Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегралы движения динамических и кинетических уравнений 13
Глава 2. Классическая матрица рассеяния в бессолжонном секторе 32
Глава 3. Вырожденные законы дисперсии и теоремы о них 47
Глава 4. Примеры проверки кщкрегных гамйльтоншых систем на интжршуемость 72
Глава 5. Структура интегралов движения и классическойматрицы рассеяния систем с дополнительными интегралами движения. Классификация точно решаемых моделей 85
Заключение
Литература
- Интегралы движения динамических и кинетических уравнений
- Классическая матрица рассеяния в бессолжонном секторе
- Вырожденные законы дисперсии и теоремы о них
- Примеры проверки кщкрегных гамйльтоншых систем на интжршуемость
Интегралы движения динамических и кинетических уравнений
Интегралы движения являются важнейшей характеристикой и инструментом качественного анализа нелинейных систем. Если энергия физической системы сохраняется, то соответствующая математическая модель представляет собой гамильтонову систему. Если, кроме того, накладывается условие пространственной однородности, то сохраняется импульс. В волновых задачах в некоторых случаях сохраняется волновое действие, что можно интерпретировать как сохранение числа квазичастиц в каждом элементарном нелинейном процессе. Если волновая система имеет интегралы движения, не сводящиеся к трем перечисленным, то такие интегралы мы будем называть дополнительными. В фазовом пространстве системы всякая траектория лежит на поверхности уровня всех имеющихся у системы интегралов движения. Поэтому каждый дополнительный первый интеграл уменьшает реальную размерность фазового пространства и,следовательно, потенциально ограничивает возможную сложность пове- --дения системы. Для систем с конечным числом степеней свободы хорошо известен тот факт (теорема Лиувилля), что если число интегралов движения равно числу степеней свободы, то траектории могут быть только условно-периодическими. Если число интегралов движения меньше,N то в фазовом пространстве могут быть области, заполненные неустойчивыми траекториями и в этих областях система ведет себя стохастически [35]. Системы с бесконечным числом степеней свободы - а именно к этому классу принадлежат большинство моделей теории нелинейных.. волн - изучены гораздо меньше, однако для некоторых точно решаемых методом обратной задачи моделей получены результаты, аналогичные теореме Лиувилля [її,14, 36,37J. Для некоторых же точно решаемых моделей такие результаты не получены. В Главе 5 показано, что действительно существуют точно решаемые модели теории волн, для которых теорема типа лиувилля неверна, а также показано, как выделять такие модели.
В настоящей Главе будут получены с помощью метода обратной задачи интегралы движения нескольких важных в физике нелинейных волн двумерных точно решаемых моделей.
Как хорошо известно [ I9j, одномерные решаемые методом обратной задачи уравнения имеют бесконечное число законов сохранения. Цусть нелинейное уравнение является условием совместности двух линейных уравнений LY-AV , Vt-AV (I,Ia) и соответственно представимо в виде L -[L,A] (і.іб) где - дифференциальные по X операторы, коэффици ентами которых являются функции Иj , входящие в нелинейное уравнение (I.I6). Тогда можно построить семейство ICMLUJJ инвариантных по времени функционалов от Uj . Действительно, так как спектр оператора L инвариантен по времени в силу (1.1а,б), то любая функция А будет инвариантным функционалом. Удобно выделить счетный набор интегралов, представляющих собой "базис" этих функционалов. Это удобно сделать, разлагая логарифм коэффициента прохождения по степеням /А при А- " 0 . Они вычисляются следующим образом. При больших А функцию можно искать в "квазиклассическом" виде х ЧЧхДД) = У» ЄХр{- I X (x ,t,X) J» } (1.2) -Со где о -решение (I.I) при Uj O . Подставляя (1.2) в (I.I), - 15 получаем уравнение на X , из которого явно вычисляются коэффициенты Хм в разложении х ( . , )-% {і-з) Величины 4-ое I j]= iX.fUjUx (1.4) и есть искомые инвариантные функционалы.
Для двумерных нелинейных уравнений ситуация несколько отличается от вышеописанной. Именно, если в (I.I) первое уравнение -обыкновенное, то точно решаемые двумерные уравнения являются условием совместности двух уравнений уже в частных производных где L и А - дифференциальные по X операторы с коэффициентами, выражающимися через Uj . Тем не менее схема (1.1)-(1.4) вычисления интегралов движения может быть практически без изменений перенесена на двумерные точно решаемые уравнения. Мы приведем вычисление интегралов движения для уравнения Кадомцева-Петвиашвили в среде с положительной (КП-І) и отрицательной (КП-2) дисперсией, уравнения Дэви-Стюартсона (ДС) и уравнений резонансного взаимодействия трех трехмерных волновых пакетов (ТВП) [27,28].
Классическая матрица рассеяния в бессолжонном секторе
Как уже упоминалось во Введении, точно решаемые модели теории нелинейных волн гамильтоновы, хотя это далеко не всегда видно в физических переменных и переход к гамильтоновым переменным может быть не простым [38J. Однако и гамильтонова запись таких уравнений неоднозначна с точностью до канонических преобразований и ввиду неоднозначности выбора скобки Пуассона. Наиболее универсальное представление гамильтоновы системы имеют в нормальных переменных, являющихся классическими аналогами операторов рождения и уничтожения [38]. Нормальные переменные С і(кД) выражаются через пространственные Фурье-компоненты волновых полей ДІ(Х Х/ , здесь I - индекс, нумерувдий различные типы волновых полей, К - (Ki,... 7 Kj J- волновый вектор, d - размерность пространства.
Следуя I.32J, рассмотрим однородную среду d измерений, в которой могут распространяться волны только одного типа с законом дисперсии U (K) Г Ш-, К-(К, 7KJ. Гамильтониан такое среды можно представить в .виде
Как уже упоминалось во Введении, точно решаемые модели теории нелинейных волн гамильтоновы, хотя это далеко не всегда видно в физических переменных и переход к гамильтоновым переменным может быть не простым [38J. Однако и гамильтонова запись таких уравнений неоднозначна с точностью до канонических преобразований и ввиду неоднозначности выбора скобки Пуассона. Наиболее универсальное представление гамильтоновы системы имеют в нормальных переменных, являющихся классическими аналогами операторов рождения и уничтожения [38]. Нормальные переменные С і(кД) выражаются через пространственные Фурье-компоненты волновых полей ДІ(Х Х/ , здесь I - индекс, нумерувдий различные типы волновых полей, К - (Ki,... 7 Kj J- волновый вектор, d - размерность пространства.
Следуя I.32J, рассмотрим однородную среду d измерений, в которой могут распространяться волны только одного типа с законом дисперсии U (K) Г Ш-, К-(К, 7KJ. Гамильтониан такое среды можно представить в .виде где: 01 (К,t) - комплексная амплитуда волны с волновым вектором гамильтониан взаимодействия, представляющий собой ряд по степеням к,0 . Уравнение для к имеет вид:
Предположим, что задача Копій для уравнения (1.2) может быть разрешена в обе стороны по времени вплоть доТ- - . Это ограничение является существенным, так как в некоторых случаях, например, при линейном законе дисперсии, решение при t— может потерять однозначность при сколь угодно малой амплитуде волн С к«
Рассмотрим систему с взаимодействием, адиабатически убывающем при t - [39]
При любом С при I — решение уравнения (2.2) асимптотически вырождается в решение линеаризованного уравнения: Функции Ск , конечно, не являются независимыми, существует (по крайней мере формальный) нелинейный оператор S(} , пре-водящий их друг в друга:
Оператор Ь можно назвать классической матрицей рассеяния для системы (2.1). Необходимо отметить, что -J , определенный с помощью описанной процедуры, описывает связь только таких асимптотических по t состояний системы (2.2), в которых отсутствуют солитонные решения (если таковые существуют). При наличии солитонов решение уравнения (2.2) нельзя получить из решения (2.3) предельным переходом.
Опишем теперь процедуру вычисления оператора SCO в случае, когда H{.ht кубичен по 01 к . Предварительно введем обозна 1-І s чения СХК = ак, СХК - G,K и уравнение для CLK (2.2), S = ±l , [40] запишем в виде Топологически эта теория возмущений полностью эквивалент на развитой в [40], и отличается от нее только смыслом затрав ки . Если в [40] затравкой служила случайная сила, то в (2.15) затравкой являются "асимптотические" начальные условия. Поэтому, пользуясь результатами этой работы, легко убедиться, что каждая диаграмма, не содержащая двойных лиьшй (будем называть такие диаграммы элементарными), имеет дискриминирующий множитель 1/Р , где Р - число элементов симметрии диаграммы, включая тождественный. Каждая диаграмма характеризуется тремя числами (ММ Л ), где Л/- число вершин с двумя пунктирами (концевые), М - число вершин с одним пунктиром (ствол) L - число вершин без пунктиров (узлы ветвления). Не трудно проверить, чтор=2 , гдеЬс - число симметричных узлов ветвления, так что L 2 Lc + L .в каждой элементарной диаграмме вдоль каждого пути от корня к любой из вершин имеется хронологическое упорядочение, то есть более далекие от корня линии соответствуют более ранним временам.
Перенумеруем все вершины в соответствии с хронологическим упорядочением, и переменные интегрирования обозначим tf , Х2 , ...» /V+M + L » где "и - внешнее интегрирование. Введем но вые переменные Тк = t к -14, К - 2 , + М + U, Тк О , Важное утверждение состоит в том, что (см. [39J) с точностью до членов порядка во всех внутренних интегрированиях по Тк , exp (-t4+ Тк 1 можно заменить на expj-cltj + f Гк. Например, рассмотрим выражение
Вырожденные законы дисперсии и теоремы о них
Тогда для каждого процесса рассеяния И + i волн в У \ волн на соответствующей резонансной поверхности (3.4) выполняется одно из двух условий: либо I) ядро \л/п-и,т соответствущего члена в матрице рассеяния равно нулю в точках общего положения на I , ли;бо 2) функция f СЮ удовлетворяет на (3.4) условию n+rn /оо+ &« +...+ икп) скь.ь ...+ к««.№ 5)
Во втором случае закон дисперсии называется вырожденным по отношению к процессу рассеяния h -М волн в ҐП волн, в первом случае - невырожденным [28] Доказательство теоремы. На поверхности (3.4) сосредоточены члены (3.3), содержащие комбинацию полей & & Э _ _ ск ск .. . СКп сКп+... cKntm
При этом на всей поверхности (3.4) сосредоточены только члены происходящие от первого слагаемого в (3.3). Действительно, члены порядка n+m+1 , происходящие от второго слагаемого и слагаемых высших порядков в (3.3), обязательно содержат дополнительно по крайней мере одну о-функцию. Как легко проверить, члены порядка (3.6), не содержащие дополнительных о -функций, происходящие из слагаемых высших порядков в (3.2), взаимно уничтожаются. Поэтому в точках общего положения необходимо учитывать только первое слагаемое в (3.3).
После симметризации по к, к4 , к2,...,Кп и кП4 .. .,Khfrn получаем с учетом (2.36) для членов порядка (3.6) l 1 (К) + &»Ф + ... + f (К„)- f(K„+()-...- 0 m) XWKK к к к ск...С„ х (3.7) X (к+к, + ...-кп+т) S(o KfO K+. . .-ок )х х сік с1к . . . Акп+гп В силу произвольности С к из (3.7) сразу же следует утверждение теоремы. Анализ подмногообразной меньшей размерности более сложен и мы представим его позднее.
Рассмотрим частный случай (2.4) рассеяния двух волн в одну. Соответствущее многообразие I задается в пространстве ( К , Kf , Ка ) уравнениями К = К + К2 (3.8) 0 (К) = Сс (К1)+ Ь)СКш)
Если это многообразие существует, закон дисперсии называется распадным. (Примером может служить и)=Ш 0К0 , со" 0 t u (o) = 0 ). Многообразие (3.8) в общем положении имеет размерность 2d-і , тогда как \ -функция d переменных Поэтому при d Q уравнение (Ю-ІСк + Ск,-) (3.9) соответствущее (3.5) с П = 0 ,m = 2 , вообще говоря, неразрешимо нетривиальным образом (так чтобы tC»O A слі(к) + (г к) ) и поэтому закон дисперсии в общем положении невырожцен относительно процесса (3.8). Тем не менее при - 2 вырожденные законы дисперсии существуют. Обозначим компоненты вектора К через (р )1 пусть ft (p»4) определяется параметрически по формулам где О- и о - произвольные функции одной переменной. Тогда трехмерное многообразие Г может быть параметризовано по формулам
Очевидно, что любая функция f С к) , параметри зуїсщаяся по формулам р- у.-ЗГ,; с сиГ - СьУ, / = с( «)-с( (3.12) удовлетворяет уравнению (3.9) на (3.8), то есть параметризация (З.П) задает вырожденные законы дисперсии при cl = 2 . Вид -закона дисперсии (3.10) очень просто интерпретируется с точки зрения метода обратной задачи рассеяния. Именно,линеаризованные уравнения, решаемые методом одевания [9J, связаны с совместностью уравнений - оператор, сопряженный к Ml, и символы операторов Mi. есть полиномы. Как известно [9J, если начальное условие не содержит солитонов (бессолитонный сектор), ядро Г(Х, y,Z,t) может быть разложено в ряд Фурье по X и Z :
Подставляя это разложение вместе с (3.14) в (3.13), получаем, что причем в каждом из уравне ний (3.13) в правой и левой части должны стоять одновременно либо самосопряженные, либо антисамосопряженные операторы (« и ft мнимые или действительные). Пусть теперь в (3.10)-(3.12) 3fi
Итак, однородный первой степени закон дисперсии с произвольной Г1,2 зависимостью от углов вырожден. Многообразие I для закона дисперсии (3.15а) задается условиями cj,,/p, = Y /pi=VP то есть вектора К,, и К2 параллельны и направлены в одну сторону. Примеры вырожденных законов дисперсии, отличных от (3.10) неизвестны. Можно предположить, что их вообще не существует. Основанием для такого предположения являются следующие теоремы. Теорема 2.2
Пусть СО р, ) аналитическая функция своих аргументов. Тогда этот закон дисперсии невырожден (по отношению к процессу (3.8)). Прежде чем доказывать эту теорему, докажем лемму: Лемма I. Пусть ctfCp, )- однородный полином по р, степени h» 2 . Тогда мероморфная функция =КР»Чг)» удовлетворяющая условию вырожденности (3.9), имеет вид
Примеры проверки кщкрегных гамйльтоншых систем на интжршуемость
Полученные в Главах 2 и 3 результаты относительно того, каким требованиям должны удовлетворять амплитуды классической матрицы рассеяния в точках общего положения резонансных поверхностей, позволяют эффективно осуществлять проверку гамильтоно-вых систем на существование дополнительных интегралов с квадра тичнои главной частью. Так как во всех вариантах метода обратной задачи рассеяния получаются системы уравнений, обладающие бесконечным числом таких интегралов, что с помощью такой проверки можно либо доказать неинтегрируемость исследуемой системы, либо, при исследовашш класса систем, выделить подозрительные на интегрируемость системы. Примеры такой проверки мы опишем в настоящей Главе. Это уравнения типа Дэви-Стюартсона,связанные нелинейные уравнения Шредингера и различные типы уравнений взаимодействия длинной и короткой волн. Перед этим опишем несколько уравнений, неинтегрируемость которых получается практически без всякого исследования. качестве первого такого простого примера рассмотрим неодномерное нелинейное уравнение Шредингера
Оно имеет невырожденный по отношению к процессу 2 - Л закон дисперсии К (см. Теорему 3.6). С другой стороны, амплитуда этого процесса во всем К -пространстве тождественно равна константе. Следовательно, уравнение (4.1) не может иметь дополнительного интеграла движения с квадратичной главной частью.
Рассмотрим уравнение, возникающее в теории гравитацион ных волн на поверхности глубокой жидкости [42J, в безразмерных координатах оно принимает вид:
Как следует из теоремы 3.6 (см. также [зз]), оно имеет также не 2 2 вырожденный закон дисперсии =-р + t а амплитуда процесса 2 - 2 также, как и в (4.1), постоянна во всем К -пространстве. Следовательно, (4.2) не может иметь дополнительных интегралов .движения с квадратичной главной частью. Однако численный счет, проведенный в 43], не показал термализации, а для некоторого класса начальных условий в задаче с периодическими поХ. и у граничными условиями наблюдалась рекурренция к начальному состоянию. Заметим еще, что если рассмотреть действительные стационарные решения (4.2), то придем к уравнению это уравнение исследовалось численно в [44J и в этих численных экспериментах также не наблюдалось термализации. Таким образом, хотя уравнение (4.2) и не имеет дополнительных интегралов с квадратичной главной частью, оно обладает рядом свойств, характерных для систем с большим числом интегралов. Такое поведение уравнения (4.2) пока не получило объяснения дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэф фициентами WK . Уравнения такого типа возникают в теории длинных волн на поверхности жидкости конечной глубины при о1=.2 (уравнения Дэви-Стюартсона [25І), при описании спектрально узких пакетов внутренних волн в безграничной стратифицированной жидкости с а=3 [45J, а такие в задаче о взаимодействии высокочастотных и низкочастотных волн при А=2,3 46 J.
Система (4.15) и L- А пара для нее содержатся в [47]. Там же перечислены системы (4.3) с операторами L2 иь3 второго порядка, интегрируемые с помощью метода обратной задачи рассеяния. Среди них содержатся системы с операторами (4.11),(4.14). Вычисление в случаях (4.10) и (4.12) вершины второго порядка теории возмущений позволяет доказать несуществование дополнительных интегралов в этих случаях. Однако соответствующие выкладки очень громоздки и мы их здесь не приводим. Более подробная информация содержится в |_33J. При я = 3 аналогичный,но более громоздкий анализ показывает, что ни при каких значены ях коэффициентов *ік , рік система (4.3) не имеет дополнительных интегралов.
Весь развитый формализм можно перевести и на одномерный случай. При этом, однако, нужно рассматривать процессы более высокого порядка, чем в многомерном случае. Если имеются волны только одного типа, нужно начинать с процесса 2 *-* Ъ , если волны разных типов - то с процесса 2 *—* 2 , но с участием разных волн.
Мы-приведем здесь результаты для системы двух связанных нелинейных уравнений Шредингера [зі], и системы уравнений,описывающей резонансное взаимодействие акустической длиннойволны и пакета коротких волн |34J. Мы приведем также результаты работы [48J, в которой по сравнению с [34] была учтена собственная нелинейность и дисперсия длинных волн. Система двух связанных нелинейных уравнений Шредингера возникает в нелинейной оптике J49J и имеет вид
