычисления проводятся аналогично. При малых значениях параметров поле хорошо аппроксимируется ВКБ-приближением, и потому выгоднее использовать уравнение нулевого порядка (3.8), если же значение параметра на самом деле малым не является, то лучше использовать (3.9), которое учитывает все члены иерархии (3.5). Для решения уравнения Шредингера будем использовать схему Крэнка-Николсо-на (см. первую главу) на равномерной сетке (xi,yj) = (ir,jh). Гауссов пучок вида (3.13) движется в направлении левой границы области у — а. Коэффициент отражения можно оценить, соотнося Ь2-нормы поля в области до взаимодействия пучка с границей и после нее: Для сравнения мы будем во всех случаях помимо расчетов с условиями (3.6) и (3.7) также рассматривать коэффициент отражения, который получается при использовании аналитически точных нелокальных условий прозрачной границы типа Баскакова-Попова (см. [36] для уточнения деталей дискретизации, а также обзорную статью [33], где обсуждаются различные варианты дискретизации этих условий), а также с условиями первого порядка, полученными методом многих масштабов и записанных в форме уравнения для поля [30], аналогом которых являются уравнения (3.6). Для краткости мы будем далее называть их So-условиями.
Для случая нулевого потенциала V = 0 мы легко получаем аналитически решение задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби в виде и, таким образом, в этом случае К — —р. Следовательно уравнения (3.6). (3.7) имеют особенно простой вид, не требующий дальнейших уточнений. Рассмотрим пучок с параметрами а = 0,5, р = 10. Положим а = —7, Ъ = 12. Гауссов пучок с указанными параметрами за расчетное время успевает полностью провзаимодействовать с границей области: большая его часть покинет область через нее, но некоторая все же будет отражена. Рассмотрим результаты моделирования. На рис. 3.1 показаны изолинии поля и(х,у) при расчетах с амплитудным условием первого порядка (3.6). На левой части рисунка отраженной волны не заметно, чтобы увидеть ее необходимо перейти к логарифмическому масштабу (рис. 3.1 справа). График убывания энергии поля в области г(х) с х приведен на рис. 3.2 . Коэффициенты отражения в данном случае составляют 5 Ю-5 и 5 10 4 для условий (3.6) и (3.7) соответственно. Видно, что они на порядки меньше, чем коэффициент отражения для условия Баскакова-Попова. Заметим также, что условие So соответствует условию (3.6), однако последнее, будучи записанным в амплитудной форме, оказывается существенно более удачным. Рассмотрим теперь гауссов пучок с параметрами о = 1, 5, р = 10, который уже не является широким, а величину а уже нельзя считать малым параметром. Изолинии в логарифмическом масштабе и график зависимости г оті в этом случае представлены на рис. 3.3. Для такого пучка мы имеем коэффициенты отражения 1, 25 Ю-4 и б, 3 10 5 для (3.6) и (3.7). В этом случае условие, учитывающее амплитудную иерархию, оказывается существенно лучшим.
Заметим также, что оно обеспечивает ту же самую точность, что и условие Баскакова-Попова. мплитудных уравнений М.Ю.Трофимова. Эти варианты подходят для различных ситуаций: в случае, когда в разложении присутствует параметр, действительно являющийся малым, вторые производные от амплитуды в (3.7) много меньше самих амплитуд, и потому приближение первого порядка дает лучший результат, а в случае, когда разложение по некоторому параметру является лишь формальным, необходимо учитывать высшие приближения, используя (3.7). Какое именно условие выбрать в той или иной ситуации, несложно понять из контекста задачи. Эти условия обеспечивают значительное повышение точности по сравнению с предложенными в [29]. Проведенные численные эксперименты подтверждают эффективность построенных условий в случаях, когда удается получить (аналитически или численно) выражение для фазы.
