Содержание к диссертации
Введение
1 Глава. Обзор литературы и постановка задачи 18
2 Глава. Основные понятия теории гиперболических волн. 21
2.1. Условия совместности 23
2.2 Геометрические условия совместности 24
2.3 Кинематические условия совместности 26
2.4 Уравнения газодинамики в характеристической форме 29
2.5 Уравнения магнитной газодинамики в характеристической форме 35
3 Глава. Лучевой метод расчета распространения ударных волн .41
3.1 Распространение слабых ударных волн в классической газодинамике 47
3.2 Распределение параметров за нестационарной мгд-ударной волной произвольной формы 51
3.3 Распределение параметров за стационарной мгд ударной волной 54
4 Глава. Устойчивость ударных волн 57
4.1 Устойчивость ударных волн в классической газодинамике при распространении по неоднородному газу 61
4.2 Устойчивость магнитогазодинамических ударных волн.. 67
4.3 Отражение быстрой магнитозвуковой волны конечной амплитуды от фронта быстрой мгд ударной волны 80
5 Глава. Основные выводы 85
6 Приложение 87
6.1 Значения коэффициентов, входящих в уравнение(4.2 .26), дающее изменение скорости волны 87
6.2 Производные вдоль траектории частицы. 89
6.3 Значения коэффициентов , входящих в уравнение, связывающее параметры падающей и отраженной магнитозвуковой волны 96
Список литературы 99
- Уравнения газодинамики в характеристической форме
- Распределение параметров за нестационарной мгд-ударной волной произвольной формы
- Отражение быстрой магнитозвуковой волны конечной амплитуды от фронта быстрой мгд ударной волны
- Значения коэффициентов , входящих в уравнение, связывающее параметры падающей и отраженной магнитозвуковой волны
Введение к работе
Основные понятия газодинамики. Разрывы
Общие законы движения и взаимодействия с твердыми телами жидких и газообразных сред являются предметом гидроаэродинамики. Раздел, в котором эти законы изучаются с учетом свойства сжимаемости среды, называется газодинамикой. Свойство сжимаемости играет решающую роль в течениях со скоростями, близкими или превышающими скорость звуковых волн в соответствующих условиях.
Газодинамика основана на тех же основных законах механики, что и гидродинамика. Однако при переходе от дозвуковых стационарных течений к сверхзвуковым происходит трансформация уравнений с частными производными от эллиптического типа к гиперболическому. Это вносит различия в решение этих уравнений.
Известно, во-первых, что одним из свойств решений гиперболических уравнений в частных производных является существование в пространстве независимых переменных характеристических поверхностей, при переходе через которые нормальные производные от зависимых переменных могут претерпевать разрыв непрерывности (Уизем 1977). Во-вторых, как следствие нелинейного характера дифференциальных уравнений движения, может наблюдаться возникновение в движущейся среде таких поверхностей, при переходе через которые терпят разрыв не
только производные, но и сами гидродинамические и термодинамические переменные (скорость, давление, плотность, температура, энтропия). Разрывы производных распространяются только вдоль характеристических направлений со звуковой скоростью, а разрывы функций движутся в виде так называемых ударных волн со сверхзвуковой скоростью относительно невозмущенной среды. Еще одним следствием нелинейности уравнений является неприменимость принципа суперпозиции частных решений.
Из сказанного выше следует, что при определенных условиях в газодинамическом потоке возможно образование таких поверхностей, при переходе через которые происходит конечное, скачкообразное изменение всех или некоторых параметров состояния газа, т.е. образование сильных разрывов. Такие течения называют поэтому разрывными. При прохождении газа через сильный разрыв происходит необратимый переход механической энергии в тепловую.
В одномерных течениях поверхность разрыва представляет собой плоское сечение, перпендикулярное к направлению движения газа. В случае идеального газа предполагается, что зона перехода от невозмущенной среды к возмущенной имеет бесконечно малую толщину.
Виды разрывов. Ударные волны
Различают несколько разновидностей разрывов. Одни распространяются относительно газа со сверхзвуковой скоростью, и на них все параметры без исключения претерпевают скачкообразное изменение. Это ударные волны, или скачки уплотнения. Скорость другого типа разрывов относительно газа равна нулю, т.е. такие разрывы движутся вместе с газом. Это контактные разрывы. Они разделяют в газе две области с различной плотностью и температурой, а также с различной энтропией и скоростью звука; Через контактную поверхность нет потока газа. Кроме того, существует понятие произвольного разрыва, когда в начальный момент все параметры состояния газа по обе стороны такого разрыва заданы совершенно произвольно и не связаны между собою никакими условиями. Такие разрывы могут быть созданы искусственно и, предоставленные самим себе, претерпевают сложную трансформацию.
Ударные волны являются одним из интереснейших явлений, которые встречаются в природе. Они возникают при взрывах, извержении вулканов, электрических разрядах и полетах со сверхзвуковыми скоростями в, атмосфере и в космосе (взрыв сверхновой).
Современные исследования в области ударных волн имеют большое значение для воздушных и: космических полетов. Заслуживают внимания работы, посвященные сильным^ ударным волнам; структуре ударных волн, использованию ударных волн для кумуляции энергии, ударным > волнам в космосе. Новая экспериментальная техника с высоким временным разрешением и численные методы позволяют исследовать очень сложные проблемы.
Свойства ударных волн
Скорость ударной волны может быть различной, от близкой к скорости звука и до значений, во много раз ее превышающих. Скорость ударных волн зависит от интенсивности волны, т.е. от величины (амплитуды) переносимого возмущения или от величины разрыва (скачка). Мерой интенсивности ударной волны может служить отношение двух любых параметров состояния газа за и перед фронтом, например, давления или плотности. Чаще всего интенсивность ударной волны измеряют числом Маха ударной волны, т.е. отношением скорости распространения фронта относительно невозмущенного газа к скорости звука в невозмущенном газе.
Структуру ударной волны можно изучать, используя кинетические уравнения. Широко используется уравнение Больцмана. Термин "ударная волна" имеет два значения. Иногда он означает возмущение, распространяющееся в среде со сверхзвуковой скоростью. Однако обычно под ударной волной понимают только очень узкую область, в которой происходит переход между невозмущенной и возмущенной средой. Зависимость толщины этого слоя от числа Маха показана на рис. 1 :
Naviw-Stokes
Burnett
—~ ~A!flon з: (О « я о s Л :ji оч я >я ч о 01 s m a- к ц щ >> ft я о a О -q о "І A « 73010 "га зо: число Маха Рмс: 1. Зависимость обратного значения толщины ударной волны от числа Маха. (Shugaev F.V., Shtemenko L.S. 1998) Представляют интерес следующие темы, связанные с ударными волнами: их отражение, преломление, распространение в релаксирующем тазе и т.д.(Griffiths 1981; Puckett 1995). Релаксация за ударной волной; была впервые принята во внимание Зельдовичем (Зельдович 1946). Позднее этот вопрос был рассмотрен более детально (см., например, Ступоченко и др. 1965). Распространение волны в релаксирующем газе имеет некоторые отличительные особенности. Обозначим через т. время релаксации для малых возмущений термодинамического равновесия. Если это время существенно больше, чем характерное время изменения свойств потока при движении волны, тогда волна распространяется с замороженной скоростью звука с^ (высокочастотная скорость звука). Если время затухания много меньше, чем характерное время изменения свойств потока, то волна распространяется с равновесной скоростью звука Со (низкочастотная скорость звука). Слабые ударные волны распространяются через релаксирующий газ следующим образом. Фронт ударной волны распространяется со скоростью, близкой к сю, интенсивность волны убывает экспоненциально. Позже скачок исчезает, и возмущение с гладким фронтом распространяется через газ со скоростью, равной с0. Рис. 2. Отражение полностью диспергированной волны 0 = 20, М = 1,037 , (Honma et al. 1989, Maekawa et al. 1989) Если скорость ударной волны G находится в интервале Coo>G>Co, то ударная волна является нестационарной и исчезает резкий фронт (Ступоченко и др. 1957). Такая волна полностью диспергирована. Слабые ударные волны в углекислом газе становятся полностью или частично диспергированными благодаря колебательной релаксации. Обычно структура ударной волны определяется двумя процессами: нелинейными эффектами, которые делают фронт круче, и диссипацией, которая сглаживает фронт. Колебательная неравновесность существенно влияет на структуру диспергированной ударной волны. На рис.2 показано отражение полностью диспергированной волны (Honma et al. 1989, Maekawa et al. 1989). Ударные волны в магнитной газодинамике Законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнения Максвелла в; идеальной электропроводной среде при наличии магнитных полей допускают существование нескольких типов разрывов (Ландау 1992). Ударными волнами, так же как и в обычной газодинамике, называются такие разрывы, при переходе через которые поток массы и изменение плотности отличны от нуля. Исследование ударных волн в магнитной гидродинамике началось в 1950 году с работы Гофмана и Теллера (Hoffman, Teller, 1950), которые получили условия, существующие на поверхности разрыва (соотношения Ренкина-Гюгонио). Интерес к теме поддерживается благодаря проблемам астрофизики и полетам во внешних слоях атмосферы. Бесстолкновительными ударными волнами называются резкие изменения параметров плазмы (плотности, температуры, магнитного поля и др.), возникающие при сверхзвуковом движении плазмы и имеющие толщину фронта, существенно меньшую длины свободного пробега, так что парных столкновений в них не происходит. В лабораторной плазме они возникают при сжатии и нагреве плазмы быстронарастающим магнитным полем. В плазме, по которой уже прошла ударная волна, всегда имеются частицы, движущиеся быстрее фронта, которые, забегая вперед в невозмущенную волной плазму, могли бы создать расплывание фронта до толщины, сравнимой с длиной свободного пробега. Однако этого не происходит по двум причинам. При наличии магнитного поля, параллельного фронту волны или направленного под углом к нему, поле заворачивает частицы, движущиеся поперек фронта на расстоянии ларморовского радиуса, который, таким образом, играет роль длины свободного пробега. Если магнитное поле перпендикулярно фронту волны или вообще отсутствует, то механизм, препятствующий расплыванию, имеет коллективную природу, т.е. осуществляется с помощью возбуждаемых неустойчивостей и волн. Если, в. невозмущенную волной область плазмы проникла через фронт группа (пучок) быстрых частиц, то перед фронтом волны развиваются пучковая неустойчивость и: интенсивные колебания плазмы і которые эффективно тормозят быструю компоненту. В этом случае также как бы происходит переопределение длины свободного пробега с учетом коллективных процессов. Исходя из системы магнитогидродинамических уравнений; (Андерсон 1968), можно показать существование нескольких типов волн: альвеновских (Н. Alfven, 1967), быстрых и: медленных магнитозвуковых. В предельном случае малого магнитного - поля быстрые магнитозвуковые волны: переходят в обычные звуковые, а скорость медленной совпадает с альвеновской скоростью. Образование ударной волны в плазме можно рассмотреть на примере движения магнитного поршня (роль такого поршня для плазмы солнечного ветра выполняет планетная магнитосфера). Плазма перед поршнем сжимается, при этом, нарастает напряженность вмороженного в нее магнитного поля Н0. В холодной плазме, давление которой р существенно меньше, магнитного давления ( р«н1!Ъж ), возмущения плотности и магнитного поля {магнитозвуковые волны) перемещаются с альвеновской скоростью; vA=H0/yJ4xp , где р -плотность плазмы. Если скорость поршня vn < vA, то возникшие перед поршнем возмущения постепенно передаются вглубь плазмы в виде магнитозвуковых волн. Однако при vn>vA магнитозвуковые волны не успевают оторваться от поршня и продвинуть дальше область сжатия. Поэтому поршень как бы "сгребает" плазму, и перед ним происходит образование области сжатия плазмы и магнитного поля до тех пор, пока увеличение локальной скорости vAt связанное с увеличением магнитного поля, не сделает возможным "отрыв" возмущений от поршня. Кинетическая энергия поршня трансформируется при прохождении ударной волны во внутреннюю энергию плазмы, основная доля которой приходится на интенсивные колебания плотности энергии магнитного поля и других параметров. Происхождение таких колебаний не всегда связано с неустойчивостью, это могут быть, например, нелинейные колебания в виде т.н. уединенных волн (солитонов), образующихся благодаря дисперсионным свойствам плазмы, вследствие которых возможно ограничение нелинейного роста крутизны волнового профиля (у кручения), приводящего к разрыву. Эффект нелинейного у кручения, известный из обычной газодинамики, состоит в том, что участки волнового профиля с большей амплитудой возмущения, которым соответствуют большие скорости; движения, стремятся опередить участки с меньшей скоростью и, в конце концов, образуется разрыв. Таким образом, аналогично обычной ^ газодинамике форма волны определяется двумя процессами: нелинейными эффектами, которые делают фронт круче, и дисперсией, которая сглаживает фронт. В космических условиях при взаимодействии солнечного ветра с бесстолкновительных ударных волн (Verigin et al. 2000). Магнитосферы планет могут быть трех основных типов: собственная, наведенная, или индуцированная, и комбинированная. Первый тип возможен в случае, когда планета обладает достаточно сильным магнитным моментом для того, чтобы давление собственного магнитного поля уравновешивало динамическое давление солнечного ветра за пределами ионосферы. Тогда в межпланетном пространстве образуется область, вт первом приближении свободная от солнечного ветра и содержащая линии магнитного поля, выходящие из планеты. Такими магнитосферами обладают Меркурий, Земля, Юпитер, Сатурн и Уран. В случаях, когда собственное магнитное поле планеты незначительно, а атмосфера достаточно плотная, контакт солнечного ветра с ионосферой вызывает электрические токи. Магнитное поле этих токов и образует наведенную магнитосферу. Такой тип характерен для Венеры и комет. Если собственное магнитное поле планеты недостаточно велико, чтобы предотвратить контакт солнечного ветра с ионосферой, но соизмеримо по величине с наведенным магнитным полем, то возникает магнитосфера комбинированного типа. Магнитосферы всех трех типов являются препятствием для сверхзвукового и сверхальвеновского солнечного ветра и перед ними возникает бесстолкновительная ударная волна. Наиболее изученный в космической плазме объект - ударная волна земной магнитосферы, толщина фронта которой на несколько порядков величины меньше длины свободного пробега (рис.3). Рис. 3. Магнитосфера Земли Внешней границей магнитосферы Земли является магнитопауза, отделяющая геомагнитное поле от обтекающего солнечного ветра. Магнитное поле на магнитопаузе значительно больше поля невозмущенного геомагнитного диполя. Дополнительное поле создается токами, текущими по магнитопаузе. Сверхзвуковой и сверхальвеновский солнечный ветер, налетая на магнитосферу, резко тормозится, образуя бесстолкновительную головную ударную волну. На фронте головной ударной волны происходит изменение направления движения частиц солнечного ветра. Их направленная скорость уменьшается, а тепловая скорость растет так, что плазма между фронтом ударной волны и магнитопаузой нагревается до нескольких миллионов градусов, образуя магнитный переходный слой, в котором магнитное поле и движение плазмы становятся менее упорядочеными. Физические процессы, проходящие в земной магнитосфере рассмотрены в монографии Тверского Б.А. (Тверской Б. А. 2004). Содержание диссертации таково. После ведения в первой главе приводится обзор литературы по устойчивости ударных волн и дается постановка задачи. Во второй главе обсуждаются условия совместности и представлены уравнения магнитной газодинамики в характеристической форме. В третьей главе излагается лучевой метод расчета распространения ударных волн. Предложен способ расчета слабых ударных волн. Построено распределение параметров за фронтом МГД волны в виде степенного ряда с центром разложения в произвольной точке на фронте. В четвертой главе исследуется устойчивость ударных волн в классической газодинамике при распространении их по неоднородному покоящемуся газу и устойчивость быстрых МГД ударных волн. Выведено точное аналитическое соотношение, связывающее изменение скорости быстрой МГД ударной волны при ее распространении с кривизной волны, распределением скорости волны вдоль ее фронта и градиентами физических величин за фронтом волны. В конце диссертации приведены основные выводы. В приложении даются значения коэффициентов, входящих в основные уравнения. Законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнения Максвелла в; идеальной электропроводной среде при наличии магнитных полей допускают существование нескольких типов разрывов (Ландау 1992). Ударными волнами, так же как и в обычной газодинамике, называются такие разрывы, при переходе через которые поток массы и изменение плотности отличны от нуля. Исследование ударных волн в магнитной гидродинамике началось в 1950 году с работы Гофмана и Теллера (Hoffman, Teller, 1950), которые получили условия, существующие на поверхности разрыва (соотношения Ренкина-Гюгонио). Интерес к теме поддерживается благодаря проблемам астрофизики и полетам во внешних слоях атмосферы. Бесстолкновительными ударными волнами называются резкие изменения параметров плазмы (плотности, температуры, магнитного поля и др.), возникающие при сверхзвуковом движении плазмы и имеющие толщину фронта, существенно меньшую длины свободного пробега, так что парных столкновений в них не происходит. В лабораторной плазме они возникают при сжатии и нагреве плазмы быстронарастающим магнитным полем. В плазме, по которой уже прошла ударная волна, всегда имеются частицы, движущиеся быстрее фронта, которые, забегая вперед в невозмущенную волной плазму, могли бы создать расплывание фронта до толщины, сравнимой с длиной свободного пробега. Однако этого не происходит по двум причинам. При наличии магнитного поля, параллельного фронту волны или направленного под углом к нему, поле заворачивает частицы, движущиеся поперек фронта на расстоянии ларморовского радиуса, который, таким образом, играет роль длины свободного пробега. Если магнитное поле перпендикулярно фронту волны или вообще отсутствует, то механизм, препятствующий расплыванию, имеет коллективную природу, т.е. осуществляется с помощью возбуждаемых неустойчивостей и волн. Если, в. невозмущенную волной область плазмы проникла через фронт группа (пучок) быстрых частиц, то перед фронтом волны развиваются пучковая неустойчивость и: интенсивные колебания плазмы І которые эффективно тормозят быструю компоненту. В этом случае также как бы происходит переопределение длины свободного пробега с учетом коллективных процессов. Исходя из системы магнитогидродинамических уравнений; (Андерсон 1968), можно показать существование нескольких типов волн: альвеновских (Н. Alfven, 1967), быстрых и: медленных магнитозвуковых. В предельном случае малого магнитного - поля быстрые магнитозвуковые волны: переходят в обычные звуковые, а скорость медленной совпадает с альвеновской скоростью. Образование ударной волны в плазме можно рассмотреть на примере движения магнитного поршня (роль такого поршня для плазмы солнечного ветра выполняет планетная магнитосфера). Плазма перед поршнем сжимается, при этом, нарастает напряженность вмороженного в нее магнитного поля Н0. В холодной плазме, давление которой р существенно меньше, магнитного давления ( р«н1!Ъж ), возмущения плотности и магнитного поля {магнитозвуковые волны) перемещаются с альвеновской скоростью; vA=H0/yJ4xp , где р -плотность плазмы. Если скорость поршня vn vA, то возникшие перед поршнем возмущения постепенно передаются вглубь плазмы в виде магнитозвуковых волн. Однако при vn vA магнитозвуковые волны не успевают оторваться от поршня и продвинуть дальше область сжатия. Поэтому поршень как бы "сгребает" плазму, и перед ним происходит образование области сжатия плазмы и магнитного поля до тех пор, пока увеличение локальной скорости vAt связанное с увеличением магнитного поля, не сделает возможным "отрыв" возмущений от поршня. Кинетическая энергия поршня трансформируется при прохождении ударной волны во внутреннюю энергию плазмы, основная доля которой приходится на интенсивные колебания плотности энергии магнитного поля и других параметров. Происхождение таких колебаний не всегда связано с неустойчивостью, это могут быть, например, нелинейные колебания в виде т.н. уединенных волн (солитонов), образующихся благодаря дисперсионным свойствам плазмы, вследствие которых возможно ограничение нелинейного роста крутизны волнового профиля (у кручения), приводящего к разрыву. Эффект нелинейного у кручения, известный из обычной газодинамики, состоит в том, что участки волнового профиля с большей амплитудой возмущения, которым соответствуют большие скорости; движения, стремятся опередить участки с меньшей скоростью и, в конце концов, образуется разрыв. Таким образом, аналогично обычной газодинамике форма волны определяется двумя процессами: нелинейными эффектами, которые делают фронт круче, и дисперсией, которая сглаживает фронт. В космических условиях при взаимодействии солнечного ветра с магнитосферами планет, прш взаимодействии звездного ветра с магнитосферами пульсаров происходит образование бесстолкновительных ударных волн (Verigin et al. 2000). Задача о - распаде произвол ного разрыва (задача Римана) может возникнуть также при столкновении ударных волн. Эта задача была решена Кочиным (Кочин 1926) для случая совершенного газа ( =const). Позднее она рассматривалась Рождественским и др. для газа с нормальными термодинамическими свойствами (Рождественский и Яненко 1978, Ландау 1953). Распад произвольного разрыва, в МГД исследован в: работе Торильхона (Tonilhon, 2003), Фрайштюлера (Freistuhler et al. 2003). Понятие произвольного разрыва вводится следующим образом. Пусть имеется плоскость, которая; делит пространство, заполненное газом, на две части. Параметры газа, постоянные внутри каждой части, различны между частями. Если значения параметров газа по разные стороны плоскости произвольны, то разрыв считается произвольным. В общем случае произвольный разрыв нестабилен и распадается: на два возмущения, распространяющихся в разные стороны. Этими возмущениями могут быть две ударные волны или ударная волна и волна разрежения или две волны разрежения. Случай двух ударных волн, которые распространяются в одном направлении, невозможен. Действительно, в задаче нет характерного размера, поэтому решение должно быть автомодельным, т.е. зависеть только от отношения x/t. Возмущения должны распространятся из одной точке на плоскости x,t. Скорость распространения должна быть постоянной. Две ударные волны не могут распространяться из одной точки в одинаковом направлении, так как скорость первой волны меньше, чем скорость звука за ее фронтом, а скорость второй волны больше, чем скорость звука перед ней. Такое столкновение волн будет противоречить условию их автомодельности.. Аналогично, ударная волна и волна разрежения, распространяющиеся в том же направлении, не могут, так же как и две волны разрежения; являться результатом одного распада. Эксперименты, выполненные в ударных трубах в семидесятых годах, обнаружили интересные свойства ударных волн при больших числах Маха. Было зарегистрировано искажение фронта ударной волны. Было найдено, что распределение плотности, так же как и плотность числа электронов в зоне разрежения, становится немонотонным (Griffiths et al. 1976; Glass et al. 1978; Рязин; 1980). Это явление имеет пороговый характер, порог зависит от скорости ударной волны и начального давления. Небольшие примеси водорода действуют на поток стабилизирующим образом. Теоретически- устойчивость плоской ударной волны была-исследована в пятидесятых годах (Дьяков 1954; Конторович 1959; Иорданский 1957). Вышеупомянутые авторы исследовали взаимодействие плоской ударной волны с малыми возмущениями течения за ударным фронтом. Рассматривалась следующая задача. Имеется первоначально плоская ударная волна. Течение перед и за волной однородно.. Пусть имеются малые возмущения за ударной волной: Если амплитуда возмущений возрастает со временем, то возникает неустойчивость. Если амплитуда убывает со временем, то ударная волна устойчива. В случае невозрастания и неубывания амплитуды мы имеем нейтральную устойчивость. Было найдено, что могут иметь место два случая: (L) гофрировочная неустойчивость ударных волн; 2) спонтанное излучение звука ударным фронтом. В последнем случае коэффициент отражения акустической волны от ударной волны принимает бесконечно большое значение, но возмущения не растут со временем. Те же авторы установили условия для гофрировочной неустойчивости, а также и для спонтанного испускания звука. Бесконечно большое значение коэффициента отражения является недостатком линейной теории. Коэффициент отражения имеет конечное значение, если мы пользуемся нелинейными уравнениями. Согласно критерию Дьякова-Конторовича-Иорданского, неустойчивость может возникнуть только благодаря немонотонности формы ударной адиабаты. Интересно заметить, что Аниле и Руссо (Anile et al. 1986; 1993) получили такой же критерий в нелинейном случае, используя лучевой метод. Предположив, что газ перед ударной волной однороден, покоится, скорость распространения ударной волны в начальном состоянии постоянна, и возмущения распространяются за ударной волной только от ее фронта, а не по направлению к фронту, можно получить, что гофрировочная неустойчивость имеет место, если: Здесь нижний индекс Н означает производную вдоль адиабаты Гюгонио. В этих случаях — о при Н 0 (выпуклый фронт ударной волны), -— 0 при Н 0 (вогнутый фронт). Неравенство j 1+2Мг является также условием неустойчивости по отношению к распаду (Gardner 1963). Именно, если это условие верно для состояния 2 за ударной волной, то состояния 1 и 2 могут быть разделены не только ударной волной, но и слабой ударной волной, следующей за волной разрежения, которая распространяется в направлении, противоположном направлению движения ударной волны. С учетом ионизации газа за сильной ударной волной удалось теоретически определить порог неустойчивости ионизирующей волны в ударной трубе (Егорушкин и др. 1990; 1992, Mond, Rutkevich 1994). Устойчивость плоской ударной волны, распространяющейся по неоднородному покоящемуся газу, до сих пор не исследована. Видно, что форма областей неустойчивости существенно меняется в зависимости от угла в . При малых углах имеется одна область неустойчивости. С возрастанием 9 появляется вторая область неустойчивости, характеризуемая большими значениями числа Альвена. Если магнитное поле параллельно фронту волны, то волна устойчива. На рис. 9 представлены минимальные значения числа Маха, при которых еще возможна неустойчивость. Видно, что при 0 9 6 (#,220) неустойчивость возможна при М \ . При в = вх величина Мтт испытывает скачок, связанный с появлением второй области неустойчивости. При возрастании угла между нормалью к фронту и вектором магнитного поля минимальное число Маха, при котором возможна неустойчивость, сначала делает скачок, затем падает до некоторого значения и снова возрастает, «исчезая» при углах, близких к прямому. Итак показано, что быстрые МГД ударные волны могут быть неустойчивыми при у - const. В работе Блохина и др. (Блохин 2004) говорится: «Эта концепция восходит к геометрической теории ударных волн Уизема и в двух словах выражается в следующем. Гофрированная устойчивость означает, что при возмущении плоской ударной волны скорость ударной волны убывает там, где фронт возмущенной ударной волны выпуклый (в области за волной), и скорость возрастает там, где фронт вогнутый. До сих пор остается открытым вопрос о точном отношении между гофрированной устойчивостью и линеаризованной устойчивостью. По-видимому, условие гофрированной устойчивости должно совпадать с условием линеаризованной слабой устойчивости. По крайней мере, это так для ударных волн в классической и релятивистской газовой динамике, а также для быстрых перпендикулярных МГД ударных волн.» Это утверждение неточно. Прежде всего изменение скорости ударной волны (ее ускорение dGldt) зависит не только от ее формы, но и от распределения параметров перед и за волной. Соотношение (4.2.26), связывающее изменение скорости волны с ее формой и распределением параметров в окрестности фронта волны является точным. Приравнивая член п,— -+ - - нулю, мы тем самым считаем, что возмущения за волной распространяются в направлении от фронта волны, а не к нему. Различие между использованным нами условием и условием линейной устойчивости заключается в следующем. Последнее условие предполагает малость возмущений и не налагает никаких ограничений на промежуток времени. Наше условие справедливо для конечных возмущений, но при малости временного промежутка. (Следует заметить, что правильнее говорить о гофрировочной, а не «гофрированной» неустойчивости). Ранее неустойчивость МГД ударных волн была исследована в ряде работ. Гарднер и Крускал (Gardner, Kruscal 1964) исследовали устойчивость быстрых ударных волн в частном случае, когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно фронту волны. Лессен и Десфанд (Lessen, Desphande 1967) нашли численно некоторые области неустойчивости относительно двумерных возмущений для МГД ударных волн в политропном одноатомном газе. Неустойчивость быстрых ударных волн была так же численно исследована Филипповой (О.Л.Филиппова, 1991). Был использован линейный метод. В нашей работе применен другой метод. Сопоставление результатов по устойчивости МГД ударных волн, полученных с помощью линейного и лучевого метод, в литературе отсутствует. Наши результаты дополняют данные, приводимые Филипповой. При этом, нами показано, что при 0-»я72 (магнитное поле параллельно фронту волны) неустойчивость исчезает. Это подтверждает результат Филипповой (отсутствие неустойчивости для волн, когда магнитное поле в невозмущенной среде почти параллельно фронту волны). Представляют интерес следующие темы, связанные с ударными волнами: их отражение, преломление, распространение в релаксирующем тазе и т.д.(Griffiths 1981; Puckett 1995). Релаксация за ударной волной; была впервые принята во внимание Зельдовичем (Зельдович 1946). Позднее этот вопрос был рассмотрен более детально (см., например, Ступоченко и др. 1965). Распространение волны в релаксирующем газе имеет некоторые отличительные особенности. Обозначим через т. время релаксации для малых возмущений термодинамического равновесия. Если это время существенно больше, чем характерное время изменения свойств потока при движении волны, тогда волна распространяется с замороженной скоростью звука с (высокочастотная скорость звука). Если время затухания много меньше, чем характерное время изменения свойств потока, то волна распространяется с равновесной скоростью звука Со (низкочастотная скорость звука). Слабые ударные волны распространяются через релаксирующий газ следующим образом. Фронт ударной волны распространяется со скоростью, близкой к сю, интенсивность волны убывает экспоненциально. Позже скачок исчезает, и возмущение с гладким фронтом распространяется через газ со скоростью, равной с0. Если скорость ударной волны G находится в интервале Coo G Co, то ударная волна является нестационарной и исчезает резкий фронт (Ступоченко и др. 1957). Такая волна полностью диспергирована. Слабые ударные волны в углекислом газе становятся полностью или частично диспергированными благодаря колебательной релаксации. Обычно структура ударной волны определяется двумя процессами: нелинейными эффектами, которые делают фронт круче, и диссипацией, которая сглаживает фронт. Колебательная неравновесность существенно влияет на структуру диспергированной ударной волны. На рис.2 показано отражение полностью диспергированной волны (Honma et al. 1989, Maekawa et al. 1989). Законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнения Максвелла в; идеальной электропроводной среде при наличии магнитных полей допускают существование нескольких типов разрывов (Ландау 1992). Ударными волнами, так же как и в обычной газодинамике, называются такие разрывы, при переходе через которые поток массы и изменение плотности отличны от нуля. Исследование ударных волн в магнитной гидродинамике началось в 1950 году с работы Гофмана и Теллера (Hoffman, Teller, 1950), которые получили условия, существующие на поверхности разрыва (соотношения Ренкина-Гюгонио). Интерес к теме поддерживается благодаря проблемам астрофизики и полетам во внешних слоях атмосферы. Бесстолкновительными ударными волнами называются резкие изменения параметров плазмы (плотности, температуры, магнитного поля и др.), возникающие при сверхзвуковом движении плазмы и имеющие толщину фронта, существенно меньшую длины свободного пробега, так что парных столкновений в них не происходит. В лабораторной плазме они возникают при сжатии и нагреве плазмы быстронарастающим магнитным полем. В плазме, по которой уже прошла ударная волна, всегда имеются частицы, движущиеся быстрее фронта, которые, забегая вперед в невозмущенную волной плазму, могли бы создать расплывание фронта до толщины, сравнимой с длиной свободного пробега. Однако этого не происходит по двум причинам. При наличии магнитного поля, параллельного фронту волны или направленного под углом к нему, поле заворачивает частицы, движущиеся поперек фронта на расстоянии ларморовского радиуса, который, таким образом, играет роль длины свободного пробега. Если магнитное поле перпендикулярно фронту волны или вообще отсутствует, то механизм, препятствующий расплыванию, имеет коллективную природу, т.е. осуществляется с помощью возбуждаемых неустойчивостей и волн. Если, в. невозмущенную волной область плазмы проникла через фронт группа (пучок) быстрых частиц, то перед фронтом волны развиваются пучковая неустойчивость и: интенсивные колебания плазмы І которые эффективно тормозят быструю компоненту. В этом случае также как бы происходит переопределение длины свободного пробега с учетом коллективных процессов.
магнитосферами планет, прш взаимодействии звездного ветра с
магнитосферами пульсаров происходит образованиеУравнения газодинамики в характеристической форме
Распределение параметров за нестационарной мгд-ударной волной произвольной формы
Отражение быстрой магнитозвуковой волны конечной амплитуды от фронта быстрой мгд ударной волны
Значения коэффициентов , входящих в уравнение, связывающее параметры падающей и отраженной магнитозвуковой волны
Похожие диссертации на Устойчивость и распространение ударных волн в классической газодинамике и в магнитной газодинамике
